Jump to content

Обозначение абстрактного индекса

(Перенаправлено из Абстрактных индексов )

Обозначение абстрактного индекса (также называемое обозначением индекса именования слотов) [1] — это математическая запись тензоров и спиноров , в которой для обозначения их типов используются индексы, а не их компоненты в конкретном базисе. [2] Индексы представляют собой просто заполнители, не связанные с какой-либо основой и, в частности, нечисловые. Поэтому его не следует путать с исчислением Риччи . Обозначение было введено Роджером Пенроузом как способ использовать формальные аспекты соглашения Эйнштейна о суммировании , чтобы компенсировать сложность описания сокращений и ковариантного дифференцирования в современных абстрактных тензорных обозначениях, сохраняя при этом явную ковариацию задействованных выражений. [3]

Позволять быть векторным пространством , и его двойственное пространство . второго порядка Рассмотрим, например, ковариантный тензор . Затем можно отождествить с билинейной формой на . Другими словами, это функция двух аргументов в который можно представить в виде пары слотов :

Обозначение абстрактного индекса представляет собой просто маркировку слотов латинскими буквами, которые не имеют никакого значения, кроме их обозначения в качестве меток слотов (т. е. они не являются цифровыми):

Тензорное сжатие (или след) между двумя тензорами представляется повторением индексной метки, где одна метка является контравариантной ( верхний индекс соответствует множителю ) и одна метка ковариантна ( нижний индекс соответствует фактору ). Так, например,

это след тензора над двумя последними слотами. Этот способ представления тензорных сокращений повторяющимися индексами формально подобен соглашению Эйнштейна о суммировании . Однако, поскольку индексы нечисловые, это не подразумевает суммирование: скорее, это соответствует абстрактной, независимой от базиса операции отслеживания (или естественному спариванию ) между тензорными факторами типа и те, что типа .

Абстрактные индексы и тензорные пространства

[ редактировать ]

Общий однородный тензор — это элемент тензорного произведения копий и , такой как

Пометьте каждый фактор в этом тензорном произведении латинской буквой в верхнем положении для каждого контрварианта. фактора и в пониженном положении для каждого коварианта позиция. Таким образом, запишите продукт как

или просто

Последние два выражения обозначают тот же объект, что и первое. Тензоры этого типа обозначаются аналогичными обозначениями, например:

Сокращение

[ редактировать ]

В общем, всякий раз, когда в тензорном произведении пространств встречаются один контравариантный и один ковариантный фактор, существует связанное с ним отображение сжатия (или следа ). Например,

— след в первых двух пространствах тензорного произведения. это след на первом и последнем пробеле.

Эти операции трассировки обозначаются на тензорах повторением индекса. Таким образом, первая карта трасс имеет вид

и второй по

плетение

[ редактировать ]

Любому тензорному произведению в одном векторном пространстве соответствуют карты переплетения . Например, карта переплетения

меняет местами два тензорных множителя (так что его действие на простые тензоры определяется выражением ). В общем, карты переплетения находятся во взаимно однозначном соответствии с элементами симметрической группы , действующими путем перестановки тензорных факторов. Здесь мы используем для обозначения карты переплетения, связанной с перестановкой (представленный в виде произведения непересекающихся циклических перестановок ).

Карты переплетения важны в дифференциальной геометрии , например, для выражения тождества Бьянки . Вот пусть обозначим тензор Римана , рассматриваемый как тензор в . Тогда первое тождество Бьянки утверждает, что

Абстрактная индексная нотация обрабатывает плетение следующим образом. На конкретном тензорном произведении фиксирован порядок абстрактных индексов (обычно это лексикографический порядок ). Затем коса представляется в обозначениях путем перестановки меток индексов. Так, например, с тензором Римана

личность Бьянки становится

Антисимметризация и симметризация

[ редактировать ]

Общий тензор может быть антисимметризованным или симметризованным, и существуют соответствующие обозначения.

Продемонстрируем обозначения на примере. Антисимметризуем тензор типа (0,3) , где — симметрическая группа из трех элементов.

Аналогично мы можем симметризировать:

См. также

[ редактировать ]
  1. ^ Кип С. Торн и Роджер Д. Бландфорд (2017). Современная классическая физика: оптика, жидкости, плазма, упругость, теория относительности и статистическая физика . Издательство Принстонского университета. ISBN  978-0-69115902-7 .
  2. ^ Роджер Пенроуз (2007). Дорога к реальности: Полное руководство по законам Вселенной . Винтаж. ISBN  978-0-67977631-4 .
  3. ^ Роджер Пенроуз и Вольфганг Риндлер (1984). Спиноры и пространство-время, Том 1: Двухспинорное исчисление и релятивистские поля . Издательство Кембриджского университета. ISBN  978-0-52133707-6 .


Arc.Ask3.Ru: конец переведенного документа.
Arc.Ask3.Ru
Номер скриншота №: 229eab4ae7cdbbf9c2d372f50657221a__1687267320
URL1:https://arc.ask3.ru/arc/aa/22/1a/229eab4ae7cdbbf9c2d372f50657221a.html
Заголовок, (Title) документа по адресу, URL1:
Abstract index notation - Wikipedia
Данный printscreen веб страницы (снимок веб страницы, скриншот веб страницы), визуально-программная копия документа расположенного по адресу URL1 и сохраненная в файл, имеет: квалифицированную, усовершенствованную (подтверждены: метки времени, валидность сертификата), открепленную ЭЦП (приложена к данному файлу), что может быть использовано для подтверждения содержания и факта существования документа в этот момент времени. Права на данный скриншот принадлежат администрации Ask3.ru, использование в качестве доказательства только с письменного разрешения правообладателя скриншота. Администрация Ask3.ru не несет ответственности за информацию размещенную на данном скриншоте. Права на прочие зарегистрированные элементы любого права, изображенные на снимках принадлежат их владельцам. Качество перевода предоставляется как есть. Любые претензии, иски не могут быть предъявлены. Если вы не согласны с любым пунктом перечисленным выше, вы не можете использовать данный сайт и информация размещенную на нем (сайте/странице), немедленно покиньте данный сайт. В случае нарушения любого пункта перечисленного выше, штраф 55! (Пятьдесят пять факториал, Денежную единицу (имеющую самостоятельную стоимость) можете выбрать самостоятельно, выплаичвается товарами в течение 7 дней с момента нарушения.)