Разложение Картана

В математике разложение Картана — это разложение полупростой группы Ли или алгебры Ли , которое играет важную роль в их теории структуры и теории представлений . Он обобщает полярное разложение или разложение по сингулярным значениям матриц. Его историю можно проследить до работ Эли Картана и Вильгельма Киллинга 1880-х годов .

на

Позволять ${\mathfrak {g}}$ — вещественная полупростая алгебра Ли и пусть $B(\cdot ,\cdot )$ будь его Убийственной формой . Инволюция ​ на ${\mathfrak {g}}$ алгебры Ли является автоморфизмом $\theta$ из ${\mathfrak {g}}$ квадрат которого равен единице. Такая инволюция называется инволюцией Картана на ${\mathfrak {g}}$ если $B_{\theta }(X,Y):=-B(X,\theta Y)$ является положительно определенной билинейной формой .

Две инволюции $\theta _{1}$ и $\theta _{2}$ считаются эквивалентными, если они отличаются только внутренним автоморфизмом .

Любая вещественная полупростая алгебра Ли имеет инволюцию Картана, и любые две инволюции Картана эквивалентны.

Примеры

• Картановская инволюция ${\mathfrak {sl}}_{n}(\mathbb {R} )$ определяется $\theta (X)=-X^{T}$, где $X^{T}$ обозначает транспонированную матрицу $X$.
• Карта личности на ${\mathfrak {g}}$ является инволюцией. Это уникальная Картановская инволюция ${\mathfrak {g}}$ тогда и только тогда, когда форма Киллинга ${\mathfrak {g}}$ отрицательно определен или, что то же самое, тогда и только тогда, когда ${\mathfrak {g}}$ — алгебра Ли компактной полупростой группы Ли.
• Позволять ${\mathfrak {g}}$ — комплексификация вещественной полупростой алгебры Ли ${\mathfrak {g}}_{0}$, то комплексное сопряжение на ${\mathfrak {g}}$ представляет собой инволюцию на ${\mathfrak {g}}$. Это инволюция Картана на ${\mathfrak {g}}$ тогда и только тогда, когда ${\mathfrak {g}}_{0}$ — алгебра Ли компактной группы Ли.
• Следующие отображения являются инволюциями алгебры Ли. ${\mathfrak {su}}(n)$ специальной унитарной группы SU(n) :
  1. Инволюция идентичности $\theta _{1}(X)=X$, что в данном случае является единственной инволюцией Картана.
  2. Комплексное сопряжение , выражаемое как $\theta _{2}(X)=-X^{T}$ на ${\mathfrak {su}}(2)$.
  3. Если $n=p+q$ странно, $\theta _{3}(X)={\begin{pmatrix}I_{p}&0\\0&-I_{q}\end{pmatrix}}X{\begin{pmatrix}I_{p}&0\\0&-I_{q}\end{pmatrix}}$. Инволюции (1), (2) и (3) эквивалентны, но не эквивалентны тождественной инволюции, поскольку ${\begin{pmatrix}I_{p}&0\\0&-I_{q}\end{pmatrix}}\notin {\mathfrak {su}}(n)$.
  4. Если $n=2m$ даже, есть также $\theta _{4}(X)={\begin{pmatrix}0&I_{m}\\-I_{m}&0\end{pmatrix}}X^{T}{\begin{pmatrix}0&I_{m}\\-I_{m}&0\end{pmatrix}}$.

Картаны пары

Позволять $\theta$ быть инволюцией на алгебре Ли ${\mathfrak {g}}$. С $\theta ^{2}=1$, линейное отображение $\theta$ имеет два собственных значения $\pm 1$. Если ${\mathfrak {k}}$ и ${\mathfrak {p}}$ обозначим собственные пространства, соответствующие +1 и -1 соответственно, тогда ${\mathfrak {g}}={\mathfrak {k}}\oplus {\mathfrak {p}}$. С $\theta$ является автоморфизмом алгебры Ли, скобка Ли двух его собственных пространств содержится в собственном пространстве, соответствующем произведению их собственных значений. Отсюда следует, что

$[{\mathfrak {k}},{\mathfrak {k}}]\subseteq {\mathfrak {k}}$, $[{\mathfrak {k}},{\mathfrak {p}}]\subseteq {\mathfrak {p}}$, и $[{\mathfrak {p}},{\mathfrak {p}}]\subseteq {\mathfrak {k}}$.

Таким образом ${\mathfrak {k}}$ является подалгеброй Ли, а любая подалгебра из ${\mathfrak {p}}$ является коммутативным.

И наоборот, разложение ${\mathfrak {g}}={\mathfrak {k}}\oplus {\mathfrak {p}}$ с этими дополнительными свойствами определяет инволюцию $\theta$ на ${\mathfrak {g}}$ то есть $+1$ на ${\mathfrak {k}}$ и $-1$ на ${\mathfrak {p}}$.

