Jump to content

Торсионная группа

В теории групп , разделе математики , периодическая группа или периодическая группа — это группа , в которой каждый элемент имеет конечный порядок . Показатель наименьшим такой группы, если он существует, является общим кратным порядков элементов.

Например, из теоремы Лагранжа следует , что каждая конечная группа периодична и имеет показатель, делящий ее порядок.

Бесконечные примеры [ править ]

Примеры бесконечных периодических групп включают аддитивную группу кольца многочленов над конечным полем и факторгруппу рациональных чисел по целым числам, а также их прямые слагаемые, группы Прюфера . Другой пример — прямая сумма всех групп диэдра . Ни один из этих примеров не имеет конечного порождающего набора. Явные примеры конечно порожденных бесконечных периодических групп были построены Голодом. [1] на основе совместной работы с Шафаревичем (см. теорему Голода – Шафаревича ) и Алешиным. [2] и Григорчук [3] с помощью автоматов . Эти группы имеют бесконечный показатель; примеры с конечным показателем даются, например, группами монстров Тарского, построенными Ольшанским. [4]

Проблема Бернсайда [ править ]

Проблема Бернсайда — это классический вопрос, касающийся взаимоотношений между периодическими группами и конечными группами , когда рассматриваются только конечно порожденные группы : вызывает ли указание показателя степени конечность? Существование бесконечных, конечно порожденных периодических групп, как указано в предыдущем абзаце, показывает, что ответ «нет» для произвольного показателя степени. Хотя известно гораздо больше о том, какие показатели степени могут встречаться для бесконечных конечно порожденных групп, все же есть некоторые, для которых проблема остается открытой.

Для некоторых классов групп, например линейных групп , ответ на проблему Бернсайда, ограниченную этим классом, положителен.

Математическая логика [ править ]

Интересное свойство периодических групп состоит в том, что их определение не может быть формализовано в терминах логики первого порядка . Это связано с тем, что для этого потребуется аксиома вида

который содержит бесконечную дизъюнкцию и поэтому недопустим: логика первого порядка допускает кванторы одного типа и не может фиксировать свойства или подмножества этого типа. Эту бесконечную дизъюнкцию также невозможно обойти, используя бесконечный набор аксиом: из теоремы о компактности следует, что никакой набор формул первого порядка не может характеризовать периодические группы. [5]

Связанные понятия [ править ]

Периодическая подгруппа A абелевой группы это подгруппа A , состоящая из всех элементов, имеющих конечный порядок. Периодическая абелева группа — это абелева группа, в которой каждый элемент имеет конечный порядок. Абелева группа без кручения — это абелева группа, в которой единичный элемент является единственным элементом конечного порядка.

См. также [ править ]

Ссылки [ править ]

  1. ^ E. S. Golod, On nil-algebras and finitely approximable p-groups , Izv. Akad. Nauk SSSR Ser. Mat. 28 (1964) 273–276.
  2. ^ С. В. Алешин, Конечные автоматы и проблема Бернсайда для периодических групп , Матем. Заметки 11 (1972), 319–328.
  3. ^ Р. И. Григорчук, К проблеме Бернсайда о периодических группах , Функциональный анализ. Прил. 14 (1980), вып. 1, 41–43.
  4. ^ А.Ю. Ольшанский , Бесконечная группа с подгруппами простых порядков, Матем. СССР Изв. 16 (1981), 279–289; перевод Известий Акад. Наук СССР сер. Матем. 44 (1980), 309–321
  5. ^ Эббингауз, Х.-Д. Флум, Дж.; Томас, В. (1994). Математическая логика (2-е изд., 4-е изд.). Нью-Йорк [ua]: Спрингер. стр. 100-1 50 . ISBN  978-0-387-94258-2 . Проверено 18 июля 2012 г. Однако в логике первого порядка мы не можем образовывать бесконечно длинные дизъюнкции. Действительно, позже мы покажем, что не существует множества формул первого порядка, моделями которых являются именно периодические группы.
  • Р. И. Григорчук, Степени роста конечно порожденных групп и теория инвариантных средних , Изв. Акад. Наук СССР сер. Мат. 48:5 (1984), 939–985 (рус.).
Arc.Ask3.Ru: конец переведенного документа.
Arc.Ask3.Ru
Номер скриншота №: cd69b3bcbdb9d28a04752f30abb2c360__1693129020
URL1:https://arc.ask3.ru/arc/aa/cd/60/cd69b3bcbdb9d28a04752f30abb2c360.html
Заголовок, (Title) документа по адресу, URL1:
Torsion group - Wikipedia
Данный printscreen веб страницы (снимок веб страницы, скриншот веб страницы), визуально-программная копия документа расположенного по адресу URL1 и сохраненная в файл, имеет: квалифицированную, усовершенствованную (подтверждены: метки времени, валидность сертификата), открепленную ЭЦП (приложена к данному файлу), что может быть использовано для подтверждения содержания и факта существования документа в этот момент времени. Права на данный скриншот принадлежат администрации Ask3.ru, использование в качестве доказательства только с письменного разрешения правообладателя скриншота. Администрация Ask3.ru не несет ответственности за информацию размещенную на данном скриншоте. Права на прочие зарегистрированные элементы любого права, изображенные на снимках принадлежат их владельцам. Качество перевода предоставляется как есть. Любые претензии, иски не могут быть предъявлены. Если вы не согласны с любым пунктом перечисленным выше, вы не можете использовать данный сайт и информация размещенную на нем (сайте/странице), немедленно покиньте данный сайт. В случае нарушения любого пункта перечисленного выше, штраф 55! (Пятьдесят пять факториал, Денежную единицу (имеющую самостоятельную стоимость) можете выбрать самостоятельно, выплаичвается товарами в течение 7 дней с момента нарушения.)