Оператор Лапласа–Бельтрами

Не путать с оператором Бельтрами .

В дифференциальной геометрии оператор Лапласа-Бельтрами является обобщением оператора Лапласа на функции, определенные на подмногообразиях в евклидовом пространстве и, в более общем плане, на римановых и псевдоримановых многообразиях . Он назван в честь Пьера-Симона Лапласа и Эухенио Бельтрами .

Для любой дважды дифференцируемой вещественной функции f, определенной в евклидовом пространстве R ^н оператор Лапласа (также известный как лапласиан ) переводит f в дивергенцию его векторного поля градиента , которое представляет собой сумму n чистых вторых производных f по отношению к каждому вектору ортонормированного базиса для R ^н . Как и оператор Лапласа, оператор Лапласа–Бельтрами определяется как дивергенция градиента и представляет собой линейный оператор, преобразующий функции в функции. Оператор можно расширить для работы с тензорами как с дивергенцией ковариантной производной. В качестве альтернативы оператор можно обобщить для работы с дифференциальными формами, используя дивергенцию и внешнюю производную . Результирующий оператор называется оператором Лапласа-де Рама (назван в честь Жоржа де Рама ).

Подробности

Оператор Лапласа-Бельтрами, как и лапласиан, представляет собой (риманову) дивергенцию (риманова) градиента :

$\Delta f={\rm {div}}(\nabla f).$

явная формула в локальных координатах Возможна .

Предположим сначала, что M — ориентированное риманово многообразие . Ориентация позволяет задать определенную форму объема на M , заданную в ориентированной системе координат x ^я к

$\operatorname {vol} _{n}:={\sqrt {|g|}}\;dx^{1}\wedge \cdots \wedge dx^{n}$

где | г | := |det( г _ij )| — абсолютное значение определителя а метрического тензора , dx ^я являются 1-формами, образующими двойную рамку к рамке

$\partial _{i}:={\frac {\partial }{\partial x^{i}}}$

касательного расслоения $TM$ и $\wedge$ это клиновое произведение .

Дивергенция векторного поля $X$ на многообразии тогда определяется как скалярная функция $\nabla \cdot X$ с имуществом

$(\nabla \cdot X)\operatorname {vol} _{n}:=L_{X}\operatorname {vol} _{n}$

где L _X — производная Ли вдоль поля X. векторного В локальных координатах получаем

$\nabla \cdot X={\frac {1}{\sqrt {|g|}}}\partial _{i}\left({\sqrt {|g|}}X^{i}\right)$

где здесь и далее обозначения Эйнштейна используются , так что повторяющийся индекс i суммируется.

Градиент скалярной функции ƒ — это векторное поле grad f , которое можно определить через скалярное произведение $\langle \cdot ,\cdot \rangle$ на многообразии, как

$\langle \operatorname {grad} f(x),v_{x}\rangle =df(x)(v_{x})$

для всех векторов v _x, закрепленных в точке x касательного пространства T _x M многообразия в точке x . Здесь d ƒ — внешняя производная функции ƒ; это 1-форма, принимающая аргумент v _x . В локальных координатах имеем

$\left(\operatorname {grad} f\right)^{i}=\partial ^{i}f=g^{ij}\partial _{j}f$

где г ^ij являются компонентами обратного метрического тензора , так что g ^ij г _jk = δ ^я _k с δ ^я _к Кронекера дельта .

Объединив определения градиента и дивергенции, формула для оператора Лапласа – Бельтрами, примененная к скалярной функции ƒ, в локальных координатах

$\Delta f={\frac {1}{\sqrt {|g|}}}\partial _{i}\left({\sqrt {|g|}}g^{ij}\partial _{j}f\right).$

Если M не ориентирован, то приведенный выше расчет выполняется точно так же, как представлено, за исключением того, что вместо этого форму объема необходимо заменить элементом объема ( плотностью, а не формой). Ни градиент, ни дивергенция фактически не зависят от выбора ориентации, поэтому сам оператор Лапласа–Бельтрами не зависит от этой дополнительной структуры.

