Египетская фракция

Математический папирус Ринда

Египетская дробь — это конечная сумма различных единичных дробей , таких как

$${\frac {1}{2}}+{\frac {1}{3}}+{\frac {1}{16}}.$$

То есть каждая дробь в выражении имеет числитель , равный 1, и знаменатель , являющийся целым положительным числом , а все знаменатели отличаются друг от друга. Значение выражения этого типа — положительное рациональное число. ${\tfrac {a}{b}}$; например, египетская дробь выше составляет ${\tfrac {43}{48}}$. Каждое положительное рациональное число можно представить египетской дробью. Суммы этого типа и подобные суммы, в том числе ${\tfrac {2}{3}}$ и ${\tfrac {3}{4}}$в качестве слагаемых , использовались древними египтянами в качестве серьезного обозначения рациональных чисел и продолжали использоваться другими цивилизациями в средневековые времена. В современной математической записи египетские дроби были заменены обычными дробями и десятичной системой счисления. Однако египетские дроби продолжают оставаться объектом изучения в современной теории чисел и развлекательной математике , а также в современных исторических исследованиях древней математики .

Приложения

Помимо исторического использования, египетские дроби имеют некоторые практические преимущества перед другими представлениями дробных чисел. Например, египетские дроби могут помочь разделить еду или другие предметы на равные доли. Например, если кто-то хочет разделить 5 пицц поровну между 8 посетителями, египетская дробь

$${\frac {5}{8}}={\frac {1}{2}}+{\frac {1}{8}}$$

означает, что каждый посетитель получает половину пиццы плюс еще одну восьмую пиццы, например, разделив 4 пиццы на 8 половин, а оставшуюся пиццу на 8 восьмых. Упражнения по такому справедливому разделению продуктов питания являются стандартным примером обучения учащихся работе с дробными единицами.

Египетские дроби могут дать решение головоломок о сжигании веревок , в которых заданную продолжительность нужно измерить путем поджигания неоднородных веревок, которые сгорают через единицу времени. Любую рациональную долю единицы времени можно измерить, разложив эту дробь в сумму долей единицы, а затем для каждой доли единицы времени $1/x$, сжигая веревку, чтобы она всегда была $x$одновременно зажженные точки, где он горит. Для этого приложения нет необходимости, чтобы доли единиц отличались друг от друга. Однако для этого решения может потребоваться бесконечное количество шагов повторного освещения.

Ранняя история

Дополнительная информация: египетские цифры и египетская математика.

Обозначение египетских дробей было разработано в Среднем царстве Египта . Пятью ранними текстами, в которых фигурируют египетские дроби, были Египетский математический кожаный свиток , Московский математический папирус , Папирус Рейснера , Папирус Кахуна и Деревянная табличка Ахмима . Более поздний текст, « Математический папирус Ринда» , представил улучшенные способы записи египетских дробей. Папирус Ринда был написан Ахмесом и датируется вторым промежуточным периодом ; он включает таблицу разложения египетских дробей для рациональных чисел. ${\tfrac {2}{n}}$, а также 84 задачи со словами . Решения каждой задачи были записаны стенографически, а окончательные ответы на все 84 задачи были выражены в системе обозначений египетских дробей. Таблицы расширений для ${\tfrac {2}{n}}$подобные тому, что есть на папирусе Ринда, встречаются и в некоторых других текстах. Однако, как показывает Папирус Кахуна , вульгарные дроби писцы также использовали в своих расчетах .

Обозначения

Чтобы записать единицы измерения дробей, используемые в их египетских обозначениях дробей, египтяне использовали иероглифический шрифт :

( er , «[один] среди» или, возможно , re , рот) над числом, чтобы представить обратную величину этого числа. Подобным же образом в иератическом письме они рисовали линию над буквой, обозначающей число. Например:

$={\frac {1}{3}}$

$={\frac {1}{10}}$

У египтян были специальные символы для ${\tfrac {1}{2}}$, ${\tfrac {2}{3}}$, и ${\tfrac {3}{4}}$ которые использовались для уменьшения размера чисел, превышающих ${\tfrac {1}{2}}$когда такие числа были преобразованы в ряд египетских дробей. Оставшееся число после вычитания одной из этих специальных дробей записывалось как сумма отдельных единичных дробей в соответствии с обычными египетскими обозначениями дробей.

