Серия подгруппы

В математике , особенно в теории групп , подгрупповой ряд группы . $G$ представляет цепочку подгрупп собой :

1=A_{0}\leq A_{1}\leq \cdots \leq A_{n}=G

где $1$ является тривиальной подгруппой . Ряды подгрупп могут упростить изучение группы до изучения более простых подгрупп и их отношений, а несколько серий подгрупп могут быть инвариантно определены и являются важными инвариантами групп. используется ряд подгрупп В методе подгрупп .

Ряды по подгруппам являются частным примером использования фильтрации в абстрактной алгебре .

Определение

Нормальная серия, субнормальная серия

Субнормальная серия (также нормальная серия , нормальная башня , субинвариантная серия или просто серия ) группы G — это последовательность подгрупп , каждая из которых является нормальной подгруппой следующей. В стандартных обозначениях

1=A_{0}\triangleleft A_{1}\triangleleft \cdots \triangleleft A_{n}=G.

Не требуется, чтобы A _i была нормальной подгруппой G , а только нормальной подгруппой A _{i +1} . Факторгруппы фактор - A _{i +1} / A _i называются группами ряда.

Если, кроме того, каждое нормально _Ai в G , то ряд называется нормальным рядом , если этот термин не используется для более слабого смысла, или инвариантным рядом .

Длина

Серия с дополнительным свойством A _i ≠ A _{i +1} для всех i называется серией без повторений ; эквивалентно, каждая A _i является собственной подгруппой A _{i +1} . Длина < ряда — это количество строгих A _i . A _{i +1} включений Если серия не повторяется, то длина равна n .

Для субнормального ряда длина — это количество нетривиальных фактор-групп. Каждая нетривиальная группа имеет нормальный ряд длины 1, а именно $1\triangleleft G$ , и любая нетривиальная собственная нормальная подгруппа дает нормальный ряд длины 2. Для простых групп тривиальный ряд длины 1 является самым длинным возможным субнормальным рядом.

Восходящая серия, нисходящая серия

Серии можно обозначать в любом порядке возрастания:

1=A_{0}\leq A_{1}\leq \cdots \leq A_{n}=G

или в порядке убывания:

G=B_{0}\geq B_{1}\geq \cdots \geq B_{n}=1.

Для данной конечной серии не существует различия между «возрастающей серией» и «нисходящей серией», помимо обозначений. Однако для бесконечных рядов есть различие: восходящий ряд

1=A_{0}\leq A_{1}\leq \cdots \leq G

имеет наименьший член, второй наименьший член и т. д., но не имеет наибольшего собственного члена, второго по величине члена и т. д., и наоборот, нисходящий ряд

G=B_{0}\geq B_{1}\geq \cdots \geq 1

имеет наибольший член, но не имеет наименьшего собственного члена.

Кроме того, при наличии рекурсивной формулы для создания ряда полученные члены являются либо возрастающими, либо нисходящими, и результирующий ряд называют восходящим или нисходящим рядом соответственно. Например, производный ряд и нижний центральный ряд являются нисходящими рядами, а верхний центральный ряд — восходящим рядом.

Нётеровы группы, артиновы группы

Группа, удовлетворяющая условию возрастающей цепи (ACC) на подгруппах, называется нётеровой группой , а группа, удовлетворяющая условию нисходящей цепи (DCC), называется артиновой группой (не путать с артиновыми группами ), по аналогии с нётеровой группой. кольца и артиновы кольца . ACC эквивалентен условию максимальности : каждый непустой набор подгрупп имеет максимальный член, а DCC эквивалентен аналогичному условию минимальности .

Группа может быть нётеровой, но не артиновой, как, например, бесконечная циклическая группа , и в отличие от колец , группа может быть артиновой, но не нётеровой, как, например, группа Прюфера . Любая конечная группа, очевидно, нётерова и артинова.

Гомоморфные образы и подгруппы нётеровых групп нётеровы, а расширение нётеровой группы нётеровой группой нётерово. Аналогичные результаты справедливы и для артиновых групп.

Нётеровы группы эквивалентно тем, что каждая подгруппа конечно порождена , что сильнее, чем конечно порожденность самой группы: свободная группа с 2 или конечным количеством образующих конечно порождена, но содержит свободные группы бесконечного ранга.

