Специальная унитарная группа

В математике специальная унитарная группа степени $n$ , обозначаемая $SU(n)$ , представляет собой группу Ли размера $n \times n$ унитарных матриц с определителем 1.

Матрицы определители с абсолютным значением 1, а не с действительным более общей унитарной группы могут иметь комплексные 1 в частном случае.

Групповая операция — умножение матриц . Специальная унитарная группа — это нормальная подгруппа унитарной группы $U(n)$ , состоящая из всех $n \times n$ унитарных матриц размера . Как компактная классическая группа , $U(n)$ — это группа, которая сохраняет стандартное скалярное произведение на $\mathbb {C} ^{n}$ . ^[а] Она сама является подгруппой общей линейной группы , $\operatorname {SU} (n)\subset \operatorname {U} (n)\subset \operatorname {GL} (n,\mathbb {C} ).$

Группы SU $(n)$ находят широкое применение в Стандартной модели физики элементарных частиц , особенно $SU(2)$ в электрослабом взаимодействии и $SU(3)$ в квантовой хромодинамике . ^[1]

Простейший случай $SU(1)$ — это тривиальная группа , имеющая только один элемент. Группа $SU(2)$ изоморфна диффеоморфна группе кватернионов нормы , 1 и, таким образом 3 сфере - . Поскольку единичные кватернионы могут использоваться для представления вращений в трехмерном пространстве (с точностью до знака), существует сюръективный гомоморфизм из $SU(2)$ в группу вращений $SO(3)$ которой , ядром является ${+ I, - I}$ . ^[б] Поскольку кватернионы можно идентифицировать как четную подалгебру алгебры Клиффорда $Cl(3)$ , $SU(2)$ фактически идентична одной из групп симметрии Spin спиноров ( 3), которая обеспечивает спинорное представление вращений.

Свойства [ править ]

Специальная унитарная группа $SU(n)$ является строго вещественной группой Ли (по сравнению с более общей комплексной группой Ли ). Его размерность как реального многообразия равна $n. 2 - 1$ . Топологически он компактен и односвязен . ^[2] Алгебраически это простая группа Ли (это означает, что ее алгебра Ли проста; см. Ниже). ^[3]

Центр SU ) $(n изоморфен$ циклической группе $\mathbb {Z} /n\mathbb {Z}$ , и состоит из диагональных матриц $ζ I$ для $ζ$ - $корня n-й$ степени из единицы и $I -$ единичной матрицы $размера n \times n$ .

Его внешняя группа автоморфизмов при $n \geq 3$ равна $\mathbb {Z} /2\mathbb {Z} ,$ тогда как внешняя группа автоморфизмов $SU(2)$ является тривиальной группой .

Максимальный тор ранга n $- 1$ задается набором диагональных матриц с определителем $1$ . Группа Вейля SU $(n)$ — это симметричная группа $Sn 1$ , которая представлена матрицами перестановок со знаком (знаки необходимы, чтобы гарантировать, что определитель равен $)$ .

Алгебра Ли группы $SU(n)$ , обозначаемая ${\mathfrak {su}}(n)$ , можно отождествить с набором бесследовых антиэрмитовых $комплексных матриц размера n \times n$ , с регулярным коммутатором в виде скобки Ли. Физики элементарных частиц часто используют другое, эквивалентное представление: набор бесследовых эрмитовых $комплексных матриц размера n \times n$ со скобкой Ли, заданной $— i$ , умноженной на коммутатор.

Алгебра лжи [ править ]

Алгебра Ли ${\mathfrak {su}}(n)$ из $\operatorname {SU} (n)$ состоит из $n \times n$ косоэрмитовых матриц размера с нулевым следом. ^[4] Эта (реальная) алгебра Ли имеет размерность $n 2 - 1$ . Более подробную информацию о структуре этой алгебры Ли можно найти ниже в § Структура алгебры Ли .

Фундаментальное представление

В физической литературе алгебру Ли принято отождествлять с пространством эрмитовых (а не косоэрмитовых) матриц с нулевым следом. То есть алгебра Ли физиков отличается в раз. $i$ от математиков. Следуя этому соглашению, можно затем выбрать генераторы $T a$ , которые представляют собой бесследовые эрмитовы комплексные $матрицы размера n \times n$ , где:

T_{a}\,T_{b}={\tfrac {1}{\,2n\,}}\,\delta _{ab}\,I_{n}+{\tfrac {1}{2}}\,\sum _{c=1}^{n^{2}-1}\left(if_{abc}+d_{abc}\right)\,T_{c}

где $f$ - структурные константы и антисимметричны по всем индексам, а $d$ -коэффициенты симметричны по всем индексам.

