Представление группы Ли

В математике и теоретической физике представлением группы Ли является линейное действие группы Ли на векторное пространство . Эквивалентно, представление — это гладкий гомоморфизм группы в группу обратимых операторов в векторном пространстве. Представления играют важную роль в изучении непрерывной симметрии . О таких представлениях известно очень многое, причем основным инструментом их изучения является использование соответствующих «бесконечно малых» представлений алгебр Ли .

Конечномерные представления

Представительства

Дополнительная информация: Представительство группы.

Комплексное представление группы — это действие группы на конечномерном векторном пространстве над полем $\mathbb {C}$. Представление группы Ли G , действующей в n -мерном векторном пространстве V над $\mathbb {C}$ тогда является гладким групповым гомоморфизмом

$\Pi :G\rightarrow \operatorname {GL} (V)$,

где $\operatorname {GL} (V)$ — общая линейная группа всех обратимых линейных преобразований $V$ под их состав. Поскольку все n -мерные пространства изоморфны, группа $\operatorname {GL} (V)$ можно отождествить с группой обратимых комплексных $n\times n$ матрицы, обычно называемые $\operatorname {GL} (n;\mathbb {C} ).$ Плавность карты $\Pi$ можно рассматривать как формальность, поскольку любой непрерывный гомоморфизм автоматически будет гладким.

Альтернативно мы можем описать представление группы Ли. $G$ как линейное действие $G$ в векторном пространстве $V$. Условно, мы тогда написали бы $g\cdot v$ вместо $\Pi (g)v$ за то, как элемент группы $g\in G$ действует на вектор $v\in V$.

Типичным примером возникновения представлений в физике может быть исследование линейного уравнения в частных производных, имеющего группу симметрии. $G$. Хотя отдельные решения уравнения могут не быть инвариантными под действием $G$, пространство $V$ всех решений инвариантно относительно действия $G$. Таким образом, $V$ представляет собой представление $G$. См. пример SO(3), обсуждаемый ниже.

Основные определения

Если гомоморфизм $\Pi$ является инъективным (т. е. мономорфизмом ), представление называется точным .

Если выбран базис комплексного векторного пространства V , представление можно выразить как гомоморфизм в общую линейную группу. $\operatorname {GL} (n;\mathbb {C} )$. Это известно как матричное представление . Два представления G в векторных пространствах V , W эквивалентны, если они имеют одинаковые матричные представления относительно некоторого выбора базисов. для V и W. ​

Учитывая представление $\Pi :G\rightarrow \operatorname {GL} (V)$, мы говорим, что подпространство W в V является инвариантным подпространством, если $\Pi (g)w\in W$ для всех $g\in G$ и $w\in W$. Представление называется неприводимым , если единственными инвариантными подпространствами V являются нулевое пространство и V. само Для некоторых типов групп Ли, а именно компактных и полупростой В группах каждое конечномерное представление разлагается в прямую сумму неприводимых представлений - свойство, известное как полная сводимость. Для таких групп типичная цель теории представлений — классифицировать все конечномерные неприводимые представления данной группы с точностью до изоморфизма. (См. раздел «Классификация» ниже.)

Унитарное представление в конечномерном пространстве внутреннего продукта определяется таким же образом, за исключением того, что $\Pi$ требуется отобразить в группу унитарных операторов . Если G — компактная группа Ли , каждое конечномерное представление эквивалентно унитарному.

Представления алгебры Ли

Каждое представление группы Ли G порождает представление ее алгебры Ли; эта переписка подробно обсуждается в последующих разделах. См. представление алгебр Ли для теории алгебры Ли.

Пример: группа ротации SO(3)

См. Также: Теория представлений SU (2).

В квантовой механике независимое от времени уравнение Шредингера ${\hat {H}}\psi =E\psi$ играет важную роль. В трехмерном случае, если ${\hat {H}}$ обладает вращательной симметрией, то пространство $V_{E}$ решений ${\hat {H}}\psi =E\psi$ будет инвариантным относительно действия SO(3). Таким образом, $V_{E}$ will — для каждого фиксированного значения $E$- представляют собой представление SO(3), которое обычно является конечномерным. Пытаясь решить ${\hat {H}}\psi =E\psi$, полезно знать, как выглядят все возможные конечномерные представления SO(3). Теория представления SO(3) играет ключевую роль, например, в математическом анализе атома водорода .

