Локально конечная группа
В математике , в области теории групп , локально конечная группа — это тип группы , которую можно изучать способами, аналогичными конечной группе . силовские подгруппы , картеровы подгруппы и абелевы подгруппы Изучены локально конечных групп. Считается, что эта концепция была разработана в 1930-х годах русским математиком Сергеем Черниковым . [1]
Определение и первые последствия
[ редактировать ]— Локально конечная группа это группа, для которой каждая порожденная подгруппа конечна конечно .
Поскольку циклические подгруппы локально конечной группы конечно порождены, следовательно, конечны, каждый элемент имеет конечный порядок , и поэтому группа является периодической .
Примеры и не примеры
[ редактировать ]Примеры:
- Любая конечная группа локально конечна.
- Любая бесконечная прямая сумма конечных групп локально конечна ( Робинсон 1996 , стр. 443) (хотя прямое произведение может и не быть таковым).
- Группы Прюфера — это локально конечные абелевы группы.
- Любая гамильтонова группа локально конечна.
- Любая периодическая разрешимая группа локально конечна ( Диксон 1994 , предложение 1.1.5).
- Любая подгруппа локально конечной группы локально конечна. ( Доказательство. Пусть G — локально конечная группа, а S — подгруппа. Каждая конечно порожденная подгруппа группы S является (конечно порожденной) подгруппой группы G. )
- Универсальная группа Холла — счетная локально конечная группа, содержащая каждую счетную локально конечную группу в качестве подгруппы.
- Каждая группа имеет единственную максимальную нормальную локально конечную подгруппу ( Робинсон 1996 , стр. 436).
- Любая периодическая подгруппа полной линейной группы над комплексными числами локально конечна. Поскольку все локально конечные группы периодические, это означает, что для линейных и периодических групп условия одинаковы. [2]
- Омега-категоричные группы (т. е. группы, теория первого порядка которых характеризует их с точностью до изоморфизма) локально конечны. [3]
Непримеры:
- Никакая группа с элементом бесконечного порядка не является локально конечной группой.
- Ни одна нетривиальная свободная группа не является локально конечной.
- Группа монстров Тарского периодична, но не локально конечна.
Характеристики
[ редактировать ]Класс локально конечных групп замкнут относительно подгрупп, факторов и расширений ( Робинсон 1996 , стр. 429).
Локально конечные группы удовлетворяют более слабой форме теорем Силова . Если локально конечная группа имеет конечную p -подгруппу, не содержащуюся ни в каких других p -подгруппах, то все максимальные p -подгруппы конечны и сопряжены. Если число сопряженных конечное число, то число сопряженных конгруэнтно 1 по модулю p . В самом деле, если каждая счетная подгруппа локально конечной группы имеет только счетное число максимальных p -подгрупп, то каждая максимальная p -подгруппа группы сопряжена ( Robinson 1996 , стр. 429).
Класс локально конечных групп ведет себя в чем-то аналогично классу конечных групп. Большая часть теории формаций и классов Фиттинга 1960-х годов, а также более старой теории силовских подгрупп 19-го и 1930-х годов имеет аналог в теории локально конечных групп ( Dixon 1994 , p.v.).
Подобно проблеме Бернсайда , математики задавались вопросом, содержит ли каждая бесконечная группа бесконечную абелеву подгруппу . Хотя в целом это не обязательно так, Филип Холл и другие пришли к выводу, что каждая бесконечная локально конечная группа содержит бесконечную абелеву группу. Доказательство этого факта в теории бесконечных групп опирается на теорему Фейта–Томпсона о разрешимости конечных групп нечетного порядка ( Робинсон 1996 , стр. 432).
Ссылки
[ редактировать ]- ^ Диксон, MR; Кириченко В.В.; Курдаченко Л.А.; Отал, Дж.; Семко, Н.Н.; Шеметков Л.А.; Субботин, И.Я. (2012). «С. Н. Черников и развитие теории бесконечных групп». Алгебра и дискретная математика . 13 (2): 169–208.
- ^ Кертис, Чарльз; Райнер, Ирвинг (1962), Теория представлений конечных групп и связанных с ними алгебр , John Wiley & Sons, стр. 256–262.
- ^ РОЗЕНШТЕЙН, Дж. Г. (1973). «Ω-категоричность групп». Дж. Алгебра (25): 435–467.
- Диксон, Мартин Р. (1994), Силовская теория, формации и классы Фиттинга в локально конечных группах , Серии по алгебре, том. 2, Ривер Эдж, Нью-Джерси: World Scientific Publishing Co. Inc., ISBN 978-981-02-1795-2 , МР 1313499
- Робинсон, Дерек Джон Скотт (1996), Курс теории групп , Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag , ISBN 978-0-387-94461-6
Внешние ссылки
[ редактировать ]- А. Л. Шмелькин (2001) [1994], «Локально конечная группа» , Энциклопедия Математики , EMS Press
- Отто Х. Кегель и Бертрам А.Ф. Верфриц (1973), Локально конечные группы , Elsevier