В результате коммутатор:

~\left[T_{a},\,T_{b}\right]~=~i\sum _{c=1}^{n^{2}-1}\,f_{abc}\,T_{c}\;,

и соответствующий антикоммутатор:

\left\{T_{a},\,T_{b}\right\}~=~{\tfrac {1}{n}}\,\delta _{ab}\,I_{n}+\sum _{c=1}^{n^{2}-1}{d_{abc}\,T_{c}}~.

Коэффициент $i$ в коммутационном соотношении возникает из физического соглашения и отсутствует при использовании математического соглашения.

Традиционное условие нормировки:

\sum _{c,e=1}^{n^{2}-1}d_{ace}\,d_{bce}={\frac {\,n^{2}-4\,}{n}}\,\delta _{ab}~.

Сопряженное представление [ править ]

В $то 2 - 1)$ -мерное присоединенное представление , генераторы представляются $(n 2 - 1) \times (n 2 - 1)$ матрицы, элементы которых определяются самими структурными константами:

\left(T_{a}\right)_{jk}=-if_{ajk}.

Группа SU(2) [ править ]

Используя умножение матриц для двоичной операции, $SU(2)$ образует группу, ^[5]

\operatorname {SU} (2)=\left\{{\begin{pmatrix}\alpha &-{\overline {\beta }}\\\beta &{\overline {\alpha }}\end{pmatrix}}:\ \ \alpha ,\beta \in \mathbb {C} ,|\alpha |^{2}+|\beta |^{2}=1\right\}~,

где черта означает комплексное сопряжение .

Диффеоморфизм с 3-сферой S ³[ редактировать ]

Если мы рассмотрим $\alpha ,\beta$ как пара в $\mathbb {C} ^{2}$ где $\alpha =a+bi$ и $\beta =c+di$ , то уравнение $|\alpha |^{2}+|\beta |^{2}=1$ становится

a^{2}+b^{2}+c^{2}+d^{2}=1

Это уравнение 3-сферы S ³. Это также можно увидеть с помощью встраивания: карта

{\begin{aligned}\varphi \colon \mathbb {C} ^{2}\to {}&\operatorname {M} (2,\mathbb {C} )\\[5pt]\varphi (\alpha ,\beta )={}&{\begin{pmatrix}\alpha &-{\overline {\beta }}\\\beta &{\overline {\alpha }}\end{pmatrix}},\end{aligned}}

где $\operatorname {M} (2,\mathbb {C} )$ обозначает набор комплексных матриц 2 на 2, является инъективным вещественным линейным отображением (рассмотрев $\mathbb {C} ^{2}$ диффеоморфен $\mathbb {R} ^{4}$ и $\operatorname {M} (2,\mathbb {C} )$ диффеоморфен $\mathbb {R} ^{8}$ ). Следовательно, на 3 $ограничение φ$ - сферу (поскольку модуль равен 1), обозначенное $S 3$ , является вложением 3-сферы в компактное подмногообразие $\operatorname {M} (2,\mathbb {C} )$ , а именно $φ (S 3) = SU(2)$ .

Следовательно, как многообразие $S 3$ диффеоморфен $SU(2)$ , что показывает, что $(2)$ односвязен SU и что $S 3$ можно наделить структурой компактной связной группы Ли .

Изоморфизм с группой версоров [ править ]

Кватернионы нормы 1 называются версорами , поскольку они порождают группу вращения SO(3) : Матрица SU $(2)$ :

{\begin{pmatrix}a+bi&c+di\\-c+di&a-bi\end{pmatrix}}\quad (a,b,c,d\in \mathbb {R} )

может быть отображен в кватернион

a\,{\hat {1}}+b\,{\hat {i}}+c\,{\hat {j}}+d\,{\hat {k}}

Это отображение на самом деле является групповым изоморфизмом . Кроме того, определителем матрицы является квадрат нормы соответствующего кватерниона. Очевидно, что любая матрица в $SU(2)$ имеет этот вид, и, поскольку ее определитель равен $1$ , соответствующий кватернион имеет норму $1$ . Таким образом, $SU(2)$ изоморфна группе версоров. ^[6]

пространственным вращением Связь с

Каждый версор естественным образом связан с пространственным вращением в трех измерениях, а произведение версоров связано с композицией связанных вращений. Более того, каждое вращение таким образом возникает ровно из двух версоров. Короче говоря: существует сюръективный гомоморфизм 2:1 из $SU(2)$ в $SO(3)$ ; следовательно, $SO(3)$ изоморфна факторгруппе SU $(2)/{\pmI}$ , многообразие, лежащее в основе $SO(3),$ получается путем отождествления антиподальных точек 3-сферы $S 3$ , а $SU(2)$ — универсальное накрытие SO $(3)$ .

Алгебра лжи [ править ]

Алгебра Ли группы SU $(2)$ состоит из $2 \times 2$ косоэрмитовых матриц размера с нулевым следом. ^[7] Явно это означает

{\mathfrak {su}}(2)=\left\{{\begin{pmatrix}i\ a&-{\overline {z}}\\z&-i\ a\end{pmatrix}}:\ a\in \mathbb {R} ,z\in \mathbb {C} \right\}~.