Каждый стандартный учебник по квантовой механике содержит анализ, который по существу классифицирует конечномерные неприводимые представления SO (3) с помощью ее алгебры Ли. (Коммутационные соотношения между операторами углового момента — это не что иное, как соотношения для алгебры Ли ${\mathfrak {so}}(3)$ SO(3).) Одна из тонкостей этого анализа заключается в том, что представления группы и алгебры Ли не находятся во взаимно однозначном соответствии, и этот момент имеет решающее значение для понимания различия между целочисленным спином и полуцелым спином. .

Обычные представления

Группа вращений SO(3) является компактной группой Ли, и поэтому каждое конечномерное представление SO(3) разлагается как прямая сумма неприводимых представлений. Группа SO(3) имеет одно неприводимое представление в каждом нечетном измерении. Для каждого неотрицательного целого числа $k$, неприводимое представление размерности $2k+1$ может быть реализовано как пространство $V_{k}$ однородных гармонических полиномов на $\mathbb {R} ^{3}$ степени $k$. Здесь SO(3) действует $V_{k}$ обычным образом, что вращения действуют на функции на $\mathbb {R} ^{3}$:

$(\Pi (R)f)(x)=f(R^{-1}x)\quad R\in \operatorname {SO} (3).$

Ограничение на единичную сферу $S^{2}$ элементов $V_{k}$ – сферические гармоники степени $k$.

Если, скажем, $k=1$, то все многочлены, однородные первой степени, гармоничны, и мы получаем трехмерное пространство $V_{1}$ натянутый линейными полиномами $x$, $y$, и $z$. Если $k=2$, пространство $V_{2}$ натянут на полиномы $xy$, $xz$, $yz$, $x^{2}-y^{2}$, и $x^{2}-z^{2}$.

Как отмечалось выше, конечномерные представления SO(3) естественным образом возникают при изучении нестационарного уравнения Шрёдингера для радиального потенциала, такого как атом водорода , как отражение вращательной симметрии задачи. (См. роль сферических гармоник в математическом анализе водорода .)

Проективные представления

Если мы посмотрим на алгебру Ли ${\mathfrak {so}}(3)$ SO(3), эта алгебра Ли изоморфна алгебре Ли ${\mathfrak {su}}(2)$ СУ(2). По теории представлений ${\mathfrak {su}}(2)$, тогда существует одно неприводимое представление ${\mathfrak {so}}(3)$ в каждом измерении. Однако четномерные представления не соответствуют представлениям группы SO (3). Однако эти так называемые представления «дробного спина» соответствуют проективным представлениям SO (3). Эти представления возникают в квантовой механике частиц с дробным спином, таких как электрон.

Операции над представлениями

В этом разделе мы опишем три основные операции над представлениями. См. также соответствующие конструкции представлений алгебры Ли.

Прямые суммы

Если у нас есть два представления группы $G$, $\Pi _{1}:G\rightarrow GL(V_{1})$ и $\Pi _{2}:G\rightarrow GL(V_{2})$, то прямая сумма будет иметь $V_{1}\oplus V_{2}$ как базовое векторное пространство, с действием группы, заданным формулой

$\Pi (g)(v_{1},v_{2})=(\Pi _{1}(g)v_{1},\Pi _{2}(g)v_{2}),$

для всех $v_{1}\in V_{1},$ $v_{2}\in V_{2}$, и $g\in G$.

Некоторые типы групп Ли, в частности компактные группы Ли, обладают тем свойством, что каждое конечномерное представление изоморфно прямой сумме неприводимых представлений. В таких случаях классификация представлений сводится к классификации неприводимых представлений. См. теорему Вейля о полной сводимости .

Тензорные произведения представлений

Основная статья: Тензорное произведение представлений

Если у нас есть два представления группы $G$, $\Pi _{1}:G\rightarrow GL(V_{1})$ и $\Pi _{2}:G\rightarrow GL(V_{2})$, то тензорное произведение представлений будет иметь тензорного произведения векторное пространство $V_{1}\otimes V_{2}$ как базовое векторное пространство, с действием $G$ однозначно определяется предположением, что

$\Pi (g)(v_{1}\otimes v_{2})=(\Pi _{1}(g)v_{1})\otimes (\Pi _{2}(g)v_{2})$

для всех $v_{1}\in V_{1}$ и $v_{2}\in V_{2}$. То есть, $\Pi (g)=\Pi _{1}(g)\otimes \Pi _{2}(g)$.