$={\frac {1}{2}}$

$={\frac {2}{3}}$

$={\frac {3}{4}}$

Египтяне также использовали альтернативное обозначение, модифицированное из Древнего царства, для обозначения особого набора дробей формы $1/2^{k}$ (для $k=1,2,\dots ,6$) и суммы этих чисел, которые обязательно являются двоично-рациональными числами. Их назвали «фракциями Глаза Гора» в честь теории (ныне дискредитированной). что они основаны на частях символа Ока Гора . Они использовались в Среднем царстве в сочетании с более поздними обозначениями египетских дробей для разделения геката , основной древнеегипетской меры объема зерна, хлеба и других небольших количеств объема, как описано в Деревянной табличке Ахмима . Если какой-либо остаток оставался после выражения количества в долях хеката в Глазе Гора, остаток записывался с использованием обычного египетского обозначения дробей как кратного ro , единицы, равной ${\tfrac {1}{320}}$ геката.

Методы расчета

Современные историки математики изучили папирус Ринда и другие древние источники, пытаясь открыть методы, которые египтяне использовали для вычислений с помощью египетских дробей. В частности, исследования в этой области были сосредоточены на понимании таблиц разложения чисел вида ${\tfrac {2}{n}}$в папирусе Ринда. Хотя эти разложения в целом можно описать как алгебраические тождества, методы, используемые египтянами, могут не соответствовать этим тождествам напрямую. Кроме того, расширения в таблице не соответствуют ни одному идентификатору; скорее, разные тождества соответствуют разложениям для простых и составных знаменателей, и числам каждого типа соответствует более одного тождества:

• Для небольших нечетных простых знаменателей $p$, расширение
  $${\frac {2}{p}}={\frac {1}{(p+1)/2}}+{\frac {1}{p(p+1)/2}}$$
  был использован.
• Для больших простых знаменателей расширение формы
  $${\frac {2}{p}}={\frac {1}{A}}+{\frac {2A-p}{Ap}}$$
  использовался, где $A$ — это число со многими делителями (например, практическое число ) между ${\tfrac {p}{2}}$ и $p$. Оставшийся срок $(2A-p)/Ap$ был расширен за счет представления числа $2A-p$ как сумма делителей $A$ и образуем дробь ${\tfrac {d}{Ap}}$ для каждого такого делителя $d$ в эту сумму. Например, расширение Ахмеса ${\tfrac {2}{37}}={\tfrac {1}{24}}+{\tfrac {1}{111}}+{\tfrac {1}{296}}$ соответствует этому шаблону с $A=24$ и $2A-p=11=8+3$, как ${\tfrac {1}{111}}={\tfrac {8}{24\cdot 37}}$ и ${\tfrac {1}{296}}={\tfrac {3}{24\cdot 37}}$. Для данного типа может существовать множество различных расширений этого типа. $p$; однако, как заметил К.С. Браун, расширение, выбранное египтянами, часто приводило к тому, что наибольший знаменатель был как можно меньшим среди всех расширений, соответствующих этой схеме.
• Для некоторых составных знаменателей, учитываемых как $p\cdot q$, расширение для ${\tfrac {2}{pq}}$ имеет форму расширения для ${\tfrac {2}{p}}$ где каждый знаменатель умножается на $q$. Этот метод, по-видимому, использовался для многих составных чисел в папирусе Ринда. но есть исключения, в частности ${\tfrac {2}{35}}$, ${\tfrac {2}{91}}$, и ${\tfrac {2}{95}}$.
• Можно также расширить
  $${\frac {2}{pq}}={\frac {1}{p(p+q)/2}}+{\frac {1}{q(p+q)/2}}.$$
  Например, Ахмес расширяет ${\tfrac {2}{35}}={\tfrac {2}{5\cdot 7}}={\tfrac {1}{30}}+{\tfrac {1}{42}}$. Более поздние писцы использовали более общую форму этого расширения:
  $${\frac {n}{pq}}={\frac {1}{p(p+q)/n}}+{\frac {1}{q(p+q)/n}},$$
  который работает, когда $p+q$ кратно $n$.
• Последнее (первое) расширение папируса Ринда: ${\tfrac {2}{101}}$, не соответствует ни одной из этих форм, а вместо этого использует расширение
  $${\frac {2}{p}}={\frac {1}{p}}+{\frac {1}{2p}}+{\frac {1}{3p}}+{\frac {1}{6p}}$$
  может применяться независимо от стоимости $p$. То есть, ${\tfrac {2}{101}}={\tfrac {1}{101}}+{\tfrac {1}{202}}+{\tfrac {1}{303}}+{\tfrac {1}{606}}$. Соответствующее расширение также использовалось в нескольких случаях в Египетском математическом кожаном свитке.