Алгебра Ли затем генерируется следующими матрицами:

u_{1}={\begin{pmatrix}0&i\\i&0\end{pmatrix}},\quad u_{2}={\begin{pmatrix}0&-1\\1&0\end{pmatrix}},\quad u_{3}={\begin{pmatrix}i&0\\0&-i\end{pmatrix}}~,

которые имеют вид общего элемента, указанного выше.

Это также можно записать как ${\mathfrak {su}}(2)=\operatorname {span} \left\{i\sigma _{1},i\sigma _{2},i\sigma _{3}\right\}$ с помощью матриц Паули .

Они удовлетворяют кватернионным отношениям $u_{2}\ u_{3}=-u_{3}\ u_{2}=u_{1}~,$ $u_{3}\ u_{1}=-u_{1}\ u_{3}=u_{2}~,$ и $u_{1}u_{2}=-u_{2}\ u_{1}=u_{3}~.$ определяется Поэтому кронштейн коммутатора формулой

\left[u_{3},u_{1}\right]=2\ u_{2},\quad \left[u_{1},u_{2}\right]=2\ u_{3},\quad \left[u_{2},u_{3}\right]=2\ u_{1}~.

Вышеупомянутые генераторы связаны с матрицами Паули соотношением $u_{1}=i\ \sigma _{1}~,\,u_{2}=-i\ \sigma _{2}$ и $u_{3}=+i\ \sigma _{3}~.$ Это представление обычно используется в квантовой механике для представления вращения фундаментальных частиц, таких как электроны . Они также служат единичными векторами для описания наших трех пространственных измерений в петлевой квантовой гравитации . Они также соответствуют вентилям Паули X, Y и Z , которые являются стандартными генераторами для однокубитных вентилей, соответствующих трехмерным вращениям вокруг осей сферы Блоха .

Алгебра Ли служит для разработки представлений $SU(2)$ .

SU(3) [ править ]

Группа $SU(3)$ — это 8-мерная простая группа Ли , состоящая из всех $3 \times 3$ унитарных матриц размера с определителем 1.

Топология [ править ]

Группа $SU(3)$ — односвязная компактная группа Ли. ^[8] Его топологическую структуру можно понять, заметив, что $SU(3)$ действует транзитивно на единичной сфере. $S^{5}$ в $\mathbb {C} ^{3}\cong \mathbb {R} ^{6}$ . Стабилизатор произвольной точки сферы изоморфен $SU(2)$ , который топологически является 3-сферой. Отсюда следует, что $SU(3)$ — расслоение над базой $S 5$ с волокном $S 3$ . Поскольку слои и база односвязны, простая связность $SU(3)$ вытекает с помощью стандартного топологического результата ( длинной точной последовательности гомотопических групп для расслоений). ^[9]

SU $(2)$ -расслоения над $S 5$ классифицируются по $\pi _{4}{\mathord {\left(S^{3}\right)}}=\mathbb {Z} _{2}$ поскольку любой такой расслоение можно построить, рассматривая тривиальные расслоения на двух полушариях. $S_{\text{N}}^{5},S_{\text{S}}^{5}$ и глядя на функцию перехода на их пересечении, которая является копией $S 4$ , так

S_{\text{N}}^{5}\cap S_{\text{S}}^{5}\simeq S^{4}

Тогда все такие функции перехода классифицируются гомотопическими классами отображений

\left[S^{4},\mathrm {SU} (2)\right]\cong \left[S^{4},S^{3}\right]=\pi _{4}{\mathord {\left(S^{3}\right)}}\cong \mathbb {Z} /2

и в качестве $\pi _{4}(\mathrm {SU} (3))=\{0\}$ скорее, чем $\mathbb {Z} /2$ , $SU(3)$ не может быть тривиальным расслоением $SU(2) \times S 5 ≅ С 3 \times С 5$ , и, следовательно, должно быть единственным нетривиальным (скрученным) расслоением. Это можно показать, рассмотрев индуцированную длинную точную последовательность на гомотопических группах.

Теория представлений [ править ]

Теория представлений $SU(3)$ хорошо понятна. ^[10] Описания этих представлений с точки зрения их комплексифицированной алгебры Ли. ${\mathfrak {sl}}(3;\mathbb {C} )$ , можно найти в статьях о представлениях алгебры Ли или коэффициентах Клебша–Гордана для $SU(3)$ .

