Irreducible representation of the rotation group SO
— D-матрица Вигнера это унитарная матрица в неприводимом представлении групп SU(2) и SO(3) . Он был введен в 1927 году Юджином Вигнером и играет фундаментальную роль в квантово-механической теории углового момента. Комплексно-сопряженная D-матрица является собственной функцией гамильтониана сферических и симметричных жестких роторов . Буква D означает Darstellung , что в переводе с немецкого означает «представление».
Вигнера Определение D - матрицы Пусть J x , J y , J z Ли SU(2) и SO(3). В квантовой механике эти три оператора являются компонентами векторного оператора, известного как угловой момент . Примерами являются угловой момент электрона в атоме, электронный спин и угловой момент жесткого ротора .
Во всех случаях три оператора удовлетворяют следующим коммутационным соотношениям :
[ J x , J y ] = i J z , [ J z , J x ] = i J y , [ J y , J z ] = i J x , {\displaystyle [J_{x},J_{y}]=iJ_{z},\quad [J_{z},J_{x}]=iJ_{y},\quad [J_{y},J_{z}]=iJ_{x},} где i - чисто мнимое число , а постоянная Планка ħ установлена равной единице. Оператор Казимира
J 2 = J x 2 + J y 2 + J z 2 {\displaystyle J^{2}=J_{x}^{2}+J_{y}^{2}+J_{z}^{2}} коммутирует со всеми образующими алгебры Ли. Следовательно, его можно диагонализовать вместе с J z .
Это определяет сферическую основу, используемую здесь. То есть существует полный набор кетов (т.е. ортонормированный базис совместных собственных векторов , помеченных квантовыми числами, которые определяют собственные значения) с
J 2 | j m ⟩ = j ( j + 1 ) | j m ⟩ , J z | j m ⟩ = m | j m ⟩ , {\displaystyle J^{2}|jm\rangle =j(j+1)|jm\rangle ,\quad J_{z}|jm\rangle =m|jm\rangle ,} где j = 0, 1/2, 1, 3/2, 2,... для SU(2) и j = 0, 1, 2,... для SO(3). В обоих случаях m = − j , − j + 1, ..., j
Оператор трехмерного вращения можно записать как
R ( α , β , γ ) = e − i α J z e − i β J y e − i γ J z , {\displaystyle {\mathcal {R}}(\alpha ,\beta ,\gamma )=e^{-i\alpha J_{z}}e^{-i\beta J_{y}}e^{-i\gamma J_{z}},} где α , β , γ — углы Эйлера (характеризуются ключевыми словами: соглашение zyz, правая система отсчета, правило правого винта, активная интерпретация).
представляет D-матрица Вигнера собой унитарную квадратную матрицу размерности 2 j + 1 в этом сферическом базисе с элементами
D m ′ m j ( α , β , γ ) ≡ ⟨ j m ′ | R ( α , β , γ ) | j m ⟩ = e − i m ′ α d m ′ m j ( β ) e − i m γ , {\displaystyle D_{m'm}^{j}(\alpha ,\beta ,\gamma )\equiv \langle jm'|{\mathcal {R}}(\alpha ,\beta ,\gamma )|jm\rangle =e^{-im'\alpha }d_{m'm}^{j}(\beta )e^{-im\gamma },} где
d m ′ m j ( β ) = ⟨ j m ′ | e − i β J y | j m ⟩ = D m ′ m j ( 0 , β , 0 ) {\displaystyle d_{m'm}^{j}(\beta )=\langle jm'|e^{-i\beta J_{y}}|jm\rangle =D_{m'm}^{j}(0,\beta ,0)} является элементом ортогональной (малой) d-матрицы Вигнера .
То есть в этой основе
D m ′ m j ( α , 0 , 0 ) = e − i m ′ α δ m ′ m {\displaystyle D_{m'm}^{j}(\alpha ,0,0)=e^{-im'\alpha }\delta _{m'm}} является диагональным, как и матричный фактор γ , но в отличие от вышеуказанного фактора β .