Такая пара $({\mathfrak {k}},{\mathfrak {p}})$ также называется Картана парой ${\mathfrak {g}}$, и $({\mathfrak {g}},{\mathfrak {k}})$ называется симметричной парой . Это понятие пары Картана не следует путать с отдельным понятием, включающим относительные когомологии алгебры Ли. $H^{*}({\mathfrak {g}},{\mathfrak {k}})$.

Разложение ${\mathfrak {g}}={\mathfrak {k}}\oplus {\mathfrak {p}}$ связанный с инволюцией Картана, называется Картана разложением ${\mathfrak {g}}$. Особенностью разложения Картана является то, что форма Киллинга отрицательно определена на ${\mathfrak {k}}$ и положительно определенный ${\mathfrak {p}}$. Более того, ${\mathfrak {k}}$ и ${\mathfrak {p}}$ являются ортогональными дополнениями друг друга относительно формы Киллинга на ${\mathfrak {g}}$.

на уровне группы

Позволять $G$ — некомпактная полупростая группа Ли и ${\mathfrak {g}}$ это алгебра Ли. Позволять $\theta$ быть инволюцией Картана на ${\mathfrak {g}}$ и пусть $({\mathfrak {k}},{\mathfrak {p}})$ будет результирующая пара Картана. Позволять $K$ подгруппа аналитическая группы $G$ с алгеброй Ли ${\mathfrak {k}}$. Затем:

• Существует автоморфизм группы Ли $\Theta$ с дифференциалом $\theta$ в тождестве, которое удовлетворяет $\Theta ^{2}=1$.
• Подгруппа элементов, закрепленная $\Theta$ является $K$; в частности, $K$ является закрытой подгруппой.
• Отображение $K\times {\mathfrak {p}}\rightarrow G$ данный $(k,X)\mapsto k\cdot \mathrm {exp} (X)$ является диффеоморфизмом .
• Подгруппа $K$ является максимальной компактной подгруппой $G$, если центр G конечен.

Автоморфизм $\Theta$ называется также глобальной инволюцией Картана и диффеоморфизмом $K\times {\mathfrak {p}}\rightarrow G$ называется глобальным разложением Картана . Если мы напишем $P=\mathrm {exp} ({\mathfrak {p}})\subset G$это говорит о том, что карта продукта $K\times P\rightarrow G$ является диффеоморфизмом, поэтому $G=KP$.

Для общей линейной группы $X\mapsto (X^{-1})^{T}$ является картановской инволюцией.

Уточнение разложения Картана для симметрических пространств компактного или некомпактного типа утверждает, что максимальные абелевы подалгебры ${\mathfrak {a}}$ в ${\mathfrak {p}}$ уникальны с точностью до сопряжения $K$. Более того,

$\displaystyle {{\mathfrak {p}}=\bigcup _{k\in K}\mathrm {Ad} \,k\cdot {\mathfrak {a}}.}\qquad {\text{and}}\qquad \displaystyle {P=\bigcup _{k\in K}\mathrm {Ad} \,k\cdot A.}$

где $A=e^{\mathfrak {a}}$.

Таким образом, в компактном и некомпактном случае глобальное разложение Картана влечет за собой

$G=KP=KAK,$

Геометрически образ подгруппы $A$ в $G/K$ является вполне геодезическим подмногообразием.

с

Учитывать ${\mathfrak {gl}}_{n}(\mathbb {R} )$ с инволюцией Картана $\theta (X)=-X^{T}$. Затем ${\mathfrak {k}}={\mathfrak {so}}_{n}(\mathbb {R} )$ — действительная алгебра Ли кососимметричных матриц, так что $K=\mathrm {SO} (n)$, пока ${\mathfrak {p}}$ — подпространство симметричных матриц. Таким образом, экспоненциальное отображение является диффеоморфизмом из ${\mathfrak {p}}$ на пространство положительно определенных матриц. С точностью до этого экспоненциального отображения глобальное разложение Картана является полярным разложением матрицы. Полярное разложение обратимой матрицы однозначно.

См. также

• Разложения групп Ли

Ссылки

• Хельгасон, Сигурдур (1978), Дифференциальная геометрия, группы Ли и симметрические пространства , Чистая и прикладная математика, том. 80, Академическое издательство, ISBN  0-8218-2848-7 , МР   0514561
• Кляйнер, Израиль (2007). Кляйнер, Израиль (ред.). История абстрактной алгебры . Бостон, Массачусетс: Биркхойзер. дои : 10.1007/978-0-8176-4685-1 . ISBN  978-0817646844 . МР   2347309 .
• Кнапп, Энтони В. (2005) [1996]. Группы лжи за пределами введения . Прогресс в математике. Том. 140 (2-е изд.). Бостон, Массачусетс: Биркхойзер. ISBN  0-8176-4259-5 . МР   1920389 .