Формальная самосопряженность

Внешняя производная $d$ и $-\nabla$ являются формальными сопряженными в том смысле, что для функции с компактным носителем $f$

$\int _{M}df(X)\operatorname {vol} _{n}=-\int _{M}f\nabla \cdot X\operatorname {vol} _{n}$     (доказательство)

где последнее равенство является применением теоремы Стокса . Дуализация дает

$\int _{M}f\,\Delta h\,\operatorname {vol} _{n}=-\int _{M}\langle df,dh\rangle \,\operatorname {vol} _{n}$ ( 2 )

для всех компактно поддерживаемых функций $f$ и $h$. И наоборот, ( 2 ) полностью характеризует оператор Лапласа–Бельтрами в том смысле, что это единственный оператор, обладающий этим свойством.

Как следствие, оператор Лапласа – Бельтрами отрицательен и формально самосопряжен, а это означает, что для функций с компактным носителем $f$ и $h$,

$\int _{M}f\,\Delta h\operatorname {vol} _{n}=-\int _{M}\langle df,dh\rangle \operatorname {vol} _{n}=\int _{M}h\,\Delta f\operatorname {vol} _{n}.$

Поскольку оператор Лапласа-Бельтрами, определенный таким образом, является отрицательным, а не положительным, часто его определяют с противоположным знаком.

Собственные значения оператора Лапласа–Бельтрами (теорема Лихнеровича

Обозначим через M компактное риманово многообразие без края. Мы хотим рассмотреть уравнение собственных значений,

$-\Delta u=\lambda u,$

где $u$ - собственная функция, связанная с собственным значением $\lambda$. Используя доказанную выше самосопряженность, можно показать, что собственные значения $\lambda$ реальны. Компактность многообразия $M$ позволяет показать, что собственные значения дискретны и, кроме того, векторное пространство собственных функций, связанных с данным собственным значением $\lambda$, т. е. все собственные пространства конечномерны. Обратите внимание, что, принимая постоянную функцию в качестве собственной функции, мы получаем $\lambda =0$ является собственным значением. Также поскольку мы рассмотрели $-\Delta$ интегрирование по частям показывает, что $\lambda \geq 0$. Точнее, если мы умножим уравнение собственных значений на собственную функцию $u$ и проинтегрируем полученное уравнение на $M$ получаем (используя обозначения $dV=\operatorname {vol} _{n}$):

$-\int _{M}\Delta u\ u\ dV=\lambda \int _{M}u^{2}\ dV$

Выполнение интегрирования по частям или что то же самое, что использование теоремы о расходимости слагаемого слева, и поскольку $M$ не имеет границ, мы получаем

$-\int _{M}\Delta u\ u\ dV=\int _{M}|\nabla u|^{2}\ dV$

Сложив два последних уравнения вместе, придем к

$\int _{M}|\nabla u|^{2}\ dV=\lambda \int _{M}u^{2}\ dV$

Из последнего уравнения делаем вывод, что $\lambda \geq 0$.

Фундаментальный результат Андре Лихнеровича. утверждает, что: Учитывая компактное n -мерное риманово многообразие без края с $n\geq 2$. Предположим, что кривизна Риччи удовлетворяет нижней границе:

$\operatorname {Ric} (X,X)\geq \kappa g(X,X),\kappa >0,$

где $g(\cdot ,\cdot )$ – метрический тензор и $X$ любой касательный вектор на многообразии $M$. Тогда первое положительное собственное значение $\lambda _{1}$ уравнения собственных значений удовлетворяет нижней границе:

$\lambda _{1}\geq {\frac {n}{n-1}}\kappa .$

Эта нижняя оценка является точной и достигается на сфере $\mathbb {S} ^{n}$. Фактически на $\mathbb {S} ^{2}$ собственное пространство для $\lambda _{1}$ трехмерен и натянут ограничением координатных функций $x_{1},x_{2},x_{3}$ от $\mathbb {R} ^{3}$ к $\mathbb {S} ^{2}$. Использование сферических координат $(\theta ,\phi )$, на $\mathbb {S} ^{2}$ двумерная сфера, набор

$x_{3}=\cos \phi =u_{1},$

мы легко видим из приведенной ниже формулы для сферического лапласиана, что

$-\Delta _{\mathbb {S} ^{2}}u_{1}=2u_{1}$

Таким образом, нижняя оценка в теореме Лихнеровича достигается по крайней мере в двух измерениях.

Обратное было доказано Морио Обата: что если бы n -мерное компактное риманово многообразие без края было таково, что для первого положительного собственного значения $\lambda _{1}$ у одного есть,

$\lambda _{1}={\frac {n}{n-1}}\kappa ,$

то многообразие изометрично n -мерной сфере $\mathbb {S} ^{n}{\bigg (}{\sqrt {\frac {n-1}{\kappa }}}{\bigg )}$, сфера радиуса ${\sqrt {\frac {n-1}{\kappa }}}$. Доказательства всех этих утверждений можно найти в книге Исаака Чавела. Аналогичные точные оценки справедливы и для других геометрий и для некоторых вырожденных лапласианов, связанных с этими геометриями, таких как лапласиан Кона (по Джозефу Дж. Кону ) на компактном CR-многообразии . Имеются приложения к глобальному вложению таких CR-многообразий в $\mathbb {C} ^{n}.$

Тензорный лапласиан

Оператор Лапласа-Бельтрами можно записать, используя след (или сокращение) повторной ковариантной производной, связанной со связностью Леви-Чивита. Гессиан (тензор) функции $f$ – симметричный 2-тензор

$\displaystyle {\mbox{Hess}}f\in \mathbf {\Gamma } ({\mathsf {T}}^{*}M\otimes {\mathsf {T}}^{*}M)$, ${\mbox{Hess}}f:=\nabla ^{2}f\equiv \nabla \nabla f\equiv \nabla \mathrm {d} f$,

где df обозначает (внешнюю) производную функции f .

Пусть X _i — базис касательных векторных полей (не обязательно индуцированный системой координат). Тогда компоненты Гесса f имеют вид

$({\mbox{Hess}}f)_{ij}={\mbox{Hess}}f(X_{i},X_{j})=\nabla _{X_{i}}\nabla _{X_{j}}f-\nabla _{\nabla _{X_{i}}X_{j}}f$

Легко видеть, что это преобразование тензорно, поскольку оно линейно по каждому из аргументов X _i , X _j . Тогда оператор Лапласа-Бельтрами является следом (или сжатием ) гессиана по отношению к метрике:

$\displaystyle \Delta f:=\mathrm {tr} \nabla \mathrm {d} f\in {\mathsf {C}}^{\infty }(M)$.

Точнее, это означает

$\displaystyle \Delta f(x)=\sum _{i=1}^{n}\nabla \mathrm {d} f(X_{i},X_{i})$,

или с точки зрения метрики

$\Delta f=\sum _{ij}g^{ij}({\mbox{Hess}}f)_{ij}.$

В абстрактных индексах оператор часто пишется

$\Delta f=\nabla ^{a}\nabla _{a}f$

при условии, что неявно понимается, что этот след на самом деле является следом тензора Гессе .

Поскольку ковариантная производная канонически распространяется на произвольные тензоры , оператор Лапласа – Бельтрами, определенный на тензоре T формулой

$\Delta T=g^{ij}\left(\nabla _{X_{i}}\nabla _{X_{j}}T-\nabla _{\nabla _{X_{i}}X_{j}}T\right)$

четко определен.