Алгебра лжи [ править ]

Генераторы $T$ алгебры Ли ${\mathfrak {su}}(3)$ SU $(3)$ в определяющем (физике элементарных частиц, эрмитовом) представлении равны

T_{a}={\frac {\lambda _{a}}{2}}~,

где $λ a$ , матрицы Гелла-Манна , являются $SU(3)$ аналогом матриц Паули для $SU(2)$ :

{\begin{aligned}\lambda _{1}={}&{\begin{pmatrix}0&1&0\\1&0&0\\0&0&0\end{pmatrix}},&\lambda _{2}={}&{\begin{pmatrix}0&-i&0\\i&0&0\\0&0&0\end{pmatrix}},&\lambda _{3}={}&{\begin{pmatrix}1&0&0\\0&-1&0\\0&0&0\end{pmatrix}},\\[6pt]\lambda _{4}={}&{\begin{pmatrix}0&0&1\\0&0&0\\1&0&0\end{pmatrix}},&\lambda _{5}={}&{\begin{pmatrix}0&0&-i\\0&0&0\\i&0&0\end{pmatrix}},\\[6pt]\lambda _{6}={}&{\begin{pmatrix}0&0&0\\0&0&1\\0&1&0\end{pmatrix}},&\lambda _{7}={}&{\begin{pmatrix}0&0&0\\0&0&-i\\0&i&0\end{pmatrix}},&\lambda _{8}={\frac {1}{\sqrt {3}}}&{\begin{pmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&-2\end{pmatrix}}.\end{aligned}}

Эти $λ a$ охватывают все бесследовые эрмитовы матрицы $H$ , алгебры Ли что и требовалось. Заметим, что $λ 2, λ 5, λ 7$ антисимметричны.

Они подчиняются отношениям

{\begin{aligned}\left[T_{a},T_{b}\right]&=i\sum _{c=1}^{8}f_{abc}T_{c},\\\left\{T_{a},T_{b}\right\}&={\frac {1}{3}}\delta _{ab}I_{3}+\sum _{c=1}^{8}d_{abc}T_{c},\end{aligned}}

или, что то же самое,

{\begin{aligned}\left[\lambda _{a},\lambda _{b}\right]&=2i\sum _{c=1}^{8}f_{abc}\lambda _{c},\\\{\lambda _{a},\lambda _{b}\}&={\frac {4}{3}}\delta _{ab}I_{3}+2\sum _{c=1}^{8}{d_{abc}\lambda _{c}}.\end{aligned}}

f $—$ структурные константы алгебры Ли, определяемые формулой

{\begin{aligned}f_{123}&=1,\\f_{147}=-f_{156}=f_{246}=f_{257}=f_{345}=-f_{367}&={\frac {1}{2}},\\f_{458}=f_{678}&={\frac {\sqrt {3}}{2}},\end{aligned}}

тогда как все остальные $f abc,$ не связанные с ними перестановкой, равны нулю. В общем, они исчезают, если не содержат нечетное количество индексов из набора ${2, 5, 7}$ . ^[с]

Симметричные коэффициенты $d$ принимают значения

{\begin{aligned}d_{118}=d_{228}=d_{338}=-d_{888}&={\frac {1}{\sqrt {3}}}\\d_{448}=d_{558}=d_{668}=d_{778}&=-{\frac {1}{2{\sqrt {3}}}}\\d_{344}=d_{355}=-d_{366}=-d_{377}=-d_{247}=d_{146}=d_{157}=d_{256}&={\frac {1}{2}}~.\end{aligned}}

Они исчезают, если число индексов из набора ${2, 5, 7}$ нечетно.

Общий $элемент группы SU(3)$ , порожденный бесследовой эрмитовой матрицей 3×3 $H$ , нормализованной как $tr(H 2) = 2$ , может быть выражено как матричный полином второго порядка от $H$ : ^[11]

{\begin{aligned}\exp(i\theta H)={}&\left[-{\frac {1}{3}}I\sin \left(\varphi +{\frac {2\pi }{3}}\right)\sin \left(\varphi -{\frac {2\pi }{3}}\right)-{\frac {1}{2{\sqrt {3}}}}~H\sin(\varphi )-{\frac {1}{4}}~H^{2}\right]{\frac {\exp \left({\frac {2}{\sqrt {3}}}~i\theta \sin(\varphi )\right)}{\cos \left(\varphi +{\frac {2\pi }{3}}\right)\cos \left(\varphi -{\frac {2\pi }{3}}\right)}}\\[6pt]&{}+\left[-{\frac {1}{3}}~I\sin(\varphi )\sin \left(\varphi -{\frac {2\pi }{3}}\right)-{\frac {1}{2{\sqrt {3}}}}~H\sin \left(\varphi +{\frac {2\pi }{3}}\right)-{\frac {1}{4}}~H^{2}\right]{\frac {\exp \left({\frac {2}{\sqrt {3}}}~i\theta \sin \left(\varphi +{\frac {2\pi }{3}}\right)\right)}{\cos(\varphi )\cos \left(\varphi -{\frac {2\pi }{3}}\right)}}\\[6pt]&{}+\left[-{\frac {1}{3}}~I\sin(\varphi )\sin \left(\varphi +{\frac {2\pi }{3}}\right)-{\frac {1}{2{\sqrt {3}}}}~H\sin \left(\varphi -{\frac {2\pi }{3}}\right)-{\frac {1}{4}}~H^{2}\right]{\frac {\exp \left({\frac {2}{\sqrt {3}}}~i\theta \sin \left(\varphi -{\frac {2\pi }{3}}\right)\right)}{\cos(\varphi )\cos \left(\varphi +{\frac {2\pi }{3}}\right)}}\end{aligned}}

где

\varphi \equiv {\frac {1}{3}}\left[\arccos \left({\frac {3{\sqrt {3}}}{2}}\det H\right)-{\frac {\pi }{2}}\right].

