расширение Энгеля

Разложение Энгеля положительного действительного числа x - это уникальная неубывающая последовательность положительных целых чисел. $(a_{1},a_{2},a_{3},\dots )$ такой, что

$x={\frac {1}{a_{1}}}+{\frac {1}{a_{1}a_{2}}}+{\frac {1}{a_{1}a_{2}a_{3}}}+\cdots ={\frac {1}{a_{1}}}\!\left(1+{\frac {1}{a_{2}}}\!\left(1+{\frac {1}{a_{3}}}\left(1+\cdots \right)\right)\right)$

Например, число Эйлера e имеет расширение Энгеля.

1, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, ...

соответствующий бесконечному ряду

$e={\frac {1}{1}}+{\frac {1}{1}}+{\frac {1}{1\cdot 2}}+{\frac {1}{1\cdot 2\cdot 3}}+{\frac {1}{1\cdot 2\cdot 3\cdot 4}}+\cdots$

Рациональные числа имеют конечное энгелевое разложение, а иррациональные числа имеют бесконечное энгелевое разложение. Если x является рациональным, его расширение Энгеля обеспечивает представление x в виде египетской дроби . Разложения Энгеля названы в честь Фридриха Энгеля , изучавшего их в 1913 году.

Разложение, аналогичное разложению Энгеля , в котором чередующиеся члены отрицательны, называется расширением Пирса.

цепные дроби и

Краайкамп и Ву (2004) отмечают, что разложение Энгеля также можно записать как возрастающий вариант цепной дроби :

$x={\cfrac {1+{\cfrac {1+{\cfrac {1+\cdots }{a_{3}}}}{a_{2}}}}{a_{1}}}.$

Они утверждают, что восходящие непрерывные дроби, подобные этой, были изучены еще в « Фибоначчи » Liber Abaci (1202). Это утверждение, по-видимому, относится к обозначению составной дроби Фибоначчи, в котором последовательность числителей и знаменателей, имеющих одну и ту же черту дроби, представляет собой возрастающую непрерывную дробь:

${\frac {a\ b\ c\ d}{e\ f\ g\ h}}={\dfrac {d+{\cfrac {c+{\cfrac {b+{\cfrac {a}{e}}}{f}}}{g}}}{h}}.$

Если такое обозначение имеет все числители 0 или 1, как это происходит в нескольких случаях в Liber Abaci , результатом является расширение Энгеля. Однако расширение Энгеля как общий метод, похоже, не описано Фибоначчи.

вычисления

Чтобы найти разложение Энгеля x , пусть

$u_{1}=x,$

$a_{k}=\left\lceil {\frac {1}{u_{k}}}\right\rceil \!,$

и

$u_{k+1}=u_{k}a_{k}-1$

где $\left\lceil r\right\rceil$ — функция потолка (наименьшее целое число не меньше r ).

Если $u_{i}=0$ для любого i остановить алгоритм.

разложений Энгеля

Другой эквивалентный метод — рассмотреть отображение

$g(x)=x\!\left(1+\left\lfloor x^{-1}\right\rfloor \right)-1$

и установить

$u_{k}=1+\left\lfloor {\frac {1}{g^{(n-1)}(x)}}\right\rfloor$

где

$g^{(n)}(x)=g(g^{(n-1)}(x))$ и $g^{(0)}(x)=x.$

Еще один эквивалентный метод, называемый модифицированным расширением Энгеля, рассчитанным по формуле

$h(x)=\left\lfloor {\frac {1}{x}}\right\rfloor g(x)=\left\lfloor {\frac {1}{x}}\right\rfloor \!\left(x\left\lfloor {\frac {1}{x}}\right\rfloor +x-1\right)$

и

$u_{k}={\begin{cases}1+\left\lfloor {\frac {1}{x}}\right\rfloor &n=1\\\left\lfloor {\frac {1}{h^{(k-2)}(x)}}\right\rfloor \!\left(1+\left\lfloor {\frac {1}{h^{(k-1)}(x)}}\right\rfloor \right)&n\geq 2\end{cases}}$

