Квадратно-пирамидальное число

В математике пирамидальное число , или квадратно-пирамидальное число , — это натуральное число , подсчитывающее количество сложенных друг на друга сфер в пирамиде с квадратным основанием. Изучение этих чисел восходит к Архимеду и Фибоначчи . Они являются частью более широкой темы фигурных чисел, представляющих количество точек, образующих регулярные узоры внутри различных фигур.

Так же как и подсчет сфер в пирамиде, эти числа можно описать алгебраически как сумму первых $n$ положительные квадратные числа или как значения кубического многочлена . Их можно использовать для решения ряда других задач счета, включая подсчет квадратов в квадратной сетке и подсчет остроугольных треугольников, образованных из вершин нечетного правильного многоугольника . Они равны суммам последовательных тетраэдрических чисел и составляют одну четвертую большего тетраэдрического числа. Сумма двух последовательных квадратно-пирамидальных чисел представляет собой октаэдрическое число .

История [ править ]

Пирамидальные числа были одним из немногих типов трёхмерных фигурных чисел, изучавшихся в греческой математике , в работах Никомаха , Теона Смирнского и Ямвлиха . ^[1] Формулы для суммирования последовательных квадратов для получения кубического многочлена, значениями которого являются квадратные пирамидальные числа, даны Архимедом , который использовал эту сумму как лемму в рамках исследования объема конуса , ^[2] и Фибоначчи , как часть более общего решения проблемы поиска формул для сумм прогрессий квадратов. ^[3] Квадратные пирамидальные числа также были одним из семейств фигурных чисел, изучавшихся японскими математиками периода васан, которые называли их «кирей сайдзё суида» (с современными кандзи , 奇零再乗蓑深). ^[4]

Та же задача, сформулированная как подсчет ядер в квадратной пирамиде, была поставлена Уолтером Рэли математику Томасу Харриоту в конце 1500-х годов, когда они оба были в морском путешествии. Говорят, что в результате этого обмена возникла задача о пушечном ядре , в которой спрашивается, существуют ли квадратные пирамидальные числа, которые также являются квадратными числами, отличными от 1 и 4900. Эдуард Лукас нашел пирамиду из 4900 шаров с квадратным числом шаров и, сделав проблему пушечного ядра более широко известной, предположил, что это единственное нетривиальное решение. ^[5] После неполных доказательств Лукаса и Клода-Серафина Море-Блана первое полное доказательство того, что других таких чисел не существует, было дано Г. Н. Уотсоном в 1918 году. ^[6]

Формула [ править ]

Шесть копий квадратной пирамиды с

n

ступенями могут поместиться в кубоиде размера

n (n + 1)(2 n + 1)

Если сферы упакованы в квадратные пирамиды, количество слоев которых равно 1, 2, 3 и т. д., то квадратные пирамидальные числа, обозначающие количество сфер в каждой пирамиде, будут: ^[7]^[8]

1 , 5 , 14 , 30 , 55 , 91 , 140 , 204 , 285 , 385 , 506, 650, 819, ... .

Эти числа можно вычислить алгебраически следующим образом. Если пирамиду сфер разложить на квадратные слои с квадратным числом сфер в каждом, то общее число $P_{n}$ количество сфер можно посчитать как сумму количества сфер в каждом квадрате,

P_{n}=\sum _{k=1}^{n}k^{2}=1+4+9+\cdots +n^{2},

и это суммирование можно решить, чтобы получить кубический многочлен , который можно записать несколькими эквивалентными способами:

P_{n}={\frac {n(n+1)(2n+1)}{6}}={\frac {2n^{3}+3n^{2}+n}{6}}={\frac {n^{3}}{3}}+{\frac {n^{2}}{2}}+{\frac {n}{6}}.

