Дробь единицы
![](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/9/91/Pizza-3007395.jpg/220px-Pizza-3007395.jpg)
Единичная дробь — это положительная дробь с единицей в числителе , 1/ n . Это мультипликативный обратный (обратный) знаменатель дроби , который должен быть положительным натуральным числом . Примеры: 1/1, 1/2, 1/3, 1/4, 1/5 и т. д. Когда объект делится на равные части, каждая часть представляет собой единичную долю целого.
Умножение двух единичных дробей дает еще одну единичную дробь, но другие арифметические операции не сохраняют единичные дроби. В модульной арифметике дробные единицы можно преобразовать в эквивалентные целые числа, что позволяет преобразовать модульное деление в умножение. Каждое рациональное число можно представить как сумму различных единичных дробей; эти представления называются египетскими дробями на основании их использования в древнеегипетской математике . Многие бесконечные суммы единичных дробей имеют математический смысл.
В геометрии единичные дроби можно использовать для характеристики кривизны групп треугольников и касаний окружностей Форда . Единичные дроби обычно используются при справедливом делении , и это знакомое применение используется в математическом образовании как ранний шаг к пониманию других дробей. Единичные дроби широко распространены в теории вероятностей из-за принципа безразличия . Они также имеют применение в комбинаторной оптимизации и при анализе структуры частот в спектральном ряду водорода .
Арифметика [ править ]
Единичные дроби – это рациональные числа , которые можно записать в виде
Элементарная арифметика [ править ]
Умножение любых двух единичных дробей приводит к получению продукта, который представляет собой другую единичную дробь: [2]
Как показывает последняя из этих формул, каждую дробь можно выразить как частное двух единичных дробей. [4]
Модульная арифметика [ править ]
В модульной арифметике любую единичную дробь можно преобразовать в эквивалентное целое число с помощью расширенного алгоритма Евклида . [5] [6] Это преобразование можно использовать для модульного деления: деления на число. , модуль , может быть выполнено путем преобразования единичной дроби в эквивалентное целое число по модулю , а затем умножить на это число. [7]
Более подробно предположим, что является относительно простым для (иначе деление на не определяется по модулю ). Расширенный алгоритм Евклида для определения наибольшего общего делителя можно использовать для поиска целых чисел. и так, что тождество Безу удовлетворено:
Комбинации [ править ]
Некоторые конструкции в математике включают объединение нескольких дробных единиц вместе, часто путем их сложения.
Конечные суммы [ править ]
Любое положительное рациональное число можно записать как сумму различных дробных единиц несколькими способами. Например,
Эти суммы называются египетскими дробями , поскольку древние египетские цивилизации использовали их в качестве обозначения более общих рациональных чисел . Сегодня по-прежнему существует интерес к анализу методов, используемых древними для выбора среди возможных представлений дробного числа и вычислений с использованием таких представлений. [8] Тема египетских дробей также вызвала интерес в современной теории чисел ; например, гипотеза Эрдеша – Грэма [9] и гипотеза Эрдеша – Штрауса [10] касаются сумм единичных дробей, как и определение гармонических чисел Оре . [11]
![](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/e/eb/Icosahedral_reflection_domains.png/220px-Icosahedral_reflection_domains.png)
В геометрической теории групп группы треугольников подразделяются на евклидовы, сферические и гиперболические случаи в зависимости от того, равна ли связанная сумма единичных дробей единице, больше единицы или меньше единицы соответственно. [12]
Бесконечная серия [ править ]
Члены многих известных бесконечных рядов представляют собой доли единицы. К ним относятся:
- Гармонический ряд — сумма всех положительных единичных дробей. Эта сумма расходится, а ее частичные суммы близко приближается к натуральному логарифму плюс постоянная Эйлера-Машерони . [13] Изменение каждого последующего сложения на вычитание дает чередующийся гармонический ряд, сумма которого равна натуральному логарифму 2 : [14]
- Формула Лейбница для π : [15]
- Базельская проблема касается суммы долей квадратных единиц: [16] Точно так же константа Апери — это иррациональное число , сумма кубических дробей. [17]
- Бинарная геометрическая прогрессия – это [18]
Матрицы [ править ]
