Спин-взвешенные сферические гармоники

Не путать со спинорными сферическими гармониками .

В специальных функциях , теме математики , спин-взвешенные сферические гармоники являются обобщениями стандартных сферических гармоник и, как и обычные сферические гармоники, являются функциями на сфере . В отличие от обычных сферических гармоник, спин-взвешенные гармоники представляют собой U (1), калибровочные поля а не скалярные поля : математически они принимают значения в комплексном линейном расслоении . Взвешенные по спину гармоники организованы по степени l , как и обычные сферические гармоники, но имеют дополнительный спиновый вес s , который отражает дополнительную симметрию U(1) . Особую основу гармоник можно получить из сферических гармоник Лапласа Y _lm , которые обычно обозначаются _s Y _lm , где l и m — обычные параметры, известные из стандартных сферических гармоник Лапласа. В этом специальном базисе спин-взвешенные сферические гармоники появляются как реальные функции, поскольку выбор полярной оси фиксирует калибровочную неоднозначность U (1) . Взвешенные по спину сферические гармоники можно получить из стандартных сферических гармоник, применив уравнение Операторы подъема и опускания спина . В частности, взвешенные по спину сферические гармоники со спиновым весом s = 0 являются просто стандартными сферическими гармониками:

${}_{0}Y_{lm}=Y_{lm}\ .$

Пространства спин-взвешенных сферических гармоник были впервые идентифицированы в связи с теорией представлений группы Лоренца ( Гельфанд, Минлос и Шапиро, 1958 ). Впоследствии они были независимо заново открыты Ньюманом и Пенроузом (1966) и применены для описания гравитационного излучения , а также снова Ву и Янгом (1976) как так называемые «монопольные гармоники» при изучении монополей Дирака .

Спин-взвешенные функции

Рассмотрим сферу S ² как вложенный в трехмерное евклидово пространство R ³ . В точке x на сфере положительно ориентированный ортонормированный базис в касательных векторов x представляет собой пару a , b векторов такую, что

${\begin{aligned}\mathbf {x} \cdot \mathbf {a} =\mathbf {x} \cdot \mathbf {b} &=0\\\mathbf {a} \cdot \mathbf {a} =\mathbf {b} \cdot \mathbf {b} &=1\\\mathbf {a} \cdot \mathbf {b} &=0\\\mathbf {x} \cdot (\mathbf {a} \times \mathbf {b} )&>0,\end{aligned}}$

где первая пара уравнений утверждает, что a и b касаются точки x , вторая пара утверждает, что и b являются единичными векторами , предпоследнее уравнение, что a и b ортогональны a , и последнее уравнение, что ( x , a , b ) является правым базисом R ³ .

спин-веса s Функция f — это функция, принимающая в качестве входных данных точку x из S. ² и положительно ориентированный ортонормированный базис касательных векторов в точке x такой, что

$f{\bigl (}\mathbf {x} ,(\cos \theta )\mathbf {a} -(\sin \theta )\mathbf {b} ,(\sin \theta )\mathbf {a} +(\cos \theta )\mathbf {b} {\bigr )}=e^{is\theta }f(\mathbf {x} ,\mathbf {a} ,\mathbf {b} )$

для каждого угла поворота θ .

Следуя Иствуду и Тоду (1982) , обозначим совокупность всех s -функций спин-веса через B ( s ) . Конкретно под ними понимаются функции f на C ² \{0 }, удовлетворяющий следующему закону однородности при комплексном масштабировании

$f\left(\lambda z,{\overline {\lambda }}{\bar {z}}\right)=\left({\frac {\overline {\lambda }}{\lambda }}\right)^{s}f\left(z,{\bar {z}}\right).$

Это имеет смысл, если s является полуцелым числом.

Абстрактно, B ( s ) изоморфно лежащему гладкому векторному расслоению, в основе антиголоморфного векторного расслоения O (2 s ) на поворота Серра комплексной проективной прямой CP ¹ . Сечением последнего расслоения является функция g на C ² \{0 } удовлетворительно

$g\left(\lambda z,{\overline {\lambda }}{\bar {z}}\right)={\overline {\lambda }}^{2s}g\left(z,{\bar {z}}\right).$

Учитывая такое g , мы можем получить функцию спин-веса s путем умножения на подходящую степень эрмитовой формы

$P\left(z,{\bar {z}}\right)=z\cdot {\bar {z}}.$

В частности, f = P ^{− с} g -функция спин-веса — s . Ассоциация спин-взвешенной функции с обычной однородной функцией является изоморфизмом.