Это уравнение суммы квадратов является частным случаем формулы Фаульхабера для суммы степеней и может быть доказано методом математической индукции . ^[9]

В более общем смысле, числа фигур подсчитывают количество геометрических точек, расположенных в правильном порядке внутри определенных фигур. Центры сфер в пирамиде сфер образуют один из этих шаблонов, но для многих других типов фигурных чисел не имеет смысла думать о точках как о центрах сфер. ^[8] В современной математике родственные задачи подсчета точек в целочисленных многогранниках формализуются полиномами Эрхарта . Они отличаются от фигурных чисел тем, что для полиномов Эрхарта точки всегда расположены в целочисленной решетке, а не в расположении, которое более тщательно соответствует рассматриваемой форме, а форма, в которую они вписываются, представляет собой многогранник с точками решетки, как его вершины. В частности, полином Эрхарта $L (P, t)$ целочисленного многогранника $P$ представляет собой многочлен , который подсчитывает целые точки в копии $P$ , которая расширяется путем умножения всех его координат на число $t$ . Обычная симметричная форма квадратной пирамиды с единичным квадратом в основании не является целочисленным многогранником, поскольку самая верхняя точка пирамиды, ее вершина, не является целочисленной точкой. Вместо этого полином Эрхарта можно применить к асимметричной квадратной пирамиде $P$ с основанием единичного квадрата и вершиной, которая может представлять собой любую целую точку на одну единицу выше базовой плоскости. Для такого выбора $P$ , полином Эрхарта пирамиды равен $.mw-parser-output .sfrac{white-space:nowrap}.mw-parser-output .sfrac.tion,.mw-parser-output .sfrac .tion{display:inline-block;vertical-align:-0.5em;font-size:85%;text-align:center}.mw-parser-output .sfrac .num{display:block;line-height:1em;margin:0.0em 0.1em;border-bottom:1px solid}.mw-parser-output .sfrac .den{display:block;line-height:1em;margin:0.1em 0.1em}.mw-parser-output .sr-only{border:0;clip:rect(0,0,0,0);clip-path:polygon(0px 0px,0px 0px,0px 0px);height:1px;margin:-1px;overflow:hidden;padding:0;position:absolute;width:1px}( т + 1)( т + 2)(2 т + 3) / 6 = п т + 1$ . ^[10]

Геометрическое перечисление [ править ]

Помимо подсчета сфер в пирамиде, эти числа можно использовать для решения ряда других задач по счету. Например, обычная математическая головоломка включает в себя подсчет квадратов в большой $n$ размером $на n .$ сетке ^[11] Это количество можно получить следующим образом:

Количество квадратов 1 × 1 в сетке равно $n. 2$ .
Количество квадратов 2 × 2 в сетке равно $(n - 1) 2$ . Их можно посчитать, посчитав все возможные верхние левые углы квадратов 2 × 2 .
Количество $k \times k$ квадратов $(1 \leq k \leq n)$ в сетке равно $(n - k + 1). 2$ . Их можно посчитать, посчитав все возможные верхние левые углы $квадратов k \times k$ .

Отсюда следует, что количество квадратов в $квадратной сетке размера n \times n$ равно: ^[12]

n^{2}+(n-1)^{2}+(n-2)^{2}+(n-3)^{2}+\ldots ={\frac {n(n+1)(2n+1)}{6}}.

То есть решение головоломки дается

n-

м квадратным пирамидальным числом. ^[7] Количество прямоугольников в квадратной сетке определяется квадратами треугольных чисел . ^[13]

Квадратное пирамидальное число $P_{n}$ также считает остроугольные треугольники, образованные из вершин $(2n+1)$ двусторонний правильный многоугольник . Например, равносторонний треугольник содержит только один остроугольный треугольник (сам), правильный пятиугольник имеет внутри себя пять острых золотых треугольников , правильный семиугольник имеет 14 остроугольных треугольников двух форм и т. д. ^[7] Говоря более абстрактно, когда перестановки строк или столбцов матрицы считаются эквивалентными, число $2\times 2$ матрицы с неотрицательными целыми коэффициентами, сумма которых равна $n$ , для нечетных значений $n$ , — квадратно-пирамидальное число. ^[14]