Оператор трансфера карты Энгель

Фробениуса–Перрона Передаточный оператор отображения Энгеля. $g(x)$ действует на функции $f(x)$ с

$[{\mathcal {L}}_{g}f](x)=\sum _{y:g(y)=x}{\frac {f(y)}{\left|{\frac {d}{dz}}g(z)\right|_{z=y}}}=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {f\left({\frac {x+1}{n+1}}\right)}{n+1}}$

с

${\frac {d}{dx}}[x(n+1)-1]=n+1$ а обратная n -му компоненту равна ${\frac {x+1}{n+1}}$ который находится путем решения $x(n+1)-1=y$ для $x$.

Римана ζ Связь с функцией

Преобразование Меллина карты $g(x)$ связана с дзета-функцией Римана формулой

${\begin{aligned}\int _{0}^{1}g(x)x^{s-1}\,dx&=\sum _{n=1}^{\infty }\int _{\frac {1}{n+1}}^{\frac {1}{n}}(x(n+1)-1)x^{s-1}\,dx\\[5pt]&=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {n^{-s}(s-1)+(n+1)^{-s-1}(n^{2}+2n+1)+n^{-s-1}s-n^{1-s}}{(s+1)s(n+1)}}\\[5pt]&={\frac {\zeta (s+1)}{s+1}}-{\frac {1}{s(s+1)}}\end{aligned}}.$

Пример

Чтобы найти расширение Энгеля 1,175, мы выполняем следующие шаги.

$u_{1}=1.175,a_{1}=\left\lceil {\frac {1}{1.175}}\right\rceil =1;$

$u_{2}=u_{1}a_{1}-1=1.175\cdot 1-1=0.175,a_{2}=\left\lceil {\frac {1}{0.175}}\right\rceil =6$

$u_{3}=u_{2}a_{2}-1=0.175\cdot 6-1=0.05,a_{3}=\left\lceil {\frac {1}{0.05}}\right\rceil =20$

$u_{4}=u_{3}a_{3}-1=0.05\cdot 20-1=0$

Серия заканчивается здесь. Таким образом,

$1.175={\frac {1}{1}}+{\frac {1}{1\cdot 6}}+{\frac {1}{1\cdot 6\cdot 20}}$

а расширение Энгеля 1,175 равно (1, 6, 20).

чисел

Каждое положительное рациональное число имеет единственное конечное энгелевое разложение. В алгоритме разложения Энгеля, если u _i — рациональное число x / y , то u _{i + 1} = (− y mod x )/ y . Поэтому на каждом шаге числитель оставшейся дроби ui _{уменьшается и} процесс построения разложения Энгеля должен завершиться за конечное число шагов. Каждое рациональное число также имеет уникальное бесконечное разложение Энгеля: используя тождество

${\frac {1}{n}}=\sum _{r=1}^{\infty }{\frac {1}{(n+1)^{r}}}.$

последнюю цифру n в конечном разложении Энгеля можно заменить бесконечной последовательностью ( n + 1) без изменения ее значения. Например,

$1.175=(1,6,20)=(1,6,21,21,21,\dots ).$

Это аналогично тому факту, что любое рациональное число с конечным десятичным представлением также имеет бесконечное десятичное представление (см. 0,999... ).Бесконечное разложение Энгеля, в котором все члены равны, является геометрической прогрессией .

Эрдеш , Реньи и Сюс просили установить нетривиальные границы длины конечного энгелевского разложения рационального числа x / y ; на этот вопрос ответили Эрдеш и Шалит , доказавшие , что число членов в разложении равно O( y ^{1/3 + е} ) для любого ε > 0.