Оператор ð

Расслоения спиновых весов B ( s ) снабжены дифференциальным оператором ð ( eth ). Этот оператор по сути является оператором Дольбо , после того как были сделаны соответствующие идентификации:

$\partial :{\overline {\mathbf {O} (2s)}}\to {\mathcal {E}}^{1,0}\otimes {\overline {\mathbf {O} (2s)}}\cong {\overline {\mathbf {O} (2s)}}\otimes \mathbf {O} (-2).$

для f ∈ B ( s ) Таким образом ,

$\eth f\ {\stackrel {\text{def}}{=}}\ P^{-s+1}\partial \left(P^{s}f\right)$

определяет функцию спин-веса s + 1 .

Спин

Точно так же, как обычные сферические гармоники являются собственными функциями оператора Лапласа-Бельтрами на сфере, s -гармоники спин-веса являются собственными сечениями оператора Лапласа-Бельтрами, действующего на расслоения E ( s ) -функций спин-веса s .

Представление в виде функций

Взвешенные по спину гармоники можно представить как функции на сфере, если точка на сфере выбрана в качестве северного полюса. По определению функция η со спиновым весом s преобразуется при вращении вокруг полюса по формуле

$\eta \rightarrow e^{is\psi }\eta .$

Работая в стандартных сферических координатах, мы можем определить конкретный оператор ð, действующий на функцию η , как:

$\eth \eta =-\left(\sin {\theta }\right)^{s}\left\{{\frac {\partial }{\partial \theta }}+{\frac {i}{\sin {\theta }}}{\frac {\partial }{\partial \phi }}\right\}\left[\left(\sin {\theta }\right)^{-s}\eta \right].$

Это дает нам еще одну функцию от θ и φ . (Оператор ð фактически является ковариантным оператором производной в сфере.)

Важным свойством новой функции ðη является то, что если η имела спиновый вес s , то ðη имеет спиновый вес s + 1 . Таким образом, оператор увеличивает спин-вес функции на 1. Аналогичным образом мы можем определить оператор ð, который будет уменьшать спин-вес функции на 1:

${\bar {\eth }}\eta =-\left(\sin {\theta }\right)^{-s}\left\{{\frac {\partial }{\partial \theta }}-{\frac {i}{\sin {\theta }}}{\frac {\partial }{\partial \phi }}\right\}\left[\left(\sin {\theta }\right)^{s}\eta \right].$

Взвешенные по спину сферические гармоники затем определяются в терминах обычных сферических гармоник как:

${}_{s}Y_{lm}={\begin{cases}{\sqrt {\frac {(l-s)!}{(l+s)!}}}\ \eth ^{s}Y_{lm},&&0\leq s\leq l;\\{\sqrt {\frac {(l+s)!}{(l-s)!}}}\ \left(-1\right)^{s}{\bar {\eth }}^{-s}Y_{lm},&&-l\leq s\leq 0;\\0,&&l<|s|.\end{cases}}$

Тогда функции _s Y _lm обладают свойством преобразования со спин-весом s .

К другим важным свойствам относятся следующие:

${\begin{aligned}\eth \left({}_{s}Y_{lm}\right)&=+{\sqrt {(l-s)(l+s+1)}}\,{}_{s+1}Y_{lm};\\{\bar {\eth }}\left({}_{s}Y_{lm}\right)&=-{\sqrt {(l+s)(l-s+1)}}\,{}_{s-1}Y_{lm};\end{aligned}}$

и

Гармоники ортогональны по всей сфере:

$\int _{S^{2}}{}_{s}Y_{lm}\,{}_{s}{\bar {Y}}_{l'm'}\,dS=\delta _{ll'}\delta _{mm'},$

и удовлетворяем соотношению полноты

$\sum _{lm}{}_{s}{\bar {Y}}_{lm}\left(\theta ',\phi '\right){}_{s}Y_{lm}(\theta ,\phi )=\delta \left(\phi '-\phi \right)\delta \left(\cos \theta '-\cos \theta \right)$

Расчет

Эти гармоники можно явно вычислить несколькими методами. Очевидная рекурсивная связь возникает в результате многократного применения операторов повышения или понижения. Формулы для прямого расчета были получены Goldberg et al. (1967) . Обратите внимание, что в их формулах используется старый выбор для фазы Кондона – Шортли . Выбранное ниже соглашение соответствует, например, Mathematica.

Наиболее полезной из формул Голдберга и др. является следующая:

${}_{s}Y_{lm}(\theta ,\phi )=\left(-1\right)^{l+m-s}{\sqrt {\frac {(l+m)!(l-m)!(2l+1)}{4\pi (l+s)!(l-s)!}}}\sin ^{2l}\left({\frac {\theta }{2}}\right)e^{im\phi }\times \sum _{r=0}^{l-s}\left(-1\right)^{r}{l-s \choose r}{l+s \choose r+s-m}\cot ^{2r+s-m}\left({\frac {\theta }{2}}\right)\,.$

Блокнот Mathematica, использующий эту формулу для расчета произвольных спин-взвешенных сферических гармоник, можно найти здесь .