Отношения с другими фигурными числами [ править ]

Задача о пушечном ядре требует определения размеров пирамид из пушечных ядер, которые также можно разложить, образуя квадратный массив, или, что то же самое, какие числа являются одновременно квадратными и квадратно-пирамидальными. Помимо 1, есть только одно число, обладающее этим свойством: 4900, которое является одновременно 70-м квадратным числом и 24-м квадратным пирамидальным числом. ^[6]

Квадратные пирамидальные числа можно выразить как суммы биномиальных коэффициентов : ^[15]^[16]

P_{n}={\binom {n+2}{3}}+{\binom {n+1}{3}}={\binom {n+1}{2}}+2{\binom {n+1}{3}}.

Биномиальные коэффициенты, встречающиеся в этом представлении, представляют собой тетраэдрические числа , и эта формула выражает квадратное пирамидальное число как сумму двух тетраэдрических чисел точно так же, как квадратные числа представляют собой суммы двух последовательных треугольных чисел . ^[8]^[15] Если тетраэдр отражается от одной из его граней, две копии образуют треугольную бипирамиду . Квадратные пирамидальные числа также являются фигурными числами треугольных бипирамид, и эту формулу можно интерпретировать как равенство между квадратными пирамидальными числами и треугольными бипирамидальными числами. ^[7] Аналогично, отражение квадратной пирамиды через ее основание дает октаэдр, из которого следует, что каждое октаэдрическое число представляет собой сумму двух последовательных квадратных пирамидальных чисел. ^[17]

Квадратные пирамидальные числа также связаны с тетраэдрическими числами по-другому: точки четырех копий одной и той же квадратной пирамиды можно переставлять, образуя единый тетраэдр с вдвое большим количеством точек вдоль каждого ребра. То есть, ^[18]

4P_{n}=Te_{2n}={\binom {2n+2}{3}}.

Чтобы убедиться в этом, расположите каждую квадратную пирамиду так, чтобы каждый слой находился непосредственно над предыдущим слоем, например, высоты равны

Затем четыре из них можно соединить колонной высотой $4$ , чтобы получилась ровная квадратная пирамида со слоями. $4,16,36,\dots$ .

Каждый слой представляет собой сумму последовательных треугольных чисел, т.е. $(1+3),(6+10),(15+21),\dots$ , сумма которых дает тетраэдрическое число.

Другая недвижимость [ править ]

Чередующийся ряд с единичных дробей квадратными пирамидальными числами в знаменателях тесно связан с формулой Лейбница для $π$ , хотя и сходится быстрее. Это: ^[19]

{\begin{aligned}\sum _{i=1}^{\infty }&(-1)^{i-1}{\frac {1}{P_{i}}}\\&=1-{\frac {1}{5}}+{\frac {1}{14}}-{\frac {1}{30}}+{\frac {1}{55}}-{\frac {1}{91}}+{\frac {1}{140}}-{\frac {1}{204}}+\cdots \\&=6(\pi -3)\\&\approx 0.849556.\\\end{aligned}}

В теории приближений последовательности нечетных чисел, суммы нечетных чисел (квадратные числа), суммы квадратов чисел (квадратные пирамидальные числа) и т. д. образуют коэффициенты в методе преобразования чебышевских приближений в многочлены . ^[20]

Ссылки [ править ]

