Натуральный логарифм 2

Десятичное значение натурального логарифма 2 ( последовательность A002162 в OEIS )примерно

$\ln 2\approx 0.693\,147\,180\,559\,945\,309\,417\,232\,121\,458.$

Логарифм 2 в других основаниях получается по формуле

$\log _{b}2={\frac {\ln 2}{\ln b}}.$

десятичный логарифм В частности, ( OEIS : A007524 )

$\log _{10}2\approx 0.301\,029\,995\,663\,981\,195.$

Обратным к этому числу является двоичный логарифм 10:

$\log _{2}10={\frac {1}{\log _{10}2}}\approx 3.321\,928\,095$ ( ОЭИС : A020862 ).

По теореме Линдеманна-Вейерштрасса натуральный логарифм любого натурального числа, отличного от 0 и 1 (в более общем смысле, любого положительного алгебраического числа, отличного от 1), является трансцендентным числом .

Представления серий

Восходящий

$\ln 2=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{n+1}}{n}}=1-{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{3}}-{\frac {1}{4}}+{\frac {1}{5}}-{\frac {1}{6}}+\cdots .$ Это известный « чередующийся гармонический ряд ».

$\ln 2={\frac {1}{2}}+{\frac {1}{2}}\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{n+1}}{n(n+1)}}.$

$\ln 2={\frac {5}{8}}+{\frac {1}{2}}\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{n+1}}{n(n+1)(n+2)}}.$

$\ln 2={\frac {2}{3}}+{\frac {3}{4}}\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{n+1}}{n(n+1)(n+2)(n+3)}}.$

$\ln 2={\frac {131}{192}}+{\frac {3}{2}}\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{n+1}}{n(n+1)(n+2)(n+3)(n+4)}}.$

$\ln 2={\frac {661}{960}}+{\frac {15}{4}}\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{n+1}}{n(n+1)(n+2)(n+3)(n+4)(n+5)}}.$

$\ln 2={\frac {2}{3}}.(1+{\frac {2}{4^{3}-4}}+{\frac {2}{8^{3}-8}}+{\frac {2}{12^{3}-12}}+.........).$

постоянный

$\ln 2=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{2^{n}n}}.$

$\ln 2=1-\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{2^{n}n(n+1)}}.$

$\ln 2={\frac {1}{2}}+2\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{2^{n}n(n+1)(n+2)}}.$

$\ln 2={\frac {5}{6}}-6\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{2^{n}n(n+1)(n+2)(n+3)}}.$

$\ln 2={\frac {7}{12}}+24\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{2^{n}n(n+1)(n+2)(n+3)(n+4)}}.$

$\ln 2={\frac {47}{60}}-120\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{2^{n}n(n+1)(n+2)(n+3)(n+4)(n+5)}}.$

Другие изображения серий

$\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{(2n+1)(2n+2)}}=\ln 2.$

$\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n(4n^{2}-1)}}=2\ln 2-1.$

$\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{n(4n^{2}-1)}}=\ln 2-1.$

$\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{n(9n^{2}-1)}}=2\ln 2-{\frac {3}{2}}.$

$\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{4n^{2}-2n}}=\ln 2.$

$\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {2(-1)^{n+1}(2n-1)+1}{8n^{2}-4n}}=\ln 2.$

$\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{3n+1}}={\frac {\ln 2}{3}}+{\frac {\pi }{3{\sqrt {3}}}}.$

$\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{3n+2}}=-{\frac {\ln 2}{3}}+{\frac {\pi }{3{\sqrt {3}}}}.$

$\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{(3n+1)(3n+2)}}={\frac {2\ln 2}{3}}.$

$\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{\sum _{k=1}^{n}k^{2}}}=18-24\ln 2$ с использованием $\lim _{N\rightarrow \infty }\sum _{n=N}^{2N}{\frac {1}{n}}=\ln 2$

$\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{4n^{2}-3n}}=\ln 2+{\frac {\pi }{6}}$ (суммы обратных десятиугольных чисел )

Использование дзета

$\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n}}[\zeta (2n)-1]=\ln 2.$

$\sum _{n=2}^{\infty }{\frac {1}{2^{n}}}[\zeta (n)-1]=\ln 2-{\frac {1}{2}}.$

$\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{2n+1}}[\zeta (2n+1)-1]=1-\gamma -{\frac {\ln 2}{2}}.$

$\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{2^{2n-1}(2n+1)}}\zeta (2n)=1-\ln 2.$

( γ — постоянная Эйлера–Машерони и ζ дзета-функция Римана .)

