Уточняющая теорема Шрайера

В математике теории теорема уточнения Шрайера групп утверждает , что любые две субнормальные серии подгрупп биекция данной группы имеют эквивалентные уточнения, где две серии эквивалентны, если между их фактор-группами существует переводит , которая каждую фактор-группу в изоморфную .

Теорема названа в честь австрийского математика Отто Шрайера , который доказал ее в 1928 году. Она представляет собой элегантное доказательство теоремы Йордана-Гельдера . Это часто доказывается с помощью леммы Цассенхауза . Баумслаг (2006) дает краткое доказательство путем пересечения членов одной субнормальной серии с членами другой серии.

Пример

Учитывать $\mathbb {Z} _{2}\times S_{3}$, где $S_{3}$ — симметрическая группа степени 3 . Альтернативная группа $A_{3}$ является нормальной подгруппой $S_{3}$, поэтому мы имеем два субнормальных ряда

$\{0\}\times \{(1)\}\;\triangleleft \;\mathbb {Z} _{2}\times \{(1)\}\;\triangleleft \;\mathbb {Z} _{2}\times S_{3},$

$\{0\}\times \{(1)\}\;\triangleleft \;\{0\}\times A_{3}\;\triangleleft \;\mathbb {Z} _{2}\times S_{3},$

с соответствующими факторными группами $(\mathbb {Z} _{2},S_{3})$ и $(A_{3},\mathbb {Z} _{2}\times \mathbb {Z} _{2})$.
Две субнормальные серии не эквивалентны, но имеют эквивалентные уточнения:

$\{0\}\times \{(1)\}\;\triangleleft \;\mathbb {Z} _{2}\times \{(1)\}\;\triangleleft \;\mathbb {Z} _{2}\times A_{3}\;\triangleleft \;\mathbb {Z} _{2}\times S_{3}$

с фактор-группами, изоморфными $(\mathbb {Z} _{2},A_{3},\mathbb {Z} _{2})$ и

$\{0\}\times \{(1)\}\;\triangleleft \;\{0\}\times A_{3}\;\triangleleft \;\{0\}\times S_{3}\;\triangleleft \;\mathbb {Z} _{2}\times S_{3}$

с фактор-группами, изоморфными $(A_{3},\mathbb {Z} _{2},\mathbb {Z} _{2})$.

Ссылки

• Баумслаг, Бенджамин (2006), «Простой способ доказательства теоремы Джордана-Гельдера-Шрайера», American Mathematical Monthly , 113 (10): 933–935, doi : 10.2307/27642092 , JSTOR   27642092