Jump to content

Подгруппа коммутатора

В математике , точнее в абстрактной алгебре , подгруппа коммутатора или производная подгруппа группы порожденная — это подгруппа, всеми коммутаторами группы . [1] [2]

Коммутантная подгруппа важна, потому что это наименьшая нормальная подгруппа , фактор-группа исходной группы по этой подгруппе абелева . Другими словами, абелева тогда и только тогда, когда содержит коммутатор подгруппы . Таким образом, в некотором смысле это дает меру того, насколько далека группа от абелевой; чем больше подгруппа коммутатора, тем «менее абелева» группа.

Коммутаторы [ править ]

Для элементов и группы G коммутатор и является . Коммутатор равен единичному элементу e тогда и только тогда, когда , то есть тогда и только тогда, когда и добираться. В общем, .

Однако обозначения несколько произвольны, и существует неэквивалентный вариант определения коммутатора, который имеет обратные значения в правой части уравнения: в этом случае но вместо этого .

Элемент G вида для некоторых g и h называется коммутатором. Единичный элемент e = [ e , e ] всегда является коммутатором, и это единственный коммутатор тогда и только тогда, когда G абелева.

Вот несколько простых, но полезных коммутаторных тождеств, верных для любых элементов s , g , h группы G :

  • где (или, соответственно, ) сопряженным является к
  • для любого гомоморфизма ,

Первое и второе тождества означают, что множество коммутаторов в G замкнуто относительно обращения и сопряжения. Если в третьем тождестве мы возьмем H = G что множество коммутаторов стабильно относительно любого эндоморфизма G. , то получим , Фактически это обобщение второго тождества, поскольку мы можем взять f как автоморфизм сопряжения на G , , чтобы получить вторую личность.

Однако произведение двух или более коммутаторов не обязательно должно быть коммутатором. Общий пример: [ a , b ][ c , d ] в свободной группе на a , b , c , d . Известно, что наименьший порядок конечной группы, для которой существуют два коммутатора, произведение которых не является коммутатором, равен 96; на самом деле существуют две неизоморфные группы порядка 96, обладающие этим свойством. [3]

Определение [ править ]

Это мотивирует определение подгруппы коммутатора (также называемая производной подгруппой и обозначаемая или ) группы G : это подгруппа , порожденная всеми коммутаторами.

Из этого определения следует, что любой элемент имеет форму

для некоторого натурального числа , где g i и h i являются элементами G . Более того, поскольку , подгруппа коммутатора нормальна в G . Для любого гомоморфизма f : G H ,

,

так что .

Это показывает, что подгруппу коммутатора можно рассматривать как функтор категории групп , некоторые последствия которого рассматриваются ниже. Более того, взяв G = H, это показывает, что подгруппа коммутатора стабильна относительно любого эндоморфизма G : то есть [ G , G ] является вполне характеристической подгруппой G , а это свойство значительно сильнее, чем нормальность.

Подгруппу-коммутатор также можно определить как набор элементов g группы, которые имеют выражение в виде произведения g = g 1 g 2 ... g k , которое можно переставить, чтобы получить идентичность.

Производные серии [ править ]

Эту конструкцию можно повторить:

Группы называются второй производной подгруппой , третьей производной подгруппой и т. д., а также нисходящим нормальным рядом.

называется производным рядом . Его не следует путать с нижним центральным рядом , члены которого .

Для конечной группы полученный ряд заканчивается идеальной группой , которая может быть или не быть тривиальной. Для бесконечной группы производный ряд не обязательно заканчивается на конечном этапе, и его можно продолжить до бесконечных порядковых номеров посредством трансфинитной рекурсии , тем самым получая трансфинитный производный ряд , который в конечном итоге заканчивается в идеальном ядре группы.

Абелианизация [ править ]

Учитывая группу , факторгруппа абелева тогда и только тогда, когда .

Частное является абелевой группой, абелианизацией называемой или сделал абелевым . [4] Обычно его обозначают или .