Представления типа BBP

$\ln 2={\frac {2}{3}}+{\frac {1}{2}}\sum _{k=1}^{\infty }\left({\frac {1}{2k}}+{\frac {1}{4k+1}}+{\frac {1}{8k+4}}+{\frac {1}{16k+12}}\right){\frac {1}{16^{k}}}.$

(Подробнее о представлениях типа Бейли-Борвейна-Плуффа (BBP) см . .)

Применение трех общих рядов для натурального логарифма к 2 напрямую дает:

$\ln 2=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{n-1}}{n}}.$

$\ln 2=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{2^{n}n}}.$

$\ln 2={\frac {2}{3}}\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {1}{9^{k}(2k+1)}}.$

Применяя их к $\textstyle 2={\frac {3}{2}}\cdot {\frac {4}{3}}$ дает:

$\ln 2=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{n-1}}{2^{n}n}}+\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{n-1}}{3^{n}n}}.$

$\ln 2=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{3^{n}n}}+\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{4^{n}n}}.$

$\ln 2={\frac {2}{5}}\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {1}{25^{k}(2k+1)}}+{\frac {2}{7}}\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {1}{49^{k}(2k+1)}}.$

Применяя их к $\textstyle 2=({\sqrt {2}})^{2}$ дает:

$\ln 2=2\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{n-1}}{({\sqrt {2}}+1)^{n}n}}.$

$\ln 2=2\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{(2+{\sqrt {2}})^{n}n}}.$

$\ln 2={\frac {4}{3+2{\sqrt {2}}}}\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {1}{(17+12{\sqrt {2}})^{k}(2k+1)}}.$

Применяя их к $\textstyle 2={\left({\frac {16}{15}}\right)}^{7}\cdot {\left({\frac {81}{80}}\right)}^{3}\cdot {\left({\frac {25}{24}}\right)}^{5}$ дает:

$\ln 2=7\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{n-1}}{15^{n}n}}+3\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{n-1}}{80^{n}n}}+5\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{n-1}}{24^{n}n}}.$

$\ln 2=7\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{16^{n}n}}+3\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{81^{n}n}}+5\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{25^{n}n}}.$

$\ln 2={\frac {14}{31}}\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {1}{961^{k}(2k+1)}}+{\frac {6}{161}}\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {1}{25921^{k}(2k+1)}}+{\frac {10}{49}}\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {1}{2401^{k}(2k+1)}}.$

Представление в виде интегралов

Натуральный логарифм 2 часто возникает в результате интегрирования. Некоторые явные формулы для этого включают:

$\int _{0}^{1}{\frac {dx}{1+x}}=\int _{1}^{2}{\frac {dx}{x}}=\ln 2$

$\int _{0}^{\infty }e^{-x}{\frac {1-e^{-x}}{x}}\,dx=\ln 2$

$\int _{0}^{\infty }2^{-x}dx={\frac {1}{\ln 2}}$

$\int _{0}^{\frac {\pi }{3}}\tan x\,dx=2\int _{0}^{\frac {\pi }{4}}\tan x\,dx=\ln 2$

$-{\frac {1}{\pi i}}\int _{0}^{\infty }{\frac {\ln x\ln \ln x}{(x+1)^{2}}}\,dx=\ln 2$

Другие представления

Расширение Пирса — OEIS : A091846.

$\ln 2=1-{\frac {1}{1\cdot 3}}+{\frac {1}{1\cdot 3\cdot 12}}-\cdots .$

Расширение Энгеля — OEIS : A059180.

$\ln 2={\frac {1}{2}}+{\frac {1}{2\cdot 3}}+{\frac {1}{2\cdot 3\cdot 7}}+{\frac {1}{2\cdot 3\cdot 7\cdot 9}}+\cdots .$

Котангенс расширения: OEIS : A081785.

$\ln 2=\cot({\operatorname {arccot}(0)-\operatorname {arccot}(1)+\operatorname {arccot}(5)-\operatorname {arccot}(55)+\operatorname {arccot}(14187)-\cdots }).$

Простое цепной дроби разложение — OEIS : A016730.

