Теория представлений полупростых алгебр Ли

В математике теория представлений полупростых алгебр Ли является одним из главных достижений теории групп Ли и алгебр Ли . Теория была разработана в основном Э. Картаном и Х. Вейлем , поэтому теория также известна как теория Картана–Вейля . ^[1] Теория дает структурное описание и классификацию конечномерного представления полупростой алгебры Ли (над $\mathbb {C}$ ); в частности, он дает возможность параметризовать (или классифицировать) неприводимые конечномерные представления полупростой алгебры Ли, результат, известный как теорема о старшем весе .

Между конечномерными представлениями односвязной компактной группы Ли K и конечномерными представлениями комплексной полупростой алгебры Ли существует естественное взаимно однозначное соответствие. ${\mathfrak {g}}$ это комплексификация алгебры Ли группы K (этот факт, по сути, является частным случаем соответствия группа Ли–алгебра Ли ). Кроме того, конечномерные представления связной компактной группы Ли можно изучать через конечномерные представления универсального накрытия такой группы. Таким образом, теория представлений полупростых алгебр Ли является отправной точкой для общей теории представлений связных компактных групп Ли .

Эта теория является основой для более поздних работ Хариш-Чандры , касающихся (бесконечномерной) теории представлений действительных редуктивных групп .

Классификация конечномерных представлений полупростых алгебр Ли

Существует красивая теория, классифицирующая конечномерные представления полупростой алгебры Ли над $\mathbb {C}$ . Конечномерные неприводимые представления описываются теоремой старшего веса . Теория описана в различных учебниках, включая Fulton & Harris (1991) , Hall (2015) и Humphreys (1972) .

После обзора теория описывается в возрастающей общности, начиная с двух простых случаев, которые можно выполнить «вручную», а затем переходя к общему результату. Акцент здесь делается на теории представления; для геометрических структур, включающих корневые системы, необходимые для определения термина «доминирующий целочисленный элемент», перейдите по приведенной выше ссылке о весах в теории представлений.

Обзор

Классификация конечномерных неприводимых представлений полупростой алгебры Ли ${\mathfrak {g}}$ над $\mathbb {R}$ или $\mathbb {C}$ обычно состоит из двух этапов. Первый шаг сводится к анализу гипотетических представлений, результатом которого является предварительная классификация. Второй шаг – фактическая реализация этих представлений.

Реальная алгебра Ли обычно комплексифицирована, что позволяет проводить анализ в алгебраически замкнутом поле . Кроме того, работа над комплексными числами позволяет получить более удобные основания. Применима следующая теорема: вещественно-линейное конечномерное представление вещественной алгебры Ли расширяется до комплексно-линейного представления ее комплексификации. Вещественно-линейное представление неприводимо тогда и только тогда, когда соответствующее комплексно-линейное представление неприводимо. ^[2] Более того, комплексная полупростая алгебра Ли обладает свойством полной сводимости . Это означает, что каждое конечномерное представление распадается в прямую сумму неприводимых представлений .

Вывод: Классификация сводится к изучению неприводимых комплексных линейных представлений (комплексифицированной) алгебры Ли.

Классификация: Шаг первый

Первый шаг — выдвинуть гипотезу о существовании неприводимых представлений. Другими словами, предполагается, что у нас есть неприводимое представление. $\pi$ комплексной полупростой алгебры Ли ${\mathfrak {g}},$ не беспокоясь о том, как построено представление. Исследуются свойства этих гипотетических представлений. ^[3] и тогда устанавливаются условия, необходимые для существования неприводимого представления.

Свойства включают веса представления. Вот самое простое описание. ^[4] Позволять ${\mathfrak {h}}$ быть подалгеброй Картана ${\mathfrak {g}}$ , то есть максимальная коммутативная подалгебра со свойством $\operatorname {ad} _{H}$ диагонализуема для каждого $H\in {\mathfrak {h}}$ , ^[5] и пусть $H_{1},\ldots ,H_{n}$ быть основой для ${\mathfrak {h}}$ . Вес $\lambda$ для представления $(\pi ,V)$ из ${\mathfrak {g}}$ представляет собой набор одновременных собственных значений

(\lambda _{1},\ldots ,\lambda _{n})

для коммутирующих операторов $\pi (H_{1}),\ldots ,\pi (H_{n})$ . На базисно-независимом языке $\lambda$ представляет собой линейный функционал $\lambda$ на ${\mathfrak {h}}$ такой, что существует ненулевой вектор $v\in V$ такой, что $\pi (H)v=\lambda (H)v$ для каждого $H\in {\mathfrak {h}}$ .