Позднее использование

Дополнительная информация: Liber Abaci и жадный алгоритм для египетских дробей.

Обозначение египетских дробей продолжало использоваться во времена Греции и в средние века. несмотря на жалобы еще в Птолемея » « Альмагесте на неуклюжесть системы обозначений по сравнению с такими альтернативами, как вавилонская система счисления с основанием 60 . Связанные с этим проблемы разложения на единичные дроби также изучались в Индии 9-го века джайнским математиком Махавирой . Важный текст средневековой европейской математики, Liber Abaci (1202) Леонардо Пизанского (более известный как Фибоначчи), дает некоторое представление об использовании египетских дробей в средние века и знакомит с темами, которые продолжают оставаться важными и в современную эпоху. математическое исследование этих рядов.

Основным предметом Liber Abaci являются вычисления с использованием десятичных и обычных обозначений дробей, которые в конечном итоге заменили египетские дроби. Сам Фибоначчи использовал сложную систему обозначений дробей, включающую комбинацию смешанной системы счисления с суммами дробей. Многие вычисления в книге Фибоначчи включают числа, представленные в виде египетских дробей, и один раздел этой книги предоставляет список методов преобразования обычных дробей в египетские дроби. Если число еще не является единичной дробью, первый метод в этом списке — попытаться разбить числитель на сумму делителей знаменателя; это возможно, если знаменателем является практическое число , и Liber Abaci включает таблицы разложений этого типа для практических чисел 6, 8, 12, 20, 24, 60 и 100.

Следующие несколько методов включают алгебраические тождества, такие как

$${\frac {a}{ab-1}}={\frac {1}{b}}+{\frac {1}{b(ab-1)}}.$$

Например, Фибоначчи представляет дробь 8/11 : знаменатель путем разбиения числителя на сумму двух чисел, каждое из которых делит единицу плюс 8 / 11 = 6 / 11 + 2/11 ​ ​ . Фибоначчи применяет приведенное выше алгебраическое тождество к каждой из этих двух частей, создавая разложение 8 / 11 = 1 / 2 + 1 / 22 + 1 / 6 + 1/66 ​ ​ . Фибоначчи описывает аналогичные методы для знаменателей, которые на два или три меньше числа со многими множителями.

В том редком случае, когда все эти другие методы терпят неудачу, Фибоначчи предлагает «жадный» алгоритм вычисления египетских дробей, в котором повторно выбирается единичная дробь с наименьшим знаменателем, который не больше, чем оставшаяся дробь, подлежащая разложению: то есть, в более современных обозначениях заменим дробь x / y путем расширения

$${\frac {x}{y}}={\frac {1}{\,\left\lceil {\frac {y}{x}}\right\rceil \,}}+{\frac {(-y)\,{\bmod {\,}}x}{y\left\lceil {\frac {y}{x}}\right\rceil }},$$

где ⌈ ⌉ представляет функцию потолка ; поскольку (− y ) mod x < x , этот метод дает конечное разложение.

Фибоначчи предлагает переключиться на другой метод после первого такого разложения, но он также приводит примеры, в которых это жадное разложение повторялось до тех пор, пока не было построено полное разложение египетской дроби: 4 / 13 = 1 / 4 + 1 / 18 + 1/468 ​ и ​ 17 / 29 = 1 / 2 + 1 / 12 + 1 / 348 .

По сравнению с древнеегипетскими разложениями или более современными методами этот метод может давать довольно длинные разложения с большими знаменателями, и сам Фибоначчи отмечал неуклюжесть разложений, полученных этим методом. Например, жадный метод расширяет

$${\frac {5}{121}}={\frac {1}{25}}+{\frac {1}{757}}+{\frac {1}{763\,309}}+{\frac {1}{873\,960\,180\,913}}+{\frac {1}{1\,527\,612\,795\,642\,093\,418\,846\,225}},$$

в то время как другие методы приводят к более короткому расширению

$${\frac {5}{121}}={\frac {1}{33}}+{\frac {1}{121}}+{\frac {1}{363}}.$$

Последовательность Сильвестра 2, 3, 7, 43, 1807, ... можно рассматривать как порожденную бесконечным жадным разложением такого типа для числа 1, где на каждом шаге мы выбираем знаменатель ⌊ y / x ⌋ + 1 вместо ⌈ y / x⌉ Джеймсу Джозефу , а иногда жадный алгоритм Фибоначчи приписывают Сильвестру .