Структура алгебры Ли [ править ]

Как отмечалось выше, алгебра Ли ${\mathfrak {su}}(n)$ SU $(n)$ состоит из $n \times n$ косоэрмитовых матриц размера с нулевым следом. ^[12]

Комплексификация алгебры Ли ${\mathfrak {su}}(n)$ является ${\mathfrak {sl}}(n;\mathbb {C} )$ , пространство всех $комплексных матриц размера n \times n$ с нулевым следом. ^[13] Тогда подалгебра Картана состоит из диагональных матриц с нулевым следом: ^[14] которые мы отождествляем с векторами в $\mathbb {C} ^{n}$ сумма записей которых равна нулю. Тогда корни состоят из всех $n (n - 1)$ перестановок $(1, -1, 0, ..., 0)$ .

Выбор корней простых

{\begin{aligned}(&1,-1,0,\dots ,0,0),\\(&0,1,-1,\dots ,0,0),\\&\vdots \\(&0,0,0,\dots ,1,-1).\end{aligned}}

Итак, $SU(n)$ имеет ранг $n - 1$ , а его диаграмма Дынкина задается $A n -1$ , цепочкой из $n - 1$ узлов: ... . ^[15] Его Картана матрица

{\begin{pmatrix}2&-1&0&\dots &0\\-1&2&-1&\dots &0\\0&-1&2&\dots &0\\\vdots &\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\0&0&0&\dots &2\end{pmatrix}}.

Его группа Вейля или группа Кокстера — это симметрическая группа $S n$ , симметрии группа $(n - 1)$ - симплекса .

Обобщенная специальная унитарная группа [ править ]

Для поля $F$ обобщенная специальная унитарная группа над F , $SU(p, q; F)$ , является группой всех линейных преобразований определителя , 1 векторного пространства ранга $n = p + q$ над $F$ которые оставляют инвариантным невырожденный , Эрмитова подписи форма $(p, q)$ . Эту группу часто называют специальной унитарной группой сигнатуры $p q$ над $F$ . Поле $F$ можно заменить коммутативным кольцом , и в этом случае векторное пространство заменяется свободным модулем .

В частности, зафиксируйте эрмитову матрицу $A$ сигнатуры $p q$ в $\operatorname {GL} (n,\mathbb {R} )$ , тогда все

M\in \operatorname {SU} (p,q,\mathbb {R} )

удовлетворить

{\begin{aligned}M^{*}AM&=A\\\det M&=1.\end{aligned}}

Часто можно увидеть обозначение $SU(p, q)$ без ссылки на кольцо или поле; в этом случае речь идет о кольце или поле $\mathbb {C}$ и это дает одну из классических групп Ли . Стандартный выбор для $А,$ когда $\operatorname {F} =\mathbb {C}$ является

A={\begin{bmatrix}0&0&i\\0&I_{n-2}&0\\-i&0&0\end{bmatrix}}.

Однако для определенных измерений может быть лучший выбор для $A$ , который демонстрирует большее поведение при ограничении подколец кольца. $\mathbb {C}$ .

Пример [ править ]

Важным примером группы этого типа является модульная группа Пикара. $\operatorname {SU} (2,1;\mathbb {Z} [i])$ которое действует (проективно) на комплексное гиперболическое пространство степени два так же, как $\operatorname {SL} (2,9;\mathbb {Z} )$ действует (проективно) на вещественном гиперболическом пространстве размерности два. В 2005 году Габор Франшич и Питер Лакс вычислили явную фундаментальную область действия этой группы на $HC. 2$ . ^[16]

Еще один пример: $\operatorname {SU} (1,1;\mathbb {C} )$ , который изоморфен $\operatorname {SL} (2,\mathbb {R} )$ .

Важные подгруппы [ править ]

используется специальная унитарная группа В физике для представления бозонных симметрий . В теориях нарушения симметрии важно уметь находить подгруппы специальной унитарной группы. Подгруппы $SU(n)$ , важные для физики Великого объединения , для $p > 1, n - p > 1$ ,

\operatorname {SU} (n)\supset \operatorname {SU} (p)\times \operatorname {SU} (n-p)\times \operatorname {U} (1),

где × обозначает прямое произведение , а $U(1)$ , известная как группа кругов , представляет собой мультипликативную группу всех комплексных чисел с абсолютным значением 1.

