Линейная группа

В математике группа матриц — это группа G, состоящая из обратимых матриц над заданным полем K с операцией умножения матриц . Линейная группа — это группа, изоморфная матричной группе (т. е. допускающая точное конечномерное представление над K ).

Любая конечная группа является линейной, поскольку ее можно реализовать с помощью матриц перестановок с помощью теоремы Кэли . Среди бесконечных групп линейные группы образуют интересный и понятный класс. Примеры нелинейных групп включают группы, которые являются «слишком большими» (например, группа перестановок бесконечного множества) или которые демонстрируют некоторое патологическое поведение (например, конечно порожденные бесконечные периодические группы ).

Определение и основные примеры [ править ]

Группа G называется линейной , если существуют поле K , целое число d и инъективный гомоморфизм из G в общую линейную группу GL _d ( K ) (точное линейное представление размерности d над K ): при необходимости можно упомянем поле и размерность, сказав, что G линейна степени d над K. Базовые экземпляры — это группы, которые определяются как подгруппы линейной группы, например:

Сама группа GL _n ( K );
Специальная линейная группа SL _n ( K ) (подгруппа матриц с определителем 1);
Группа обратимых верхних (или нижних) треугольных матриц.
Если gi _gi представляет собой набор элементов в GL _n ( K ), индексированных набором I , то подгруппа, порожденная , _{является} линейной группой.

При изучении групп Ли иногда педагогически удобно ограничить внимание группами Ли, которые могут быть точно представлены в поле комплексных чисел . (Некоторые авторы требуют, чтобы группа была представлена как закрытая подгруппа GL _n ( C ).) Книги, которые следуют этому подходу, включают Hall (2015) ^[1] и Россманн (2002). ^[2]

Классы линейных групп [ править ]

Классические группы и связанные ними с примеры

Так называемые классические группы обобщают приведенные выше примеры 1 и 2. Они возникают как линейные алгебраические группы , т. е. как подгруппы GL _n, определяемые конечным числом уравнений. Основными примерами являются ортогональные , унитарные и симплектические группы, но можно построить больше, используя алгебры с делением (например, единичная группа алгебры кватернионов является классической группой). Заметим, что ассоциированные с этими группами проективные группы также линейны, хотя и менее очевидно. Например, группа PSL ₂ ( R ) не является группой матриц размера 2 × 2, но имеет точное представление в виде матриц 3 × 3 ( сопряженное представление ), которое можно использовать в общем случае.

Многие группы Ли линейны, но не все. Универсальное накрытие SL2 ₍ R ) не является линейным, как и многие разрешимые группы например факторгруппы Гейзенберга , по центральной циклической подгруппе.

Дискретные подгруппы классических групп Ли (например, решетки или тонкие группы ) также являются примерами интересных линейных групп.

Конечные группы [ править ]

Конечная группа линейна степени не G порядка n выше n над любым полем K . Это утверждение иногда называют теоремой Кэли, и оно просто вытекает из того факта, что действие группы G на групповое кольцо K [ G ] посредством левого (или правого) умножения линейно и точно. Конечные группы лиева типа (классические группы над конечными полями) являются важным семейством конечных простых групп , поскольку они занимают большую часть мест в классификации конечных простых групп .

Конечно сгенерированные группы матриц [ править ]

Хотя приведенный выше пример 4 слишком общий, чтобы определить особый класс (он включает в себя все линейные группы), ограничение на конечное множество индексов I , то есть конечно порожденные группы, позволяет построить много интересных примеров. Например:

Лемму о пинг-понге можно использовать для построения многих примеров линейных групп, которые являются свободными группами (например, группа, порожденная ${\bigl (}{}_{2}^{1}\,_{1}^{0}{\bigr )},\,{\bigl (}{}_{0}^{1}\,_{1}^{2}{\bigr )}$ бесплатно).
арифметические группы Известно, что конечно порождены. С другой стороны, найти явный набор образующих для данной арифметической группы — трудная задача.
Группы кос (которые определяются как конечно представленная группа ) имеют точное линейное представление в конечномерном комплексном векторном пространстве, где генераторы действуют с помощью явных матриц. ^[3]

Примеры из геометрии [ править ]

В некоторых случаях группа многообразия фундаментальная можно показать, что линейна, используя представления, исходящие из геометрической структуры. Например, все замкнутые поверхности рода римановыми не ниже 2 являются гиперболическими поверхностями . С помощью теоремы об униформизации это приводит к представлению ее фундаментальной группы в группе изометрий гиперболической плоскости , которая изоморфна PSL ₂ ( R ), и это реализует фундаментальную группу как фуксову группу . Обобщением этой конструкции является понятие ( G , X )-структуры на многообразии.

Другой пример — фундаментальная группа многообразий Зейферта . С другой стороны, неизвестно, все ли фундаментальные группы 3-многообразий линейны. ^[4]

Свойства [ править ]

Хотя линейные группы представляют собой обширный класс примеров, среди всех бесконечных групп они выделяются многими замечательными свойствами. Конечно порожденные линейные группы обладают следующими свойствами:

Они остаточно конечны ;
Теорема Бернсайда : периодическая группа конечного показателя , линейная над полем характеристики 0, должна быть конечной; ^[5]
Теорема Шура: периодическая линейная группа локально конечна . В частности, если оно конечно порождено, то оно конечно. ^[6]
Лемма Сельберга: любая конечно порожденная линейная группа содержит подгруппу без кручения конечного индекса . ^[7]

Альтернатива Титса утверждает, что линейная группа либо содержит неабелеву свободную группу, либо виртуально разрешима (то есть содержит разрешимую группу конечного индекса). Это имеет множество дальнейших последствий, например:

функция Дена конечно порожденной линейной группы может быть только полиномиальной или экспоненциальной;
аменабельная элементарная линейная группа виртуально разрешима, в частности аменабельна ;
гипотеза фон Неймана верна для линейных групп.