Представление алгебры Ли $\pi$ связанный с представлением тензорного произведения $\Pi$ определяется формулой:

$\pi (X)=\pi _{1}(X)\otimes I+I\otimes \pi _{2}(X).$

Тензорное произведение двух неприводимых представлений обычно не является неприводимым; Тогда основная проблема теории представлений состоит в том, чтобы разложить тензорные произведения неприводимых представлений в прямую сумму неприводимых подпространств. эта проблема носит название «сложение углового момента» или « теория Клебша – Гордана В физической литературе ».

Двойные представления

Основная статья: Двойное представительство

Позволять $G$ быть группой Ли и $\Pi :G\rightarrow GL(V)$ — представление G. Пусть $V^{*}$ — двойственное пространство, т. е. пространство линейных функционалов на $V$. Тогда мы можем определить представление $\Pi ^{*}:G\rightarrow GL(V^{*})$ по формуле

$\Pi ^{*}(g)=(\Pi (g^{-1}))^{\operatorname {tr} },$

где для любого оператора $A:V\rightarrow V$, оператор транспонирования $A^{\operatorname {tr} }:V^{*}\rightarrow V^{*}$ определяется как «композиция с $A$"Оператор:

$(A^{\operatorname {tr} }\phi )(v)=\phi (Av).$

(Если мы работаем в базисе, то $A^{\operatorname {tr} }$ это просто обычное транспонирование матрицы $A$.) Обратное в определении $\Pi ^{*}$ необходимо для того, чтобы гарантировать, что $\Pi ^{*}$ на самом деле является представлением $G$, в свете идентичности $(AB)^{\operatorname {tr} }=B^{\operatorname {tr} }A^{\operatorname {tr} }$.

Двойственное неприводимому представлению всегда неприводимо. но может быть изоморфным или не быть изоморфным исходному представлению. Например, в случае группы SU(3) неприводимые представления помечаются парой $(m_{1},m_{2})$ неотрицательных целых чисел. Двойственное представление, связанное с $(m_{1},m_{2})$ представляет собой представление, связанное с $(m_{2},m_{1})$.

Группа Ли против представлений алгебры Ли

Основная статья: Соответствие группа Ли – алгебра Ли

Обзор

Во многих случаях представления группы Ли удобно изучать, изучая представления ассоциированной алгебры Ли. Однако в целом не каждое представление алгебры Ли происходит от представления группы. Этот факт, например, лежит в основе различия между целочисленным и полуцелым спином в квантовой механике. С другой стороны, если G — односвязная группа, то справедлива теорема говорит, что мы действительно получаем взаимно однозначное соответствие между представлениями группы и алгебры Ли.

Пусть G — группа Ли с алгеброй Ли ${\mathfrak {g}}$и предположим, что представление $\pi$ из ${\mathfrak {g}}$ есть под рукой. Соответствие Ли можно использовать для получения групповых представлений компонента связности G . Грубо говоря, это достигается взятием матричной экспоненты матриц представления алгебры Ли. Возникает тонкость, если G не является односвязным . Это может привести к проективным представлениям или, говоря языком физики, к многозначным представлениям G . На самом деле это представления универсальной накрывающей группы G .

Эти результаты будут объяснены более подробно ниже.

Соответствие Ли дает результаты только для компонента связности групп, и поэтому другие компоненты полной группы рассматриваются отдельно путем указания представителей для матриц, представляющих эти компоненты, по одному для каждого компонента. Они образуют (представители) нулевую гомотопическую группу G . Например, в случае с четырёхкомпонентной группой Лоренца представители пространственной инверсии и обращения времени должны быть вставлены вручную . Дальнейшие иллюстрации будут взяты из теории представлений группы Лоренца ниже.

Экспоненциальное отображение

Софус Ли , создатель теории Ли . Теория многообразий не была открыта во времена Ли, поэтому он работал локально с подмножествами многообразий. $\mathbb {R} ^{n}.$ Сегодня эту структуру назвали бы местной группой .

