Торсионная группа
В теории групп , разделе математики , периодическая группа или периодическая группа — это группа , в которой каждый элемент имеет конечный порядок . Показатель общим такой группы, если он существует, является наименьшим кратным порядков элементов.
Например, из теоремы Лагранжа следует , что каждая конечная группа периодична и имеет показатель, делящий ее порядок.
Бесконечные примеры [ править ]
Примеры бесконечных периодических групп включают аддитивную группу кольца многочленов над конечным полем и факторгруппу рациональных чисел по целым числам, а также их прямые слагаемые, группы Прюфера . Другой пример — прямая сумма всех групп диэдра . Ни один из этих примеров не имеет конечного порождающего набора. Явные примеры конечно порожденных бесконечных периодических групп были построены Голодом. [1] на основе совместной работы с Шафаревичем (см. теорему Голода – Шафаревича ) и Алешиным. [2] и Григорчук [3] с помощью автоматов . Эти группы имеют бесконечный показатель; примеры с конечным показателем даются, например, группами монстров Тарского , построенными Ольшанским. [4]
Проблема Бернсайда [ править ]
Проблема Бернсайда — это классический вопрос, касающийся взаимоотношений между периодическими группами и конечными группами , когда рассматриваются только конечно порожденные группы : вызывает ли указание показателя степени конечность? Существование бесконечных, конечно порожденных периодических групп, как указано в предыдущем абзаце, показывает, что ответ «нет» для произвольного показателя степени. Хотя известно гораздо больше о том, какие показатели степени могут встречаться для бесконечных конечно порожденных групп, все же есть некоторые, для которых проблема остается открытой.
Для некоторых классов групп, например линейных групп , ответ на проблему Бернсайда, ограниченную этим классом, положителен.
Математическая логика [ править ]
Интересное свойство периодических групп состоит в том, что их определение не может быть формализовано в терминах логики первого порядка . Это связано с тем, что для этого потребуется аксиома вида
который содержит бесконечную дизъюнкцию и поэтому недопустим: логика первого порядка допускает кванторы одного типа и не может фиксировать свойства или подмножества этого типа. Эту бесконечную дизъюнкцию также невозможно обойти, используя бесконечный набор аксиом: из теоремы о компактности следует, что никакой набор формул первого порядка не может характеризовать периодические группы. [5]
Связанные понятия [ править ]
Периодическая подгруппа абелевой группы A — это подгруппа A , состоящая из всех элементов, имеющих конечный порядок. Периодическая абелева группа — это абелева группа, в которой каждый элемент имеет конечный порядок. Абелева группа без кручения — это абелева группа, в которой единичный элемент является единственным элементом конечного порядка.
См. также [ править ]
Ссылки [ править ]
- ^ E. S. Golod, On nil-algebras and finitely approximable p-groups , Izv. Akad. Nauk SSSR Ser. Mat. 28 (1964) 273–276.
- ^ С. В. Алешин, Конечные автоматы и проблема Бернсайда для периодических групп , Матем. Заметки 11 (1972), 319–328.
- ^ Р. И. Григорчук, К проблеме Бернсайда о периодических группах , Функциональный анализ. Прил. 14 (1980), вып. 1, 41–43.
- ^ А.Ю. Ольшанский , Бесконечная группа с подгруппами простых порядков, Матем. СССР Изв. 16 (1981), 279–289; перевод Известий Акад. Наук СССР сер. Матем. 44 (1980), 309–321
- ^ Эббингауз, Х.-Д. Флум, Дж.; Томас, В. (1994). Математическая логика (2-е изд., 4-е изд.). Нью-Йорк [ua]: Спрингер. стр. 100-1 50 . ISBN 978-0-387-94258-2 . Проверено 18 июля 2012 г.
Однако в логике первого порядка мы не можем образовывать бесконечно длинные дизъюнкции. Действительно, позже мы покажем, что не существует множества формул первого порядка, моделями которых являются именно периодические группы.
- Р. И. Григорчук, Степени роста конечно порожденных групп и теория инвариантных средних , Изв. Акад. Наук СССР сер. Мат. 48:5 (1984), 939–985 (рус.).
 | Эта абстрактной алгебре статья, посвященная , незавершена . Вы можете помочь Википедии, расширив ее . |