Разнообразие персонажей

В математике модулей теории дана алгебраическая . редуктивная Ли группа $G$ и конечно порожденная группа $\pi$, $G$- разнообразие персонажей $\pi$ является пространством классов эквивалентности групп гомоморфизмов из $\pi$ к $G$:

${\mathfrak {R}}(\pi ,G)=\operatorname {Hom} (\pi ,G)/\!\sim \,.$

Точнее, $G$ действует на $\operatorname {Hom} (\pi ,G)$ сопряжением и два гомоморфизма определяются как эквивалентные (обозначаются $\sim$) тогда и только тогда, когда их замыкания орбит пересекаются. Это самое слабое отношение эквивалентности на множестве орбит сопряжения: $\operatorname {Hom} (\pi ,G)/G$, что дает пространство Хаусдорфа .

Формулировка

Формально и когда редуктивная группа определена над комплексными числами $\mathbb {C}$, $G$-характерное многообразие — это спектр простых идеалов кольца инвариантов (т. е. аффинного фактора GIT ).

$\mathbb {C} [\operatorname {Hom} (\pi ,G)]^{G}.$

Здесь в более общем плане можно рассматривать алгебраически замкнутые поля простой характеристики. В этой общности многообразия характеров представляют собой всего лишь алгебраические множества, а не реальные многообразия. Чтобы избежать технических проблем, часто рассматривают соответствующее уменьшенное пространство путем деления на радикал 0 (исключая нильпотенты ). Однако это также не обязательно дает неприводимое пространство. Более того, если мы заменим комплексную группу вещественной группой, мы можем даже не получить алгебраического множества. В частности, максимальная компактная подгруппа вообще дает полуалгебраическое множество . С другой стороны, всякий раз, когда $\pi$ бесплатно, мы всегда получаем честный ассортимент; однако это единично.

Примеры

Интересный класс примеров возникает на римановых поверхностях : если $X$ является римановой поверхностью, то $G$- разнообразие персонажей $X$, или пространство модулей Бетти , является многообразием характеров группы поверхностей. $\pi =\pi _{1}(X)$

${\mathcal {M}}_{B}(X,G)={\mathfrak {R}}(\pi _{1}(X),G)$.

Например, если $G=\mathrm {SL} (2,\mathbb {C} )$ и $X$ сфера Римана проколота три раза, так что $\pi =\pi _{1}(X)$ свободен от второго ранга, затем Анри Г. Фогт, Роберт Фрике и Феликс Кляйн. доказал что разнообразие персонажей $\mathbb {C} ^{3}$; его координатное кольцо изоморфно кольцу комплексных полиномов от 3 переменных, $\mathbb {C} [x,y,z]$. Ограничение до $G=\mathrm {SU} (2)$ дает замкнутый действительный трехмерный шар (полуалгебраический, но не алгебраический).

Другой пример, также изученный Фогтом и Фрике-Кляйном, — это случай с $G=\mathrm {SL} (2,\mathbb {C} )$ и $X$ сфера Римана проколота четыре раза, так что $\pi =\pi _{1}(X)$ свободен от третьего ранга. Тогда многообразие характеров изоморфно гиперповерхности в $\mathbb {C} ^{7}$ заданное уравнением

$a^{2}+b^{2}+c^{2}+d^{2}+x^{2}+y^{2}+z^{2}-(ab+cd)x-(ad+bc)y-(ac+bd)z+abcd+xyz-4=0.$

Это многообразие характеров появляется в теории шестого уравнения Пенлеве: и имеет естественную структуру Пуассона такую, что $a,b,c,d$ являются функциями Казимира, поэтому симплектические слои представляют собой аффинные кубические поверхности вида $xyz+x^{2}+y^{2}+z^{2}+c_{1}x+c_{2}y+c_{3}z=c_{4}$

Варианты

Эта конструкция разнообразия персонажей не обязательно такая же, как у Марка Каллера и Питера Шалена (построенная на основе оценок следов), хотя когда $G=\mathrm {SL} (n,\mathbb {C} )$ они согласны, поскольку Клаудио Процесси показал, что в этом случае кольцо инвариантов фактически порождается только следами. Поскольку функции следа инвариантны для всех внутренних автоморфизмов, конструкция Каллера–Шалена по существу предполагает, что мы действуем по формуле $G=\mathrm {SL} (n,\mathbb {C} )$ на ${\mathfrak {R}}=\operatorname {Hom} (\pi ,H)$ даже если $G\neq H$.

Например, когда $\pi$ является свободной группой ранга 2 и $G=\mathrm {SO} (2)$, действие сопряжения тривиально и $G$-разновидностью символов является тор

$S^{1}\times S^{1}.$

Но алгебра следов — строго малая подалгебра (инвариантов меньше). Это обеспечивает инволютивное действие на тор, которое необходимо учитывать, чтобы получить разнообразие характеров Каллера – Шалена. Инволюция на этом торе дает 2-сферу. Дело в том, что до $\mathrm {SO} (2)$-сопряжение: все точки различны, но трассировка идентифицирует элементы с разными антидиагональными элементами (инволюция).

Связь с геометрией

Существует взаимодействие между этими пространствами модулей и пространствами модулей главных расслоений , векторных расслоений , расслоений Хиггса и геометрических структур в топологических пространствах, обычно определяемое наблюдением, что, по крайней мере локально, эквивалентные объекты в этих категориях параметризуются классами сопряженности. плоских гомоморфизмов голономии связностей. Другими словами, относительно базового пространства $M$ для расслоений или фиксированного топологического пространства для геометрических структур гомоморфизм голономии является гомоморфизмом группы из $\pi _{1}(M)$ в структурную группу $G$ комплекта.

Подключение к моточным модулям

Координатное кольцо многообразия характеров было связано с модулями мотков в теории узлов . Модуль мотка представляет собой, грубо говоря, деформацию (или квантование) разнообразия символов. Она тесно связана с топологической квантовой теорией поля в размерности 2+1.

См. также

• Геометрическая теория инвариантов