Примеры нелинейных групп [ править ]

Нетрудно привести бесконечно порожденные примеры нелинейных групп: например, бесконечную абелеву группу ( Z /2 Z ) ^Н х ( Z /3 Z ) ^Н не может быть линейным. ^[8] Поскольку симметрическая группа на бесконечном множестве содержит эту группу, она также не является линейной. Поиск конечно сгенерированных примеров является более тонким и обычно требует использования одного из перечисленных выше свойств.

Поскольку любая конечно линейная группа аппроксимируемо конечна, она не может быть одновременно простой и бесконечной. Таким образом, конечно порожденные бесконечные простые группы, например группа Томпсона F и фактор группы Хигмана по максимальной собственной нормальной подгруппе, не являются линейными.
По следствию упомянутой выше альтернативы Титса группы промежуточного роста, такие как группа Григорчука, не являются линейными.
Опять же, согласно альтернативе Титса, как упоминалось выше, все контрпримеры к гипотезе фон Неймана не являются линейными. Сюда входят Томпсона группа F и группы монстров Тарского .
По теореме Бернсайда бесконечные, конечно порожденные периодические группы, такие как группы монстров Тарского, не могут быть линейными.
Существуют примеры гиперболических групп , которые не являются линейными и получаются как факторы решеток в группах Ли Sp( n , 1). ^[9]
Известно, что внешняя группа автоморфизмов Out(Fn ₎ свободной группы не является линейной при n не ниже 4. ^[10]
В отличие от случая групп кос, остается открытым вопрос , является ли группа классов отображений поверхности рода > 1 линейной.

Теория представлений [ править ]

Как только установлено, что группа является линейной, интересно попытаться найти для нее «оптимальные» точные линейные представления, например, минимально возможной размерности, или даже попытаться классифицировать все ее линейные представления (включая те, которые не являются точными). ). Эти вопросы являются объектом теории представлений . Важнейшие части теории включают в себя:

Теория представлений конечных групп ;
Теория представлений групп Ли и, в более общем плане, линейных алгебраических групп.

Теория представлений бесконечных конечно порожденных групп вообще загадочна; объектом интереса в этом случае являются многообразия характеров группы, которые хорошо понимаются лишь в очень немногих случаях, например, свободные группы, поверхностные группы и, в более общем плане, решетки в группах Ли (например, благодаря теореме Маргулиса о сверхжесткости и другим жесткостям) . результаты).

Примечания [ править ]

^ Холл (2015)
^ Россман (2002)
^ Стивен Дж. Бигелоу (13 декабря 2000 г.), «Группы кос линейны» (PDF) , Журнал Американского математического общества , 14 (2): 471–486, doi : 10.1090/S0894-0347-00-00361-1 , S2CID 18936096
^ Ашенбреннер, Матиас; Фридл, Стефан; Уилтон, Генри (2015). 3–группы многообразий . Серия EMS лекций по математике. Европейская математика. Раздел 9.6.
^ Верфриц 1973 , с. 15.
^ Верфриц 1973 , с. 57.
^ Альперин, Роджер К. (1987). «Элементарное изложение леммы Сельберга». L'Enseignement Mathématique . 33 .
^ Это следует из Верфрица (1973 , теорема 2.2).
^ Бествина, Младен (2004). «Вопросы геометрической теории групп» (PDF) . Вопрос 1.15 . Проверено 17 августа 2016 г.
^ Форманек, Э.; Процесси, К. (1992). «Группа автоморфизмов свободной группы не является линейной» . Дж. Алгебра . 149 (2): 494–499. дои : 10.1016/0021-8693(92)90029-л .

Ссылки [ править ]

Холл, Брайан К. (2015), Группы Ли, алгебры Ли и представления: элементарное введение , Тексты для аспирантов по математике, том. 222 (2-е изд.), Спрингер, ISBN 978-3319134666 .
Россманн, Вульф (2002), Группы Ли: введение через линейные группы , Оксфордские тексты для выпускников по математике, Oxford University Press, ISBN 9780198596837 .
Супрненко Д.А. (1976). Матричные группы . Переводы математических монографий. Том. 45. Американское математическое общество . ISBN 0-8218-1595-4 .
Верфриц, БАФ (1973). Бесконечные линейные группы . Результаты математики и ее пограничные области. Том 76. Спрингер Верлаг.

[1] Холл (2015)

[2] Россман (2002)

[3] Стивен Дж. Бигелоу (13 декабря 2000 г.), «Группы кос линейны» (PDF) , Журнал Американского математического общества , 14 (2): 471–486, doi : 10.1090/S0894-0347-00-00361-1 , S2CID 18936096

[4] Ашенбреннер, Матиас; Фридл, Стефан; Уилтон, Генри (2015). 3–группы многообразий . Серия EMS лекций по математике. Европейская математика. Раздел 9.6.

[FOOTNOTEWehrfritz197315-5] Верфриц 1973 , с. 15.

[FOOTNOTEWehrfritz197357-6] Верфриц 1973 , с. 57.

[7] Альперин, Роджер К. (1987). «Элементарное изложение леммы Сельберга». L'Enseignement Mathématique . 33 .

[8] Это следует из Верфрица (1973 , теорема 2.2).

[9] Бествина, Младен (2004). «Вопросы геометрической теории групп» (PDF) . Вопрос 1.15 . Проверено 17 августа 2016 г.

[10] Форманек, Э.; Процесси, К. (1992). «Группа автоморфизмов свободной группы не является линейной» . Дж. Алгебра . 149 (2): 494–499. дои : 10.1016/0021-8693(92)90029-л .

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

[10]