Спиновая сеть

Диаграмма спиновой сети по Пенроузу

В физике спиновая сеть — это тип диаграммы, которую можно использовать для представления состояний и взаимодействий между частицами и полями в квантовой механике . С математической точки зрения диаграммы представляют собой краткий способ представления полилинейных функций и функций между представлениями матриц групп . Таким образом, схематическое обозначение может значительно упростить расчеты.

Роджер Пенроуз описал спиновые сети в 1971 году. Спиновые сети с тех пор были применены к теории квантовой гравитации Карло Ровелли , Ли Смолином , Хорхе Пуллином , Родольфо Гамбини и другими.

Спиновые сети можно также использовать для построения определенного функционала в пространстве связностей , инвариантного относительно локальных калибровочных преобразований .

Определение

Определение Пенроуза

Спиновая сеть, описанная Пенроузом (1971), — это своего рода диаграмма, на которой каждый отрезок линии представляет мировую линию «единицы» (либо элементарной частицы , либо сложной системы частиц). Три отрезка линии соединяются в каждой вершине. Вершину можно интерпретировать как событие, в котором либо одна единица разделяется на две, либо две единицы сталкиваются и объединяются в одну единицу. Диаграммы, все сегменты которых соединены в вершинах, называются закрытыми спиновыми сетями . Время можно рассматривать как идущее в одном направлении, например, снизу вверх на диаграмме, но для закрытых спиновых сетей направление времени не имеет значения для вычислений.

Каждый сегмент линии помечен целым числом, называемым числом вращения . Единица со спиновым числом n называется n -единицей и имеет угловой момент nħ/2 , где ħ — приведенная постоянная Планка . Для бозонов , таких как фотоны и глюоны , n — четное число. Для фермионов , таких как электроны и кварки , n нечетно.

Для любой замкнутой спиновой сети можно вычислить неотрицательное целое число, которое называется нормой спиновой сети. Нормы можно использовать для расчета вероятностей различных значений вращения. Сеть, норма которой равна нулю, имеет нулевую вероятность появления. Правила расчета норм и вероятностей выходят за рамки данной статьи. Однако они подразумевают, что для того, чтобы спиновая сеть имела ненулевую норму, в каждой вершине должны выполняться два требования. Предположим, что вершина объединяет три единицы с номерами вращения a , b и c . Тогда эти требования формулируются как:

• Неравенство треугольника : a ≤ b + c и b ≤ a + c и c ≤ a + b .
• Сохранение фермионов: a + b + c должно быть четным числом.

Например, a = 3, b = 4, c = 6 невозможно, поскольку 3 + 4 + 6 = 13 нечетно, а a = 3, b = 4, c = 9 невозможно, поскольку 9 > 3 + 4. Однако, a = 3, b = 4, c = 5 возможно, поскольку 3 + 4 + 5 = 12 четно и неравенство треугольника выполнено. В некоторых соглашениях используются маркировки полуцелыми числами с условием, что сумма a + b + c должна быть целым числом.

Формальный подход к определению

Формально спиновую сеть можно определить как (ориентированный) граф которого , ребра связаны с неприводимыми представлениями компактной переплетителями группы Ли , а вершины — с смежных с ним представлений ребер.

Характеристики

Спиновую сеть, погруженную в многообразие, можно использовать для определения функционала в пространстве связностей на этом многообразии. связности вычисляются Голономии вдоль каждого звена (замкнутого пути) графа, определяются соответствующие каждому звену матрицы представления, перемножаются все матрицы и переплетатели и сжимаются заданным образом индексы. Замечательной особенностью полученного функционала является то, что он инвариантен относительно локальных калибровочных преобразований .

Использование в физике

В контексте петлевой квантовой гравитации

В петлевой квантовой гравитации (LQG) спиновая сеть представляет собой «квантовое состояние» гравитационного поля на трехмерной гиперповерхности . Множество всех возможных спиновых сетей (или, точнее, « s-узлов » — то есть классов эквивалентности спиновых сетей относительно диффеоморфизмов ) счетно ; оно составляет основу ЛКГ гильбертова пространства .

Одним из ключевых результатов петлевой квантовой гравитации является квантование площадей: оператор площади A двумерной поверхности Σ должен иметь дискретный спектр . Каждая спиновая сеть является собственным состоянием каждого такого оператора, а собственное значение площади равно

$A_{\Sigma }=8\pi \ell _{\text{PL}}^{2}\gamma \sum _{i}{\sqrt {j_{i}(j_{i}+1)}}$

где сумма идет по всем пересечениям i Σ со спиновой сетью. В этой формуле

• ℓ _PL — планковская длина ,
• $\gamma$ – параметр Иммирзи и
• j _i = 0, 1/2, 1, 3/2, ... — спин, связанный со звеном i спиновой сети. Таким образом, двумерная область «концентрируется» в пересечениях со спиновой сеткой.

Согласно этой формуле, наименьшее возможное ненулевое собственное значение оператора площади соответствует звену, которое несет представление со спином 1/2. Если предположить, что параметр Иммирзи порядка 1, это дает наименьшую возможную измеримую площадь ~ 10. ⁻⁶⁶ см ² .