Для полноты еще существуют ортогональные и симплектические подгруппы,

{\begin{aligned}\operatorname {SU} (n)&\supset \operatorname {SO} (n),\\\operatorname {SU} (2n)&\supset \operatorname {Sp} (n).\end{aligned}}

Поскольку ранг SU $(n)$ равен $n - 1$ , а $U(1)$ равен 1, полезная проверка состоит в том, что сумма рангов подгрупп меньше или равна рангу исходной группы. $SU(n)$ — подгруппа различных других групп Ли,

{\begin{aligned}\operatorname {SO} (2n)&\supset \operatorname {SU} (n)\\\operatorname {Sp} (n)&\supset \operatorname {SU} (n)\\\operatorname {Spin} (4)&=\operatorname {SU} (2)\times \operatorname {SU} (2)\\\operatorname {E} _{6}&\supset \operatorname {SU} (6)\\\operatorname {E} _{7}&\supset \operatorname {SU} (8)\\\operatorname {G} _{2}&\supset \operatorname {SU} (3)\end{aligned}}

См. группу спина и группу простого Ли для $E 6$ , $E 7$ и $G 2$ .

Существуют также случайные изоморфизмы : $SU(4) = Spin(6)$ , $SU(2) = Spin(3) = Sp(1)$ , ^[д] и $U(1) = Spin(2) = SO(2)$ .

Наконец, можно упомянуть, что $SU(2)$ — это двойная накрывающая группа SO $(3)$ , соотношение, которое играет важную роль в теории вращений 2- спиноров в нерелятивистской квантовой механике .

SU(1, 1) [ править ]

$\mathrm {SU} (1,1)=\left\{{\begin{pmatrix}u&v\\v^{*}&u^{*}\end{pmatrix}}\in M(2,\mathbb {C} ):uu^{*}-vv^{*}=1\right\},$ где $~u^{*}~$ обозначает комплексно-сопряженное комплексное число $u$ .

Эта группа изоморфна $SL(2,ℝ)$ и $Spin(2,1)$ ^[17]где числа, разделенные запятой, относятся к сигнатуре квадратичной формы, сохраняемой группой. Выражение $~uu^{*}-vv^{*}~$ в определении $SU(1,1)$ является эрмитовой формой , которая становится изотропной квадратичной формой, когда $u$ и $v$ разлагаются на их вещественные компоненты.

Первым появлением этой группы была «единичная сфера» кокватернионов , введенная Джеймсом Коклом в 1852 году. Пусть

j={\begin{bmatrix}0&1\\1&0\end{bmatrix}}\,,\quad k={\begin{bmatrix}1&\;~0\\0&-1\end{bmatrix}}\,,\quad i={\begin{bmatrix}\;~0&1\\-1&0\end{bmatrix}}~.

Затем $~j\,k={\begin{bmatrix}0&-1\\1&\;~0\end{bmatrix}}=-i~,~$ $~i\,j\,k=I_{2}\equiv {\begin{bmatrix}1&0\\0&1\end{bmatrix}}~,~$ единичная матрица 2×2, $~k\,i=j~,$ и $\;i\,j=k\;,$ элементы $i, j$ и $k$ и все антикоммутируют , как в кватернионах . Также $i$ по-прежнему является квадратным корнем из $- I 2$ (отрицательное значение единичной матрицы), тогда как $~j^{2}=k^{2}=+I_{2}~$ нет, в отличие от кватернионов. И для кватернионов, и для кокватернионов все скалярные величины рассматриваются как неявные кратные $I$ ₂ и обозначаются как $1$ .

Кокватернион $~q=w+x\,i+y\,j+z\,k~$ со скаляром $w$ имеет сопряжение $~q=w-x\,i-y\,j-z\,k~$ аналогично кватернионам Гамильтона. Квадратичная форма $~q\,q^{*}=w^{2}+x^{2}-y^{2}-z^{2}.$

Заметим, что двухполостный гиперболоид $\left\{xi+yj+zk:x^{2}-y^{2}-z^{2}=1\right\}$ соответствует мнимым единицам в алгебре, так что любую точку $p$ на этом гиперболоиде можно использовать как полюс синусоидальной волны согласно формуле Эйлера .

Гиперболоид стабилен относительно $SU(1, 1)$ , иллюстрируя изоморфизм со $Spin(2, 1)$ . Изменчивость полюса волны, как отмечалось в исследованиях поляризации , может рассматривать эллиптическую поляризацию как проявление эллиптической формы волны с полюсом . $~p\neq \pm i~$ . Модель сферы Пуанкаре, используемая с 1892 года, сравнивается с моделью двухполостного гиперболоида. ^[18] практика $SU(1,1)$ -интерферометрии и внедрена .