Есть полезная категоричная интерпретация карты. . А именно универсален для гомоморфизмов из в абелеву группу : для любой абелевой группы и гомоморфизм групп существует единственный гомоморфизм такой, что . Как обычно для объектов, определяемых универсальными свойствами отображения, это показывает единственность абелианизации. с точностью до канонического изоморфизма, тогда как явная конструкция показывает существование.

Функтор абелианизации является левым сопряженным функтору включения из категории абелевых групп в категорию групп. Существование функтора абелианизации Grp Ab делает категорию Ab категории отражающей подкатегорией групп, определяемой как полная подкатегория, функтор включения которой имеет левый сопряженный.

Еще одна важная интерпретация это как , первая группа гомологий с целыми коэффициентами.

Классы групп [ править ]

Группа является абелевой группой тогда и только тогда, когда производная группа тривиальна: [ G , G ] = { e }. Эквивалентно, тогда и только тогда, когда группа равна своей абелианизации. См. выше определение абелианизации группы.

Группа является совершенной группой тогда и только тогда, когда производная группа равна самой группе: [ G , G ] = G . Эквивалентно, тогда и только тогда, когда абелианизация группы тривиальна. Это «противоположно» абелеву.

Группа с для некоторого n из N называется разрешимой группой ; это слабее, чем абелева ситуация, когда n = 1.

Группа с для всех n из N называется неразрешимой группой .

Группа с для некоторого порядкового числа , возможно, бесконечного, называется гипоабелевой группой ; это слабее, чем разрешимое, то есть в случае, когда α конечно (натуральное число).

Идеальная группа [ править ]

Всякий раз, когда группа получила производную подгруппу, равную самой себе, , она называется идеальной группой . Сюда входят неабелевы простые группы и специальные линейные группы. для фиксированного поля .

Примеры [ править ]

Карта из Out [ править ]

Поскольку производная подгруппа характеристична , любой автоморфизм группы G индуцирует автоморфизм абелианизации. Поскольку абелианизация абелева, внутренние автоморфизмы действуют тривиально, следовательно, это дает отображение

См. также [ править ]

Примечания [ править ]

  1. ^ Даммит и Фут (2004)
  2. ^ Ланг (2002)
  3. ^ Суарес-Альварес
  4. ^ Фрэли (1976 , стр. 108)
  5. ^ Супруненко Д.А. (1976), Группы матриц , Переводы математических монографий, Американское математическое общество , Теорема II.9.4

Ссылки [ править ]

Внешние ссылки [ править ]

Arc.Ask3.Ru: конец переведенного документа.
Arc.Ask3.Ru
Номер скриншота №: 3bc1116d57852ffaedc28b9b3ceb9280__1682345400
URL1:https://arc.ask3.ru/arc/aa/3b/80/3bc1116d57852ffaedc28b9b3ceb9280.html
Заголовок, (Title) документа по адресу, URL1:
Commutator subgroup - Wikipedia
Данный printscreen веб страницы (снимок веб страницы, скриншот веб страницы), визуально-программная копия документа расположенного по адресу URL1 и сохраненная в файл, имеет: квалифицированную, усовершенствованную (подтверждены: метки времени, валидность сертификата), открепленную ЭЦП (приложена к данному файлу), что может быть использовано для подтверждения содержания и факта существования документа в этот момент времени. Права на данный скриншот принадлежат администрации Ask3.ru, использование в качестве доказательства только с письменного разрешения правообладателя скриншота. Администрация Ask3.ru не несет ответственности за информацию размещенную на данном скриншоте. Права на прочие зарегистрированные элементы любого права, изображенные на снимках принадлежат их владельцам. Качество перевода предоставляется как есть. Любые претензии, иски не могут быть предъявлены. Если вы не согласны с любым пунктом перечисленным выше, вы не можете использовать данный сайт и информация размещенную на нем (сайте/странице), немедленно покиньте данный сайт. В случае нарушения любого пункта перечисленного выше, штраф 55! (Пятьдесят пять факториал, Денежную единицу (имеющую самостоятельную стоимость) можете выбрать самостоятельно, выплаичвается товарами в течение 7 дней с момента нарушения.)