Определен частичный порядок набора весов, и понятие наивысшего веса для любого набора весов устанавливается в терминах этого частичного порядка. Используя структуру алгебры Ли, понятия доминантный элемент и целочисленный элемент определены . Каждое конечномерное представление должно иметь максимальный вес $\lambda$ , т. е. такой, для которого не существует строго большего веса. Если $V$ является неприводимым и $v$ представляет собой весовой вектор с весом $\lambda$ , то все пространство $V$ должно быть создано действием ${\mathfrak {g}}$ на $v$ . Таким образом, $(\pi ,V)$ представляет собой «циклическое» представление с высшим весом. Затем показано, что вес $\lambda$ на самом деле является наивысшим весом (а не только максимальным) и что каждое циклическое представление старшего веса неприводимо. Затем показано, что два неприводимых представления с одинаковым старшим весом изоморфны. Наконец, показано, что наибольший вес $\lambda$ должна быть доминирующей и целостной.

Вывод: неприводимые представления классифицируются по их старшим весам, а наивысший вес всегда является доминирующим целочисленным элементом.

Первый шаг имеет побочное преимущество: лучше понимается структура неприводимых представлений. Представления разлагаются как прямые суммы весовых пространств , причем весовое пространство соответствует одномерному наивысшему весу. Многократное применение представителей некоторых элементов алгебры Ли, называемых понижающими операторами, дает набор образующих для представления в виде векторного пространства. Применение одного такого оператора к вектору с определенным весом приводит либо к нулю, либо к вектору со строго меньшим весом. Операторы повышения работают аналогично, но в результате получается вектор со строго большим весом или нулем. Представители подалгебры Картана действуют диагонально в базисе весовых векторов.

Классификация: Шаг второй

Второй шаг связан с построением представлений, которые позволяет первый шаг. То есть теперь мы фиксируем доминирующий целостный элемент $\lambda$ и попытаемся построить неприводимое представление с наибольшим весом $\lambda$ .

Существует несколько стандартных способов построения неприводимых представлений:

Строительство с использованием модулей Verma . Этот подход является чисто алгебраическим. (Вообще применимо к комплексным полупростым алгебрам Ли.) ^[6]^[7]
Подход компактной группы с использованием теоремы Питера–Вейля . Если, например, ${\mathfrak {g}}=\operatorname {sl} (n,\mathbb {C} )$ , можно было бы работать с односвязной компактной группой $\operatorname {SU} (n)$ . (Вообще применимо к комплексным полупростым алгебрам Ли.) ^[8]^[9]
Построение с использованием теоремы Бореля–Вейля , в которой голоморфные представления группы $G,$ соответствующие ${\mathfrak {g}}$ построены. (Вообще применимо к комплексным полупростым алгебрам Ли.) ^[9]
Выполнение стандартных операций над известными представлениями, в частности применение разложения Клебша – Гордана к тензорным произведениям представлений. (Не применимо в целом.) ^{[номер 1]} В случае ${\mathfrak {g}}=\operatorname {sl} (3,\mathbb {C} )$ , эта конструкция описана ниже.
В самых простых случаях строительство с нуля. ^[10]

Вывод: каждый доминирующий целочисленный элемент комплексной полупростой алгебры Ли порождает неприводимое конечномерное представление. Это единственные неприводимые представления.