После описания жадного алгоритма Фибоначчи предлагает еще один метод, разлагающий дробь. a / b путем поиска числа c , имеющего много делителей, с b / 2 < c < b , заменяя а / б автор ac / bc и разложение ac как сумма делителей bc , аналогично методу, предложенному Хультчем и Брюинсом для объяснения некоторых разложений в папирусе Ринда.

Современная теория чисел

Дополнительная информация: проблема Эрдеша-Грэма , проблема Знама и расширение Энгеля.

Хотя египетские дроби больше не используются в большинстве практических приложений математики, современные теоретики чисел продолжают изучать множество различных проблем, связанных с ними. К ним относятся проблемы ограничения длины или максимального знаменателя в представлениях египетских дробей, нахождение разложений определенных специальных форм или в которых все знаменатели имеют какой-то особый тип, прекращение использования различных методов разложения египетских дробей и доказательство того, что разложения существуют для любых достаточно плотное множество достаточно гладких чисел .

• Одна из самых ранних публикаций Пола Эрдеша не может доказала, что гармоническая прогрессия сформировать представление целого числа в виде египетской дроби . Причина в том, что обязательно хотя бы один знаменатель прогрессии будет делиться на простое число , которое не делит ни один другой знаменатель. Последняя публикация Эрдеша, сделанная почти через 20 лет после его смерти, доказывает, что каждое целое число имеет представление, в котором все знаменатели являются произведениями трех простых чисел.
• Гипотеза Эрдеша -Грэма в комбинаторной теории чисел утверждает, что если целые числа больше 1 разделены на конечное число подмножеств, то одно из подмножеств имеет конечное подмножество самого себя, сумма обратных величин которого равна единице. То есть для каждого r > 0 и каждой r -раскраски целых чисел, больших единицы, существует конечное монохроматическое подмножество S этих целых чисел такое, что
  $$\sum _{n\in S}{\frac {1}{n}}=1.$$
  Гипотеза была доказана в 2003 году Эрнестом С. Крутом III .
• Проблема Знама и первичные псевдосовершенные числа тесно связаны с существованием египетских дробей вида
  $$\sum {\frac {1}{x_{i}}}+\prod {\frac {1}{x_{i}}}=1.$$
  Например, первичное псевдосовершенное число 1806 является произведением простых чисел 2, 3, 7 и 43 и дает начало египетской дроби 1 = 1 / 2 + 1 / 3 + 1 / 7 + 1 / 43 + 1 / 1806 .
• Египетские дроби обычно определяются как требующие, чтобы все знаменатели были различны, но это требование можно смягчить, чтобы разрешить повторение знаменателей. Однако эта смягченная форма египетских дробей не позволяет представить какое-либо число с использованием меньшего количества дробей, поскольку любое расширение с повторяющимися дробями можно преобразовать в египетскую дробь равной или меньшей длины путем многократного применения замены.
  $${\frac {1}{k}}+{\frac {1}{k}}={\frac {2}{k+1}}+{\frac {2}{k(k+1)}}$$
  если k нечетно, или просто заменив 1 / к + 1 / к по 2 / k , если k четное. Этот результат был впервые доказан Такенучи (1921) .
• Грэм и Джуэтт доказал, что аналогичным образом можно преобразовать разложения с повторяющимися знаменателями в (более длинные) египетские дроби путем замены
  $${\frac {1}{k}}+{\frac {1}{k}}={\frac {1}{k}}+{\frac {1}{k+1}}+{\frac {1}{k(k+1)}}.$$
  Этот метод может привести к длинным разложениям с большими знаменателями, например
  $${\frac {4}{5}}={\frac {1}{5}}+{\frac {1}{6}}+{\frac {1}{7}}+{\frac {1}{8}}+{\frac {1}{30}}+{\frac {1}{31}}+{\frac {1}{32}}+{\frac {1}{42}}+{\frac {1}{43}}+{\frac {1}{56}}+{\frac {1}{930}}+{\frac {1}{931}}+{\frac {1}{992}}+{\frac {1}{1806}}+{\frac {1}{865\,830}}.$$
  Боттс (1967) первоначально использовал эту технику замены, чтобы показать, что любое рациональное число имеет представление египетской дроби с произвольно большими минимальными знаменателями.
• Любая дробь x / y имеет представление египетской дроби, в котором максимальный знаменатель ограничен
  $$O\left(y\log y\left(\log \log y\right)^{4}\left(\log \log \log y\right)^{2}\right),$$
  и представление с не более чем
  $$O\left({\sqrt {\log y}}\right)$$
  условия. Количество членов иногда должно быть по крайней мере пропорционально log log y ; например, это верно для дробей в последовательности 1 / 2 , 2 / 3 , 6 / 7 , 42 / 43 , 1806/1807 последовательность , ... знаменатели которых образуют Сильвестра . Было высказано предположение, что членов O (log log y ) всегда достаточно. Также можно найти представления, в которых и максимальный знаменатель, и количество членов малы.
• Грэм (1964) охарактеризовал числа, которые можно представить египетскими дробями, в которых все знаменатели имеют n -ную степень. В частности, рациональное число q можно представить в виде египетской дроби с квадратными знаменателями тогда и только тогда, когда q лежит в одном из двух полуоткрытых интервалов.
  $$\left[0,{\frac {\pi ^{2}}{6}}-1\right)\cup \left[1,{\frac {\pi ^{2}}{6}}\right).$$
• Мартин (1999) что любое рациональное число имеет очень плотное разложение, используя постоянную дробь знаменателей до N для любого достаточно большого N. показал ,
• Разложение Энгеля , иногда называемое египетским произведением , представляет собой форму разложения египетской дроби, в которой каждый знаменатель кратен предыдущему:
  $$x={\frac {1}{a_{1}}}+{\frac {1}{a_{1}a_{2}}}+{\frac {1}{a_{1}a_{2}a_{3}}}+\cdots .$$
  Кроме того, последовательность множителей a _i должна быть неубывающей. Каждое рациональное число имеет конечное энгелевое разложение, а иррациональные числа имеют бесконечное энгелевое разложение.
• Аншель и Голдфельд (1991) изучают числа, которые имеют несколько различных представлений египетских дробей с одинаковым количеством членов и одинаковым произведением знаменателей; например, один из примеров, которые они предоставляют, это
  $${\frac {5}{12}}={\frac {1}{4}}+{\frac {1}{10}}+{\frac {1}{15}}={\frac {1}{5}}+{\frac {1}{6}}+{\frac {1}{20}}.$$
  В отличие от древних египтян, они допускают повторение знаменателей в этих разложениях. Они применяют свои результаты по этой проблеме для характеристики свободных произведений абелевых групп небольшим числом числовых параметров: рангом коммутанта , числом членов в свободном произведении и произведением порядков множителей.
• Количество различных n -членных представлений египетской дроби числа один ограничено сверху и снизу двойными экспоненциальными функциями от n .

