Книга счетов

Liber Abaci или Liber Abbaci. ^[1]( на латыни «Книга вычислений») — латинский труд по арифметике Леонардо Пизанского, посмертно известный как Фибоначчи , написанный в 1202 году . В первую очередь он известен тем, что помог популяризировать арабские цифры в Европе.

Помещение [ править ]

Liber Abaci была одной из первых западных книг, в которых описывалась индуистско-арабская система счисления и использовались символы, напоминающие современные « арабские цифры ». Обращаясь к заявлениям как торговцев, так и математиков, он способствовал превосходству системы и использованию этих символов. ^[2]

Хотя название книги иногда переводится как «Книга счетов», Сиглер (2002) отмечает, что было бы ошибкой считать, что это относится к вычислительным устройствам, называемым «абак». Скорее, слово «абак» в то время использовалось для обозначения вычислений в любой форме; написание «abbacus» с двумя буквами «b» (именно так Леонардо написал его в оригинальной латинской рукописи) использовалось и до сих пор используется в Италии для обозначения вычислений с использованием индуистско-арабских цифр, что позволяет избежать путаницы. В книге описаны методы выполнения вычислений без помощи абака , и, как подтверждает Оре (1948) , на протяжении столетий после ее публикации альгоризмисты (последователи стиля вычислений, продемонстрированного в Liber Abaci ) оставались в конфликте с абачистами (традиционалистами, которые продолжали использовать счеты в сочетании с римскими цифрами). Историк математики Карл Бойер подчеркивает в своей « Истории математики» , что, хотя « Liber abaci … не находится на счетах» как таковых , тем не менее «… это очень подробный трактат по алгебраическим методам и проблемам, в которых использование настоятельно рекомендуется использовать индийско-арабские цифры». ^[3]

Краткое описание разделов [ править ]

В первом разделе представлена индийско-арабская система счисления, включая методы преобразования между различными системами представления. Этот раздел также включает первое известное описание пробного деления для проверки того, является ли число составным , и, если да, его факторизации . ^[4]

Во втором разделе представлены примеры из торговли, такие как конвертация валюты и единиц измерения, а также расчет прибыли и процентов . ^{[ нужна цитата ]}

В третьем разделе обсуждается ряд математических проблем; например, он включает (гл. II.12) китайскую теорему об остатках , совершенные числа и простые числа Мерсенна , а также формулы для арифметических рядов и для квадратных пирамидальных чисел . Другой пример в этой главе связан с ростом популяции кроликов, решение которого требует создания числовой последовательности. Хотя эта проблема возникла задолго до Леонардо, ее включение в его книгу является причиной того, что последовательность Фибоначчи сегодня названа в его честь. ^{[ нужна цитата ]}

В четвертом разделе выводятся аппроксимации, как численные, так и геометрические, иррациональных чисел , таких как квадратные корни. ^{[ нужна цитата ]}

В книгу также включены доказательства по евклидовой геометрии . Метод Фибоначчи решения алгебраических уравнений показывает влияние египетского математика начала X века Абу Камиля Шуджа ибн Аслама . ^[5]

Обозначение Фибоначчи для дробей [ править ]

При чтении Liber Abaci полезно понимать систему обозначений рациональных чисел Фибоначчи, систему обозначений, которая по форме занимает промежуточное положение между египетскими дробями , обычно использовавшимися до того времени, и вульгарными дробями, используемыми до сих пор. ^[6]

Обозначение Фибоначчи отличается от современного обозначения дробей тремя ключевыми моментами: ^{[ нужна цитата ]}

