Обозначение абстрактного индекса
Обозначение абстрактного индекса (также называемое обозначением индекса именования слотов) [1] — это математическая запись тензоров и спиноров , в которой для обозначения их типов используются индексы, а не их компоненты в конкретном базисе. [2] Индексы представляют собой просто заполнители, не связанные с какой-либо основой и, в частности, нечисловые. Поэтому его не следует путать с исчислением Риччи . Обозначение было введено Роджером Пенроузом как способ использовать формальные аспекты соглашения Эйнштейна о суммировании , чтобы компенсировать сложность описания сокращений и ковариантного дифференцирования в современных абстрактных тензорных обозначениях, сохраняя при этом явную ковариацию задействованных выражений. [3]
Позволять быть векторным пространством , и его двойственное пространство . второго порядка Рассмотрим, например, ковариантный тензор . Затем можно отождествить с билинейной формой на . Другими словами, это функция двух аргументов в который можно представить в виде пары слотов :
Обозначение абстрактного индекса представляет собой просто маркировку слотов латинскими буквами, которые не имеют никакого значения, кроме их обозначения в качестве меток слотов (т. е. они не являются цифровыми):
Тензорное сжатие (или след) между двумя тензорами представляется повторением индексной метки, где одна метка является контравариантной ( верхний индекс соответствует множителю ) и одна метка ковариантна ( нижний индекс соответствует фактору ). Так, например,
это след тензора над двумя последними слотами. Этот способ представления тензорных сокращений повторяющимися индексами формально подобен соглашению Эйнштейна о суммировании . Однако, поскольку индексы нечисловые, это не подразумевает суммирование: скорее, это соответствует абстрактной, независимой от базиса операции отслеживания (или естественному спариванию ) между тензорными факторами типа и те, что типа .
Абстрактные индексы и тензорные пространства
[ редактировать ]Общий однородный тензор — это элемент тензорного произведения копий и , такой как
Пометьте каждый фактор в этом тензорном произведении латинской буквой в верхнем положении для каждого контрварианта. фактора и в пониженном положении для каждого коварианта позиция. Таким образом, запишите продукт как
или просто
Последние два выражения обозначают тот же объект, что и первое. Тензоры этого типа обозначаются аналогичными обозначениями, например:
Сокращение
[ редактировать ]В общем, всякий раз, когда в тензорном произведении пространств встречаются один контравариантный и один ковариантный фактор, существует связанное с ним отображение сжатия (или следа ). Например,
— след в первых двух пространствах тензорного произведения. это след на первом и последнем пробеле.
Эти операции трассировки обозначаются на тензорах повторением индекса. Таким образом, первая карта трасс имеет вид
и второй по
плетение
[ редактировать ]Любому тензорному произведению в одном векторном пространстве соответствуют карты переплетения . Например, карта переплетения
меняет местами два тензорных множителя (так что его действие на простые тензоры определяется выражением ). В общем, карты переплетения находятся во взаимно однозначном соответствии с элементами симметрической группы , действующими путем перестановки тензорных факторов. Здесь мы используем для обозначения карты переплетения, связанной с перестановкой (представленный в виде произведения непересекающихся циклических перестановок ).
Карты переплетения важны в дифференциальной геометрии , например, для выражения тождества Бьянки . Вот пусть обозначим тензор Римана , рассматриваемый как тензор в . Тогда первое тождество Бьянки утверждает, что
Абстрактная индексная нотация обрабатывает плетение следующим образом. На конкретном тензорном произведении фиксирован порядок абстрактных индексов (обычно это лексикографический порядок ). Затем коса представляется в обозначениях путем перестановки меток индексов. Так, например, с тензором Римана
личность Бьянки становится
Антисимметризация и симметризация
[ редактировать ]Общий тензор может быть антисимметризованным или симметризованным, и существуют соответствующие обозначения.
Продемонстрируем обозначения на примере. Антисимметризуем тензор типа (0,3) , где — симметрическая группа из трех элементов.
Аналогично мы можем симметризировать:
См. также
[ редактировать ]- Графические обозначения Пенроуза
- Обозначение Эйнштейна
- Обозначение индекса
- Тензор
- Антисимметричный тензор
- Повышение и понижение индексов
- Ковариантность и контравариантность векторов
Ссылки
[ редактировать ]- ^ Кип С. Торн и Роджер Д. Бландфорд (2017). Современная классическая физика: оптика, жидкости, плазма, упругость, теория относительности и статистическая физика . Издательство Принстонского университета. ISBN 978-0-69115902-7 .
- ^ Роджер Пенроуз (2007). Дорога к реальности: Полное руководство по законам Вселенной . Винтаж. ISBN 978-0-67977631-4 .
- ^ Роджер Пенроуз и Вольфганг Риндлер (1984). Спиноры и пространство-время, Том 1: Двухспинорное исчисление и релятивистские поля . Издательство Кембриджского университета. ISBN 978-0-52133707-6 .