Формула для собственных значений площади становится несколько сложнее, если поверхности разрешено проходить через вершины, как в моделях аномальной диффузии. Кроме того, собственные значения оператора площади A ограничены лестничной симметрией .

Аналогичное квантование применимо и к оператору громкости. Объем трехмерного подмногообразия, содержащего часть спиновой сети, определяется суммой вкладов каждого узла внутри него. Можно думать, что каждый узел спиновой сети представляет собой элементарный «квант объема», а каждое звено — «квант площади», окружающий этот объем.

Более общие калибровочные теории

Аналогичные конструкции можно провести и для общих калибровочных теорий с компактной группой Ли G и формой связности . На самом деле это точная двойственность над решеткой. для многообразия Однако необходимы такие предположения, как инвариантность диффеоморфизма , чтобы сделать двойственность точной (размытие петель Вильсона сложно). обобщил его Позже Роберт Окл на представления квантовых групп в 2-х и 3-х измерениях с использованием двойственности Таннаки-Крейна .

Майкл А. Левин и Сяо-Ган Вэнь также определили струнные сети, используя тензорные категории , которые являются объектами, очень похожими на спиновые сети. Однако точная связь со спиновыми сетями пока не ясна. Конденсация струнной сети создает топологически упорядоченные состояния в конденсированной среде.

Использование в математике

В математике спиновые сети использовались для изучения модулей мотков и разновидностей символов , которые соответствуют пространствам связей .

См. также

• Спиновое соединение
• Спиновая структура
• Разнообразие персонажей
• Графические обозначения Пенроуза
• Отжим пены
• Струнная сеть
• Диаграмма трассировки
• Тензорная сеть

Дальнейшее чтение

Ранние статьи

• И. Б. Левинсон, «Сумма коэффициентов Вигнера и их графическое представление», Proceed. Физико-технический институт. Акад. наук. Литовская ССР 2, 17-30 (1956)
• Когут, Джон; Сасскинд, Леонард (1975). «Гамильтонова формулировка решеточных калибровочных теорий Вильсона». Физический обзор D . 11 (2): 395–408. Бибкод : 1975PhRvD..11..395K . дои : 10.1103/PhysRevD.11.395 .
• Когут, Джон Б. (1983). «Подход калибровочной теории решетки к квантовой хромодинамике». Обзоры современной физики . 55 (3): 775–836. Бибкод : 1983РвМП...55..775К . дои : 10.1103/RevModPhys.55.775 . (см. раздел «Евклидовы высокие температуры (сильная связь))»
• Савит, Роберт (1980). «Двойственность в теории поля и статистических системах». Обзоры современной физики . 52 (2): 453–487. Бибкод : 1980РвМП...52..453С . дои : 10.1103/RevModPhys.52.453 . (см. разделы, посвященные абелевым калибровочным теориям)

Современные статьи

• Ровелли, Карло; Смолин, Ли (1995). «Спиновые сети и квантовая гравитация». Физ. Преподобный Д. 52 (10): 5743–5759. arXiv : gr-qc/9505006 . Бибкод : 1995PhRvD..52.5743R . дои : 10.1103/PhysRevD.52.5743 . ПМИД   10019107 . S2CID   16116269 .
• Пфайффер, Хендрик; Окл, Роберт (2002). «Двойственная неабелева теория решетчатых калибров». Ядерная физика B - Приложения к сборнику трудов . 106–107: 1010–1012. arXiv : hep-lat/0110034 . Бибкод : 2002НуФС.106.1010П . дои : 10.1016/S0920-5632(01)01913-2 . S2CID   14925121 .
• Пфайффер, Хендрик (2003). «Точные преобразования двойственности для сигма-моделей и калибровочных теорий». Журнал математической физики . 44 (7): 2891–2938. arXiv : hep-lat/0205013 . Бибкод : 2003JMP....44.2891P . дои : 10.1063/1.1580071 . S2CID   15580641 .
• Окл, Роберт (2003). «Обобщенная калибровочная теория решетки, спиновая пена и инварианты суммы состояний». Журнал геометрии и физики . 46 (3–4): 308–354. arXiv : hep-th/0110259 . Бибкод : 2003JGP....46..308O . дои : 10.1016/S0393-0440(02)00148-1 . S2CID   13226932 .
• Баэз, Джон К. (1996). «Спиновые сети в калибровочной теории» . Достижения в математике . 117 (2): 253–272. arXiv : gr-qc/9411007 . дои : 10.1006/aima.1996.0012 . S2CID   17050932 .
• Сяо-Ган Вэнь, «Квантовая теория поля систем многих тел – от происхождения звука к происхождению света и фермионов», [1] . (Здесь они называются струнными сетями .)
• Майор, Сет А. (1999). «Букварь спиновой сети». Американский журнал физики . 67 (11): 972–980. arXiv : gr-qc/9905020 . Бибкод : 1999AmJPh..67..972M . дои : 10.1119/1.19175 . S2CID   9188101 .

Книги

• Дж. Е. Стедман, Диаграммные методы в теории групп , издательство Кембриджского университета, 1990.
• Предраг Цвитанович , Теория групп: птичьи следы, ложь и исключительные группы , Princeton University Press, 2008.