$\ln 2=\left[0;1,2,3,1,6,3,1,1,2,1,1,1,1,3,10,1,1,1,2,1,1,1,1,3,2,3,1,...\right]$,

что дает рациональные приближения, первые несколько из которых — 0, 1, 2/3, 7/10, 9/13 и 61/88.

Эта обобщенная цепная дробь :

$\ln 2=\left[0;1,2,3,1,5,{\tfrac {2}{3}},7,{\tfrac {1}{2}},9,{\tfrac {2}{5}},...,2k-1,{\frac {2}{k}},...\right]$,

также выражается как

$\ln 2={\cfrac {1}{1+{\cfrac {1}{2+{\cfrac {1}{3+{\cfrac {2}{2+{\cfrac {2}{5+{\cfrac {3}{2+{\cfrac {3}{7+{\cfrac {4}{2+\ddots }}}}}}}}}}}}}}}}={\cfrac {2}{3-{\cfrac {1^{2}}{9-{\cfrac {2^{2}}{15-{\cfrac {3^{2}}{21-\ddots }}}}}}}}$

Загрузка других логарифмов

Учитывая значение ln 2 , схема вычисления логарифмов других целых чисел заключается в табулировании логарифмов простых чисел , а на следующем уровне - логарифмов составных чисел c на основе их факторизации.

$c=2^{i}3^{j}5^{k}7^{l}\cdots \rightarrow \ln(c)=i\ln(2)+j\ln(3)+k\ln(5)+l\ln(7)+\cdots$

Это нанимает

основной	приблизительный натуральный логарифм	ОЭИС
2	0.693 147 180 559 945 309 417 232 121 458	А002162
3	1.098 612 288 668 109 691 395 245 236 92	А002391
5	1.609 437 912 434 100 374 600 759 333 23	А016628
7	1.945 910 149 055 313 305 105 352 743 44	А016630
11	2.397 895 272 798 370 544 061 943 577 97	А016634
13	2.564 949 357 461 536 736 053 487 441 57	А016636
17	2.833 213 344 056 216 080 249 534 617 87	А016640
19	2.944 438 979 166 440 460 009 027 431 89	А016642
23	3.135 494 215 929 149 690 806 752 831 81	А016646
29	3.367 295 829 986 474 027 183 272 032 36	А016652
31	3.433 987 204 485 146 245 929 164 324 54	А016654
37	3.610 917 912 644 224 444 368 095 671 03	А016660
41	3.713 572 066 704 307 803 866 763 373 04	А016664
43	3.761 200 115 693 562 423 472 842 513 35	А016666
47	3.850 147 601 710 058 586 820 950 669 77	А016670
53	3.970 291 913 552 121 834 144 469 139 03	А016676
59	4.077 537 443 905 719 450 616 050 373 72	А016682
61	4.110 873 864 173 311 248 751 389 103 43	А016684
67	4.204 692 619 390 966 059 670 071 996 36	А016690
71	4.262 679 877 041 315 421 329 454 532 51	А016694
73	4.290 459 441 148 391 129 092 108 857 44	А016696
79	4.369 447 852 467 021 494 172 945 541 48	А016702
83	4.418 840 607 796 597 923 475 472 223 29	А016706
89	4.488 636 369 732 139 838 317 815 540 67	А016712
97	4.574 710 978 503 382 822 116 721 621 70	А016720

В третьем слое логарифмы рациональных чисел r = a / b вычисляются с помощью ln( r ) = ln( a ) − ln( b ) и логарифмов корней с помощью ln ^н √ c = 1 / n ln( c ) .

Логарифм 2 полезен в том смысле, что степени 2 распределены довольно плотно; нахождение степеней 2 ^я близко к степени b ^дж других чисел b сравнительно легко, а серийные представления ln( b ) находятся путем соединения 2 с b с помощью логарифмических преобразований .