Открытые проблемы

Дополнительная информация: Нечетное жадное расширение и гипотеза Эрдеша – Штрауса.

Некоторые заметные проблемы, связанные с египетскими дробями, остаются нерешенными, несмотря на значительные усилия математиков.

• Гипотеза Эрдеша – Штрауса касается длины кратчайшего расширения для части формы 4 / н . Делает ли расширение
  $${\frac {4}{n}}={\frac {1}{x}}+{\frac {1}{y}}+{\frac {1}{z}}$$
  существуют для каждого n ? Известно, что это верно для всех n < 10. ¹⁷ , и для всех, кроме исчезающе малой доли возможных значений n , но общая истинность гипотезы остается неизвестной.
• Неизвестно, существует ли нечетное жадное разложение для каждой дроби с нечетным знаменателем. Если жадный метод Фибоначчи модифицировать так, что он всегда выбирает наименьший возможный нечетный знаменатель, при каких условиях этот модифицированный алгоритм дает конечное разложение? Очевидным необходимым условием является то, чтобы стартовая дробь x / y имеют нечетный знаменатель y , и предполагается, но неизвестно, что это также является достаточным условием. Известно что каждый x / y с нечетным y имеет разложение на отдельные нечетные единичные дроби, построенные с использованием метода, отличного от жадного алгоритма.
• Можно использовать алгоритмы поиска грубой силы , чтобы найти представление египетской дроби заданного числа с наименьшим возможным количеством членов. или минимизация наибольшего знаменателя; однако такие алгоритмы могут быть весьма неэффективными. Существование алгоритмов с полиномиальным временем для решения этих задач или, в более общем смысле, вычислительная сложность таких задач остается неизвестным.