С фазовым соглашением здесь:

${\begin{aligned}{}_{s}{\bar {Y}}_{lm}&=\left(-1\right)^{s+m}{}_{-s}Y_{l(-m)}\\{}_{s}Y_{lm}(\pi -\theta ,\phi +\pi )&=\left(-1\right)^{l}{}_{-s}Y_{lm}(\theta ,\phi ).\end{aligned}}$

спин-взвешенных

Аналитические выражения для первых нескольких ортонормированных спин-взвешенных сферических гармоник:

Вес вращения s = 1 , степень l = 1

${\begin{aligned}{}_{1}Y_{10}(\theta ,\phi )&={\sqrt {\frac {3}{8\pi }}}\,\sin \theta \\{}_{1}Y_{1\pm 1}(\theta ,\phi )&=-{\sqrt {\frac {3}{16\pi }}}(1\mp \cos \theta )\,e^{\pm i\phi }\end{aligned}}$

с матрицами

$D_{-ms}^{l}(\phi ,\theta ,-\psi )=\left(-1\right)^{m}{\sqrt {\frac {4\pi }{2l+1}}}{}_{s}Y_{lm}(\theta ,\phi )e^{is\psi }$

Это соотношение позволяет рассчитывать спиновые гармоники с использованием рекурсивных соотношений для D -матриц .

Тройной интеграл

Тройной интеграл в случае, когда s ₁ + s ₂ + s ₃ = 0, задается через 3 -j символ :

$\int _{S^{2}}\,{}_{s_{1}}Y_{j_{1}m_{1}}\,{}_{s_{2}}Y_{j_{2}m_{2}}\,{}_{s_{3}}Y_{j_{3}m_{3}}={\sqrt {\frac {\left(2j_{1}+1\right)\left(2j_{2}+1\right)\left(2j_{3}+1\right)}{4\pi }}}{\begin{pmatrix}j_{1}&j_{2}&j_{3}\\m_{1}&m_{2}&m_{3}\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}j_{1}&j_{2}&j_{3}\\-s_{1}&-s_{2}&-s_{3}\end{pmatrix}}$

См. также

• Сферическая основа

Ссылки

• Дрей, Тевиан (май 1985 г.), «Взаимосвязь между монопольными гармониками и сферическими гармониками, взвешенными по спину» , J. Math. Физ. , 26 (5), Американский институт физики: 1030–1033, Бибкод : 1985JMP....26.1030D , doi : 10.1063/1.526533 .
• Иствуд, Майкл; Тод, Пол (1982), «Эдт — дифференциальный оператор на сфере», Mathematical Proceedings of the Cambridge Philosophical Society , 92 (2): 317–330, Bibcode : 1982MPCPS..92..317E , doi : 10.1017/S0305004100059971 , S2CID   121025245 .
• Gelfand, I. M. ; Minlos, Robert A. ; Shapiro, Z. Ja. (1958), Predstavleniya gruppy vrashcheni i gruppy Lorentsa, ikh primeneniya , Gosudarstv. Izdat. Fiz.-Mat. Lit., Moscow, MR  0114876 ; (1963) Representations of the rotation and Lorentz groups and their applications (translation). Macmillan Publishers.
• Гольдберг, Дж. Н.; Макфарлейн, Эй Джей; Ньюман, ET; Рорлих, Ф.; Сударшан, ЭКГ (ноябрь 1967 г.), «Сферические гармоники вращения и ð» , J. Math. Физ. , 8 (11), Американский институт физики: 2155–2161, Bibcode : 1967JMP.....8.2155G , doi : 10.1063/1.1705135 (Примечание: как упоминалось выше, в этой статье используется выбор для фазы Кондона-Шортли, который уже не стандарт.)
• Ньюман, ET ; Пенроуз, Р. (май 1966 г.), «Заметка о группе Бонди-Мецнера-Сакса» , J. Math. Физ. , 7 (5), Американский институт физики: 863–870, Бибкод : 1966JMP.....7..863N , doi : 10.1063/1.1931221 .
• У, Тай Цун; Ян, Чен Нин (1976), «Монополь Дирака без струн: монопольные гармоники», Nuclear Physics B , 107 (3): 365–380, Бибкод : 1976NuPhB.107..365W , doi : 10.1016/0550-3213(76) 90143-7 , МР   0471791 .