Случай sl(2,C)

Алгебра Ли sl(2, C ) специальной линейной группы SL(2, C ) представляет собой пространство 2x2 матриц со следом-нолем и комплексными элементами. В основу входят следующие элементы:

X={\begin{pmatrix}0&1\\0&0\end{pmatrix}}\qquad Y={\begin{pmatrix}0&0\\1&0\end{pmatrix}}\qquad H={\begin{pmatrix}1&0\\0&-1\end{pmatrix}}~,

Они удовлетворяют коммутационным соотношениям

[H,X]=2X,\quad [H,Y]=-2Y,\quad [X,Y]=H

.

Каждое конечномерное представление sl(2, C ) распадается в прямую сумму неприводимых представлений. Это утверждение следует из общего результата о полной приводимости полупростых алгебр Ли: ^[11] или из того, что sl(2, C ) является комплексификацией алгебры Ли односвязной компактной группы SU(2). ^[12] Неприводимые представления $\pi$ , в свою очередь, можно классифицировать ^[13] по наибольшему собственному значению $\pi (H)$ , которое должно быть неотрицательным целым числом m . То есть в данном случае «доминирующим целым элементом» является просто неотрицательное целое число. Неприводимое представление с наибольшим собственным значением m имеет размерность $m+1$ и натянут собственными векторами для $\pi (H)$ с собственными значениями $m,m-2,\ldots ,-m+2,-m$ . Операторы $\pi (X)$ и $\pi (Y)$ двигаться вверх и вниз по цепочке собственных векторов соответственно. Подробно этот анализ описан в теории представлений SU(2) (с точки зрения комплексифицированной алгебры Ли).

Конкретную реализацию представлений можно дать (второй шаг в обзоре выше) любым из двух способов. Во-первых, в этом простом примере нетрудно записать явную основу представления и явную формулу того, как генераторы $X,Y,H$ алгебры Ли действуют на этом базисе. ^[14] Альтернативно можно реализовать представление ^[15] с наибольшим весом $m$ позволяя $V_{m}$ обозначим пространство однородных многочленов степени $m$ в двух комплексных переменных, а затем определяя действие $X$ , $Y$ , и $H$ к

\pi _{m}(X)=-z_{2}{\frac {\partial }{\partial z_{1}}};\quad \pi _{m}(Y)=-z_{1}{\frac {\partial }{\partial z_{2}}};\quad \pi _{m}(H)=-z_{1}{\frac {\partial }{\partial z_{1}}}+z_{2}{\frac {\partial }{\partial z_{2}}}.

Отметим, что формулы действия $X$ , $Y$ , и $H$ не зависеть от $m$ ; нижний индекс в формулах лишь указывает на то, что мы ограничиваем действие указанных операторов пространством однородных многочленов степени $m$ в $z_{1}$ и $z_{2}$ .

Случай sl(3,C)

Пример весов представления алгебры Ли sl(3,C), старший вес обведен кружком

Есть похожая теория ^[16] классифицирующий неприводимые представления sl(3, C ), которая является комплексифицированной алгеброй Ли группы SU(3). Алгебра Ли sl(3, C ) восьмимерна. Мы можем работать с базисом, состоящим из следующих двух диагональных элементов:

H_{1}={\begin{pmatrix}1&0&0\\0&-1&0\\0&0&0\end{pmatrix}},\quad H_{2}={\begin{pmatrix}0&0&0\\0&1&0\\0&0&-1\end{pmatrix}}

,

вместе с шестью другими матрицами $X_{1},\,X_{2},\,X_{3}$ и $Y_{1},\,Y_{2},\,Y_{3}$ каждый из которых имеет 1 во внедиагональной записи и нули в других местах. ( $X_{i}$ имеет 1 над диагональю и $Y_{i}$ имеет 1 ниже диагонали.)

Стратегия заключается в одновременной диагонализации $\pi (H_{1})$ и $\pi (H_{2})$ в каждом неприводимом представлении $\pi$ . Напомним, что в случае sl(2, C ) действие $\pi (X)$ и $\pi (Y)$ повышать и понижать собственные значения $\pi (H)$ . Аналогично в случае sl(3, C ) действие $\pi (X_{i})$ и $\pi (Y_{i})$ «повышать» и «понижать» собственные значения $\pi (H_{1})$ и $\pi (H_{2})$ . Затем неприводимые представления классифицируются ^[17] по наибольшим собственным значениям $m_{1}$ и $m_{2}$ из $\pi (H_{1})$ и $\pi (H_{2})$ , соответственно, где $m_{1}$ и $m_{2}$ являются неотрицательными целыми числами. То есть в этом случае «доминирующим целым элементом» является именно пара неотрицательных целых чисел.