Если $G$ является группой Ли с алгеброй Ли ${\mathfrak {g}}$, то мы имеем экспоненциальную карту из ${\mathfrak {g}}$ к $G$, записанный как

$X\mapsto e^{X},\quad X\in {\mathfrak {g}}.$

Если $G$ – матричная группа Ли, выражение $e^{X}$ может быть вычислено с помощью обычного степенного ряда для экспоненты. В любой группе Ли существуют окрестности $U$ личности в $G$ и $V$ происхождения в ${\mathfrak {g}}$ с тем свойством, что каждый $g$ в $U$ можно записать однозначно как $g=e^{X}$ с $X\in V$. То есть экспоненциальное отображение имеет локальное обратное. В большинстве групп это только местное явление; то есть экспоненциальное отображение обычно не является ни «один к одному», ни «на».

Представления алгебры Ли из представлений групп

От представления группы Ли G всегда можно перейти к представлению ее алгебры Ли. ${\mathfrak {g}}.$ Если Π : G → GL( V ) является групповым представлением для некоторого векторного пространства V , то его прямое продвижение (дифференциал) в единице или отображение Ли , $\pi :{\mathfrak {g}}\to {\text{End}}V$ является представлением алгебры Ли. Он явно вычисляется с использованием

$\pi (X)=\left.{\frac {d}{dt}}\Pi (e^{tX})\right|_{t=0},\quad X\in {\mathfrak {g}}.$ ( Г6 )

Основное свойство, относящееся $\Pi$ и $\pi$ включает экспоненциальную карту:

$\Pi (e^{X})=e^{\pi (X)}.$

Вопрос, который мы хотим исследовать, заключается в том, каждое ли представление ${\mathfrak {g}}$ возникает таким образом из представлений группы $G$. Как мы увидим, это тот случай, когда $G$ просто связано.

Представления групп из представлений алгебры Ли

Основным результатом этого раздела является следующее:

Теорема : Если $G$ односвязно, то каждое представление $\pi$ алгебры Ли ${\mathfrak {g}}$ из $G$ происходит от представления $\Pi$ из $G$ сам.

Из этого мы легко выводим следующее:

Следствие : если $G$ связно, но не просто связано, каждое представление $\pi$ из ${\mathfrak {g}}$ происходит от представления $\Pi$ из ${\tilde {G}}$, универсальная обложка $G$. Если $\pi$ неприводима, то $\Pi$ сводится к проективному представлению $G$.

Проективное представление – это представление, в котором каждое $\Pi (g),\,g\in G,$ определяется только с точностью до умножения на константу. В квантовой физике естественно допускать проективные представления в дополнение к обычным, поскольку состояния действительно определяются только с точностью до константы. (То есть, если $\psi$ — вектор в квантовом гильбертовом пространстве, то $c\psi$ представляет одно и то же физическое состояние для любой постоянной $c$.) Каждое конечномерное проективное представление связной группы Ли $G$ происходит от обычного представления универсального покрытия ${\tilde {G}}$ из $G$. И наоборот, как мы обсудим ниже, каждое неприводимое обычное представление ${\tilde {G}}$ сводится к проективному представлению $G$. В физической литературе проективные представления часто описываются как многозначные представления (т. е. каждое $\Pi (g)$ имеет не одну ценность, а целое семейство ценностей). Это явление важно для изучения дробного спина в квантовой механике.

Здесь V — конечномерное векторное пространство, GL( V ) — множество всех обратимых линейных преобразований на V и ${\mathfrak {gl}}(V)$ является его алгеброй Ли. Отображения π и Π являются представлениями алгебры Ли и групп соответственно, а exp — экспоненциальное отображение. Диаграмма коммутирует только с точностью до знака, если Π проективно.

