Книга счетов

Страница Liber Abaci из Национальной центральной библиотеки . В списке справа показаны числа 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377 ( последовательность Фибоначчи ). 2, 8 и 9 напоминают арабские цифры, больше чем восточно-арабские или индийские цифры .

Liber Abaci или Liber Abbaci. ( на латыни «Книга вычислений») — латинский труд по арифметике Леонардо Пизанского, посмертно известный как Фибоначчи , написанный в 1202 году . В первую очередь он известен тем, что помог популяризировать арабские цифры в Европе.

Помещение

Liber Abaci была одной из первых западных книг, в которых описывалась индуистско-арабская система счисления и использовались символы, напоминающие современные « арабские цифры ». Обращаясь к заявлениям как торговцев, так и математиков, он способствовал превосходству системы и использованию этих символов.

Хотя название книги иногда переводится как «Книга счетов», Сиглер (2002) отмечает, что было бы ошибкой считать, что это относится к вычислительным устройствам, называемым «абак». Скорее, слово «абак» в то время использовалось для обозначения вычислений в любой форме; написание «abbacus» с двумя буквами «b» (именно так Леонардо написал его в оригинальной латинской рукописи) использовалось и до сих пор используется в Италии для обозначения вычислений с использованием индуистско-арабских цифр, что позволяет избежать путаницы. В книге описаны методы выполнения вычислений без помощи абаков , и, как подтверждает Оре (1948) , на протяжении столетий после ее публикации алгоритмисты (последователи стиля вычислений, продемонстрированного в Liber Abaci ) оставались в конфликте с абачистами (традиционалистами, которые продолжали использовать счеты в сочетании с римскими цифрами). Историк математики Карл Бойер подчеркивает в своей «Истории математики» , что, хотя « Liber abaci … не находится на счетах» как таковых , тем не менее «… это очень подробный трактат по алгебраическим методам и проблемам, в которых использование настоятельно рекомендуется использовать индийско-арабские цифры».

Краткое описание разделов

В первом разделе представлена ​​индийско-арабская система счисления, включая методы преобразования между различными системами представления. Этот раздел также включает первое известное описание пробного деления для проверки того, является ли число составным , и, если да, факторизации . его

Во втором разделе представлены примеры из торговли, такие как конвертация валюты и единиц измерения, а также расчет прибыли и процентов .

В третьем разделе обсуждается ряд математических проблем; например, он включает (гл. II.12) китайскую теорему об остатках , совершенные числа и простые числа Мерсенна , а также формулы для арифметических рядов и для квадратных пирамидальных чисел . Другой пример в этой главе связан с ростом популяции кроликов, решение которого требует создания числовой последовательности. Хотя эта проблема возникла задолго до Леонардо, ее включение в его книгу является причиной того, что последовательность Фибоначчи сегодня названа в его честь.

В четвертом разделе выводятся аппроксимации, как численные, так и геометрические, иррациональных чисел , таких как квадратные корни.

В книгу также включены доказательства по евклидовой геометрии . Метод Фибоначчи решения алгебраических уравнений показывает влияние египетского математика начала X века Абу Камиля Шуджа ибн Аслама .

Обозначение Фибоначчи для дробей

Читая Liber Abaci , полезно понять систему обозначений рациональных чисел Фибоначчи, систему обозначений, которая по форме занимает промежуточное положение между египетскими дробями, обычно использовавшимися до того времени, и вульгарными дробями, используемыми до сих пор.

Обозначение Фибоначчи отличается от современного обозначения дробей тремя ключевыми моментами:

1. В современных обозначениях дробь обычно записывают справа от целого числа, к которому она добавляется, например $2\,{\tfrac {1}{3}}$ за 7/3. Вместо этого Фибоначчи написал бы ту же дробь слева, т. е. ${\tfrac {1}{3}}\,2$.
2. Фибоначчи использовал обозначение составной дроби , в котором последовательность числителей и знаменателей имела одну и ту же черту дроби; каждый такой член представлял собой дополнительную дробь данного числителя, деленную на произведение всех знаменателей, стоящих ниже и справа от него. То есть, ${\tfrac {b\,\,a}{d\,\,c}}={\tfrac {a}{c}}+{\tfrac {b}{cd}}$, и ${\tfrac {c\,\,b\,\,a}{f\,\,e\,\,d}}={\tfrac {a}{d}}+{\tfrac {b}{de}}+{\tfrac {c}{def}}$. Обозначения читались справа налево. Например, 29/30 можно записать как ${\tfrac {1\,\,2\,\,4}{2\,\,3\,\,5}}$, представляющий значение ${\tfrac {4}{5}}+{\tfrac {2}{3\times 5}}+{\tfrac {1}{2\times 3\times 5}}$. Это можно рассматривать как форму смешанной системы счисления, и она была очень удобна для работы с традиционными системами весов, мер и денег. Например, для единиц длины фут равен 1/3 ярда , а дюйм равен 1/12 фута, поэтому количество 5 ярдов, 2 фута и $7{\tfrac {3}{4}}$ дюймы можно представить в виде сложной дроби: ${\tfrac {3\ \,7\,\,2}{4\,\,12\,\,3}}\,5$ ярды. Однако типичные обозначения традиционных мер, хотя и основаны на смешанных системах счисления, не записывают знаменатели явно; явные знаменатели в обозначениях Фибоначчи позволяют ему использовать разные системы счисления для разных задач, когда это удобно. Сиглер также указывает на случай, когда Фибоначчи использует составные дроби, в которых все знаменатели равны 10, что является прообразом современной десятичной системы записи дробей.
3. Фибоначчи иногда записывал рядом несколько дробей, представляющих собой сумму данных дробей. Например, 1/3+1/4 = 7/12, поэтому используются обозначения типа ${\tfrac {1}{4}}\,{\tfrac {1}{3}}\,2$ будет представлять число, которое теперь чаще записывают как смешанное число $2\,{\tfrac {7}{12}}$, или просто неправильная дробь ${\tfrac {31}{12}}$. Обозначения этой формы можно отличить от последовательностей числителей и знаменателей, разделяющих дробную черту, по видимому разрыву в черте. Если в дроби, записанной в такой форме, все числители равны 1, а все знаменатели отличны друг от друга, результатом будет представление числа в виде египетской дроби. Это обозначение также иногда комбинировалось с обозначением составной дроби: две составные дроби, написанные рядом друг с другом, представляли собой сумму дробей.