D-матрица Вигнера (маленькая) [ править ] Вигнер дал следующее выражение: [1]
d m ′ m j ( β ) = [ ( j + m ′ ) ! ( j − m ′ ) ! ( j + m ) ! ( j − m ) ! ] 1 2 ∑ s = s m i n s m a x [ ( − 1 ) m ′ − m + s ( cos β 2 ) 2 j + m − m ′ − 2 s ( sin β 2 ) m ′ − m + 2 s ( j + m − s ) ! s ! ( m ′ − m + s ) ! ( j − m ′ − s ) ! ] . {\displaystyle d_{m'm}^{j}(\beta )=[(j+m')!(j-m')!(j+m)!(j-m)!]^{\frac {1}{2}}\sum _{s=s_{\mathrm {min} }}^{s_{\mathrm {max} }}\left[{\frac {(-1)^{m'-m+s}\left(\cos {\frac {\beta }{2}}\right)^{2j+m-m'-2s}\left(\sin {\frac {\beta }{2}}\right)^{m'-m+2s}}{(j+m-s)!s!(m'-m+s)!(j-m'-s)!}}\right].} Сумма по s ведется по таким значениям, что факториалы неотрицательны, т.е. s m i n = m a x ( 0 , m − m ′ ) {\displaystyle s_{\mathrm {min} }=\mathrm {max} (0,m-m')} s m a x = m i n ( j + m , j − m ′ ) {\displaystyle s_{\mathrm {max} }=\mathrm {min} (j+m,j-m')}
Примечание. Определенные здесь элементы d-матрицы являются действительными. В часто используемом соглашении zxz об углах Эйлера коэффициент ( − 1 ) m ′ − m + s {\displaystyle (-1)^{m'-m+s}} ( − 1 ) s i m − m ′ , {\displaystyle (-1)^{s}i^{m-m'},}
Элементы d-матрицы связаны с полиномами Якоби. P k ( a , b ) ( cos β ) {\displaystyle P_{k}^{(a,b)}(\cos \beta )} a {\displaystyle a} b . {\displaystyle b.} [2]
k = min ( j + m , j − m , j + m ′ , j − m ′ ) . {\displaystyle k=\min(j+m,j-m,j+m',j-m').} Если
k = { j + m : a = m ′ − m ; λ = m ′ − m j − m : a = m − m ′ ; λ = 0 j + m ′ : a = m − m ′ ; λ = 0 j − m ′ : a = m ′ − m ; λ = m ′ − m {\displaystyle k={\begin{cases}j+m:&a=m'-m;\quad \lambda =m'-m\\j-m:&a=m-m';\quad \lambda =0\\j+m':&a=m-m';\quad \lambda =0\\j-m':&a=m'-m;\quad \lambda =m'-m\\\end{cases}}} Затем с b = 2 j − 2 k − a , {\displaystyle b=2j-2k-a,}
d m ′ m j ( β ) = ( − 1 ) λ ( 2 j − k k + a ) 1 2 ( k + b b ) − 1 2 ( sin β 2 ) a ( cos β 2 ) b P k ( a , b ) ( cos β ) , {\displaystyle d_{m'm}^{j}(\beta )=(-1)^{\lambda }{\binom {2j-k}{k+a}}^{\frac {1}{2}}{\binom {k+b}{b}}^{-{\frac {1}{2}}}\left(\sin {\frac {\beta }{2}}\right)^{a}\left(\cos {\frac {\beta }{2}}\right)^{b}P_{k}^{(a,b)}(\cos \beta ),} где a , b ≥ 0. {\displaystyle a,b\geq 0.}
Также полезно рассмотреть отношения a = | m ′ − m | , b = | m ′ + m | , λ = m − m ′ − | m − m ′ | 2 , k = j − M {\displaystyle a=|m'-m|,b=|m'+m|,\lambda ={\frac {m-m'-|m-m'|}{2}},k=j-M} M = max ( | m | , | m ′ | ) {\displaystyle M=\max(|m|,|m'|)} N = min ( | m | , | m ′ | ) {\displaystyle N=\min(|m|,|m'|)}
d m ′ m j ( β ) = ( − 1 ) m − m ′ − | m − m ′ | 2 [ ( j + M ) ! ( j − M ) ! ( j + N ) ! ( j − N ) ! ] 1 2 ( sin β 2 ) | m − m ′ | ( cos β 2 ) | m + m ′ | P j − m ( | m − m ′ | , | m + m ′ | ) ( cos β ) . {\displaystyle d_{m'm}^{j}(\beta )=(-1)^{\frac {m-m'-|m-m'|}{2}}\left[{\frac {(j+M)!(j-M)!}{(j+N)!(j-N)!}}\right]^{\frac {1}{2}}\left(\sin {\frac {\beta }{2}}\right)^{|m-m'|}\left(\cos {\frac {\beta }{2}}\right)^{|m+m'|}P_{j-m}^{(|m-m'|,|m+m'|)}(\cos \beta ).} Вигнера Свойства D - матрицы Комплексно-сопряженная D-матрица удовлетворяет ряду дифференциальных свойств, которые можно кратко сформулировать, введя следующие операторы с ( x , y , z ) = ( 1 , 2 , 3 ) , {\displaystyle (x,y,z)=(1,2,3),}
J ^ 1 = i ( cos α cot β ∂ ∂ α + sin α ∂ ∂ β − cos α sin β ∂ ∂ γ ) J ^ 2 = i ( sin α cot β ∂ ∂ α − cos α ∂ ∂ β − sin α sin β ∂ ∂ γ ) J ^ 3 = − i ∂ ∂ α {\displaystyle {\begin{aligned}{\hat {\mathcal {J}}}_{1}&=i\left(\cos \alpha \cot \beta {\frac {\partial }{\partial \alpha }}+\sin \alpha {\partial \over \partial \beta }-{\cos \alpha \over \sin \beta }{\partial \over \partial \gamma }\right)\\{\hat {\mathcal {J}}}_{2}&=i\left(\sin \alpha \cot \beta {\partial \over \partial \alpha }-\cos \alpha {\partial \over \partial \beta }-{\sin \alpha \over \sin \beta }{\partial \over \partial \gamma }\right)\\{\hat {\mathcal {J}}}_{3}&=-i{\partial \over \partial \alpha }\end{aligned}}} которые имеют квантово-механический смысл: они представляют собой фиксированные в пространстве жесткого ротора операторы углового момента .
Дальше,
P ^ 1 = i ( cos γ sin β ∂ ∂ α − sin γ ∂ ∂ β − cot β cos γ ∂ ∂ γ ) P ^ 2 = i ( − sin γ sin β ∂ ∂ α − cos γ ∂ ∂ β + cot β sin γ ∂ ∂ γ ) P ^ 3 = − i ∂ ∂ γ , {\displaystyle {\begin{aligned}{\hat {\mathcal {P}}}_{1}&=i\left({\cos \gamma \over \sin \beta }{\partial \over \partial \alpha }-\sin \gamma {\partial \over \partial \beta }-\cot \beta \cos \gamma {\partial \over \partial \gamma }\right)\\{\hat {\mathcal {P}}}_{2}&=i\left(-{\sin \gamma \over \sin \beta }{\partial \over \partial \alpha }-\cos \gamma {\partial \over \partial \beta }+\cot \beta \sin \gamma {\partial \over \partial \gamma }\right)\\{\hat {\mathcal {P}}}_{3}&=-i{\partial \over \partial \gamma },\\\end{aligned}}} которые имеют квантово-механический смысл: они представляют собой операторы углового момента жесткого ротора, закрепленного на теле .