известных

$\pi$ = (1, 1, 1, 8, 8, 17, 19, 300, 1991, 2492, ...) (последовательность A006784 в OEIS )

${\sqrt {2}}$ = (1, 3, 5, 5, 16, 18, 78, 102, 120, 144, ...) (последовательность A028254 в OEIS )

$e$ = (1, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, ...) (последовательность A028310 в OEIS )

Разложение Энгеля для арифметических прогрессий можно представить как

$\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {1}{\prod _{i=0}^{k-1}(\alpha +i\beta )}}={\frac {1}{\alpha }}+{\frac {1}{\alpha (\alpha +\beta )}}+{\frac {1}{\alpha (\alpha +\beta )(\alpha +2\beta )}}+\cdots .$

где $\alpha ,\beta \in \mathbb {N}$ и $0<\alpha \leq \beta$. Таким образом, в целом

$\left({\frac {1}{\beta }}\right)^{1-{\frac {\alpha }{\beta }}}e^{\frac {1}{\beta }}\gamma \left({\frac {\alpha }{\beta }},{\frac {1}{\beta }}\right)=\{{\alpha },\alpha (\alpha +\beta ),\alpha (\alpha +\beta )(\alpha +2\beta ),\dots \}\;$где $\gamma$ представляет нижнюю неполную гамма-функцию .

В частности, если $\alpha =\beta$,

$e^{1/\beta }-1=\{1\beta ,2\beta ,3\beta ,4\beta ,5\beta ,6\beta ,\dots \}\;$

Еще больше разложений Энгеля для констант можно найти здесь .

Темпы роста условий расширения

Коэффициенты ; ai _обычно разложения Энгеля экспоненциально растут точнее, почти для всех чисел интервала ( 0,1] предел $\lim _{n\to \infty }a_{n}^{1/n}$ существует и равен e . Однако подмножество интервала, для которого это не так, все еще достаточно велико, чтобы его хаусдорфова размерность была равна единице.

Та же типичная скорость роста применима и к членам разложения, генерируемым жадным алгоритмом для египетских дробей . Однако множество действительных чисел в интервале (0,1], чьи энгелевые разложения совпадают с их жадными разложениями, имеет нулевую меру и хаусдорфову размерность 1/2.

См. также

• Формула цепной дроби Эйлера

Ссылки

• Энгель, Ф. (1913), «Развитие чисел в соответствии с разрывами основ», протоколы 52-го собрания немецких филологов и ученых в Марбурге , стр. 190–191 .
• Пирс, Т. А. (1929), «Об алгоритме и его использовании для аппроксимации корней алгебраических уравнений», American Mathematical Monthly , 36 (10): 523–525, doi : 10.2307/2299963 , JSTOR   2299963
• Эрдос, Пол ; Реньи, Альфред ; Сюс, Питер (1958), «О сериях Энгеля и Сильвестра» (PDF) , Ann. унив. Будапешт. Этвёш Секта. , 1 :7–32 .
• Эрдеш, Пол ; Шалит, Джеффри (1991), «Новые оценки длины конечных рядов Пирса и Энгеля», Journal de theorie des nombres de Bordeaux , 3 (1): 43–53, doi : 10.5802/jtnb.41 , MR   1116100 .
• Паради, Дж.; Виадер, П.; Бибилони, Л. (1998), «Приближение к квадратичным иррациональным числам и их расширениям Пирса» , Fibonacci Quarterly , 36 (2): 146–153
• Краайкамп, Кор; Ву, Джун (2004), «О новом разложении непрерывной дроби с неубывающими частичными частными», Monatshefte für Mathematik , 143 (4): 285–298, doi : 10.1007/s00605-004-0246-3 , S2CID   123267511 .
• Ву, Джун (2000), «Задача Галамбоса о расширениях Энгеля», Acta Arithmetica , 92 (4): 383–386, doi : 10.4064/aa-92-4-383-386 , MR   1760244 .
• Ву, Джун (2003), «Сколько точек имеют одинаковые разложения Энгеля и Сильвестра?», Journal of Number Theory , 103 (1): 16–26, doi : 10.1016/S0022-314X(03)00017-9 , MR   2008063 .
• Льоренте, AG (2023), Константы, представляющие арифметическую прогрессию (препринт) .

Внешние ссылки

• Вайсштейн, Эрик В. «Энгельская экспансия» . MathWorld – веб-ресурс Wolfram.