Оператор Лапласа-де Рама

В более общем смысле, можно определить дифференциальный оператор Лапласа на сечениях пучка дифференциальных форм на псевдоримановом многообразии . На римановом многообразии это эллиптический оператор , а на лоренцевом многообразии — гиперболический . Оператор Лапласа – де Рама определяется формулой

$\Delta =\mathrm {d} \delta +\delta \mathrm {d} =(\mathrm {d} +\delta )^{2},\;$

где d — внешняя производная или дифференциал, а δ — кодифференциал , действующий как (−1) ^{кн + н +1} ∗d∗ на k -формах, где ∗ — звезда Ходжа . Оператор первого порядка $\mathrm {d} +\delta$ – оператор Ходжа–Дирака.

При вычислении оператора Лапласа–де Рама на скалярной функции f мы имеем δf = 0 , так что

$\Delta f=\delta \,\mathrm {d} f.$

С точностью до общего знака оператор Лапласа-де Рама эквивалентен предыдущему определению оператора Лапласа-Бельтрами при воздействии на скалярную функцию; подробности см. в доказательстве. Что касается функций, оператор Лапласа-де Рама на самом деле является отрицательным по отношению к оператору Лапласа-Бельтрами, поскольку традиционная нормализация кодифференциала гарантирует , что оператор Лапласа-де Рама (формально) положительно определен , тогда как оператор Лапласа-Бельтрами обычно отрицательный. Знак — это всего лишь условность, и оба они широко распространены в литературе. Оператор Лапласа–де Рама более существенно отличается от тензорного лапласиана, ограниченного действием на кососимметричные тензоры. Помимо случайного знака, эти два оператора отличаются тождеством Вайценбека , которое явно включает в себя тензор кривизны Риччи .

Примеры

Многие примеры оператора Лапласа – Бельтрами можно решить явно.

Евклидово пространство

В обычных (ортонормированных) декартовых координатах x ^я в евклидовом пространстве метрика сводится к дельте Кронекера, и поэтому имеем $|g|=1$. Следовательно, в этом случае

$\Delta f={\frac {1}{\sqrt {|g|}}}\partial _{i}{\sqrt {|g|}}\partial ^{i}f=\partial _{i}\partial ^{i}f$

что является обычным лапласианом. В криволинейных координатах , таких как сферические или цилиндрические координаты , можно получить альтернативные выражения .

Аналогично, оператор Лапласа–Бельтрами, соответствующий метрике Минковского с сигнатурой (− + + +), является даламберианом .

Сферический лапласиан

Сферический лапласиан — это оператор Лапласа–Бельтрами на ( n − 1) -сфере с его канонической метрикой постоянной секционной кривизны 1. Сферу удобно считать изометрически вложенной в R ^н как единичная сфера с центром в начале координат. Тогда для функции f на S ^{п -1} сферический лапласиан определяется формулой

$\Delta _{S^{n-1}}f(x)=\Delta f(x/|x|)$

где f ( x /| x |) — однородное расширение нулевой степени функции f на R ^н − {0} и $\Delta$ является лапласианом окружающего евклидова пространства. Конкретно это следует из известной формулы для евклидова лапласиана в сферических полярных координатах:

$\Delta f=r^{1-n}{\frac {\partial }{\partial r}}\left(r^{n-1}{\frac {\partial f}{\partial r}}\right)+r^{-2}\Delta _{S^{n-1}}f.$

В более общем смысле, можно сформулировать аналогичный трюк, используя нормальное расслоение для определения оператора Лапласа – Бельтрами любого риманова многообразия, изометрически вложенного как гиперповерхность евклидова пространства.