Приведем теперь доказательство основных результатов, изложенных выше. Предполагать $\pi :{\mathfrak {g}}\to {\mathfrak {gl}}(V)$ является представлением ${\mathfrak {g}}$ в векторном пространстве V . Если будет ассоциированное представление группы Ли $\Pi$, он должен удовлетворять экспоненциальному соотношению предыдущего подраздела. Теперь, учитывая локальную обратимость экспоненты, мы можем определить отображение $\Pi$ из района $U$ личности в $G$ по этому отношению:

$\Pi (e^{X})=e^{\pi (X)},\quad g=e^{X}\in U.$

Ключевой вопрос тогда заключается в следующем: является ли это локально определенное отображение «локальным гомоморфизмом»? (Этот вопрос применим даже к особому случаю, когда экспоненциальное отображение является глобально взаимно-однозначным и на; в этом случае $\Pi$ будет глобально определенной картой, но не очевидно, почему $\Pi$ будет гомоморфизмом.) Ответ на этот вопрос — да: $\Pi$ является локальным гомоморфизмом, и это можно установить с помощью формулы Бейкера–Кэмпбелла–Хаусдорфа .

Если $G$ связен, то каждый элемент $G$ является, по крайней мере, произведением экспонент элементов ${\mathfrak {g}}$. Таким образом, мы можем ориентировочно определить $\Pi$ в глобальном масштабе следующим образом.

${\begin{aligned}\Pi (g=e^{X})&\equiv e^{\pi (X)},&&X\in {\mathfrak {g}},\quad g=e^{X}\in \operatorname {im} (\exp ),\\\Pi (g=g_{1}g_{2}\cdots g_{n})&\equiv \Pi (g_{1})\Pi (g_{2})\cdots \Pi (g_{n}),&&g\notin \operatorname {im} (\exp ),\quad g_{1},g_{2},\ldots ,g_{n}\in \operatorname {im} (\exp ).\end{aligned}}$ ( Г2 )

Обратите внимание, однако, что представление данного элемента группы как произведения экспонент очень далеко не однозначно, поэтому далеко не ясно, что $\Pi$ на самом деле четко определено.

Чтобы решить вопрос о том, $\Pi$ корректно определен, мы соединяем каждый элемент группы $g\in G$ к идентичности, используя непрерывный путь. Тогда можно определить $\Pi$ вдоль пути и показать, что значение $\Pi (g)$ не изменяется при непрерывной деформации пути с фиксированными конечными точками. Если $G$ просто связен, любой путь, начинающийся с единицы и заканчивающийся $g$ можно непрерывно деформировать в любой другой такой путь, показывая, что $\Pi (g)$ полностью не зависит от выбора пути. Учитывая, что первоначальное определение $\Pi$ вблизи единицы было локальным гомоморфизмом, нетрудно показать, что глобально определенное отображение также является гомоморфизмом, удовлетворяющим (G2) .

Если $G$ не просто подключен, мы можем применить описанную выше процедуру к универсальной крышке ${\tilde {G}}$ из $G$. Позволять $p:{\tilde {G}}\rightarrow G$ быть покрывающей картой. Если случится так, что ядро $\Pi :{\tilde {G}}\rightarrow \operatorname {GL} (V)$ содержит ядро $p$, затем $\Pi$ сводится к представлению исходной группы $G$. Даже если это не так, обратите внимание, что ядро $p$ является дискретной нормальной подгруппой группы ${\tilde {G}}$, который, следовательно, находится в центре ${\tilde {G}}$. Таким образом, если $\pi$ неприводима, то из леммы Шура следует, что ядро $p$ будет действовать скалярными кратными тождества. Таким образом, $\Pi$ сводится к проективному представлению $G$, то есть тот, который определяется только по модулю скалярных кратных единицы.

Наглядное представление о том, как универсальная накрывающая группа содержит все такие гомотопические классы, и ее техническое определение (как множества и как группы) дается в геометрическом представлении .

Например, когда это специализировано для двусвязного SO(3, 1) ⁺ универсальная накрывающая группа есть ${\text{SL}}(2,\mathbb {C} )$и то, является ли соответствующее представление точным, решает, ли Π является проективным .

Классификация в компактном корпусе

Основная статья: Компактная группа § Теория представлений связной компактной группы Ли

Если G — связная компактная группа Ли, ее конечномерные представления можно разложить в прямые суммы неприводимых представлений . Неприводимые классифицируются по « теореме наибольшего веса ». Здесь мы даем краткое описание этой теории; подробнее см. статьи по теории представлений связной компактной группы Ли и параллельной теории, классифицирующей представления полупростых алгебр Ли .