В отличие от представлений sl(2, C ), представление sl(3, C ), вообще говоря, не может быть описано явно. Таким образом, требуется аргумент, чтобы показать, что каждая пара $(m_{1},m_{2})$ на самом деле возникает высший вес некоторого неприводимого представления (второй шаг в обзоре выше). Это можно сделать следующим образом. Сначала мы строим «фундаментальные представления» со старшими весами (1,0) и (0,1). Это трехмерное стандартное представление (в котором $\pi (X)=X$ ) и двойственное стандартному представлению. Затем берется тензорное произведение $m_{1}$ копии стандартного представления и $m_{2}$ копирует двойственное стандартное представление и извлекает неприводимое инвариантное подпространство. ^[18]

Хотя представления не могут быть описаны явно, существует много полезной информации, описывающей их структуру. Например, размерность неприводимого представления с наибольшим весом $(m_{1},m_{2})$ дается ^[19]

\dim(m_{1},m_{2})={\frac {1}{2}}(m_{1}+1)(m_{2}+1)(m_{1}+m_{2}+2)

Существует также простая закономерность в множественности различных весовых пространств. Наконец, неприводимые представления со старшим весом $(0,m)$ может быть конкретно реализовано на пространстве однородных многочленов степени $m$ по трем комплексным переменным. ^[20]

Случай общей полупростой алгебры Ли

Позволять ${\mathfrak {g}}$ — полупростая алгебра Ли и пусть ${\mathfrak {h}}$ быть Картана подалгеброй ${\mathfrak {g}}$ , то есть максимальная коммутативная подалгебра со свойством, что ad _H диагонализуема для всех H в ${\mathfrak {h}}$ . В качестве примера можно рассмотреть случай, когда ${\mathfrak {g}}$ является sl( n , C ), алгеброй n на n бесследовых матриц и ${\mathfrak {h}}$ — подалгебра бесследовых диагональных матриц. ^[21] Затем мы обозначаем R соответствующую корневую систему . Затем мы выбираем базу (или систему положительных простых корней ) $\Delta$ для Р.

Теперь мы кратко суммируем структуры, необходимые для формулировки теоремы о наибольшем весе ; подробнее можно прочитать в статье о весах в теории представлений .Выбираем внутренний продукт на ${\mathfrak {h}}$ которая инвариантна относительно действия Вейля группы R , которую мы используем для идентификации ${\mathfrak {h}}$ с его двойным пространством. Если $(\pi ,V)$ является представлением ${\mathfrak {g}}$ , мы определяем вес V элемент как $\lambda$ в ${\mathfrak {h}}$ со свойством, что для некоторого ненулевого v в V мы имеем $\pi (H)v=\langle \lambda ,H\rangle v$ для всех H в ${\mathfrak {h}}$ . Затем мы определяем один вес $\lambda$ быть выше другого веса $\mu$ если $\lambda -\mu$ выражается как линейная комбинация элементов $\Delta$ с неотрицательными действительными коэффициентами. Вес $\mu$ называется максимальным весом, если $\mu$ выше, чем любой другой вес $\pi$ . Наконец, если $\lambda$ это вес, мы говорим, что $\lambda$ является доминирующим , если он имеет неотрицательный внутренний продукт с каждым элементом $\Delta$ и мы говорим это $\lambda$ является целым, если $2\langle \lambda ,\alpha \rangle /\langle \alpha ,\alpha \rangle$ является целым числом для каждого $\alpha$ в Р.

Конечномерные представления полупростой алгебры Ли вполне приводимы , поэтому достаточно классифицировать неприводимые (простые) представления. Неприводимые представления, в свою очередь, можно классифицировать по «теореме наибольшего веса» следующим образом: ^[22]

Каждое неприводимое конечномерное представление ${\mathfrak {g}}$ имеет высший вес, и этот высший вес является доминирующим и целостным.
Два неприводимых конечномерных представления с одинаковым старшим весом изоморфны.
Каждый доминирующий целочисленный элемент возникает как высший вес некоторого неприводимого конечномерного представления ${\mathfrak {g}}$ .