Можно также дать внутреннее описание оператора Лапласа–Бельтрами на сфере в нормальной системе координат . Пусть ( φ , ξ ) — сферические координаты на сфере относительно конкретной точки p сферы («северный полюс»), то есть геодезические полярные координаты относительно p . Здесь φ представляет собой измерение широты вдоль геодезической с единичной скоростью от p , а ξ — параметр, представляющий выбор направления геодезической в ​​S. ^{п -1} . Тогда сферический лапласиан имеет вид:

$\Delta _{S^{n-1}}f(\xi ,\phi )=(\sin \phi )^{2-n}{\frac {\partial }{\partial \phi }}\left((\sin \phi )^{n-2}{\frac {\partial f}{\partial \phi }}\right)+(\sin \phi )^{-2}\Delta _{\xi }f$

где $\Delta _{\xi }$ — оператор Лапласа–Бельтрами на обычной единичной ( n − 2) -сфере. В частности, для обычной 2-сферы, используя стандартные обозначения полярных координат, получаем:

$\Delta _{S^{2}}f(\theta ,\phi )=(\sin \phi )^{-1}{\frac {\partial }{\partial \phi }}\left(\sin \phi {\frac {\partial f}{\partial \phi }}\right)+(\sin \phi )^{-2}{\frac {\partial ^{2}}{\partial \theta ^{2}}}f$

Гиперболическое пространство

Похожий метод работает в гиперболическом пространстве . Здесь гиперболическое пространство H ^{п -1} может быть вложено в n- мерное пространство Минковского , вещественное векторное пространство, имеющее квадратичную форму

$q(x)=x_{1}^{2}-x_{2}^{2}-\cdots -x_{n}^{2}.$

Тогда Х ^н - это подмножество будущего нулевого конуса в пространстве Минковского, заданное формулой

$H^{n}=\{x\mid q(x)=1,x_{1}>1\}.\,$

Затем

$\Delta _{H^{n-1}}f=\left.\Box f\left(x/q(x)^{1/2}\right)\right|_{H^{n-1}}$

Здесь $f(x/q(x)^{1/2})$ степени нуль — однородное расширение f внутрь будущего нулевого конуса, а □ — волновой оператор

$\Box ={\frac {\partial ^{2}}{\partial x_{1}^{2}}}-\cdots -{\frac {\partial ^{2}}{\partial x_{n}^{2}}}.$

Оператор также можно записать в полярных координатах. Пусть ( t , ξ ) — сферические координаты на сфере относительно конкретной точки p из H ^{п -1} (скажем, центр диска Пуанкаре ). Здесь t представляет собой гиперболическое расстояние от p , а ξ - параметр, представляющий выбор направления геодезической в ​​S. ^{п -2} . Тогда гиперболический лапласиан имеет вид:

$\Delta _{H^{n-1}}f(t,\xi )=\sinh(t)^{2-n}{\frac {\partial }{\partial t}}\left(\sinh(t)^{n-2}{\frac {\partial f}{\partial t}}\right)+\sinh(t)^{-2}\Delta _{\xi }f$

где $\Delta _{\xi }$ — оператор Лапласа–Бельтрами на обычной единичной ( n − 2)-сфере. В частности, для гиперболической плоскости, используя стандартные обозначения полярных координат, получаем:

$\Delta _{H^{2}}f(r,\theta )=\sinh(r)^{-1}{\frac {\partial }{\partial r}}\left(\sinh(r){\frac {\partial f}{\partial r}}\right)+\sinh(r)^{-2}{\frac {\partial ^{2}}{\partial \theta ^{2}}}f$

См. также

• Ковариантная производная
• Операторы Лапласа в дифференциальной геометрии
• Оператор Лапласа

Ссылки

• Фландерс, Харли (1989), Дифференциальные формы с приложениями к физическим наукам , Дувр, ISBN  978-0-486-66169-8
• Йост, Юрген (2002), Риманова геометрия и геометрический анализ , Берлин: Springer-Verlag, ISBN  3-540-42627-2 .
• Соломенцев, Е.Д.; Шикин, Е.В. (2001) [1994], «Уравнение Лапласа–Бельтрами» , Энциклопедия математики , EMS Press