Матрица Гильберта – это квадратная матрица , в которой элементы все антидиагонали равны единичной дроби . То есть в нем есть элементы
Форда и Круги смежности
![](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/7/77/Ford_circles_colour.svg/220px-Ford_circles_colour.svg.png)
Две фракции и (в самых простых терминах) называются смежными , если
Эта терминология возникла в результате изучения кругов Форда . Это система кругов, которые касаются числовой прямой в данной дроби и имеют диаметр в квадрате знаменателя дроби. Фракции и смежны тогда и только тогда, когда их окружности Форда являются касательными . [21]
Приложения [ править ]
математическое образование Справедливое разделение и
В математическом образовании единичные дроби часто вводятся раньше, чем другие виды дробей, из-за простоты визуального объяснения их как равных частей целого. [22] [23] Обычное практическое использование дробей единиц состоит в том, чтобы разделить еду поровну между несколькими людьми, а упражнения по выполнению такого рода справедливого деления являются стандартным примером в классе для обучения студентов работе с дробями единиц. [24]
Вероятность и статистика [ править ]
![](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/4/48/Dice_2005.jpg/170px-Dice_2005.jpg)
При равномерном распределении в дискретном пространстве все вероятности равны долям единицы. Из-за принципа безразличия вероятности этой формы часто возникают в статистических расчетах. [25]
возникают неравные вероятности, связанные с долями единицы В законе Ципфа . Это означает, что для многих наблюдаемых явлений, связанных с выбором элементов из упорядоченной последовательности, вероятность того, что выбранный элемент пропорционален доле единицы . [26]
Комбинаторная оптимизация [ править ]
При изучении комбинаторной оптимизации задач задачи упаковки корзин включают в себя входную последовательность предметов дробных размеров, которые необходимо поместить в корзины, емкость которых (общий размер предметов, помещенных в каждую корзину) равна единице. Исследование этих проблем включало изучение задач ограниченной упаковки в контейнеры, где размеры предметов представляют собой доли единицы. [27] [28]
Одной из причин этого является тестовый пример для более общих методов упаковки в контейнеры. Другой вариант включает в себя форму планирования «вертушки» , при которой набор сообщений одинаковой длины должен многократно транслироваться по ограниченному числу каналов связи, при этом каждое сообщение имеет максимальную задержку между моментами начала его повторных трансляций. Товар, задержка которого составляет раз длина сообщения должна занимать долю по крайней мере временных интервалов на канале, которому он назначен, поэтому решение проблемы планирования может быть получено только путем решения проблемы упаковки ячеек единичных фракций с каналами в качестве ячеек и фракций. как размеры товара. [27]
Даже в случае проблем с упаковкой в корзину с предметами произвольного размера может оказаться полезным округлить размер каждого предмета до следующей большей доли единицы, а затем применить алгоритм упаковки в корзину, специально предназначенный для размеров единичных фракций. В частности, метод упаковки гармонических ячеек делает именно это, а затем упаковывает каждую корзину, используя предметы только с одним округленным размером дроби. [28]
Физика [ править ]
![](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/4/41/Hydrogen_spectrum.svg/260px-Hydrogen_spectrum.svg.png)
Энергетические уровни фотонов , которые могут быть поглощены или испущены атомом водорода, согласно формуле Ридберга , пропорциональны разностям двух единичных долей. Объяснение этому явлению дает модель Бора , согласно которой энергетические уровни электронных орбиталей в атоме водорода обратно пропорциональны квадратным долям единицы, а энергия фотона квантуется разнице между двумя уровнями. [29]
Артур Эддингтон утверждал, что константа тонкой структуры представляет собой долю единицы. Сначала он думал, что это 1/136, но позже изменил свою теорию на 1/137. Это утверждение было опровергнуто, учитывая, что текущие оценки постоянной тонкой структуры составляют (с точностью до 6 значащих цифр) 1/137,036. [30]
См. также [ править ]
- Загадка о наследстве из 17 животных - головоломка, включающая справедливое разделение на отдельные дроби.
- Submultiple — число, которое дает единичную дробь при использовании в качестве числителя с заданным знаменателем.
- Суперчастичное отношение , единица плюс единичная дробь, важное для музыкальной гармонии.