Последний пункт теоремы (второй шаг в обзоре выше) является самым трудным. В случае алгебры Ли sl(3, C ) построение можно провести элементарно, как описано выше. В общем, построение представлений может быть задано с использованием модулей Верма . ^[23]

Строительство с использованием модулей Verma

Если $\lambda$ является любым весом, не обязательно доминирующим или целым, можно построить бесконечномерное представление $W_{\lambda }$ из ${\mathfrak {g}}$ с наибольшим весом $\lambda$ известный как модуль Verma . Тогда модуль Вермы имеет максимальное собственное инвариантное подпространство $U_{\lambda }$ , так что факторпредставление $V_{\lambda }:=W_{\lambda }/U_{\lambda }$ является неприводимым и по-прежнему имеет наибольший вес $\lambda$ . В случае, если $\lambda$ является доминирующим и неотъемлемым, мы хотим показать, что $V_{\lambda }$ является конечномерным. ^[24]

Стратегия доказательства конечномерности $V_{\lambda }$ состоит в том, чтобы показать, что набор весов $V_{\lambda }$ инвариантен относительно действия группы Вейля $W$ из ${\mathfrak {g}}$ относительно данной подалгебры Картана ${\mathfrak {h}}$ . ^[25] (Обратите внимание, что веса модуля Верма $W_{\lambda }$ сами по себе определенно не инвариантны относительно $W$ .) Как только этот результат инвариантности установлен, отсюда следует, что $V_{\lambda }$ имеет лишь конечное число весов. Ведь если $\mu$ это вес $V_{\lambda }$ , затем $\mu$ должно быть целостным — действительно, $\mu$ должен отличаться от $\lambda$ целочисленной комбинацией корней - и результатом инвариантности, $w\cdot \mu$ должно быть ниже, чем $\lambda$ для каждого $w$ в $W$ . Но существует лишь конечное число целых элементов. $\mu$ с этим свойством. Таким образом, $V_{\lambda }$ имеет лишь конечное число весов, каждый из которых имеет конечную кратность (даже в модуле Верма, а значит, конечно, и в $V_{\lambda }$ ). Отсюда следует, что $V_{\lambda }$ должно быть конечномерным.

Дополнительные свойства представлений

Многое известно о представлениях комплексной полупростой алгебры Ли. ${\mathfrak {g}}$ , помимо классификации по наивысшим весам. Кратко упомянем некоторые из них. Мы уже ссылались на теорему Вейля , которая утверждает, что всякое конечномерное представление ${\mathfrak {g}}$ разлагается в прямую сумму неприводимых представлений. Существует также формула характеров Вейля , которая приводит к формуле размерности Вейля (формуле размерности представления через его старший вес), формуле кратности Костанта (формуле кратностей различных весов, входящих в представление ). Наконец, существует также формула для собственного значения элемента Казимира , который действует как скаляр в каждом неприводимом представлении.

Представления групп Ли и унитарный трюк Вейля

Хотя можно развивать теорию представлений комплексных полупростых алгебр Ли самодостаточным способом, может быть полезно привнести перспективу с использованием групп Ли . Этот подход особенно полезен для понимания теоремы Вейля о полной сводимости . Известно, что любая комплексная полупростая алгебра Ли ${\mathfrak {g}}$ имеет компактную вещественную форму ${\mathfrak {k}}$ . ^[26] Это означает, во-первых, что ${\mathfrak {g}}$ это усложнение ${\mathfrak {k}}$ :

{\mathfrak {g}}={\mathfrak {k}}+i{\mathfrak {k}}

и, во-вторых, существует односвязная компактная группа $K$ чья алгебра Ли ${\mathfrak {k}}$ . В качестве примера мы можем рассмотреть ${\mathfrak {g}}=\operatorname {sl} (n;\mathbb {C} )$ , в этом случае $K$ можно принять за специальную унитарную группу SU(n).