Операторы удовлетворяют коммутационным соотношениям
[ J 1 , J 2 ] = i J 3 , and [ P 1 , P 2 ] = − i P 3 , {\displaystyle \left[{\mathcal {J}}_{1},{\mathcal {J}}_{2}\right]=i{\mathcal {J}}_{3},\qquad {\hbox{and}}\qquad \left[{\mathcal {P}}_{1},{\mathcal {P}}_{2}\right]=-i{\mathcal {P}}_{3},} и соответствующие отношения с циклически переставляемыми индексами. P i {\displaystyle {\mathcal {P}}_{i}} аномальным коммутационным соотношениям (имеют знак минус в правой части).
Два множества взаимно коммутируют,
[ P i , J j ] = 0 , i , j = 1 , 2 , 3 , {\displaystyle \left[{\mathcal {P}}_{i},{\mathcal {J}}_{j}\right]=0,\quad i,j=1,2,3,} и общие квадраты операторов равны,
J 2 ≡ J 1 2 + J 2 2 + J 3 2 = P 2 ≡ P 1 2 + P 2 2 + P 3 2 . {\displaystyle {\mathcal {J}}^{2}\equiv {\mathcal {J}}_{1}^{2}+{\mathcal {J}}_{2}^{2}+{\mathcal {J}}_{3}^{2}={\mathcal {P}}^{2}\equiv {\mathcal {P}}_{1}^{2}+{\mathcal {P}}_{2}^{2}+{\mathcal {P}}_{3}^{2}.} Их явная форма такова:
J 2 = P 2 = − 1 sin 2 β ( ∂ 2 ∂ α 2 + ∂ 2 ∂ γ 2 − 2 cos β ∂ 2 ∂ α ∂ γ ) − ∂ 2 ∂ β 2 − cot β ∂ ∂ β . {\displaystyle {\mathcal {J}}^{2}={\mathcal {P}}^{2}=-{\frac {1}{\sin ^{2}\beta }}\left({\frac {\partial ^{2}}{\partial \alpha ^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}}{\partial \gamma ^{2}}}-2\cos \beta {\frac {\partial ^{2}}{\partial \alpha \partial \gamma }}\right)-{\frac {\partial ^{2}}{\partial \beta ^{2}}}-\cot \beta {\frac {\partial }{\partial \beta }}.} Операторы J i {\displaystyle {\mathcal {J}}_{i}}
J 3 D m ′ m j ( α , β , γ ) ∗ = m ′ D m ′ m j ( α , β , γ ) ∗ ( J 1 ± i J 2 ) D m ′ m j ( α , β , γ ) ∗ = j ( j + 1 ) − m ′ ( m ′ ± 1 ) D m ′ ± 1 , m j ( α , β , γ ) ∗ {\displaystyle {\begin{aligned}{\mathcal {J}}_{3}D_{m'm}^{j}(\alpha ,\beta ,\gamma )^{*}&=m'D_{m'm}^{j}(\alpha ,\beta ,\gamma )^{*}\\({\mathcal {J}}_{1}\pm i{\mathcal {J}}_{2})D_{m'm}^{j}(\alpha ,\beta ,\gamma )^{*}&={\sqrt {j(j+1)-m'(m'\pm 1)}}D_{m'\pm 1,m}^{j}(\alpha ,\beta ,\gamma )^{*}\end{aligned}}} Операторы P i {\displaystyle {\mathcal {P}}_{i}}
P 3 D m ′ m j ( α , β , γ ) ∗ = m D m ′ m j ( α , β , γ ) ∗ , {\displaystyle {\mathcal {P}}_{3}D_{m'm}^{j}(\alpha ,\beta ,\gamma )^{*}=mD_{m'm}^{j}(\alpha ,\beta ,\gamma )^{*},} и из-за аномального соотношения коммутации операторы повышения/понижения определяются с обратными знаками:
( P 1 ∓ i P 2 ) D m ′ m j ( α , β , γ ) ∗ = j ( j + 1 ) − m ( m ± 1 ) D m ′ , m ± 1 j ( α , β , γ ) ∗ . {\displaystyle ({\mathcal {P}}_{1}\mp i{\mathcal {P}}_{2})D_{m'm}^{j}(\alpha ,\beta ,\gamma )^{*}={\sqrt {j(j+1)-m(m\pm 1)}}D_{m',m\pm 1}^{j}(\alpha ,\beta ,\gamma )^{*}.} Окончательно,
J 2 D m ′ m j ( α , β , γ ) ∗ = P 2 D m ′ m j ( α , β , γ ) ∗ = j ( j + 1 ) D m ′ m j ( α , β , γ ) ∗ . {\displaystyle {\mathcal {J}}^{2}D_{m'm}^{j}(\alpha ,\beta ,\gamma )^{*}={\mathcal {P}}^{2}D_{m'm}^{j}(\alpha ,\beta ,\gamma )^{*}=j(j+1)D_{m'm}^{j}(\alpha ,\beta ,\gamma )^{*}.} Другими словами, строки и столбцы (комплексно-сопряженной) D-матрицы Вигнера охватывают неприводимые представления изоморфных алгебр Ли, порожденных { J i } {\displaystyle \{{\mathcal {J}}_{i}\}} { − P i } {\displaystyle \{-{\mathcal {P}}_{i}\}}
Важное свойство D-матрицы Вигнера следует из коммутации R ( α , β , γ ) {\displaystyle {\mathcal {R}}(\alpha ,\beta ,\gamma )} оператором обращения времени T ,
⟨ j m ′ | R ( α , β , γ ) | j m ⟩ = ⟨ j m ′ | T † R ( α , β , γ ) T | j m ⟩ = ( − 1 ) m ′ − m ⟨ j , − m ′ | R ( α , β , γ ) | j , − m ⟩ ∗ , {\displaystyle \langle jm'|{\mathcal {R}}(\alpha ,\beta ,\gamma )|jm\rangle =\langle jm'|T^{\dagger }{\mathcal {R}}(\alpha ,\beta ,\gamma )T|jm\rangle =(-1)^{m'-m}\langle j,-m'|{\mathcal {R}}(\alpha ,\beta ,\gamma )|j,-m\rangle ^{*},} или