Нётеровы группы не обязательно должны быть конечными расширениями полициклических групп . ^[1]

Бесконечный и трансфинитный ряд

Бесконечные серии подгрупп также могут быть определены и возникать естественным путем, и в этом случае становится важным конкретный ( полностью упорядоченный ) набор индексов, и существует различие между возрастающими и нисходящими сериями. Восходящая серия $1=A_{0}\leq A_{1}\leq \cdots \leq G$ где $A_{i}$ индексируются натуральными числами, можно просто назвать бесконечной возрастающей серией , и наоборот, бесконечной нисходящей серией . Если подгруппы в более общем смысле индексируются порядковыми номерами , получается трансфинитный ряд : ^[2] например, этот восходящий ряд:

1=A_{0}\leq A_{1}\leq \cdots \leq A_{\omega }\leq A_{\omega +1}=G

Учитывая рекурсивную формулу для создания ряда, можно определить трансфинитный ряд с помощью трансфинитной рекурсии , определив ряд в предельных ординалах следующим образом: $A_{\lambda }:=\bigcup _{\alpha <\lambda }A_{\alpha }$ (для возрастающей серии) или $A_{\lambda }:=\bigcap _{\alpha <\lambda }A_{\alpha }$ (для нисходящей серии). Фундаментальными примерами этой конструкции являются трансфинитные нижние центральные ряды и верхние центральные ряды .

Другие полностью упорядоченные множества возникают редко, если вообще когда-либо, в качестве индексных множеств серий подгрупп. ^{[ нужна ссылка ]} Например, можно определить, но редко можно увидеть естественные серии бибесконечных подгрупп (серии, индексированные целыми числами ):

1\leq \cdots \leq A_{-1}\leq A_{0}\leq A_{1}\leq \cdots \leq G

Сравнение серий

Уточнение ряда — это еще один ряд , содержащий каждый из членов исходного ряда. Два субнормальных ряда называются эквивалентными или изоморфными, существует биекция если между множествами их фактор-групп , при которой соответствующие фактор-группы изоморфны . Уточнение дает частичный порядок рядов с точностью до эквивалентности, и они образуют решетку , а субнормальные ряды и нормальные ряды образуют подрешетки. Существование верхней границы двух субнормальных рядов является теоремой уточнения Шрейера . Особый интерес представляют максимальные серии без повторений.

Примеры

Максимальная серия

Композиционный ряд — это максимальный субнормальный ряд.

Эквивалентно, субнормальная серия, для которой каждая из A _i является максимальной нормальной подгруппой A _{i +1} . Эквивалентно, композиционный ряд — это субнормальный ряд, в котором каждая фактор-группа проста .

Главная серия — это максимальная нормальная серия.

Разрешимая и нильпотентная

или Разрешимая группа разрешимая группа — это группа с субнормальным рядом, все фактор-группы которого абелевы .
Нильпотентный ряд — это субнормальный ряд, последовательные факторы которого нильпотентны .

Нильпотентный ряд существует тогда и только тогда, когда группа разрешима .

Центральный ряд — это субнормальный ряд, в котором последовательные частные являются центральными , т. е. для указанного выше ряда: $A_{i+1}/A_{i}\subseteq Z(G/A_{i})$ для $i=0,1,\ldots ,n-2$ .

Центральный ряд существует тогда и только тогда, когда группа нильпотентна .

Функциональная серия

Некоторые серии подгрупп определяются функционально в терминах подгрупп, таких как центр, и операций, таких как коммутатор. К ним относятся:

р -серия

Существуют ряды, происходящие из подгрупп простого порядка степени или индекса простой степени, связанные с такими идеями, как силовские подгруппы .

Ссылки

^ Ольшанский, А.Ю. (1979). «Бесконечные группы с циклическими подгруппами». Советская математика. Докл . 20 : 343–346. (Английский перевод Докл. АН СССР , 245 , 785–787)
^ Шарипов, РА (2009). «Трансфинитный нормальный и композиционный ряд групп». arXiv : 0908.2257 [ math.GR ].

[1] Ольшанский, А.Ю. (1979). «Бесконечные группы с циклическими подгруппами». Советская математика. Докл . 20 : 343–346. (Английский перевод Докл. АН СССР , 245 , 785–787)

[2] Шарипов, РА (2009). «Трансфинитный нормальный и композиционный ряд групп». arXiv : 0908.2257 [ math.GR ].

[1]

[2]