Максимальная компактная подгруппа

В математике максимальная компактная подгруппа K топологической группы G — это подгруппа K , которая является компактом в топологии подпространства и максимальной среди таких подгрупп.

Максимальные компактные подгруппы играют важную роль в классификации групп Ли и особенно полупростых групп Ли. Максимальные компактные подгруппы групп Ли, вообще говоря, не единственны, но единственны с точностью до сопряжения – они существенно уникальны .

Пример

Примером может служить подгруппа O(2), ортогональная группа , внутри общей линейной группы GL(2, R ). Связанный пример — группа кругов SO(2) внутри SL(2, R ) . Очевидно, SO(2) внутри GL(2, R ) компактна и не максимальна. Неединственность этих примеров можно увидеть в том, что любой внутренний продукт имеет связанную с ним ортогональную группу, а существенная уникальность соответствует существенной уникальности внутреннего продукта.

Определение

Максимальная компактная подгруппа — это максимальная подгруппа среди компактных подгрупп — максимальная (компактная подгруппа) — а не (альтернативное возможное прочтение) максимальная подгруппа , которая оказывается компактной; который, вероятно, можно было бы назвать компактом (максимальной подгруппой) , но в любом случае это не является предполагаемым значением (и на самом деле максимальные собственные подгруппы, вообще говоря, не являются компактными).

Существование и уникальность

Теорема Картана -Ивасавы-Мальцева утверждает, что каждая связная группа Ли (и даже каждая связная локально компактная группа ) допускает максимальные компактные подгруппы и что все они сопряжены друг с другом. Для полупростой группы Ли единственность является следствием теоремы Картана о неподвижной точке , которая утверждает, что если компактная группа действует изометриями на полном односвязном отрицательной кривизны, римановом многообразии то она имеет неподвижную точку.

Максимальные компактные подгруппы связных групп Ли обычно не единственны, но они единственны с точностью до сопряжения, что означает, что для данных двух максимальных компактных подгрупп K и L существует элемент g ∈ G такой, что ^[1] гкг ⁻¹ = Л. Следовательно, максимальная компактная подгруппа по существу уникальна , и люди часто говорят о «максимальной компактной подгруппе».

На примере общей линейной группы GL( n , R ) это соответствует тому факту, что любое скалярное произведение на R ^н определяет (компактную) ортогональную группу (ее группу изометрий) – и что она допускает ортонормированный базис: смена базиса определяет сопрягающий элемент, сопрягающий группу изометрий с классической ортогональной группой O( n , R ).

Доказательства

Для вещественной полупростой группы Ли доказательство Картана существования и единственности максимальной компактной подгруппы можно найти у Бореля (1950) и Хелгасона (1978) . Картье (1955) и Хохшильд (1965) обсуждают расширение связных групп Ли и связных локально компактных групп.

Для полупростых групп существование является следствием существования компактной вещественной формы некомпактной полупростой группы Ли и соответствующего разложения Картана . Доказательство единственности опирается на то, что соответствующее риманово симметрическое пространство G / K имеет отрицательную кривизну и Теорема Картана о неподвижной точке. Мостоу (1955) показал, что производная экспоненциального отображения в любой точке G / K удовлетворяет условию |d exp X | ≥ |X|. Это означает, что G / K — пространство Адамара , т. е. полное метрическое пространство, удовлетворяющее ослабленной форме правила параллелограмма в евклидовом пространстве. Единственность затем можно вывести из теоремы Брюа-Титса о неподвижной точке . Действительно, любое ограниченное замкнутое множество в пространстве Адамара содержится в единственном наименьшем замкнутом шаре, центр которого называется центром описанной окружности . В частности, компактная группа, действующая изометриями, должна фиксировать центр описанной окружности каждой из своих орбит.

Доказательство единственности для полупростых групп.

Мостоу (1955) также связал общую проблему для полупростых групп со случаем GL( n , R ). Соответствующее симметрическое пространство является пространством положительных симметричных матриц. Прямое доказательство единственности, основанное на элементарных свойствах этого пространства, дано в Hilgert & Neeb (2012) .

Позволять ${\mathfrak {g}}$ — вещественная полупростая алгебра Ли с инволюцией Картана σ. Таким образом, подгруппа неподвижных точек группы σ является максимальной компактной подгруппой K и существует разложение в собственное пространство

\displaystyle {{\mathfrak {g}}={\mathfrak {k}}\oplus {\mathfrak {p}},}

где ${\mathfrak {k}}$ , алгебра Ли K , является собственным пространством +1. Разложение Картана дает

\displaystyle {G=K\cdot \exp {\mathfrak {p}}=K\cdot P=P\cdot K.}

Если B — форма Киллинга на ${\mathfrak {g}}$ заданный формулой B ( X , Y ) = Tr (ad X)(ad Y), тогда

\displaystyle {(X,Y)_{\sigma }=-B(X,\sigma (Y))}

это настоящий внутренний продукт на ${\mathfrak {g}}$ . В присоединенном представлении K — подгруппа группы G , сохраняющая этот скалярный продукт.

