Групповой изоморфизм
Эта статья нуждается в дополнительных ссылок для проверки . ( июнь 2015 г. ) |
В абстрактной алгебре групповой изоморфизм — это функция между двумя группами , которая устанавливает биекцию между элементами групп таким образом, чтобы соблюдались заданные групповые операции. Если между двумя группами существует изоморфизм, то группы называются изоморфными . С точки зрения теории групп изоморфные группы обладают одинаковыми свойствами и их не нужно различать. [1]
Определение и обозначения [ править ]
Даны две группы и групповой изоморфизм из к является биективным гомоморфизмом группы из к Вкратце это означает, что групповой изоморфизм является биективной функцией. такой, что для всех и в он утверждает, что
Две группы и изоморфны, если существует изоморфизм одного в другое. [1] [2] Это написано
Часто можно использовать более короткие и простые обозначения. Когда соответствующие групповые операции понятны, они опускаются и пишут
Иногда можно даже просто написать Возможно ли такое обозначение без путаницы или двусмысленности, зависит от контекста. Например, знак равенства не очень подходит, когда обе группы являются подгруппами одной и той же группы. См. также примеры.
И наоборот, если задана группа множество и биекция мы можем сделать группа определяя
Если и тогда биекция является автоморфизмом ( qv ).
Интуитивно, теоретики групп рассматривают две изоморфные группы следующим образом: для каждого элемента группы существует элемент из такой, что «ведет себя так же», как (работает с другими элементами группы аналогично ). Например, если генерирует тогда то же самое Это подразумевает, в частности, что и находятся в биективном соответствии. Таким образом, определение изоморфизма вполне естественно.
Изоморфизм групп может быть эквивалентным образом определен как обратимый гомоморфизм группы (обратная функция гомоморфизма биективной группы также является гомоморфизмом группы).
Примеры [ править ]
В этом разделе перечислены некоторые известные примеры изоморфных групп.
- Группа всех действительных чисел , суммируемых , изоморфна группе положительных действительных чисел при умножении :
- через изоморфизм .
- Группа целых чисел (со сложением) является подгруппой и группа факторов изоморфна группе комплексных чисел по модулю 1 (при умножении):
- Четырехгруппа Клейна изоморфна прямому произведению двух копий , и поэтому можно записать Другое обозначение потому что это группа диэдра .
- Обобщая это, для всех странных изоморфно прямому произведению и
- Если — бесконечная циклическая группа , то изоморфно целым числам (с операцией сложения). С алгебраической точки зрения это означает, что множество всех целых чисел (с операцией сложения) является «единственной» бесконечной циклической группой.
Изоморфность некоторых групп можно доказать, опираясь на аксиому выбора , но доказательство не указывает, как построить конкретный изоморфизм. Примеры:
- Группа изоморфна группе всех сложенных комплексных чисел. [3]
- Группа ненулевых комплексных чисел с умножением, поскольку операция изоморфна группе упомянутое выше.
Свойства [ править ]
Ядро изоморфизма из к всегда есть {e G }, где e G — единица группы
Если и изоморфны, то абелева когда тогда и только тогда, является абелевым.
Если является изоморфизмом из к тогда для любого - получатель чего то равен порядку
Если и изоморфны, то является локально конечной группой тогда и только тогда, когда локально конечен.
Число различных групп (с точностью до изоморфизма) порядка задается последовательностью A000001 в OEIS . Первые несколько цифр — 0, 1, 1, 1 и 2, что означает, что 4 — это низший порядок с более чем одной группой.
Циклические группы [ править ]
Все циклические группы данного порядка изоморфны где обозначает сложение по модулю
Позволять быть циклической группой и быть приказом Сдача в аренду быть генератором , тогда равен Мы покажем это
Определять
Последствия [ править ]
Из определения следует, что любой изоморфизм отобразит элемент идентификации к элементу идентификации
Отношение « быть изоморфным» является отношением эквивалентности . Если является изоморфизмом между двумя группами и тогда все, что верно относительно то, что связано только со структурой группы, можно перевести через в истинное утверждение о и наоборот.
Автоморфизмы [ править ]
Изоморфизм группы самому себе называется автоморфизмом группы. Таким образом, это биекция такой, что
Образ при автоморфизме класса сопряженности всегда является классом сопряженности (тот же или другой).
Композиция двух автоморфизмов снова является автоморфизмом, и благодаря этой операции множество всех автоморфизмов группы обозначается сам образует группу, группу автоморфизмов
Для всех абелевых групп существует по крайней мере автоморфизм, заменяющий элементы группы их обратными. Однако в группах, где все элементы равны своим обратным, это тривиальный автоморфизм , например в четырехгруппе Клейна . Для этой группы все перестановки трех неединичных элементов являются автоморфизмами, поэтому группа автоморфизмов изоморфна (который сам по себе изоморфен ).
В для простого числа один неидентичный элемент может быть заменен любым другим с соответствующими изменениями остальных элементов. Группа автоморфизмов изоморфна Например, для перемножив все элементы на 3 по модулю 7, является автоморфизмом порядка 6 в группе автоморфизмов, поскольку а младшие степени не дают 1. Таким образом, этот автоморфизм порождает Есть еще один автоморфизм с этим свойством: перемножение всех элементов на 5 по модулю 7. Следовательно, эти два соответствуют элементам 1 и 5 из в том порядке или наоборот.
Группа автоморфизмов изоморфен потому что только каждый из двух элементов 1 и 5 генерирует поэтому помимо идентичности мы можем только обмениваться ими.
Группа автоморфизмов имеет порядок 168, что можно найти следующим образом. Все семь неидентичных элементов играют одну и ту же роль, поэтому мы можем выбрать, какой из них будет играть роль Любой из оставшихся 6 может быть выбран на роль (0,1,0). Это определяет, какой элемент соответствует Для мы можем выбрать из 4, что определяет остальное. Таким образом, мы имеем автоморфизмы. Они соответствуют точкам плоскости Фано , 7 точек которой соответствуют 7 нетождественным элементам. Линии, соединяющие три точки, соответствуют групповой операции: и в одной строке значит и См. также общую линейную группу над конечными полями .
Для абелевых групп все нетривиальные автоморфизмы являются внешними автоморфизмами .
Неабелевы группы имеют нетривиальную внутреннюю группу автоморфизмов и, возможно, также внешние автоморфизмы.
См. также [ править ]
- Проблема группового изоморфизма
- Биекция – взаимно однозначное соответствие.
Ссылки [ править ]
- Херштейн, Индиана (1975). Темы алгебры (2-е изд.). Нью-Йорк: Джон Уайли и сыновья. ISBN 0471010901 .
- ^ Перейти обратно: а б Барнард, Тони и Нил, Хью (2017). Открытие теории групп: переход к высшей математике . Бока-Ратан: CRC Press. п. 94. ИСБН 9781138030169 .
- ^ Бадден, Ф.Дж. (1972). Очарование групп (PDF) . Кембридж: Издательство Кембриджского университета. п. 142. ИСБН 0521080169 . Проверено 12 октября 2022 г. - через VDOC.PUB.
- ^ Эш (1973). «Следствие аксиомы выбора» . Журнал Австралийского математического общества . 19 (3): 306–308. дои : 10.1017/S1446788700031505 . Проверено 21 сентября 2013 г.