В современных обозначениях дробь обычно записывают справа от целого числа, к которому она добавляется, например $2\,{\tfrac {1}{3}}$ за 7/3. Вместо этого Фибоначчи написал бы ту же дробь слева, т. е. ${\tfrac {1}{3}}\,2$ . ^{[ нужна цитата ]}
Фибоначчи использовал обозначение составной дроби , в котором последовательность числителей и знаменателей имела одну и ту же черту дроби; каждый такой член представлял собой дополнительную дробь данного числителя, деленную на произведение всех знаменателей, находящихся ниже и справа от него. То есть, ${\tfrac {b\,\,a}{d\,\,c}}={\tfrac {a}{c}}+{\tfrac {b}{cd}}$ , и ${\tfrac {c\,\,b\,\,a}{f\,\,e\,\,d}}={\tfrac {a}{d}}+{\tfrac {b}{de}}+{\tfrac {c}{def}}$ . Обозначения читались справа налево. Например, 29/30 можно записать как ${\tfrac {1\,\,2\,\,4}{2\,\,3\,\,5}}$ , представляющий значение ${\tfrac {4}{5}}+{\tfrac {2}{3\times 5}}+{\tfrac {1}{2\times 3\times 5}}$ . Это можно рассматривать как форму смешанной системы счисления, и она была очень удобна для работы с традиционными системами весов, мер и денег. Например, для единиц длины фут равен 1/3 ярда , а дюйм равен 1/12 фута, поэтому количество 5 ярдов, 2 фута и $7{\tfrac {3}{4}}$ дюймы можно представить в виде сложной дроби: ${\tfrac {3\ \,7\,\,2}{4\,\,12\,\,3}}\,5$ ярды. Однако типичные обозначения традиционных мер, хотя и основаны на смешанных системах счисления, не записывают знаменатели явно; явные знаменатели в обозначениях Фибоначчи позволяют ему использовать разные системы счисления для разных задач, когда это удобно. Сиглер также указывает на случай, когда Фибоначчи использует составные дроби, в которых все знаменатели равны 10, что является прообразом современной десятичной системы записи дробей. ^{[ нужна цитата ]}
Фибоначчи иногда записывал рядом несколько дробей, представляющих собой сумму данных дробей. Например, 1/3+1/4 = 7/12, поэтому используются обозначения типа ${\tfrac {1}{4}}\,{\tfrac {1}{3}}\,2$ будет представлять число, которое теперь чаще записывают как смешанное число $2\,{\tfrac {7}{12}}$ , или просто неправильная дробь ${\tfrac {31}{12}}$ . Обозначения этой формы можно отличить от последовательностей числителей и знаменателей, разделяющих дробную черту, по видимому разрыву в черте. Если в дроби, записанной в такой форме, все числители равны 1, а все знаменатели отличны друг от друга, результатом будет представление числа в виде египетской дроби. Это обозначение также иногда комбинировалось с обозначением составной дроби: две составные дроби, написанные рядом друг с другом, представляли собой сумму дробей. ^{[ нужна цитата ]}

Сложность этой записи позволяет записывать числа разными способами, и Фибоначчи описал несколько методов преобразования одного стиля представления в другой. В частности, глава II.7 содержит список методов преобразования неправильной дроби в египетскую дробь, включая жадный алгоритм египетских дробей , также известный как расширение Фибоначчи–Сильвестра. ^{[ нужна цитата ]}

Индийский стиль [ править ]

В Liber Abaci Фибоначчи говорит следующее, представляя утвердительный Modus Indorum (метод индейцев), сегодня известный как индуистско-арабская система счисления или позиционная запись с основанием 10. Он также ввел цифры, которые очень напоминали современные арабские цифры . ^{[ нужна цитата ]}