Если H — другая компактная подгруппа группы G , то усреднение скалярного произведения по H относительно меры Хаара дает скалярное произведение, инвариантное H. относительно Операторы Ad p с p в P являются положительными симметрическими операторами. Этот новый внутренний продукт можно записать как

(S\cdot X,Y)_{\sigma },

где S — положительный симметричный оператор на ${\mathfrak {g}}$ такой, что Объявление( час ) ^тS Ad h = S для h в H (с транспонированием, вычисляемым относительно скалярного произведения). Более того, для x в G ,

\displaystyle {\mathrm {Ad} \,\sigma (x)=(\mathrm {Ad} \,(x)^{-1})^{t}.}

Итак, для h в H ,

\displaystyle {S\circ \mathrm {Ad} (\sigma (h))=\mathrm {Ad} (h)\circ S.}

Для X в ${\mathfrak {p}}$ определять

\displaystyle {f(e^{X})=\mathrm {Tr} \,\mathrm {Ad} (e^{X})S.}

Если e _i — ортонормированный базис собственных векторов для S с Se _i = λ _i e _i , то

\displaystyle {f(e^{X})=\sum \lambda _{i}(\mathrm {Ad} (e^{X})e_{i},e_{i})_{\sigma }\geq (\min \lambda _{i})\cdot \mathrm {Tr} \,e^{\mathrm {ad} \,X},}

так что f строго положительна и стремится к ∞ при | Х | стремится к ∞. Фактически эта норма эквивалентна операторной норме симметричных операторов ad X , и каждое ненулевое собственное значение встречается со своим отрицательным значением, поскольку i ad X является кососопряженным оператором в компактной вещественной форме. ${\mathfrak {k}}\oplus i{\mathfrak {p}}$ .

Итак, f имеет глобальный минимум в точке Y, скажем. Этот минимум уникален, потому что если бы Z было другим, то

\displaystyle {e^{Z}=e^{Y/2}e^{X}e^{Y/2},}

где X в ${\mathfrak {p}}$ определяется разложением Картана

\displaystyle {e^{Z/2}e^{-Y/2}=k\cdot e^{X/2}.}

Если f _i — ортонормированный базис собственных векторов объявления X с соответствующими вещественными собственными значениями µ _i , то

\displaystyle {g(t)=f(e^{Y/2}e^{tX}e^{Y/2})=\sum e^{\mu _{i}t}\|Ad(e^{Y/2})f_{i}\|_{\sigma }^{2}.}

Поскольку правая часть представляет собой положительную комбинацию экспонент, вещественная функция g если строго выпукла, X ≠ 0, поэтому имеет единственный минимум. С другой стороны, он имеет локальные минимумы при t = 0 и t = 1, следовательно, X = 0 и p = exp Y — единственный глобальный минимум. По конструкции ж ( Икс ) знак равно ж (σ( час ) xh ⁻¹) для h в H , так что p = σ( h ) ph ⁻¹ для h в H. Следовательно, σ( h )= php ⁻¹. Следовательно, если g = exp Y /2, gHg ⁻¹ фиксируется σ и, следовательно, лежит в K .

Приложения

Теория представлений

Максимальные компактные подгруппы играют основную роль в теории представлений, когда G не компактна. В этом случае максимальная компактная подгруппа K является компактной группой Ли (поскольку замкнутая подгруппа группы Ли является группой Ли), для которой теория проще.

Операции, связывающие теории представлений G и K, представляют собой ограничение представлений от G до K и индуцирование представлений от K до G , и они довольно хорошо понятны; их теория включает теорию сферических функций .

Топология

Алгебраическая топология групп Ли также в значительной степени поддерживается максимальной компактной подгруппой K . Точнее, связная группа Ли — это топологическое произведение (хотя и не теоретико-групповое произведение) максимального компакта K и евклидова пространства — G = K × R. ^д – таким образом, в частности, K является деформационным ретрактом G и , гомотопически эквивалентен и, следовательно, они имеют одни и те же гомотопические группы . Действительно, включение $K\hookrightarrow G$ и ретракция деформации $G\twoheadrightarrow K$ являются гомотопическими эквивалентностями .

Для общей линейной группы это разложение является QR-разложением , а ретракция деформации — процессом Грама-Шмидта . Для общей полупростой группы Ли разложение представляет собой разложение Ивасавы группы G при G = KAN , в котором K встречается в произведении со стягиваемой подгруппой AN .

См. также

Примечания

^ Обратите внимание, что этот элемент g не уникален - любой элемент из того же смежного класса gK . подойдет

Ссылки

Борель, Арманд (1950), Максимальные компактные подгруппы групп Ли (доклад № 33) , Семинар Бурбаки, том. 1
Картье, П. (1955), Топологическая структура общих групп Ли (лекция № 22) , Семинар «Софус Ли», вып. 1
Дьедонне, Ж. (1977), Компактные группы Ли и полупростые группы Ли, Глава XXI , Трактат об анализе, том. 5, Академическое издательство, ISBN 012215505X
Хельгасон, Сигурдур (1978), Дифференциальная геометрия, группы Ли и симметричные пространства , Academic Press, ISBN 978-0-12-338460-7
Хильгерт, Иоахим; Нееб, Карл-Германн (2012), Структура и геометрия групп Ли , Монографии Спрингера по математике, Springer, ISBN 0387847944
Хохшильд, Г. (1965), Структура групп Ли , Холден-Дэй
Мостоу, Г.Д. (1955), Некоторые новые теоремы о разложении полупростых групп , Mem. амер. Математика. Соц., вып. 14, стр. 31–54.
Онищик А.Л.; Винберг, Е.Б. (1994), Группы Ли и алгебры Ли III: Структура групп Ли и алгебр Ли , Энциклопедия математических наук, том. 41, Спрингер, ISBN 9783540546832
Мальцев А. (1945), "К теории групп Ли в целом", Матем. Сборник , 16 : 163–189.
Ивасава, К. (1949), «О некоторых типах топологических групп», Ann. математики. , 50 : 507–558, дои : 10.2307/1969548

[1] Обратите внимание, что этот элемент g не уникален - любой элемент из того же смежного класса gK . подойдет

[1]