Ссылки [ править ]
- ^ Кэви, Лори О.; Кинзел, Маргарет Т. (февраль 2014 г.), «От целых чисел к инвертированию и умножению», Teaching Children Mathematics , 20 (6): 374–383, doi : 10.5951/teacchilmath.20.6.0374 , JSTOR 10.5951/teacchilmath.20.6. 0374
- ^ Соломон, Перл Голд (2007), Математика, которую нам нужно знать и выполнять в 6-9 классах: концепции, навыки, стандарты и оценки , Corwin Press, стр. 157, ISBN 978-1-4129-1726-1
- ^ Перейти обратно: а б Бетц, Уильям (1957), Алгебра сегодня, первый год обучения , Джинн, стр. 370
- ^ Хуменбергер, Ганс (осень 2014 г.), «Египетские дроби - представления как суммы единичных дробей», Mathematics and Computer Education , 48 (3): 268–283, ПроКвест 1622317875
- ^ Перейти обратно: а б Кормен, Томас Х .; Лейзерсон, Чарльз Э .; Ривест, Рональд Л .; Стейн, Клиффорд (2001) [1990], «31.4 Решение модульных линейных уравнений», Введение в алгоритмы (2-е изд.), MIT Press и McGraw-Hill, стр. 869–872, ISBN 0-262-03293-7
- ^ Перейти обратно: а б Гудрич, Майкл Т .; Тамассиа, Роберто (2015), «Раздел 24.2.2: Модульные мультипликативные инверсии», Разработка и применение алгоритмов , Wiley, стр. 697–698, ISBN 978-1-118-33591-8
- ^ Перейти обратно: а б Брент, Ричард П .; Циммерманн, Пол (2010), «2.5 Модульное деление и инверсия», Современная компьютерная арифметика (PDF) , Кембриджские монографии по прикладной и вычислительной математике, том. 18, Cambridge University Press, стр. 65–68, arXiv : 1004.4710 , doi : 10.1017/cbo9780511921698.001 , ISBN. 978-1-139-49228-7 , S2CID 441260
- ^ Гай, Ричард К. (2004), «D11. Египетские дроби», Нерешенные проблемы теории чисел (3-е изд.), Springer-Verlag, стр. 252–262, ISBN 978-0-387-20860-2
- ^ Крут, Эрнест С. III (2003), «О гипотезе о раскраске единичных дробей», Annals of Mathematics , 157 (2): 545–556, arXiv : math.NT/0311421 , doi : 10.4007/annals.2003.157.545 , МР 1973054 , S2CID 13514070
- ^ Эльшольц, Кристиан; Тао, Теренс (2013), «Подсчет количества решений уравнения Эрдеша – Штрауса в долях единицы» (PDF) , Журнал Австралийского математического общества , 94 (1): 50–105, arXiv : 1107.1010 , doi : 10.1017 /S1446788712000468 , MR 3101397 , S2CID 17233943
- ^ Оре, Эйстейн (1948), «О средних делителях числа», The American Mathematical Monthly , 55 (10): 615–619, doi : 10.2307/2305616 , JSTOR 2305616
- ^ Магнус, Вильгельм (1974), Неевклидовы мозаики и их группы , Чистая и прикладная математика, том. 61, Академик Пресс, с. 65, ISBN 978-0-08-087377-0 , МР 0352287
- ^ Боас, Р.П. младший ; Ренч, Дж. В. младший (1971), «Частичные суммы гармонического ряда», The American Mathematical Monthly , 78 (8): 864–870, doi : 10.1080/00029890.1971.11992881 , JSTOR 2316476 , MR 0289994
- ^ Френиче, Франциско Дж. (2010), «О теореме Римана о перестановке для знакопеременных гармонических рядов» (PDF) , The American Mathematical Monthly , 117 (5): 442–448, doi : 10.4169/000298910X485969 , JSTOR 10.4169/000298910x4859 69 , МР 2663251 , S2CID 20575373