Гай (2004) описывает эти проблемы более подробно и перечисляет множество дополнительных открытых проблем.

См. также

• Список сумм обратных величин
• Пазл о наследстве из 17 животных

Ссылки

• Аншель, Майкл М.; Голдфельд, Дориан (1991), «Разбиения, египетские дроби и свободные произведения конечных абелевых групп», Proceedings of the American Mathematical Society , 111 (4): 889–899, doi : 10.1090/S0002-9939-1991-1065083- 1 , МР   1065083
• Бекманс, Л. (1993), «Алгоритм разделения египетских дробей», Journal of Number Theory , 43 (2): 173–185, doi : 10.1006/jnth.1993.1015 , MR   1207497
• Боттс, Трумэн (1967), «Процесс цепной реакции в теории чисел», Mathematics Magazine , 40 (2): 55–65, doi : 10.2307/2688508 , JSTOR   2688508 , MR   0209217
• Бреуш, Р. (1954), «Особый случай египетских дробей, решение сложной проблемы 4512», American Mathematical Monthly , 61 : 200–201, doi : 10.2307/2307234 , JSTOR   2307234
• Брюинз, Эверт М. (1957), «Platon et la table égyptienne 2/ n » [Платон и египетская таблица 2/ n ], Янус (на французском языке), 46 : 253–263.
• Батлер, Стив ; Эрдеш, Пол ; Грэм, Рон (2015), «Египетские дроби, в которых каждый знаменатель имеет три различных простых делителя» (PDF) , Целые числа , 15 : Статья № A51, 9, MR   3437526
• Дик, Лара К.; Огл, Ребекка (сентябрь 2018 г.), «Думай как египтянин», Журнал школьной математики Огайо , 80 : 1–7
• Эрдеш, П. (1932), «Обобщение элементарной теоретико-числовой теоремы Куршака» [Обобщение элементарной теоретико-числовой теоремы Куршака] (PDF) , Матем. Физ. Статьи (на венгерском языке), 39 : 17–24.
• Эрдеш, Пал (1950), «Аз $\textstyle {\frac {1}{x_{1}}}+{\frac {1}{x_{2}}}+\cdots +{\frac {1}{x_{n}}}={\frac {a}{b}}$ о целочисленных решениях уравнения» [Об одном диофантовом уравнении] (PDF) , Matematikai Lapok (на венгерском языке), 1 : 192–210, MR   0043117
• Ивс, Ховард (1953), Введение в историю математики , Холт, Рейнхард и Уинстон, ISBN  0-03-029558-0
• Гарднер, Майло (2002), «Египетский математический кожаный рулон, засвидетельствованный на краткосрочной и долгосрочной перспективе», в Gratton-Guinness, Айвор (редактор), « История математических наук» , Hindustan Book Co, стр. 119–134, ISBN  81-85931-45-3
• Жиллингс, Ричард Дж. (1982), Математика во времена фараонов , Дувр, стр. 50, ISBN  978-0-486-24315-3
• Грэм, Р.Л. (1964), «О конечных суммах обратных величин различных n- ных степеней» (PDF) , Pacific Journal of Mathematics , 14 (1): 85–92, doi : 10.2140/pjm.1964.14.85 , MR   0159788 , S2CID   2629869
• Грэм, Рональд Л. (2013), «Пол Эрдеш и египетские дроби» (PDF) , столетие Эрдеша , Bolyai Soc. Студ., вып. 25, Янош Бояи Матем. Соц., Будапешт, с. 289–309, дои : 10.1007/978-3-642-39286-3_9 , МР   3203600
• Гай, Ричард К. (2004), «D11. Египетские дроби», Нерешенные проблемы теории чисел (3-е изд.), Springer-Verlag, стр. 252–262, ISBN  978-0-387-20860-2
• Хульч, Фридрих (1895), «Элементы расчета египетской дивизии: первое лечение», трактаты филолого-исторического класса Королевского саксонского общества наук, Филолого-исторического класса Саксонской академии наук в Лейпциге (на немецком языке), 17 (1), Лейпциг: С. Хирцель
• Кац, Виктор Дж. , изд. (2007), Математика Египта, Месопотамии, Китая, Индии и ислама: справочник , Принстон: Princeton University Press