D m ′ m j ( α , β , γ ) = ( − 1 ) m ′ − m D − m ′ , − m j ( α , β , γ ) ∗ . {\displaystyle D_{m'm}^{j}(\alpha ,\beta ,\gamma )=(-1)^{m'-m}D_{-m',-m}^{j}(\alpha ,\beta ,\gamma )^{*}.} Здесь мы использовали это T {\displaystyle T} T † {\displaystyle T^{\dagger }} T | j m ⟩ = ( − 1 ) j − m | j , − m ⟩ {\displaystyle T|jm\rangle =(-1)^{j-m}|j,-m\rangle } ( − 1 ) 2 j − m ′ − m = ( − 1 ) m ′ − m {\displaystyle (-1)^{2j-m'-m}=(-1)^{m'-m}}
Дальнейшая симметрия подразумевает
( − 1 ) m ′ − m D m m ′ j ( α , β , γ ) = D m ′ m j ( γ , β , α ) . {\displaystyle (-1)^{m'-m}D_{mm'}^{j}(\alpha ,\beta ,\gamma )=D_{m'm}^{j}(\gamma ,\beta ,\alpha )~.} Отношения ортогональности Элементы D-матрицы Вигнера D m k j ( α , β , γ ) {\displaystyle D_{mk}^{j}(\alpha ,\beta ,\gamma )} α , β , {\displaystyle \alpha ,\beta ,} γ {\displaystyle \gamma }
∫ 0 2 π d α ∫ 0 π d β sin β ∫ 0 2 π d γ D m ′ k ′ j ′ ( α , β , γ ) ∗ D m k j ( α , β , γ ) = 8 π 2 2 j + 1 δ m ′ m δ k ′ k δ j ′ j . {\displaystyle \int _{0}^{2\pi }d\alpha \int _{0}^{\pi }d\beta \sin \beta \int _{0}^{2\pi }d\gamma \,\,D_{m'k'}^{j'}(\alpha ,\beta ,\gamma )^{\ast }D_{mk}^{j}(\alpha ,\beta ,\gamma )={\frac {8\pi ^{2}}{2j+1}}\delta _{m'm}\delta _{k'k}\delta _{j'j}.} Это частный случай отношений ортогональности Шура .
Важно отметить, что по теореме Питера-Вейля они дополнительно образуют полный набор.
Тот факт, что D m k j ( α , β , γ ) {\displaystyle D_{mk}^{j}(\alpha ,\beta ,\gamma )} | l m ⟩ {\displaystyle |lm\rangle } R ( α , β , γ ) | l m ⟩ {\displaystyle {\mathcal {R}}(\alpha ,\beta ,\gamma )|lm\rangle } [3]
∑ k D m ′ k j ( α , β , γ ) ∗ D m k j ( α , β , γ ) = δ m , m ′ , {\displaystyle \sum _{k}D_{m'k}^{j}(\alpha ,\beta ,\gamma )^{*}D_{mk}^{j}(\alpha ,\beta ,\gamma )=\delta _{m,m'},} ∑ k D k m ′ j ( α , β , γ ) ∗ D k m j ( α , β , γ ) = δ m , m ′ . {\displaystyle \sum _{k}D_{km'}^{j}(\alpha ,\beta ,\gamma )^{*}D_{km}^{j}(\alpha ,\beta ,\gamma )=\delta _{m,m'}.} Групповые символы для SU(2) зависят только от угла поворота β , будучи функциями класса , поэтому, тогда, независимо от осей вращения,
χ j ( β ) ≡ ∑ m D m m j ( β ) = ∑ m d m m j ( β ) = sin ( ( 2 j + 1 ) β 2 ) sin ( β 2 ) , {\displaystyle \chi ^{j}(\beta )\equiv \sum _{m}D_{mm}^{j}(\beta )=\sum _{m}d_{mm}^{j}(\beta )={\frac {\sin \left({\frac {(2j+1)\beta }{2}}\right)}{\sin \left({\frac {\beta }{2}}\right)}},} и, следовательно, удовлетворяют более простым отношениям ортогональности через меру Хаара группы: [4]
1 π ∫ 0 2 π d β sin 2 ( β 2 ) χ j ( β ) χ j ′ ( β ) = δ j ′ j . {\displaystyle {\frac {1}{\pi }}\int _{0}^{2\pi }d\beta \sin ^{2}\left({\frac {\beta }{2}}\right)\chi ^{j}(\beta )\chi ^{j'}(\beta )=\delta _{j'j}.} Отношение полноты (выработанное в той же работе (3.95)) имеет вид
∑ j χ j ( β ) χ j ( β ′ ) = δ ( β − β ′ ) , {\displaystyle \sum _{j}\chi ^{j}(\beta )\chi ^{j}(\beta ')=\delta (\beta -\beta '),} откуда, для β ′ = 0 , {\displaystyle \beta '=0,}
∑ j χ j ( β ) ( 2 j + 1 ) = δ ( β ) . {\displaystyle \sum _{j}\chi ^{j}(\beta )(2j+1)=\delta (\beta ).} Кронекеровское произведение D-матриц Вигнера, ряд Гордана - Клебша Набор произведений Кронекера матриц
D j ( α , β , γ ) ⊗ D j ′ ( α , β , γ ) {\displaystyle \mathbf {D} ^{j}(\alpha ,\beta ,\gamma )\otimes \mathbf {D} ^{j'}(\alpha ,\beta ,\gamma )} образует приводимое матричное представление групп SO(3) и SU(2). Сокращение на неприводимые компоненты осуществляется по следующему уравнению: [3]
D m k j ( α , β , γ ) D m ′ k ′ j ′ ( α , β , γ ) = ∑ J = | j − j ′ | j + j ′ ⟨ j m j ′ m ′ | J ( m + m ′ ) ⟩ ⟨ j k j ′ k ′ | J ( k + k ′ ) ⟩ D ( m + m ′ ) ( k + k ′ ) J ( α , β , γ ) {\displaystyle D_{mk}^{j}(\alpha ,\beta ,\gamma )D_{m'k'}^{j'}(\alpha ,\beta ,\gamma )=\sum _{J=|j-j'|}^{j+j'}\langle jmj'm'|J\left(m+m'\right)\rangle \langle jkj'k'|J\left(k+k'\right)\rangle D_{\left(m+m'\right)\left(k+k'\right)}^{J}(\alpha ,\beta ,\gamma )} Символ ⟨ j 1 m 1 j 2 m 2 | j 3 m 3 ⟩ {\displaystyle \langle j_{1}m_{1}j_{2}m_{2}|j_{3}m_{3}\rangle } коэффициент Клебша–Гордана .
