Подгруппа коммутатора
В математике , точнее в абстрактной алгебре , подгруппа коммутатора или производная подгруппа группы порожденная — это подгруппа, всеми коммутаторами группы . [1] [2]
Коммутантная подгруппа важна, потому что это наименьшая нормальная подгруппа , фактор-группа исходной группы по этой подгруппе абелева . Другими словами, абелева тогда и только тогда, когда содержит коммутатор подгруппы . Таким образом, в некотором смысле это дает меру того, насколько далека группа от абелевой; чем больше подгруппа коммутатора, тем «менее абелева» группа.
Коммутаторы [ править ]
Для элементов и группы G коммутатор и является . Коммутатор равен единичному элементу e тогда и только тогда, когда , то есть тогда и только тогда, когда и добираться. В общем, .
Однако обозначения несколько произвольны, и существует неэквивалентный вариант определения коммутатора, который имеет обратные значения в правой части уравнения: в этом случае но вместо этого .
Элемент G вида для некоторых g и h называется коммутатором. Единичный элемент e = [ e , e ] всегда является коммутатором, и это единственный коммутатор тогда и только тогда, когда G абелева.
Вот несколько простых, но полезных коммутаторных тождеств, верных для любых элементов s , g , h группы G :
- где (или, соответственно, ) сопряженным является к
- для любого гомоморфизма ,
Первое и второе тождества означают, что множество коммутаторов в G замкнуто относительно обращения и сопряжения. Если в третьем тождестве мы возьмем H = G что множество коммутаторов стабильно относительно любого эндоморфизма G. , то получим , Фактически это обобщение второго тождества, поскольку мы можем взять f как автоморфизм сопряжения на G , , чтобы получить вторую личность.
Однако произведение двух или более коммутаторов не обязательно должно быть коммутатором. Общий пример: [ a , b ][ c , d ] в свободной группе на a , b , c , d . Известно, что наименьший порядок конечной группы, для которой существуют два коммутатора, произведение которых не является коммутатором, равен 96; на самом деле существуют две неизоморфные группы порядка 96, обладающие этим свойством. [3]
Определение [ править ]
Это мотивирует определение подгруппы коммутатора (также называемая производной подгруппой и обозначаемая или ) группы G : это подгруппа , порожденная всеми коммутаторами.
Из этого определения следует, что любой элемент имеет форму
для некоторого натурального числа , где g i и h i являются элементами G . Более того, поскольку , подгруппа коммутатора нормальна в G . Для любого гомоморфизма f : G → H ,
- ,
так что .
Это показывает, что подгруппу коммутатора можно рассматривать как функтор категории групп , некоторые последствия которого рассматриваются ниже. Более того, взяв G = H, это показывает, что подгруппа коммутатора стабильна относительно любого эндоморфизма G : то есть [ G , G ] является вполне характеристической подгруппой G , а это свойство значительно сильнее, чем нормальность.
Подгруппу-коммутатор также можно определить как набор элементов g группы, которые имеют выражение в виде произведения g = g 1 g 2 ... g k , которое можно переставить, чтобы получить идентичность.
Производные серии [ править ]
Эту конструкцию можно повторить:
Группы называются второй производной подгруппой , третьей производной подгруппой и т. д., а также нисходящим нормальным рядом.
называется производным рядом . Его не следует путать с нижним центральным рядом , члены которого .
Для конечной группы полученный ряд заканчивается идеальной группой , которая может быть или не быть тривиальной. Для бесконечной группы производный ряд не обязательно заканчивается на конечном этапе, и его можно продолжить до бесконечных порядковых номеров посредством трансфинитной рекурсии , тем самым получая трансфинитный производный ряд , который в конечном итоге заканчивается в идеальном ядре группы.
Абелианизация [ править ]
Учитывая группу , факторгруппа абелева тогда и только тогда, когда .