Так как мой отец был государственным чиновником вдали от нашей родины в таможне Буджиа , устроенной для часто собиравшихся там пизанских купцов, то он в юности поручил привести к себе меня, желая найти для меня полезное и безбедное будущее; там он хотел, чтобы я занимался математикой и учился несколько дней. Там, благодаря чудесному обучению искусству девяти индийских фигур, знакомство с этим искусством и знание этого искусства доставили мне большое удовольствие больше всего на свете, и я учился у них, кто бы ни учился этому, из близлежащего Египта, Сирии, Греции, Сицилии. и Прованс и их различные методы, по которым я впоследствии много путешествовал по делам для тщательного изучения и многому научился в ходе собравшихся диспутов. Но этот в целом алгоритм и даже дуги Пифагора я все равно посчитал чуть ли не ошибкой по сравнению с индийским методом. Поэтому, строго придерживаясь индийского метода и внимательно изучая его, исходя из собственного чувства, добавляя кое-что, а еще кое-что из тонкого евклидова геометрического искусства, применяя к этой книге сумму, которую я был способен воспринять, я работал над тем, чтобы все это вместе в XV отдельных главах, показывающих достоверные доказательства почти всего, что я излагаю, так что, в дальнейшем, этот метод, усовершенствованный выше остальных, эта наука преподается усердным, и итальянскому народу больше всех других, который до сих пор находятся без минимума. Если случайно я упустил что-то менее или более подходящее или необходимое, то прошу вашей снисходительности ко мне, так как нет человека без вины и во всем вполне осмотрительного. ^{[ нужна цитата ]}

Девять индийских фигур:

9 8 7 6 5 4 3 2 1

Этими девятью цифрами и знаком 0, который арабы называют зефиром, пишется любое число... ^[7]

Другими словами, в своей книге он выступал за использование цифр 0–9 и разрядов . До этого времени Европа использовала римские цифры, что делало современную математику практически невозможной. Таким образом, книга внесла важный вклад в распространение десятичных цифр. Однако распространение индуистско-арабской системы, как пишет Оре, было «длительным», потребовалось еще много столетий, чтобы широко распространиться, и не стало завершенным до конца XVI века, резко ускорившись только в конце XVI века. 1500-е годы с появлением книгопечатания. ^{[ нужна цитата ]}

Текстовая история [ править ]

Первое появление рукописи произошло в 1202 году. Копии этой версии не известны. Пересмотренная версия Liber Abaci, посвященная Майклу Скотту , появилась в 1227 году нашей эры. ^[8]^[9] Сохранилось как минимум девятнадцать рукописей, содержащих части этого текста. ^[10] Существуют три полные версии этой рукописи тринадцатого и четырнадцатого веков. ^[11] Между тринадцатым и пятнадцатым веками известны еще девять неполных копий, и, возможно, еще не идентифицированы. ^[11]^[10]

не существовала Печатная версия Liber Abaci до итальянского перевода Бонкомпаньи в 1857 году. ^[10] Первым полным английским переводом стал текст Сиглера 2002 года. ^[10]

Ссылки [ править ]

Цитаты [ править ]

^ «Liber Abaci (Книга вычислений) Фибоначчи» . Университет Юты . 13 декабря 2009 года . Проверено 27 ноября 2018 г.
^ Девлин, Кейт (2012). Человек чисел: арифметическая революция Фибоначчи . Книги Уокера. ISBN 978-0802779083 .
^ Бойер, Карл (1968). История математики (PDF) . Нью-Йорк, Лондон, Сидней: John Wiley & Sons. п. 280.
^ Моллин, Ричард А. (2002). «Краткая история факторинга и тестирования простоты до нашей эры (до компьютеров)». Журнал «Математика» . 75 (1): 18–29. дои : 10.2307/3219180 . МР 2107288 . См. также Сиглер, стр. 65–66.
^ О'Коннор, Джон Дж.; Робертсон, Эдмунд Ф. (1999). «Абу Камиль Шуджа ибн Аслам» . MacTutor Архив истории математики .
^ Мойон, Марк; Шписсер, Мэривонн (3 июня 2015 г.). «Арифметика дробей в творчестве Фибоначчи: основы и использование». Архив истории точных наук . 69 (4): 391–427. дои : 10.1007/s00407-015-0155-y .
^ Сиглер 2002 ; см. в Grimm 1973. другой перевод
^ Скотт, штат Техас; Маркетос, П., «Майкл Скот» , в О'Конноре, Джон Дж.; Робертсон, Эдмунд Ф. (ред.), Архив истории математики MacTutor , Университет Сент-Эндрюс
^ Скотт, штат Техас; Маркетос, П. (март 2014 г.), О происхождении последовательности Фибоначчи (PDF) , Архив истории математики MacTutor , Университет Сент-Эндрюс
^ Перейти обратно: ^а ^б ^с ^д Джермано, Джузеппе (2013). «Новые редакционные взгляды на Liber Abaci Фибоначчи». Журнал Средневековых сетей . дои : 10.6092/1593-2214/400 .
^ Перейти обратно: ^а ^б Словарь научной биографии (PDF) .