со сферическими гармониками и полиномами Связь Лежандра Для целочисленных значений l {\displaystyle l} сферическим гармоникам и связанным с ними полиномам Лежандра , нормированным к единице и с фазовым соглашением Кондона и Шортли:
D m 0 ℓ ( α , β , γ ) = 4 π 2 ℓ + 1 Y ℓ m ∗ ( β , α ) = ( ℓ − m ) ! ( ℓ + m ) ! P ℓ m ( cos β ) e − i m α . {\displaystyle D_{m0}^{\ell }(\alpha ,\beta ,\gamma )={\sqrt {\frac {4\pi }{2\ell +1}}}Y_{\ell }^{m*}(\beta ,\alpha )={\sqrt {\frac {(\ell -m)!}{(\ell +m)!}}}\,P_{\ell }^{m}(\cos {\beta })\,e^{-im\alpha }.} Отсюда следует следующее соотношение для d-матрицы:
d m 0 ℓ ( β ) = ( ℓ − m ) ! ( ℓ + m ) ! P ℓ m ( cos β ) . {\displaystyle d_{m0}^{\ell }(\beta )={\sqrt {\frac {(\ell -m)!}{(\ell +m)!}}}\,P_{\ell }^{m}(\cos {\beta }).} Вращение сферических гармоник ⟨ θ , ϕ | ℓ m ′ ⟩ {\displaystyle \langle \theta ,\phi |\ell m'\rangle }
∑ m ′ = − ℓ ℓ Y ℓ m ′ ( θ , ϕ ) D m ′ m ℓ ( α , β , γ ) . {\displaystyle \sum _{m'=-\ell }^{\ell }Y_{\ell }^{m'}(\theta ,\phi )~D_{m'~m}^{\ell }(\alpha ,\beta ,\gamma ).} Когда оба индекса равны нулю, элементы D-матрицы Вигнера задаются обычными полиномами Лежандра :
D 0 , 0 ℓ ( α , β , γ ) = d 0 , 0 ℓ ( β ) = P ℓ ( cos β ) . {\displaystyle D_{0,0}^{\ell }(\alpha ,\beta ,\gamma )=d_{0,0}^{\ell }(\beta )=P_{\ell }(\cos \beta ).} В нынешнем соглашении об углах Эйлера α {\displaystyle \alpha } β {\displaystyle \beta } z - y - z соглашение часто используется в молекулярной физике.Из свойства обращения времени вигнеровской D-матрицы сразу следует
( Y ℓ m ) ∗ = ( − 1 ) m Y ℓ − m . {\displaystyle \left(Y_{\ell }^{m}\right)^{*}=(-1)^{m}Y_{\ell }^{-m}.} Существует более общая связь со спин-взвешенными сферическими гармониками :
D m s ℓ ( α , β , − γ ) = ( − 1 ) s 4 π 2 ℓ + 1 s Y ℓ m ( β , α ) e i s γ . {\displaystyle D_{ms}^{\ell }(\alpha ,\beta ,-\gamma )=(-1)^{s}{\sqrt {\frac {4\pi }{2{\ell }+1}}}{}_{s}Y_{\ell }^{m}(\beta ,\alpha )e^{is\gamma }.} [5] с вероятностью перехода ротациях Связь при Абсолютный квадрат элемента D-матрицы,
F m m ′ ( β ) = | D m m ′ j ( α , β , γ ) | 2 , {\displaystyle F_{mm'}(\beta )=|D_{mm'}^{j}(\alpha ,\beta ,\gamma )|^{2},} дает вероятность того, что система со спином j {\displaystyle j} m {\displaystyle m} m ′ {\displaystyle m'} β {\displaystyle \beta } F m m ′ {\displaystyle F_{mm'}} β {\displaystyle \beta }
Примечательно, что проблема собственных значений для F {\displaystyle F} [6] [7]
∑ m ′ = − j j F m m ′ ( β ) f ℓ j ( m ′ ) = P ℓ ( cos β ) f ℓ j ( m ) ( ℓ = 0 , 1 , … , 2 j ) . {\displaystyle \sum _{m'=-j}^{j}F_{mm'}(\beta )f_{\ell }^{j}(m')=P_{\ell }(\cos \beta )f_{\ell }^{j}(m)\qquad (\ell =0,1,\ldots ,2j).} Здесь собственный вектор, f ℓ j ( m ) {\displaystyle f_{\ell }^{j}(m)} дискретный полином Чебышева , и соответствующее собственное значение, P ℓ ( cos β ) {\displaystyle P_{\ell }(\cos \beta )}
с Бесселя Связь функциями В пределе, когда ℓ ≫ m , m ′ {\displaystyle \ell \gg m,m^{\prime }}
D m m ′ ℓ ( α , β , γ ) ≈ e − i m α − i m ′ γ J m − m ′ ( ℓ β ) {\displaystyle D_{mm'}^{\ell }(\alpha ,\beta ,\gamma )\approx e^{-im\alpha -im'\gamma }J_{m-m'}(\ell \beta )} где J m − m ′ ( ℓ β ) {\displaystyle J_{m-m'}(\ell \beta )} функция Бесселя и ℓ β {\displaystyle \ell \beta }
Список элементов d-матрицы [ править ] Используя соглашение о знаках Вигнера и др. элементы d-матрицы d m ′ m j ( θ ) {\displaystyle d_{m'm}^{j}(\theta )} j = 1/2, 1, 3/2 и 2 приведены ниже.