^ Федерико, Паскуале Джозеф (1982), «Пирамидальные числа», Декарт о многогранниках: исследование «De Solidorum elementis» , Источники по истории математики и физических наук, том. 4, Springer, стр. 89–91, номер документа : 10.1007/978-1-4612-5759-2 , ISBN. 978-1-4612-5761-5
^ Архимед , О коноидах и сфероидах , Лемма к предложению 2, и О спиралях , предложение 10. См. «Лемма к предложению 2» , «Труды Архимеда », перевод Т.Л. Хита , Cambridge University Press, 1897, стр. 107–109.
^ Фибоначчи (1202), Liber Abaci , гл. II.12. Видеть Liber Abaci Фибоначчи , перевод Лоуренса Э. Сиглера, Springer-Verlag, 2002, стр. 260–261, ISBN. 0-387-95419-8
^ Янагихара, Китизи (ноябрь 1918 г.), «О Дадзюту или арифметическом ряде высших порядков, изучаемом васанистами» , Tohoku Mathematical Journal , 14 (3–4): 305–324
^ Паркер, Мэтт (2015), «Форма корабля», Что делать и делать в четвертом измерении: путешествие математика через нарциссические числа, оптимальные алгоритмы свиданий, по крайней мере два вида бесконечности и многое другое , Нью-Йорк: Фаррар, Штраус и Жиру, стр. 56–59, ISBN. 978-0-374-53563-6 , МР 3753642
^ Jump up to: Перейти обратно: ^а ^б Англин, WS (1990), «Загадка квадратной пирамиды», The American Mathematical Monthly , 97 (2): 120–124, doi : 10.1080/00029890.1990.11995558 , JSTOR 2323911
^ Jump up to: Перейти обратно: ^а ^б ^с ^д Слоан, Нью-Джерси (редактор), «Последовательность A000330 (квадратные пирамидальные числа)» , Интернет -энциклопедия целочисленных последовательностей , Фонд OEIS
^ Jump up to: Перейти обратно: ^а ^б ^с Бейлер, А.Х. (1964), Отдых в теории чисел , Дувр, стр. 194–195 , ISBN 0-486-21096-0
^ Хопкрофт, Джон Э .; Мотвани, Раджив ; Уллман, Джеффри Д. (2007), Введение в теорию автоматов, языки и вычисления (3-е изд.), Пирсон / Аддисон Уэсли, стр. 20 , ISBN 9780321455369
^ Бек, М.; Де Лоэра, JA ; Девелин, М .; Пфайфл, Дж.; Стэнли, Р.П. (2005), «Коэффициенты и корни полиномов Эрхарта», Целые точки в многогранниках — геометрия, теория чисел, алгебра, оптимизация , современная математика, том. 374, Провиденс, Род-Айленд, стр. 15–36, arXiv : math/0402148 , MR 2134759 {{citation}}: CS1 maint: отсутствует местоположение издателя ( ссылка )
^ Даффин, Джанет; Патчетт, Мэри; Адамсон, Энн; Симмонс, Нил (ноябрь 1984 г.), «Старые квадраты, новые лица», Математика в школе , 13 (5): 2–4, JSTOR 30216270
^ Робитайл, Дэвид Ф. (май 1974 г.), «Математика и шахматы», Учитель арифметики , 21 (5): 396–400, doi : 10.5951/AT.21.5.0396 , JSTOR 41190919
^ Штейн, Роберт Г. (1971), «Комбинаторное доказательство того, что $\textstyle \sum k^{3}=(\sum k)^{2}$ ", Журнал Mathematics , 44 (3): 161–162, doi : 10.2307/2688231 , JSTOR 2688231.
^ Бэбкок, Бен; Ван Тайл, Адам (2013), «Возвращаясь к числам распространения и покрытия», Австралазийский журнал комбинаторики , 56 : 77–84, arXiv : 1109.5847 , MR 3097709
^ Jump up to: Перейти обратно: ^а ^б Конвей, Джон Х .; Гай, Ричард (1998), «Числа квадратной пирамиды», Книга чисел , Springer, стр. 47–49, ISBN 978-0-387-97993-9
^ Грассл, Ричард (июль 1995 г.), «79,33 Квадраты подходят!», The Mathematical Gazette , 79 (485): 361–364, doi : 10.2307/3618315 , JSTOR 3618315 , S2CID 187946568
^ Чаглаян, Гюнхан; Бадду, Гораций (сентябрь 2014 г.), «Тетраэдральные числа», Учитель математики , 108 (2): 92–97, doi : 10.5951/mathteacher.108.2.0092 , JSTOR 10.5951/mathteacher.108.2.0092
^ Альсина, Клауди; Нельсен, Роджер Б. (2015), «Вызов 2.13», Математическая космическая одиссея: твердотельная геометрия в 21 веке , Математические экспозиции Дольчиани, том. 50, Вашингтон, округ Колумбия: Математическая ассоциация Америки, стр. 43, 234, ISBN. 978-0-88385-358-0 , МР 3379535
^ Фернехо, Алан (ноябрь 2006 г.), «90.67 Серия для бита », Notes, The Mathematical Gazette , 90 (519): 460–461, doi : 10.1017/S0025557200180337 , JSTOR 40378200 , S2CID 113711266
^ Меньшиков Г.Г.; Заездный А.М. (1966), "Рекуррентные формулы, упрощающие построение аппроксимирующих степенных полиномов", Журнал Вычислительной Математики и Математической Физики , 6 : 360–363, MR 0196353 ; переведено на английский как Заездный, А.М.; Меньшиков, Г. Г. (январь 1966 г.), «Рекуррентные формулы, упрощающие построение аппроксимирующих степенных полиномов», Вычислительная математика и математическая физика СССР , 6 (2): 234–238, doi : 10.1016/0041-5553(66)90072- 3