Библиография [ править ]

Гримм, RE (1973), «Автобиография Леонардо Пизано» (PDF) , The Fibonacci Quarterly , 11 (1): 99–104 .
Оре, Эйстейн (1948), Теория чисел и ее история , МакГроу Хилл . Также доступна версия Dover, 1988 г. ISBN 978-0-486-65620-5 .
Сиглер, Лоуренс Э. (пер.) (2002), Liber Abaci Фибоначчи , Springer-Verlag, ISBN 0-387-95419-8 .

Внешние ссылки [ править ]

Пизано, Леонардо (1202 г.), Incipit liber Abbaci compositus to Lionardo filio Bonaccii Pisano в год Mccij [Рукопись] , Музей Галилея.

[1] «Liber Abaci (Книга вычислений) Фибоначчи» . Университет Юты . 13 декабря 2009 года . Проверено 27 ноября 2018 г.

[2] Девлин, Кейт (2012). Человек чисел: арифметическая революция Фибоначчи . Книги Уокера. ISBN 978-0802779083 .

[3] Бойер, Карл (1968). История математики (PDF) . Нью-Йорк, Лондон, Сидней: John Wiley & Sons. п. 280.

[4] Моллин, Ричард А. (2002). «Краткая история факторинга и тестирования простоты до нашей эры (до компьютеров)». Журнал «Математика» . 75 (1): 18–29. дои : 10.2307/3219180 . МР 2107288 . См. также Сиглер, стр. 65–66.

[5] О'Коннор, Джон Дж.; Робертсон, Эдмунд Ф. (1999). «Абу Камиль Шуджа ибн Аслам» . MacTutor Архив истории математики .

[6] Мойон, Марк; Шписсер, Мэривонн (3 июня 2015 г.). «Арифметика дробей в творчестве Фибоначчи: основы и использование». Архив истории точных наук . 69 (4): 391–427. дои : 10.1007/s00407-015-0155-y .

[7] Сиглер 2002 ; см. в Grimm 1973. другой перевод

[8] Скотт, штат Техас; Маркетос, П., «Майкл Скот» , в О'Конноре, Джон Дж.; Робертсон, Эдмунд Ф. (ред.), Архив истории математики MacTutor , Университет Сент-Эндрюс

[9] Скотт, штат Техас; Маркетос, П. (март 2014 г.), О происхождении последовательности Фибоначчи (PDF) , Архив истории математики MacTutor , Университет Сент-Эндрюс

[:0-10] Перейти обратно: ^а ^б ^с ^д Джермано, Джузеппе (2013). «Новые редакционные взгляды на Liber Abaci Фибоначчи». Журнал Средневековых сетей . дои : 10.6092/1593-2214/400 .

[:1-11] Перейти обратно: ^а ^б Словарь научной биографии (PDF) .

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

[10]

[11]

v т Это Фибоначчи
Книги	Книга счетов (1202 г.) Книга квадратов (1225 г.)
Теории	Последовательность Фибоначчи Жадный алгоритм для египетских дробей
Связанный	Числа Фибоначчи в популярной культуре Список вещей, названных в честь Фибоначчи Обобщения чисел Фибоначчи Ассоциация Фибоначчи Фибоначчи Ежеквартальный