для j = 1/2
d 1 2 , 1 2 1 2 = cos θ 2 d 1 2 , − 1 2 1 2 = − sin θ 2 {\displaystyle {\begin{aligned}d_{{\frac {1}{2}},{\frac {1}{2}}}^{\frac {1}{2}}&=\cos {\frac {\theta }{2}}\\[6pt]d_{{\frac {1}{2}},-{\frac {1}{2}}}^{\frac {1}{2}}&=-\sin {\frac {\theta }{2}}\end{aligned}}} для j = 1
d 1 , 1 1 = 1 2 ( 1 + cos θ ) d 1 , 0 1 = − 1 2 sin θ d 1 , − 1 1 = 1 2 ( 1 − cos θ ) d 0 , 0 1 = cos θ {\displaystyle {\begin{aligned}d_{1,1}^{1}&={\frac {1}{2}}(1+\cos \theta )\\[6pt]d_{1,0}^{1}&=-{\frac {1}{\sqrt {2}}}\sin \theta \\[6pt]d_{1,-1}^{1}&={\frac {1}{2}}(1-\cos \theta )\\[6pt]d_{0,0}^{1}&=\cos \theta \end{aligned}}} для j = 3/2
d 3 2 , 3 2 3 2 = 1 2 ( 1 + cos θ ) cos θ 2 d 3 2 , 1 2 3 2 = − 3 2 ( 1 + cos θ ) sin θ 2 d 3 2 , − 1 2 3 2 = 3 2 ( 1 − cos θ ) cos θ 2 d 3 2 , − 3 2 3 2 = − 1 2 ( 1 − cos θ ) sin θ 2 d 1 2 , 1 2 3 2 = 1 2 ( 3 cos θ − 1 ) cos θ 2 d 1 2 , − 1 2 3 2 = − 1 2 ( 3 cos θ + 1 ) sin θ 2 {\displaystyle {\begin{aligned}d_{{\frac {3}{2}},{\frac {3}{2}}}^{\frac {3}{2}}&={\frac {1}{2}}(1+\cos \theta )\cos {\frac {\theta }{2}}\\[6pt]d_{{\frac {3}{2}},{\frac {1}{2}}}^{\frac {3}{2}}&=-{\frac {\sqrt {3}}{2}}(1+\cos \theta )\sin {\frac {\theta }{2}}\\[6pt]d_{{\frac {3}{2}},-{\frac {1}{2}}}^{\frac {3}{2}}&={\frac {\sqrt {3}}{2}}(1-\cos \theta )\cos {\frac {\theta }{2}}\\[6pt]d_{{\frac {3}{2}},-{\frac {3}{2}}}^{\frac {3}{2}}&=-{\frac {1}{2}}(1-\cos \theta )\sin {\frac {\theta }{2}}\\[6pt]d_{{\frac {1}{2}},{\frac {1}{2}}}^{\frac {3}{2}}&={\frac {1}{2}}(3\cos \theta -1)\cos {\frac {\theta }{2}}\\[6pt]d_{{\frac {1}{2}},-{\frac {1}{2}}}^{\frac {3}{2}}&=-{\frac {1}{2}}(3\cos \theta +1)\sin {\frac {\theta }{2}}\end{aligned}}} для j = 2 [8]
d 2 , 2 2 = 1 4 ( 1 + cos θ ) 2 d 2 , 1 2 = − 1 2 sin θ ( 1 + cos θ ) d 2 , 0 2 = 3 8 sin 2 θ d 2 , − 1 2 = − 1 2 sin θ ( 1 − cos θ ) d 2 , − 2 2 = 1 4 ( 1 − cos θ ) 2 d 1 , 1 2 = 1 2 ( 2 cos 2 θ + cos θ − 1 ) d 1 , 0 2 = − 3 8 sin 2 θ d 1 , − 1 2 = 1 2 ( − 2 cos 2 θ + cos θ + 1 ) d 0 , 0 2 = 1 2 ( 3 cos 2 θ − 1 ) {\displaystyle {\begin{aligned}d_{2,2}^{2}&={\frac {1}{4}}\left(1+\cos \theta \right)^{2}\\[6pt]d_{2,1}^{2}&=-{\frac {1}{2}}\sin \theta \left(1+\cos \theta \right)\\[6pt]d_{2,0}^{2}&={\sqrt {\frac {3}{8}}}\sin ^{2}\theta \\[6pt]d_{2,-1}^{2}&=-{\frac {1}{2}}\sin \theta \left(1-\cos \theta \right)\\[6pt]d_{2,-2}^{2}&={\frac {1}{4}}\left(1-\cos \theta \right)^{2}\\[6pt]d_{1,1}^{2}&={\frac {1}{2}}\left(2\cos ^{2}\theta +\cos \theta -1\right)\\[6pt]d_{1,0}^{2}&=-{\sqrt {\frac {3}{8}}}\sin 2\theta \\[6pt]d_{1,-1}^{2}&={\frac {1}{2}}\left(-2\cos ^{2}\theta +\cos \theta +1\right)\\[6pt]d_{0,0}^{2}&={\frac {1}{2}}\left(3\cos ^{2}\theta -1\right)\end{aligned}}} Элементы d-матрицы Вигнера с переставленными местами нижними индексами находятся по соотношению:
d m ′ , m j = ( − 1 ) m − m ′ d m , m ′ j = d − m , − m ′ j . {\displaystyle d_{m',m}^{j}=(-1)^{m-m'}d_{m,m'}^{j}=d_{-m,-m'}^{j}.} Симметрии и особые случаи [ править ] d m ′ , m j ( π ) = ( − 1 ) j − m δ m ′ , − m d m ′ , m j ( π − β ) = ( − 1 ) j + m ′ d m ′ , − m j ( β ) d m ′ , m j ( π + β ) = ( − 1 ) j − m d m ′ , − m j ( β ) d m ′ , m j ( 2 π + β ) = ( − 1 ) 2 j d m ′ , m j ( β ) d m ′ , m j ( − β ) = d m , m ′ j ( β ) = ( − 1 ) m ′ − m d m ′ , m j ( β ) {\displaystyle {\begin{aligned}d_{m',m}^{j}(\pi )&=(-1)^{j-m}\delta _{m',-m}\\[6pt]d_{m',m}^{j}(\pi -\beta )&=(-1)^{j+m'}d_{m',-m}^{j}(\beta )\\[6pt]d_{m',m}^{j}(\pi +\beta )&=(-1)^{j-m}d_{m',-m}^{j}(\beta )\\[6pt]d_{m',m}^{j}(2\pi +\beta )&=(-1)^{2j}d_{m',m}^{j}(\beta )\\[6pt]d_{m',m}^{j}(-\beta )&=d_{m,m'}^{j}(\beta )=(-1)^{m'-m}d_{m',m}^{j}(\beta )\end{aligned}}} ^ Вигнер, Э.П. (1951) [1931]. Теория групп и ее приложения к квантовой механике атомных спектров . Брауншвейг: Vieweg Verlag. OCLC 602430512 . Теория групп и ее применение к квантовой механике атомных спектров ISBN 978-1-4832-7576-5 ^ Биденхарн, LC; Лук, Джей Ди (1981). Угловой момент в квантовой физике . Чтение: Аддисон-Уэсли. ISBN 0-201-13507-8 ↑ Перейти обратно: Перейти обратно: а б Роуз, Моррис Эдгар (1995) [1957]. Элементарная теория углового момента ISBN 0-486-68480-6 OCLC 31374243 . ^ Швингер, Дж. (26 января 1952 г.). Об угловом моменте Гарвардский университет , Ассоциация ядерного развития. дои : 10.2172/4389568 . NYO-3071, TRN: US200506%%295. ^ Сираиси, М. (2013). «Приложение A: Спин-взвешенная сферическая гармоническая функция» (PDF) . Исследование ранней Вселенной с помощью скалярного, векторного и тензорного биспектра реликтового излучения (доктор философии). Нагойский университет. стр. 153–4. ISBN 978-4-431-54180-6 ^ Меклер, А. (1958). «Формула Майораны». Физический обзор . 111 (6): 1447. doi : 10.1103/PhysRev.111.1447 . ^ Мермин, Северная Дакота; Шварц, генеральный директор (1982). «Совместные распределения и локальный реализм в эксперименте Эйнштейна-Подольского-Розена с высшим спином». Основы физики . 12 (2): 101. дои : 10.1007/BF00736844 . S2CID 121648820 . ^ Иден, М. (2003). «Компьютерное моделирование в ЯМР твердого тела. I. Теория спиновой динамики». Концепции магнитного резонанса . Часть A. 17А (1): 117–154. дои : 10.1002/cmr.a.10061 . Внешние ссылки [ править ] ![{\displaystyle [J_{x},J_{y}]=iJ_{z},\quad [J_{z},J_{x}]=iJ_{y},\quad [J_{y},J_{z }]=iJ_{x},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/174ba69063f90a76d451af6dea3b8e8519411e7c)
![{\displaystyle d_{m'm}^{j}(\beta )=[(j+m')!(jm')!(j+m)!(jm)!]^{\frac {1}{ 2}}\sum _{s=s_{\mathrm {min} }}^{s_{\mathrm {max} }}\left[{\frac {(-1)^{m'-m+s}\ left(\cos {\frac {\beta }{2}}\right)^{2j+mm'-2s}\left(\sin {\frac {\beta }{2}}\right)^{m' -m+2s}}{(j+ms)!s!(m'-m+s)!(jm'-s)!}}\right].}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8a61f599b558e2540e6d57e30d7f7c4dd2c1fa9b)
![{\displaystyle d_{m'm}^{j}(\beta)=(-1)^{\frac {mm'-|mm'|}{2}}\left[{\frac {(j+M )!(jM)!}{(j+N)!(jN)!}}\right]^{\frac {1}{2}}\left(\sin {\frac {\beta }{2}} \right)^{|mm'|}\left(\cos {\frac {\beta }{2}}\right)^{|m+m'|}P_{jm}^{(|mm'|, |m+m'|)}(\cos \beta ).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/24a00f0527443de455459080454c12cdfaec4776)