Когда элемент $SU(1, 1)$ интерпретируется как преобразование Мёбиуса , он оставляет единичный диск стабильным, поэтому эта группа представляет движения модели диска Пуанкаре гиперболической плоской геометрии. Действительно, для точки $[z, 1]$ на комплексной проективной прямой действие $SU(1,1)$ определяется выражением

{\bigl [}\;z,\;1\;{\bigr ]}\,{\begin{pmatrix}u&v\\v^{*}&u^{*}\end{pmatrix}}=[\;u\,z+v^{*},\,v\,z+u^{*}\;]\,=\,\left[\;{\frac {uz+v^{*}}{vz+u^{*}}},\,1\;\right]

поскольку в проективных координатах $(\;u\,z+v^{*},\;v\,z+u^{*}\;)\thicksim \left(\;{\frac {\,u\,z+v^{*}\,}{v\,z+u^{*}}},\;1\;\right)~.$

Письмо $\;suv+{\overline {suv}}=2\,\Re {\mathord {\bigl (}}\,suv\,{\bigr )}\;,$ арифметика комплексных чисел показывает

{\bigl |}u\,z+v^{*}{\bigr |}^{2}=S+z\,z^{*}\quad {\text{ and }}\quad {\bigl |}v\,z+u^{*}{\bigr |}^{2}=S+1~,

где $S=v\,v^{*}\left(z\,z^{*}+1\right)+2\,\Re {\mathord {\bigl (}}\,uvz\,{\bigr )}.$ Поэтому, $z\,z^{*}<1\implies {\bigl |}uz+v^{*}{\bigr |}<{\bigl |}\,v\,z+u^{*}\,{\bigr |}$ так что их соотношение лежит в открытом диске. ^[19]

См. также [ править ]

Сноски [ править ]

^ Для характеристики $U(n)$ и, следовательно, $SU(n)$ с точки зрения сохранения стандартного внутреннего продукта на $\mathbb {C} ^{n}$ , см. Классическая группа .
^ Для явного описания гомоморфизма $SU(2) \to SO(3)$ см. Связь между SO(3) и SU(2) .
^ Так что меньше, чем 1/6 всех $fabc неисчезающие$ .
^ $Sp(n)$ — компактная вещественная форма $\operatorname {Sp} (2n,\mathbb {C} )$ . Иногда его обозначают $USp(2n)$ . Размерность $Sp(n)$ -матриц равна $2 n \times 2 n$ .

Цитаты [ править ]

^ Хальцен, Фрэнсис ; Мартин, Алан (1984). Кварки и лептоны: вводный курс в современную физику элементарных частиц . Джон Уайли и сыновья. ISBN 0-471-88741-2 .
^ Холл 2015 , Предложение 13.11.
^ Уайборн, Б.Г. (1974). Классические группы для физиков . Уайли-Интерсайенс. ISBN 0471965057 .
^ Зал 2015 г., Предложение 3.24.
^ Зал 2015 г., Упражнение 1.5.
^ Сэвидж, Алистер. «Группы лжи» (PDF) . MATH 4144 примечания.
^ Зал 2015 г., Предложение 3.24.
^ Зал 2015 г., Предложение 13.11.
^ Зал 2015 г., раздел 13.2.
↑ Зал 2015, Глава 6.
^ Розен, СП (1971). «Конечные преобразования в различных представлениях SU (3)». Журнал математической физики . 12 (4): 673–681. Бибкод : 1971JMP....12..673R . дои : 10.1063/1.1665634 . ; Куртрайт, ТЛ; Захос, СК (2015). «Элементарные результаты для фундаментального представления SU (3)». Доклады по математической физике . 76 (3): 401–404. arXiv : 1508.00868 . Бибкод : 2015РпМП...76..401С . дои : 10.1016/S0034-4877(15)30040-9 . S2CID 119679825 .
^ Зал 2015 г., Предложение 3.24.
^ Зал 2015 г., раздел 3.6.
^ Зал 2015 г., раздел 7.7.1.
^ Зал 2015 г., раздел 8.10.1.
^ Франсикс, Габор; Лакс, Питер Д. (сентябрь 2005 г.). «Явная фундаментальная область модулярной группы Пикара в двух комплексных измерениях». arXiv : math/0509708 .
^ Гилмор, Роберт (1974). Группы Ли, алгебры Ли и некоторые их приложения . Джон Уайли и сыновья . С. 52, 201−205. МР 1275599 .
^ Мота, РД; Охеда-Гильен, Д.; Саласар-Рамирес, М.; Гранадос, В.Д. (2016). «SU(1,1)-подход к параметрам Стокса и теории поляризации света». Журнал Оптического общества Америки Б. 33 (8): 1696–1701. arXiv : 1602.03223 . Бибкод : 2016JOSAB..33.1696M . дои : 10.1364/JOSAB.33.001696 . S2CID 119146980 .
^ Сигел, CL (1971). Темы теории комплексных функций . Том. 2. Перевод Шеницера А.; Треткофф, М. Уайли-Интерсайенс. стр. 13–15. ISBN 0-471-79080 Х .