Учитывая конечномерное представление $V$ из ${\mathfrak {g}}$ , мы можем ограничить его до ${\mathfrak {k}}$ . Тогда с тех пор $K$ односвязно, мы можем интегрировать представление в группу $K$ . ^[27] Метод усреднения по группе показывает, что на $V$ который инвариантен относительно действия $K$ ; то есть действие $K$ на $V$ является унитарным . На этом этапе мы можем использовать унитарность, чтобы увидеть, что $V$ разлагается в прямую сумму неприводимых представлений. ^[28] Эта линия рассуждений называется унитарным трюком и была первоначальным аргументом Вейля в пользу того, что сейчас называется теоремой Вейля. Существует также чисто алгебраический аргумент в пользу полной приводимости представлений полупростых алгебр Ли.

Если ${\mathfrak {g}}$ — комплексная полупростая алгебра Ли, существует единственная комплексная полупростая группа Ли $G$ с алгеброй Ли ${\mathfrak {g}}$ , помимо односвязной компактной группы $K$ . (Если ${\mathfrak {g}}=\operatorname {sl} (n;\mathbb {C} )$ затем $G=\operatorname {SL} (n;\mathbb {C} )$ .) Тогда мы имеем следующий результат о конечномерных представлениях. ^[29]

Утверждение: объекты в следующем списке находятся во взаимно однозначном соответствии:

Гладкие представления $K$
Голоморфные представления $G$
Действительные линейные представления ${\mathfrak {k}}$
Комплексные линейные представления ${\mathfrak {g}}$

Вывод: Теория представлений компактных групп Ли может пролить свет на теорию представлений комплексных полупростых алгебр Ли.

Примечания

^ Этот подход широко используется для классических алгебр Ли в Fulton & Harris (1991) .

Примечания

^ Кнапп, AW (2003). «Рецензируемая работа: Матричные группы: введение в теорию групп Ли, Эндрю Бейкер; Группы Ли: введение через линейные группы, Вульф Россманн» . Американский математический ежемесячник . 110 (5): 446–455. дои : 10.2307/3647845 . JSTOR 3647845 .
^ Холл 2015 , Предложение 4.6.
^ См. раздел 6.4 Hall 2015 в случае sl(3,C).
^ Холл 2015 , Раздел 6.2. (Там специализировались на $\operatorname {sl} (3,\mathbb {C}$ )
^ Зал 2015 , Раздел 7.2.
^ Бойерле, де Керф и тен Круде, 1997 , Глава 20.
^ Зал 2015 , разделы 9.5–9.7.
^ Холл 2015 , Глава 12.
^ Jump up to: Перейти обратно: ^а ^б Россманн 2002 , Глава 6.
^ Этот подход для $\operatorname {sl} (2,\mathbb {C} )$ можно найти в примере 4.10. Холла (2015 , раздел 4.2.)
^ Зал 2015 г., раздел 10.3.
^ Холл, 2015 г., теоремы 4.28 и 5.6.
^ Зал 2015 г., раздел 4.6.
^ Холл, 2015 г., уравнение 4.16.
^ Холл 2015 г. Пример 4.10.
↑ Зал 2015, Глава 6.
^ Холл, 2015 г. Теорема 6.7
^ Зал 2015 г., Предложение 6.17.
^ Холл, 2015 г., Теорема 6.27.
^ Холл, 2015 г., Упражнение 6.8.
^ Зал 2015 г., раздел 7.7.1.
^ Холл, 2015 г., теоремы 9.4 и 9.5.
^ Зал 2015 г., разделы 9.5-9.7.
^ Зал 2015 г., раздел 9.7.
^ Зал 2015 г., Предложение 9.22.
^ Кнапп, 2002 г., раздел VI.1.
^ Холл, 2015 г. Теорема 5.6.
^ Зал 2015 г., раздел 4.4.
^ Кнапп 2001 , Раздел 2.3.