Пример

Если п ^с = q ^т + d с небольшим d , тогда п ^с / д ^т = 1 + д / к ^т и поэтому

$s\ln p-t\ln q=\ln \left(1+{\frac {d}{q^{t}}}\right)=\sum _{m=1}^{\infty }(-1)^{m+1}{\frac {({\frac {d}{q^{t}}})^{m}}{m}}=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {2}{2n+1}}{\left({\frac {d}{2q^{t}+d}}\right)}^{2n+1}.$

Выбор q = 2 представляет ln p через ln 2 и ряд параметров д / к ^т что желательно сохранить небольшим для быстрой сходимости. Принимая 3 ² = 2 ³ + 1 , например, генерирует

$2\ln 3=3\ln 2-\sum _{k\geq 1}{\frac {(-1)^{k}}{8^{k}k}}=3\ln 2+\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {2}{2n+1}}{\left({\frac {1}{2\cdot 8+1}}\right)}^{2n+1}.$

На самом деле это третья строка в следующей таблице расширений этого типа:

с	п	т	д	д / к т
1	3	1	2	1 / 2 = − 0.500 000 00 …
1	3	2	2	− 1 / 4 = − 0.250 000 00 …
2	3	3	2	1 / 8 = − 0.125 000 00 …
5	3	8	2	− 13 / 256 = − 0.050 781 25 …
12	3	19	2	7153 / 524 288 = − 0.013 643 26 …
1	5	2	2	1 / 4 = − 0.250 000 00 …
3	5	7	2	− 3 / 128 = − 0.023 437 50 …
1	7	2	2	3 / 4 = − 0.750 000 00 …
1	7	3	2	− 1 / 8 = − 0.125 000 00 …
5	7	14	2	423 / 16 384 = − 0.025 817 87 …
1	11	3	2	3 / 8 = − 0.375 000 00 …
2	11	7	2	− 7 / 128 = − 0.054 687 50 …
11	11	38	2	10 433 763 667 / 274 877 906 944 = − 0.037 957 81 …
1	13	3	2	5 / 8 = − 0.625 000 00 …
1	13	4	2	− 3 / 16 = − 0.187 500 00 …
3	13	11	2	149 / 2048 = − 0.072 753 91 …
7	13	26	2	− 4 360 347 / 67 108 864 = − 0.064 974 23 …
10	13	37	2	419 538 377 / 137 438 953 472 = − 0.003 052 54 …
1	17	4	2	1 / 16 = − 0.062 500 00 …
1	19	4	2	3 / 16 = − 0.187 500 00 …
4	19	17	2	− 751 / 131 072 = − 0.005 729 68 …
1	23	4	2	7 / 16 = − 0.437 500 00 …
1	23	5	2	− 9 / 32 = − 0.281 250 00 …
2	23	9	2	17 / 512 = − 0.033 203 12 …
1	29	4	2	13 / 16 = − 0.812 500 00 …
1	29	5	2	− 3 / 32 = − 0.093 750 00 …
7	29	34	2	70 007 125 / 17 179 869 184 = − 0.004 074 95 …
1	31	5	2	− 1 / 32 = − 0.031 250 00 …
1	37	5	2	5 / 32 = − 0.156 250 00 …
4	37	21	2	− 222 991 / 2 097 152 = − 0.106 330 39 …
5	37	26	2	2 235 093 / 67 108 864 = − 0.033 305 48 …
1	41	5	2	9 / 32 = − 0.281 250 00 …
2	41	11	2	− 367 / 2048 = − 0.179 199 22 …
3	41	16	2	3385 / 65 536 = − 0.051 651 00 …
1	43	5	2	11 / 32 = − 0.343 750 00 …
2	43	11	2	− 199 / 2048 = − 0.097 167 97 …
5	43	27	2	12 790 715 / 134 217 728 = − 0.095 298 25 …
7	43	38	2	− 3 059 295 837 / 274 877 906 944 = − 0.011 129 65 …

Начиная с натурального логарифма q = 10, можно использовать следующие параметры:

с	п	т	д	д / к т
10	2	3	10	3 / 125 = − 0.024 000 00 …
21	3	10	10	460 353 203 / 10 000 000 000 = − 0.046 035 32 …
3	5	2	10	1 / 4 = − 0.250 000 00 …
10	5	7	10	− 3 / 128 = − 0.023 437 50 …
6	7	5	10	17 649 / 100 000 = − 0.176 490 00 …
13	7	11	10	− 3 110 989 593 / 100 000 000 000 = − 0.031 109 90 …
1	11	1	10	1 / 10 = − 0.100 000 00 …
1	13	1	10	3 / 10 = − 0.300 000 00 …
8	13	9	10	− 184 269 279 / 1 000 000 000 = − 0.184 269 28 …
9	13	10	10	604 499 373 / 10 000 000 000 = − 0.060 449 94 …
1	17	1	10	7 / 10 = − 0.700 000 00 …
4	17	5	10	− 16 479 / 100 000 = − 0.164 790 00 …
9	17	11	10	18 587 876 497 / 100 000 000 000 = − 0.185 878 76 …
3	19	4	10	− 3141 / 10 000 = − 0.314 100 00 …
4	19	5	10	30 321 / 100 000 = − 0.303 210 00 …
7	19	9	10	− 106 128 261 / 1 000 000 000 = − 0.106 128 26 …
2	23	3	10	− 471 / 1000 = − 0.471 000 00 …
3	23	4	10	2167 / 10 000 = − 0.216 700 00 …
2	29	3	10	− 159 / 1000 = − 0.159 000 00 …
2	31	3	10	− 39 / 1000 = − 0.039 000 00 …

Известные цифры

Это таблица последних рекордов по вычислению цифр ln 2 . По состоянию на декабрь 2018 года он рассчитан с большим количеством цифр, чем любой другой натуральный логарифм. натурального числа, кроме 1.

Дата	Имя	Количество цифр
7 января 2009 г.	А.Йи и Р.Чан	15,500,000,000
4 февраля 2009 г.	А.Йи и Р.Чан	31,026,000,000
21 февраля 2011 г.	Александр Йи	50,000,000,050
14 мая 2011 г.	Сигэру Кондо	100,000,000,000
28 февраля 2014 г.	Сигэру Кондо	200,000,000,050
12 июля 2015 г.	Рон Уоткинс	250,000,000,000
30 января 2016 г.	Рон Уоткинс	350,000,000,000
18 апреля 2016 г.	Рон Уоткинс	500,000,000,000
10 декабря 2018 г.	Майкл Квок	600,000,000,000
26 апреля 2019 г.	Джейкоб Риффи	1,000,000,000,000
19 августа 2020 г.	Сынмин Ким	1,200,000,000,100
9 сентября 2021 г.	Уильям Эчолс	1,500,000,000,000

См. также

• Правило 72. Непрерывное начисление процентов , в котором ln 2. заметное место занимает
• Период полураспада # Формулы периода полураспада при экспоненциальном распаде , в которых ln 2. заметное место занимает
• Уравнение Эрдеша-Мозера : все решения должны исходить из подходящей функции ln 2 .

Ссылки

• Брент, Ричард П. (1976). «Быстрое вычисление элементарных функций с многократной точностью» . Дж. АКМ . 23 (2): 242–251. дои : 10.1145/321941.321944 . МР   0395314 . S2CID   6761843 .
• Улер, Гораций С. (1940). «Пересчет и расширение модуля и логарифмов 2, 3, 5, 7 и 17» . Учеб. Натл. акад. наук. США . 26 (3): 205–212. Бибкод : 1940ПНАС...26..205У . дои : 10.1073/pnas.26.3.205 . МР   0001523 . ПМЦ   1078033 . ПМИД   16588339 .
• Суини, Дура В. (1963). «О вычислении постоянной Эйлера» . Математика вычислений . 17 (82): 170–178. doi : 10.1090/S0025-5718-1963-0160308-X . МР   0160308 .
• Чемберленд, Марк (2003). «Двоичные BBP-формулы для логарифмов и обобщенных простых чисел Гаусса – Мерсенна» (PDF) . Журнал целочисленных последовательностей . 6 : 03.3.7. Бибкод : 2003JIntS...6...37C . МР   2046407 . Архивировано из оригинала (PDF) 6 июня 2011 г. Проверено 29 апреля 2010 г.
• Гуревич, Борис; Гильера Гойанес, Хесус (2007). «Построение биномиальных сумм для π и полилогарифмических констант на основе формул BBP» (PDF) . Прикладная математика. Электронные заметки . 7 : 237–246. МР   2346048 .
• Ву, Цян (2003). «О линейной мере независимости логарифмов рациональных чисел» . Математика вычислений . 72 (242): 901–911. дои : 10.1090/S0025-5718-02-01442-4 .

Внешние ссылки

• Вайсштейн, Эрик В. «Натуральный логарифм 2» . Математический мир .
• Гурдон, Ксавье; Себах, Паскаль. «Константа логарифма: log 2» .