Внешние ссылки [ править ]

Вайсштейн, Эрик В. , «Квадратное пирамидальное число» , MathWorld

[federico-1] Федерико, Паскуале Джозеф (1982), «Пирамидальные числа», Декарт о многогранниках: исследование «De Solidorum elementis» , Источники по истории математики и физических наук, том. 4, Springer, стр. 89–91, номер документа : 10.1007/978-1-4612-5759-2 , ISBN. 978-1-4612-5761-5

[archimedes-2] Архимед , О коноидах и сфероидах , Лемма к предложению 2, и О спиралях , предложение 10. См. «Лемма к предложению 2» , «Труды Архимеда », перевод Т.Л. Хита , Cambridge University Press, 1897, стр. 107–109.

[fibonacci-3] Фибоначчи (1202), Liber Abaci , гл. II.12. Видеть Liber Abaci Фибоначчи , перевод Лоуренса Э. Сиглера, Springer-Verlag, 2002, стр. 260–261, ISBN. 0-387-95419-8

[yanagihara-4] Янагихара, Китизи (ноябрь 1918 г.), «О Дадзюту или арифметическом ряде высших порядков, изучаемом васанистами» , Tohoku Mathematical Journal , 14 (3–4): 305–324

[parker-5] Паркер, Мэтт (2015), «Форма корабля», Что делать и делать в четвертом измерении: путешествие математика через нарциссические числа, оптимальные алгоритмы свиданий, по крайней мере два вида бесконечности и многое другое , Нью-Йорк: Фаррар, Штраус и Жиру, стр. 56–59, ISBN. 978-0-374-53563-6 , МР 3753642

[anglin-6] Jump up to: Перейти обратно: ^а ^б Англин, WS (1990), «Загадка квадратной пирамиды», The American Mathematical Monthly , 97 (2): 120–124, doi : 10.1080/00029890.1990.11995558 , JSTOR 2323911

[oeis-7] Jump up to: Перейти обратно: ^а ^б ^с ^д Слоан, Нью-Джерси (редактор), «Последовательность A000330 (квадратные пирамидальные числа)» , Интернет -энциклопедия целочисленных последовательностей , Фонд OEIS

[beiler-8] Jump up to: Перейти обратно: ^а ^б ^с Бейлер, А.Х. (1964), Отдых в теории чисел , Дувр, стр. 194–195 , ISBN 0-486-21096-0

