Пучок Хиггса

В математике расслоение Хиггса — это пара $(E,\varphi )$ состоящее из голоморфного векторного расслоения E и поля Хиггса $\varphi$, голоморфная 1-форма, принимающая значения в расслоении эндоморфизмов E таких, что $\varphi \wedge \varphi =0$. Такие пары были введены Найджелом Хитчиным ( 1987 ), кто назвал поле $\varphi$ в честь Питера Хиггса из-за аналогии с бозонами Хиггса. Термин «расслоение Хиггса» и условие $\varphi \wedge \varphi =0$ (который является пустым в исходной установке Хитчина на римановых поверхностях ) был введен позже Карлосом Симпсоном .

Расслоение Хиггса можно рассматривать как «упрощенную версию» плоской голоморфной связности на голоморфном векторном расслоении, где производная масштабируется до нуля. Неабелевое соответствие Ходжа говорит, что при подходящих условиях устойчивости категория плоских голоморфных связностей на гладком проективном комплексном алгебраическом многообразии , категория представлений фундаментальной группы многообразия и категория расслоений Хиггса над этим многообразием фактически эквивалентны. . Следовательно, можно получить результаты о калибровочной теории с плоскими связностями, работая с более простыми расслоениями Хиггса.

История

Расслоения Хиггса были впервые представлены Хитчином в 1987 году. ^[1] для частного случая, когда голоморфное векторное расслоение E находится над компактной римановой поверхностью . Кроме того, в статье Хитчина в основном обсуждается случай, когда векторное расслоение имеет ранг 2 (т. е. слой представляет собой двумерное векторное пространство). Векторное расслоение ранга 2 возникает как пространство решений уравнений Хитчина для главного расслоения SU(2) .

Теория римановых поверхностей была обобщена Карлосом Симпсоном на случай, когда базовое многообразие компактно и кэлерово . Ограничение случая размерности одним восстанавливает теорию Хитчина.

Стабильность пучка Хиггса

Особый интерес в теории расслоений Хиггса представляет понятие стабильного расслоения Хиггса. Для этого $\varphi$-инвариантные подрасслоения должны быть сначала определены.

В первоначальном обсуждении Хитчина подрасслоение ранга 1, помеченное как L, представляет собой $\varphi$-инвариант, если $\varphi (L)\subset L\otimes K$ с $K$ каноническое расслоение над римановой поверхностью M . Тогда пучок Хиггса $(E,\varphi )$ устойчив , если для каждого $\varphi$ инвариантное подрасслоение $L$ из $E$,

$$\operatorname {deg} L<{\frac {1}{2}}\operatorname {deg} (\wedge ^{2}E),$$

с $\operatorname {deg}$ это обычное понятие степени комплексного векторного расслоения над римановой поверхностью.

См. также

• Система Хитчина

Ссылки

• Корлетт, Кевин (1988). «Плоские G -расслоения с канонической метрикой» . Журнал дифференциальной геометрии . 28 (3): 361–382. дои : 10.4310/jdg/1214442469 . МР   0965220 .
• Готен, Питер Б.; Гарсиа-Прада, Оскар; Брэдлоу, Стивен Б. (2007), «Что такое... пучок Хиггса?» (PDF) , Уведомления Американского математического общества , 54 (8): 980–981, MR   2343296.