Пусть T — максимальный тор в G . По лемме Шура неприводимые представления T одномерны. Эти представления можно легко классифицировать, и они обозначаются определенными «аналитически целыми элементами» или «весами». Если $\Sigma$ является неприводимым представлением G , ограничением $\Sigma$ к T обычно не будет неприводимым, но будет разлагаться как прямая сумма неприводимых представлений T , помеченных соответствующими весами. (Один и тот же вес может встречаться более одного раза.) Для фиксированного $\Sigma$, можно определить один из весов как «самый высокий», и затем представления классифицируются по этому самому высокому весу.

Важным аспектом теории представлений является связанная с ней теория характеров . Здесь для представления $\Sigma$ G функция , характер - это

$\chi _{G}:G\rightarrow \mathbb {C}$

данный

$\chi _{G}(g)=\operatorname {trace} (\Sigma (g)).$

Два представления с одним и тем же характером оказываются изоморфными. Более того, формула характера Вейля дает замечательную формулу для определения характера представления через его старший вес. Эта формула не только дает много полезной информации о представлении, но и играет решающую роль в доказательстве теоремы о наибольшем весе.

Унитарные представления в гильбертовых пространствах

Пусть V — комплексное гильбертово пространство, которое может быть бесконечномерным, и пусть $U(V)$ обозначим группу унитарных операторов на V . Унитарное представление группы Ли G на V — это групповой гомоморфизм $\Pi :G\rightarrow U(V)$ со свойством, что для каждого фиксированного $v\in V$, карта

$g\mapsto \Pi (g)v$

является непрерывным отображением G в V .

Конечномерные унитарные представления

Если гильбертово пространство V конечномерно, существует ассоциированное представление $\pi$ алгебры Ли ${\mathfrak {g}}$ из $G$. Если $G$ связно, то представление $\Pi$ из $G$ унитарно тогда и только тогда, когда $\pi (X)$ является кососамосопряженным для каждого $X\in {\mathfrak {g}}$.

Если $G$ компактно представление , то каждое $\Pi$ из $G$ в конечномерном векторном пространстве V является «унитаризуемым», что означает, что можно выбрать скалярное произведение на V так, чтобы каждый $\Pi (g),\,g\in G$ является унитарным.

Бесконечномерные унитарные представления

Если гильбертово пространство V разрешено быть бесконечномерным, изучение унитарных представлений включает в себя ряд интересных особенностей, которых нет в конечномерном случае. Например, построение подходящего представления алгебры Ли ${\mathfrak {g}}$ становится технически сложной задачей. Одним из случаев, когда представление алгебры Ли хорошо понимается, являются полупростые (или редуктивные) группы Ли, где ассоциированное представление алгебры Ли образует (g,K)-модуль .

Примеры унитарных представлений возникают в квантовой механике и квантовой теории поля, а также в анализе Фурье, как показано в следующем примере. Позволять $G=\mathbb {R}$, и пусть комплексное гильбертово пространство V будет $L^{2}(\mathbb {R} )$. Определим представление $\psi :\mathbb {R} \rightarrow U(L^{2}(\mathbb {R} ))$ к

$[\psi (a)(f)](x)=f(x-a).$

Вот несколько важных примеров анализа унитарных представлений группы Ли.

• Теорему Стоуна -фон Неймана можно понимать как классификацию неприводимых унитарных представлений группы Гейзенберга .
• Классификация Вигнера представлений группы Пуанкаре играет важную концептуальную роль в квантовой теории поля, показывая, как массу и спин частиц можно понять в терминах теории групп.
• Теория представлений SL(2,R) была разработана В. Баргманом и служит прообразом для изучения унитарных представлений некомпактных полупростых групп Ли.