Ссылки

Бауэрле, GGA; де Керф, Э.А.; тен Кроуд, APE (1997). А. ван Грозен; Э.М. де Ягер (ред.). Конечно- и бесконечномерные алгебры Ли и их применение в физике . Исследования по математической физике. Том. 7. Северная Голландия. ISBN 978-0-444-82836-1 – через ScienceDirect .
Фултон, Уильям ; Харрис, Джо (1991). Теория представлений. Первый курс . Тексты для аспирантов по математике , Чтения по математике. Том. 129. Нью-Йорк: Springer-Verlag. дои : 10.1007/978-1-4612-0979-9 . ISBN 978-0-387-97495-8 . МР 1153249 . OCLC 246650103 .
Холл, Брайан К. (2015), Группы Ли, алгебры Ли и представления: элементарное введение , Тексты для аспирантов по математике, том. 222 (2-е изд.), Спрингер, ISBN 978-3319134666
Хамфрис, Джеймс Э. (1972), Введение в алгебры Ли и теорию представлений , Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag , ISBN 978-0-387-90053-7
Кнапп, Энтони В. (2001), Теория представлений полупростых групп. Обзор на примерах. , Принстонские достопримечательности в области математики, Princeton University Press, ISBN 0-691-09089-0
Кнапп, Энтони В. (2002), Группы Ли: помимо введения , Progress in Mathematics, vol. 140 (2-е изд.), Бостон: Биркхойзер, ISBN 978-0-8176-4259-4 .
Россманн, Вульф (2002), Группы Ли: введение через линейные группы , Оксфордские тексты для выпускников по математике, Oxford University Press, ISBN 978-0-19-859683-7 .

[10] Этот подход широко используется для классических алгебр Ли в Fulton & Harris (1991) .

[1] Кнапп, AW (2003). «Рецензируемая работа: Матричные группы: введение в теорию групп Ли, Эндрю Бейкер; Группы Ли: введение через линейные группы, Вульф Россманн» . Американский математический ежемесячник . 110 (5): 446–455. дои : 10.2307/3647845 . JSTOR 3647845 .

[2] Холл 2015 , Предложение 4.6.

[3] См. раздел 6.4 Hall 2015 в случае sl(3,C).

[4] Холл 2015 , Раздел 6.2. (Там специализировались на $\operatorname {sl} (3,\mathbb {C}$ )

[5] Зал 2015 , Раздел 7.2.

[6] Бойерле, де Керф и тен Круде, 1997 , Глава 20.

[7] Зал 2015 , разделы 9.5–9.7.

[8] Холл 2015 , Глава 12.

[Rossmann_2002_loc=Chapter_6-9] Jump up to: Перейти обратно: ^а ^б Россманн 2002 , Глава 6.

[11] Этот подход для $\operatorname {sl} (2,\mathbb {C} )$ можно найти в примере 4.10. Холла (2015 , раздел 4.2.)

[12] Зал 2015 г., раздел 10.3.

[13] Холл, 2015 г., теоремы 4.28 и 5.6.

[14] Зал 2015 г., раздел 4.6.

[15] Холл, 2015 г., уравнение 4.16.

[16] Холл 2015 г. Пример 4.10.

[17] Зал 2015, Глава 6.

[18] Холл, 2015 г. Теорема 6.7

[19] Зал 2015 г., Предложение 6.17.

[20] Холл, 2015 г., Теорема 6.27.

[21] Холл, 2015 г., Упражнение 6.8.

[22] Зал 2015 г., раздел 7.7.1.

[23] Холл, 2015 г., теоремы 9.4 и 9.5.

[24] Зал 2015 г., разделы 9.5-9.7.

[25] Зал 2015 г., раздел 9.7.

[26] Зал 2015 г., Предложение 9.22.

[27] Кнапп, 2002 г., раздел VI.1.

[28] Холл, 2015 г. Теорема 5.6.

[29] Зал 2015 г., раздел 4.4.

[Knapp_2001-30] Кнапп 2001 , Раздел 2.3.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

[номер 1]

[10]

[11]

[12]

[13]

[14]

[15]

[16]

[17]

[18]

[19]

[20]

[21]

[22]

[23]

[24]

[25]

[26]

[27]

[28]

[29]