Сложность этой записи позволяет записывать числа разными способами, и Фибоначчи описал несколько методов преобразования одного стиля представления в другой. В частности, глава II.7 содержит список методов преобразования неправильной дроби в египетскую дробь, включая жадный алгоритм египетских дробей , также известный как расширение Фибоначчи–Сильвестра.

Индийский стиль

В «Liber Abaci » Фибоначчи говорит следующее, представляя утвердительный Modus Indorum (метод индейцев), сегодня известный как индуистско-арабская система счисления или позиционная запись с основанием 10. Он также ввел цифры, которые очень напоминали современные арабские цифры .

Так как мой отец был государственным чиновником вдали от нашей родины в таможне Буджиа, устроенной для часто собиравшихся там пизанских купцов, то он велел привести меня в юности к себе, желая найти для меня полезное и комфортное будущее; там он хотел, чтобы я занимался математикой и учился несколько дней. Там, благодаря чудесному обучению искусству девяти индийских фигур, знакомство с этим искусством и знание этого искусства понравились мне больше всего на свете, и я учился у них, кто бы ни учился этому, из близлежащего Египта, Сирии, Греции, Сицилии. и Прованс и их различные методы, по которым я впоследствии много путешествовал по делам для тщательного изучения и многому научился в ходе собравшихся диспутов. Но этот в целом алгоритм и даже дуги Пифагора я все равно посчитал чуть ли не ошибкой по сравнению с индийским методом. Поэтому, строго придерживаясь индийского метода и внимательно изучая его, исходя из собственного чувства, добавляя кое-что и еще кое-что из тонкого евклидова геометрического искусства, применяя к этой книге сумму, которую я был способен воспринять, я работал над тем, чтобы все это вместе в XV отдельных главах, показывающих достоверные доказательства почти всего, что я излагаю, так что, в дальнейшем, этот метод, усовершенствованный над остальными, эта наука преподается усердным, и итальянскому народу больше всех других, которые до сих пор находятся без минимума. Если случайно я упустил что-то менее или более подходящее или необходимое, то прошу вашей снисходительности ко мне, так как нет человека без вины и во всем вполне осмотрительного.

Девять индийских фигур:

9 8 7 6 5 4 3 2 1

Этими девятью цифрами и знаком 0, который арабы называют зефиром, пишется любое число...

Другими словами, в своей книге он выступал за использование цифр 0–9 и разрядов . До этого времени Европа использовала римские цифры, что делало современную математику практически невозможной. Таким образом, книга внесла важный вклад в распространение десятичных цифр. Однако распространение индуистско-арабской системы, как пишет Оре, было «длительным», потребовалось еще много столетий , чтобы широко распространиться, и не стало завершенным до конца XVI века, резко ускорившись только в конце XVI века. 1500-е годы с появлением книгопечатания.

Текстовая история

Первое появление рукописи произошло в 1202 году. Копии этой версии не известны. Пересмотренная версия Liber Abaci, посвященная Майклу Скотту , появилась в 1227 году нашей эры. Сохранилось как минимум девятнадцать рукописей, содержащих части этого текста. Существуют три полные версии этой рукописи тринадцатого и четырнадцатого веков. Между тринадцатым и пятнадцатым веками известны еще девять неполных копий, и, возможно, еще не идентифицированы.

не существовала Печатная версия Liber Abaci до итальянского перевода Бонкомпаньи в 1857 году. Первым полным английским переводом стал текст Сиглера 2002 года.

Ссылки

Библиография

• Гримм, Р.Э. (1973), «Автобиография Леонардо Пизано» (PDF) , The Fibonacci Quarterly , 11 (1): 99–104 .
• Оре, Эйстейн (1948), Теория чисел и ее история , МакГроу Хилл . Также доступна версия Dover, 1988 г. ISBN   978-0-486-65620-5 .
• Сиглер, Лоуренс Э. (пер.) (2002), Liber Abaci Фибоначчи , Springer-Verlag, ISBN  0-387-95419-8 .

Внешние ссылки

• Пизано, Леонардо (1202 г.), Incipit liber Abbaci compositus Леонардо, сыну Боначчи Пизано в год Mccij [Рукопись] , Музей Галилея.