Проективные представления

Основная статья: Проективное представление

В квантовой физике часто интересуются проективными унитарными представлениями группы Ли. $G$. Причина такого интереса в том, что состояния квантовой системы представляются векторами в гильбертовом пространстве. $\mathbf {H}$— но с пониманием того, что два состояния, отличающиеся константой, на самом деле являются одним и тем же физическим состоянием. Симметрии гильбертова пространства тогда описываются унитарными операторами, но унитарный оператор, кратный единице, не меняет физического состояния системы. Таким образом, нас интересуют не обычные унитарные представления, т. е. гомоморфизмы $G$ в единую группу $U(\mathbf {H} )$— а скорее в проективных унитарных представлениях, то есть гомоморфизмах $G$ в проективную унитарную группу

$PU(\mathbf {H} ):=U(\mathbf {H} )/\{e^{i\theta }I\}.$

Другими словами, для проективного представления мы строим семейство унитарных операторов $\rho (g),\,\,g\in G$, где подразумевается, что изменение $\rho (g)$ константой с абсолютным значением 1 считается «тот же» оператор. Операторы $\rho (g)$ тогда требуется, чтобы удовлетворялось свойство гомоморфизма с точностью до константы :

$\rho (g)\rho (h)=e^{i\theta _{g,h}}\rho (gh).$

Мы уже обсуждали выше неприводимые проективные унитарные представления группы вращений SO(3); рассмотрение проективных представлений допускает дробное вращение в дополнение к целочисленному вращению.

Теорема Баргмана утверждает, что для некоторых типов групп Ли $G$, неприводимые проективные унитарные представления $G$ находятся во взаимно однозначном соответствии с обычными унитарными представлениями универсального накрытия $G$. Важными примерами применения теоремы Баргмана являются SO(3) (как только что упоминалось) и группа Пуанкаре . Последний случай важен для классификации Вигнером проективных представлений группы Пуанкаре с приложениями к квантовой теории поля.

теоремы Баргмана Одним из примеров неприменимости является группа $\mathbb {R} ^{2n}$. Набор переводов по положению и импульсу на $L^{2}(\mathbb {R} ^{n})$ образуют проективное унитарное представление $\mathbb {R} ^{2n}$ но они не происходят из обычного представления универсального покрова $\mathbb {R} ^{2n}$- что просто $\mathbb {R} ^{2n}$ сам. В этом случае для получения обычного представления приходится перейти к группе Гейзенберга , которая является одномерным центральным расширением группы Гейзенберга. $\mathbb {R} ^{2n}$. (Смотрите обсуждение здесь .)

Коммутативный случай

Если $G$ — коммутативная группа Ли , то каждое неприводимое унитарное представление группы Ли $G$ в комплексных векторных пространствах является одномерным. (Это утверждение следует из леммы Шура и справедливо, даже если заранее не предполагается, что представления конечномерны.) Таким образом, неприводимые унитарные представления $G$ являются просто непрерывными гомоморфизмами $G$ в группу единичных кругов U(1). Например, если $G=\mathbb {R}$, неприводимые унитарные представления имеют вид

$\Pi (x)=[e^{iax}]$,

для некоторого действительного числа $a$.

См. также двойственность Понтрягина для этого случая.

См. также

• Теория представлений связных компактных групп
• Представление алгебры Ли
• Проективное представление
• Теория представлений SU(2)
• Теория представлений группы Лоренца
• Теория представлений алгебр Хопфа
• Присоединенное представление группы Ли.
• Список тем группы Лия
• Симметрия в квантовой механике
• D-матрица Вигнера

Ссылки

• Фултон, В .; Харрис, Дж. (1991). Теория представлений. Первый курс . Тексты для аспирантов по математике. Том. 129. Нью-Йорк: Springer-Verlag. ISBN  978-0-387-97495-8 . МР   1153249 .
• Холл, Брайан К. (2013), Квантовая теория для математиков , Тексты для выпускников по математике, том. 267, Спрингер, ISBN  978-1461471158 .
• Холл, Брайан К. (2015), Группы Ли, алгебры Ли и представления: элементарное введение , Тексты для аспирантов по математике, том. 222 (2-е изд.), Спрингер, ISBN  978-3319134666 .
• Кнапп, Энтони В. (2002), Группы Ли за пределами введения , Progress in Mathematics, vol. 140 (2-е изд.), Бостон: Биркхойзер .
• Россманн, Вульф (2001), Группы Ли: введение через линейные группы , Оксфордские тексты для выпускников по математике, Oxford University Press, ISBN  978-0-19-859683-7 . В переиздании 2003 года исправлено несколько типографских ошибок.
• Вайнберг, С. (2002) [1995], Основы , Квантовая теория полей, том. 1, Кембридж: Издательство Кембриджского университета , ISBN  0-521-55001-7