Частное является абелевой группой, абелианизацией называемой или сделал абелевым . [4] Обычно его обозначают или .
Есть полезная категоричная интерпретация карты. . А именно универсален для гомоморфизмов из в абелеву группу : для любой абелевой группы и гомоморфизм групп существует единственный гомоморфизм такой, что . Как обычно для объектов, определяемых универсальными свойствами отображения, это показывает единственность абелианизации. с точностью до канонического изоморфизма, тогда как явная конструкция показывает существование.
Функтор абелианизации является левым сопряженным функтору включения из категории абелевых групп в категорию групп. Существование функтора абелианизации Grp → Ab делает категорию Ab категории отражающей подкатегорией групп, определяемой как полная подкатегория, функтор включения которой имеет левый сопряженный.
Еще одна важная интерпретация это как , первая группа гомологий с целыми коэффициентами.
Классы групп [ править ]
Группа является абелевой группой тогда и только тогда, когда производная группа тривиальна: [ G , G ] = { e }. Эквивалентно, тогда и только тогда, когда группа равна своей абелианизации. См. выше определение абелианизации группы.
Группа является совершенной группой тогда и только тогда, когда производная группа равна самой группе: [ G , G ] = G . Эквивалентно, тогда и только тогда, когда абелианизация группы тривиальна. Это «противоположно» абелеву.
Группа с для некоторого n из N называется разрешимой группой ; это слабее, чем абелева ситуация, когда n = 1.
Группа с для всех n из N называется неразрешимой группой .
Группа с для некоторого порядкового числа , возможно, бесконечного, называется гипоабелевой группой ; это слабее, чем разрешимое, то есть в случае, когда α конечно (натуральное число).
Идеальная группа [ править ]
Всякий раз, когда группа получила производную подгруппу, равную самой себе, , она называется идеальной группой . Сюда входят неабелевы простые группы и специальные линейные группы. для фиксированного поля .
Примеры [ править ]
- Коммутант любой группы тривиален . абелевой
- Коммутант полной линейной группы над полем или телом k равна специальной линейной группе при условии, что или k не является полем с двумя элементами . [5]
- Коммутантом знакопеременной группы А4 является Клейна четверная группа .
- Коммутантной подгруппой группы Sn является знакопеременная группа An симметрической .
- Коммутатор группы кватернионов Q = {1, −1, i , − i , j , − j , k , − k } равен [ Q , Q ] = {1, −1}.
Карта из Out [ править ]
Поскольку производная подгруппа характеристична , любой автоморфизм группы G индуцирует автоморфизм абелианизации. Поскольку абелианизация абелева, внутренние автоморфизмы действуют тривиально, следовательно, это дает отображение
См. также [ править ]
- Разрешимая группа
- Нильпотентная группа
- Абелианизация H / H ' подгруппы H < G конечного индекса ( G : H ) является целью переноса Артина T ( G , H ).
Примечания [ править ]
- ^ Даммит и Фут (2004)
- ^ Ланг (2002)
- ^ Суарес-Альварес
- ^ Фрэли (1976 , стр. 108)
- ^ Супруненко Д.А. (1976), Группы матриц , Переводы математических монографий, Американское математическое общество , Теорема II.9.4
Ссылки [ править ]
- Даммит, Дэвид С.; Фут, Ричард М. (2004), Абстрактная алгебра (3-е изд.), John Wiley & Sons , ISBN 0-471-43334-9
- Фрэли, Джон Б. (1976), Первый курс абстрактной алгебры (2-е изд.), Чтение: Аддисон-Уэсли , ISBN 0-201-01984-1
- Ланг, Серж (2002), Алгебра , Тексты для выпускников по математике , Springer , ISBN 0-387-95385-Х
- Суарес-Альварес, Мариано. «Производные подгруппы и коммутаторы» .
Внешние ссылки [ править ]
- «Подгруппа коммутаторов» , Математическая энциклопедия , EMS Press , 2001 [1994]