- ^ Рой, Ранджан (1990), «Открытие формулы ряда для π Лейбницем, Грегори и Нилакантой » (PDF) , Mathematics Magazine , 63 (5): 291–306, doi : 10.1080/0025570X.1990.11977541
- ^ Аюб, Раймонд (1974), «Эйлер и дзета-функция» , The American Mathematical Monthly , 81 (10): 1067–86, doi : 10.2307/2319041 , JSTOR 2319041
- ^ ван дер Портен, Альфред (1979), «Доказательство, которое Эйлер упустил ... доказательство Апери иррациональности г. (PDF) , The Mathematical Intelligencer , 1 (4): 195–203, doi : 10.1007/BF03028234 , S2CID 121589323 , заархивировано из оригинала (PDF) 6 июля 2011
- ^ Эйлер, Леонхард (сентябрь 1983 г.), «Из элементов алгебры », Old Intelligencer, The Mathematical Intelligencer , 5 (3): 75–76, doi : 10.1007/bf03026580 , S2CID 122191726
- ^ Чой, Ман Дуэн (1983), «Кошелёк или угощение с матрицей Гильберта», The American Mathematical Monthly , 90 (5): 301–312, doi : 10.2307/2975779 , JSTOR 2975779 , MR 0701570
- ^ Ричардсон, Томас М. (2001), «Матрица Филберта» (PDF) , Fibonacci Quarterly , 39 (3): 268–275, arXiv : math.RA/9905079 , Bibcode : 1999math......5079R
- ^ Перейти обратно: а б Форд, Л.Р. (1938), «Дроби», The American Mathematical Monthly , 45 (9): 586–601, doi : 10.1080/00029890.1938.11990863 , JSTOR 2302799 , MR 1524411
- ^ Полкингхорн, Ада Р. (май 1935 г.), «Маленькие дети и фракции», Детское образование , 11 (8): 354–358, doi : 10.1080/00094056.1935.10725374
- ^ Эмпсон, Сьюзен Бейкер ; Джейкобс, Виктория Р.; Джессап, Наоми А.; Хьюитт, Эми; Пайнс, Д'Анна; Краузе, Глэдис (апрель 2020 г.), «Дроби единиц как супергерои для обучения», Учитель математики , 113 (4): 278–286, doi : 10.5951/mtlt.2018.0024 , JSTOR 10.5951/mtlt.2018.0024 , S2CID 216283105
- ^ Уилсон, П. Холт; Эджингтон, Синтия П.; Нгуен, Кенни Х.; Пескосолидо, Райан С.; Конфри, Джере (ноябрь 2011 г.), «Дроби: как справедливо разделить», Преподавание математики в средней школе , 17 (4): 230–236, doi : 10.5951/mathteacmiddscho.17.4.0230 , JSTOR 10.5951/mathteacmiddscho.17.4. 0230
- ^ Уэлш, Алан Х. (1996), Аспекты статистического вывода , Ряды Уайли по вероятности и статистике, том. 246, Джон Уайли и сыновья, с. 66, ISBN 978-0-471-11591-5
- ^ Саичев, Александр; Малевернь, Янник; Сорнетт, Дидье (2009), Теория закона Ципфа и не только , Конспекты лекций по экономике и математическим системам, том. 632, Springer-Publishers, ISBN 978-3-642-02945-5
- ^ Перейти обратно: а б Бар-Ной, Амоц; Ладнер, Ричард Э .; Тамир, Тами (2007), «Планирование Windows как ограниченная версия упаковки ячеек», Транзакции ACM по алгоритмам , 3 (3): A28:1–A28:22, doi : 10.1145/1273340.1273344 , MR 2344019 , S2CID 2461059
- ^ Перейти обратно: а б Ван Сти, Роб (июнь 2012 г.), «Колонка 20 онлайн-алгоритмов новостей SIGACT: Сила гармонии» (PDF) , ACM SIGACT News , 43 (2): 127–136, doi : 10.1145/2261417.2261440 , S2CID 14805804
- ^ Ян, Фудзия ; Гамильтон, Джозеф Х. (2009), Современная атомная и ядерная физика , World Scientific, стр. 81–86, ISBN 978-981-283-678-6
- ^ Килмистер, Клайв Уильям (1994), Поиски Эддингтона фундаментальной теории: ключ к Вселенной , издательство Кембриджского университета, ISBN 978-0-521-37165-0