• Норр, Уилбур Р. (1982), «Техника дробей в древнем Египте и Греции», Historia Mathematica , 9 (2): 133–171, doi : 10.1016/0315-0860(82)90001-5 , MR   0662138
• Конягин, С.В. (2014), «Двойная экспоненциальная нижняя граница числа представлений единицы египетскими дробями», Mathematical Notes , 95 (1–2): 277–281, doi : 10.1134/S0001434614010295 , MR   3267215 , S2CID   121871250
• Кошалева Ольга; Крейнович, Владик (2021), «Египетские дроби как аппроксиматоры» , Математические структуры и моделирование , 1 (57): 46–59
• Кусуба, Таканори (2004), «Индийские правила разложения дробей», Бернетт, Чарльз; Хогендейк, Ян П .; Плофкер, Ким ; Яно, Мичио (ред.), Исследования по истории точных наук в честь Дэвида Пингри , Теология и наука исламской философии: текст и исследования, том. 54, Лейден: Брилл, стр. 497–516, MR   2054213.
• Мартин, Г. (1999), «Плотные египетские дроби», Труды Американского математического общества , 351 (9): 3641–3657, arXiv : math/9804045 , doi : 10.1090/S0002-9947-99-02327-2 , МР   1608486 , S2CID   2591861
• Риттер, Джим (2002), «Закрытие глаза Гора: взлет и падение« фракций глаза Гора » », в Стиле, Дж.; Имхаузен А. (ред.), Под одним небом: астрономия и математика на древнем Ближнем Востоке , Мюнстер: Ugarit-Verlag, стр. 297–323.
• Робсон, Э .; Стедалл, Дж. , ред. (2009), Оксфордский справочник по истории математики , Оксфорд: Oxford University Press.
• Сиглер, Лоуренс Э. (пер.) (2002), Liber Abaci Фибоначчи , Springer-Verlag, ISBN  0-387-95419-8
• Стюарт, Б.М. (1954), «Суммы различных делителей», Американский журнал математики , 76 (4): 779–785, doi : 10.2307/2372651 , JSTOR   2372651 , MR   0064800
• Стюарт, И. (1992), «Загадка исчезающего верблюда», Scientific American , 266 (июнь): 122–124, Бибкод : 1992SciAm.266f.122S , doi : 10.1038/scientificamerican0692-122
• Струик, Дирк Дж. (1967), Краткая история математики , Дувр, стр. 20–25, ISBN  0-486-60255-9
• Такэнучи, Т. (1921), «О неопределенном уравнении», Труды Физико-математического общества Японии , 3-я сер., 3 (6): 78–92, doi : 10.11429/ppmsj1919.3.6_78
• Тененбаум, Г .; Йокота, Х. (1990), «Длина и знаменатели египетских дробей», Journal of Number Theory , 35 (2): 150–156, doi : 10.1016/0022-314X(90)90109-5 , MR   1057319
• Восе, М. (1985), «Египетские дроби», Бюллетень Лондонского математического общества , 17:21 , doi : 10.1112/blms/17.1.21 , MR   0766441
• Вагон, Стэн (1999), Mathematica в действии , Springer, стр. 321–329, ISBN  0-387-98684-7
• Уилсон, П. Холт; Эджингтон, Синтия П.; Нгуен, Кенни Х.; Пескосолидо, Райан С.; Конфри, Джере (ноябрь 2011 г.), «Дроби: как справедливо разделить», Преподавание математики в средней школе , 17 (4): 230–236, doi : 10.5951/mathteacmiddscho.17.4.0230 , JSTOR   10.5951/mathteacmiddscho.17.4. 0230
• Винклер, Питер (2004), «Использование предохранителей», Математические головоломки: Коллекция знатоков , AK Peters, стр. 2, 6, ISBN  1-56881-201-9
• Ёкота, Хисаси (1988), «К проблеме Блейхера и Эрдеша», Journal of Number Theory , 30 (2): 198–207, doi : 10.1016/0022-314X(88)90017-0 , MR   0961916

Внешние ссылки

• Браун, Кевин, Дроби египетских единиц .
• Эппштейн, Дэвид , Египетские дроби .
• Нотт, Рон, египетские дроби .
• Вайсштейн, Эрик В. , «Египетская дробь» , MathWorld
• Жиру, Андре, «Египетские дроби» и Зеленый, Энрике, Алгоритмы египетских дробей , Демонстрационный проект Wolfram , основанный на программах Дэвида Эппштейна .