[hmu-9] Хопкрофт, Джон Э .; Мотвани, Раджив ; Уллман, Джеффри Д. (2007), Введение в теорию автоматов, языки и вычисления (3-е изд.), Пирсон / Аддисон Уэсли, стр. 20 , ISBN 9780321455369

[bddps-10] Бек, М.; Де Лоэра, JA ; Девелин, М .; Пфайфл, Дж.; Стэнли, Р.П. (2005), «Коэффициенты и корни полиномов Эрхарта», Целые точки в многогранниках — геометрия, теория чисел, алгебра, оптимизация , современная математика, том. 374, Провиденс, Род-Айленд, стр. 15–36, arXiv : math/0402148 , MR 2134759 {{citation}}: CS1 maint: отсутствует местоположение издателя ( ссылка )

[dpas-11] Даффин, Джанет; Патчетт, Мэри; Адамсон, Энн; Симмонс, Нил (ноябрь 1984 г.), «Старые квадраты, новые лица», Математика в школе , 13 (5): 2–4, JSTOR 30216270

[robitaille-12] Робитайл, Дэвид Ф. (май 1974 г.), «Математика и шахматы», Учитель арифметики , 21 (5): 396–400, doi : 10.5951/AT.21.5.0396 , JSTOR 41190919

[stein-13] Штейн, Роберт Г. (1971), «Комбинаторное доказательство того, что $\textstyle \sum k^{3}=(\sum k)^{2}$ ", Журнал Mathematics , 44 (3): 161–162, doi : 10.2307/2688231 , JSTOR 2688231.

[bvt-14] Бэбкок, Бен; Ван Тайл, Адам (2013), «Возвращаясь к числам распространения и покрытия», Австралазийский журнал комбинаторики , 56 : 77–84, arXiv : 1109.5847 , MR 3097709

[conguy-15] Jump up to: Перейти обратно: ^а ^б Конвей, Джон Х .; Гай, Ричард (1998), «Числа квадратной пирамиды», Книга чисел , Springer, стр. 47–49, ISBN 978-0-387-97993-9

[grassl-16] Грассл, Ричард (июль 1995 г.), «79,33 Квадраты подходят!», The Mathematical Gazette , 79 (485): 361–364, doi : 10.2307/3618315 , JSTOR 3618315 , S2CID 187946568

[cagbud-17] Чаглаян, Гюнхан; Бадду, Гораций (сентябрь 2014 г.), «Тетраэдральные числа», Учитель математики , 108 (2): 92–97, doi : 10.5951/mathteacher.108.2.0092 , JSTOR 10.5951/mathteacher.108.2.0092

[alsnel-18] Альсина, Клауди; Нельсен, Роджер Б. (2015), «Вызов 2.13», Математическая космическая одиссея: твердотельная геометрия в 21 веке , Математические экспозиции Дольчиани, том. 50, Вашингтон, округ Колумбия: Математическая ассоциация Америки, стр. 43, 234, ISBN. 978-0-88385-358-0 , МР 3379535

[fearnehough-19] Фернехо, Алан (ноябрь 2006 г.), «90.67 Серия для бита », Notes, The Mathematical Gazette , 90 (519): 460–461, doi : 10.1017/S0025557200180337 , JSTOR 40378200 , S2CID 113711266

[menza-20] Меньшиков Г.Г.; Заездный А.М. (1966), "Рекуррентные формулы, упрощающие построение аппроксимирующих степенных полиномов", Журнал Вычислительной Математики и Математической Физики , 6 : 360–363, MR 0196353 ; переведено на английский как Заездный, А.М.; Меньшиков, Г. Г. (январь 1966 г.), «Рекуррентные формулы, упрощающие построение аппроксимирующих степенных полиномов», Вычислительная математика и математическая физика СССР , 6 (2): 234–238, doi : 10.1016/0041-5553(66)90072- 3

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

[10]

[11]

[12]

[13]

[14]

[15]

[16]

[17]

[18]

[19]

[20]