![{\displaystyle \left[{\mathcal {J}}_{1}, {\mathcal {J}}_{2} \right]=i{\mathcal {J}}_{3},\qquad {\ hbox{and}}\qquad \left[{\mathcal {P}}_{1},{\mathcal {P}}_{2}\right]=-i{\mathcal {P}}_{3} ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2326a21d58e05ac4f1307e913b9885b33458a16f)
![{\displaystyle \left[{\mathcal {P}}_{i}, {\mathcal {J}}_{j}\right]=0,\quad i,j=1,2,3,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6154fa1b814eb691be07d38efdd69930fb5d03cd)
![{\displaystyle {\begin{aligned}d_{{\frac {1}{2}},{\frac {1}{2}}}^{\frac {1}{2}}&=\cos {\ frac {\theta }{2}}\\[6pt]d_{{\frac {1}{2}},-{\frac {1}{2}}}^{\frac {1}{2}} &=-\sin {\frac {\theta }{2}}\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a2e5474f4cbdd9e476644650d447f05a2bf6bcf2)
![{\displaystyle {\begin{aligned}d_{1,1}^{1}&={\frac {1}{2}}(1+\cos \theta )\\[6pt]d_{1,0} ^{1}&=-{\frac {1}{\sqrt {2}}}\sin \theta\[6pt]d_{1,-1}^{1}&={\frac {1}{ 2 }}(1-\cos \theta )\\[6pt]d_{0.0}^{1}&=\cos \theta\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/016c3cd83ccd7f285334e8f03a4413183fc12ac4)
![{\displaystyle {\begin{aligned}d_{{\frac {3}{2}},{\frac {3}{2}}}^{\frac {3}{2}}&={\frac { 1}{2}}(1+\cos \theta )\cos {\frac {\theta }{2}}\\[6pt]d_{{\frac {3}{2}},{\frac {1 }{2}}}^{\frac {3}{2}}&=-{\frac {\sqrt {3}}{2}}(1+\cos \theta )\sin {\frac {\theta }{2}}\\[6pt]d_{{\frac {3}{2}},-{\frac {1}{2}}}^{\frac {3}{2}}&={\ frac {\sqrt {3}}{2}}(1-\cos \theta )\cos {\frac {\theta }{2}}\\[6pt]d_{{\frac {3}{2}} ,-{\frac {3}{2}}}^{\frac {3}{2}}&=-{\frac {1}{2}}(1-\cos \theta )\sin {\frac {\theta }{2}}\\[6pt]d_{{\frac {1}{2}},{\frac {1}{2}}}^{\frac {3}{2}}&= {\frac {1}{2}}(3\cos \theta -1)\cos {\frac {\theta }{2}}\\[6pt]d_{{\frac {1}{2}}, -{\frac {1}{2}}}^{\frac {3}{2}}&=-{\frac {1}{2}}(3\cos \theta +1)\sin {\frac {\theta }{2}}\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3abde770b0ef91fba9d3d318f7cc82387361e913)
![{\displaystyle {\begin{aligned}d_{2,2}^{2}&={\frac {1}{4}}\left(1+\cos \theta \right)^{2}\\[ 6pt]d_{2,1}^{2}&=-{\frac {1}{2}}\sin \theta \left(1+\cos \theta \right)\\[6pt]d_{2, 0}^{2}&={\sqrt {\frac {3}{8}}}\sin ^{2}\theta \\[6pt]d_{2,-1}^{2}&=-{ \frac {1}{2}}\sin \theta \left(1-\cos \theta \right)\\[6pt]d_{2,-2}^{2}&={\frac {1}{ 4}}\left(1-\cos \theta \right)^{2}\\[6pt]d_{1,1}^{2}&={\frac {1}{2}}\left(2 \cos ^{2}\theta +\cos \theta -1\right)\\[6pt]d_{1,0}^{2}&=-{\sqrt {\frac {3}{8}}} \sin 2\theta \\[6pt]d_{1,-1}^{2}&={\frac {1}{2}}\left(-2\cos ^{2}\theta +\cos \ theta +1\right)\\[6pt]d_{0,0}^{2}&={\frac {1}{2}}\left(3\cos ^{2}\theta -1\right) \end{выровнено}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4371f5663c4a9625357ce17d64397dd63f981117)
![{\displaystyle {\begin{aligned}d_{m',m}^{j}(\pi)&=(-1)^{jm}\delta _{m',-m}\\[6pt]d_ {m',m}^{j}(\pi -\beta )&=(-1)^{j+m'}d_{m',-m}^{j}(\beta )\\[6pt ]d_{m',m}^{j}(\pi +\beta )&=(-1)^{jm}d_{m',-m}^{j}(\beta )\\[6pt] d_{m',m}^{j}(2\pi +\beta )&=(-1)^{2j}d_{m',m}^{j}(\beta )\\[6pt]d_ {m',m}^{j}(-\beta )&=d_{m,m'}^{j}(\beta )=(-1)^{m'-m}d_{m',m }^{j}(\beta )\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1485b033a390e8fae8a19860ef2a90509dc5ddba)