Ссылки [ править ]

Холл, Брайан К. (2015), Группы Ли, алгебры Ли и представления: элементарное введение , Тексты для аспирантов по математике, том. 222 (2-е изд.), Спрингер, ISBN 978-3319134666
Ячелло, Франческо (2006), Алгебры Ли и их приложения , Конспекты лекций по физике, том. 708, Спрингер, ISBN 3540362363

[1] Для характеристики $U(n)$ и, следовательно, $SU(n)$ с точки зрения сохранения стандартного внутреннего продукта на $\mathbb {C} ^{n}$ , см. Классическая группа .

[3] Для явного описания гомоморфизма $SU(2) \to SO(3)$ см. Связь между SO(3) и SU(2) .

[13] Так что меньше, чем 1/6 всех $fabc неисчезающие$ .

[20] $Sp(n)$ — компактная вещественная форма $\operatorname {Sp} (2n,\mathbb {C} )$ . Иногда его обозначают $USp(2n)$ . Размерность $Sp(n)$ -матриц равна $2 n \times 2 n$ .

[2] Хальцен, Фрэнсис ; Мартин, Алан (1984). Кварки и лептоны: вводный курс в современную физику элементарных частиц . Джон Уайли и сыновья. ISBN 0-471-88741-2 .

[4] Холл 2015 , Предложение 13.11.

[5] Уайборн, Б.Г. (1974). Классические группы для физиков . Уайли-Интерсайенс. ISBN 0471965057 .

[6] Зал 2015 г., Предложение 3.24.

[7] Зал 2015 г., Упражнение 1.5.

[8] Сэвидж, Алистер. «Группы лжи» (PDF) . MATH 4144 примечания.

[9] Зал 2015 г., Предложение 3.24.

[10] Зал 2015 г., Предложение 13.11.

[11] Зал 2015 г., раздел 13.2.

[12] Зал 2015, Глава 6.

[14] Розен, СП (1971). «Конечные преобразования в различных представлениях SU (3)». Журнал математической физики . 12 (4): 673–681. Бибкод : 1971JMP....12..673R . дои : 10.1063/1.1665634 . ; Куртрайт, ТЛ; Захос, СК (2015). «Элементарные результаты для фундаментального представления SU (3)». Доклады по математической физике . 76 (3): 401–404. arXiv : 1508.00868 . Бибкод : 2015РпМП...76..401С . дои : 10.1016/S0034-4877(15)30040-9 . S2CID 119679825 .

[15] Зал 2015 г., Предложение 3.24.

[16] Зал 2015 г., раздел 3.6.

[17] Зал 2015 г., раздел 7.7.1.

[18] Зал 2015 г., раздел 8.10.1.

[19] Франсикс, Габор; Лакс, Питер Д. (сентябрь 2005 г.). «Явная фундаментальная область модулярной группы Пикара в двух комплексных измерениях». arXiv : math/0509708 .

[21] Гилмор, Роберт (1974). Группы Ли, алгебры Ли и некоторые их приложения . Джон Уайли и сыновья . С. 52, 201−205. МР 1275599 .

[22] Мота, РД; Охеда-Гильен, Д.; Саласар-Рамирес, М.; Гранадос, В.Д. (2016). «SU(1,1)-подход к параметрам Стокса и теории поляризации света». Журнал Оптического общества Америки Б. 33 (8): 1696–1701. arXiv : 1602.03223 . Бибкод : 2016JOSAB..33.1696M . дои : 10.1364/JOSAB.33.001696 . S2CID 119146980 .

[23] Сигел, CL (1971). Темы теории комплексных функций . Том. 2. Перевод Шеницера А.; Треткофф, М. Уайли-Интерсайенс. стр. 13–15. ISBN 0-471-79080 Х .

[а]

[1]

[б]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

[10]

[с]

[11]

[12]

[13]

[14]

[15]

[16]

[д]

[17]

[18]

[19]

Свойства [ править ]

Алгебра лжи [ править ]

Фундаментальное представление ​ ​

Сопряженное представление [ править ]

Группа SU(2) [ править ]

Диффеоморфизм с 3-сферой S 3 [ редактировать ]

Изоморфизм с группой версоров [ править ]

пространственным вращением Связь с

Алгебра лжи [ править ]

SU(3) [ править ]

Топология [ править ]

Теория представлений [ править ]

Алгебра лжи [ править ]

Структура алгебры Ли [ править ]

Обобщенная специальная унитарная группа [ править ]

Пример [ править ]

Важные подгруппы [ править ]

SU(1, 1) [ править ]

См. также [ править ]

Сноски [ править ]

Цитаты [ править ]

Ссылки [ править ]

Фундаментальное представление

Диффеоморфизм с 3-сферой S ³[ редактировать ]