Петлевая алгебра

Не путать с квазигруппой с единичным элементом , также называемой алгебраической петлей.

В математике алгебры петель представляют собой определенные типы алгебр Ли , представляющие особый интерес в теоретической физике .

Определение

Для алгебры Ли ${\mathfrak {g}}$ над полем $K$, если $K[t,t^{-1}]$ – пространство лорановских полиномов , то $$L{\mathfrak {g}}:={\mathfrak {g}}\otimes K[t,t^{-1}],$$с унаследованной скобкой $$[X\otimes t^{m},Y\otimes t^{n}]=[X,Y]\otimes t^{m+n}.$$

Геометрическое определение

Если ${\mathfrak {g}}$ — алгебра Ли, произведение тензорное ${\mathfrak {g}}$ с С ^∞ ( С ¹ ) , алгебра (комплексных) гладких функций над круговым многообразием S ¹ (эквивалентно гладким комплекснозначным периодическим функциям заданного периода),

$${\mathfrak {g}}\otimes C^{\infty }(S^{1}),$$

— бесконечномерная алгебра Ли со скобкой Ли , заданной формулой

$$[g_{1}\otimes f_{1},g_{2}\otimes f_{2}]=[g_{1},g_{2}]\otimes f_{1}f_{2}.$$

Здесь g ₁ и g ₂ — элементы ${\mathfrak {g}}$ и f ₁ и f ₂ являются элементами C ^∞ ( С ¹ ) .

Это не совсем то, что соответствовало бы прямому продукту бесконечного множества копий. ${\mathfrak {g}}$, по одному на каждую точку в S ¹ , из-за ограничения гладкости. Вместо этого это можно рассматривать как гладкое отображение из S ¹ к ${\mathfrak {g}}$; плавный параметризованный цикл в ${\mathfrak {g}}$, другими словами. Вот почему ее называют петлевой алгеброй .

Градация

Определение ${\mathfrak {g}}_{i}$ быть линейным подпространством ${\mathfrak {g}}_{i}={\mathfrak {g}}\otimes t^{i}<L{\mathfrak {g}},$ скобка ограничивается продуктом $$[\cdot \,,\,\cdot ]:{\mathfrak {g}}_{i}\times {\mathfrak {g}}_{j}\rightarrow {\mathfrak {g}}_{i+j},$$следовательно, давая алгебру петель a $\mathbb {Z}$- структура градуированной алгебры Ли .

В частности, скобка ограничивается подалгеброй «нулевой моды» ${\mathfrak {g}}_{0}\cong {\mathfrak {g}}$.

Вывод

Смотрите также: Вывод (дифференциальная алгебра)

На алгебре петель существует естественный вывод, условно обозначаемый $d$ действуя как $$d:L{\mathfrak {g}}\rightarrow L{\mathfrak {g}}$$$$d(X\otimes t^{n})=nX\otimes t^{n}$$и поэтому формально можно рассматривать как $d=t{\frac {d}{dt}}$.

Требуется определить аффинные алгебры Ли , которые используются в физике, в частности в конформной теории поля .

Группа петель

Аналогично набор всех гладких отображений из S ¹ к группе Ли G образует бесконечномерную группу Ли (группу Ли в том смысле, что мы можем определить над ней функциональные производные ), называемую группой петель . Алгебра Ли группы петель — это соответствующая алгебра петель.

Аффинные алгебры Ли как центральное расширение алгебр петель

См. также: Расширение алгебры Ли § Полиномиальная алгебра петель и Аффинная алгебра Ли.

Если ${\mathfrak {g}}$ — полупростая алгебра Ли , то нетривиальное центральное расширение ее алгебры петель $L{\mathfrak {g}}$ порождает аффинную алгебру Ли . Более того, это центральное расширение уникально.

Центральное расширение задается присоединением центрального элемента. ${\hat {k}}$, то есть для всех $X\otimes t^{n}\in L{\mathfrak {g}}$, $$[{\hat {k}},X\otimes t^{n}]=0,$$и изменив скобку в алгебре петель на $$[X\otimes t^{m},Y\otimes t^{n}]=[X,Y]\otimes t^{m+n}+mB(X,Y)\delta _{m+n,0}{\hat {k}},$$где $B(\cdot ,\cdot )$ это форма убийства .

Центральное расширение, как векторное пространство, $L{\mathfrak {g}}\oplus \mathbb {C} {\hat {k}}$ (в обычном определении, как и в более общем плане, $\mathbb {C}$ можно считать произвольным полем).

Коцикл

Смотрите также: Расширение алгебры Ли § Центральный

Используя язык когомологий алгебры Ли , центральное расширение можно описать с помощью 2- коцикла на алгебре петель. Это карта $$\varphi :L{\mathfrak {g}}\times L{\mathfrak {g}}\rightarrow \mathbb {C}$$удовлетворяющий $$\varphi (X\otimes t^{m},Y\otimes t^{n})=mB(X,Y)\delta _{m+n,0}.$$Тогда дополнительный член, добавляемый в скобку, равен $\varphi (X\otimes t^{m},Y\otimes t^{n}){\hat {k}}.$

Аффинная алгебра Ли

В физике центральное расширение $L{\mathfrak {g}}\oplus \mathbb {C} {\hat {k}}$ иногда называют аффинной алгеброй Ли. В математике этого недостаточно, и полная аффинная алгебра Ли представляет собой векторное пространство $${\hat {\mathfrak {g}}}=L{\mathfrak {g}}\oplus \mathbb {C} {\hat {k}}\oplus \mathbb {C} d$$где $d$ – это вывод, определенный выше.

В этом пространстве форма Киллинга может быть расширена до невырожденной формы, что позволяет провести анализ корневой системы аффинной алгебры Ли.

Ссылки

• Фукс, Юрген (1992), Аффинные алгебры Ли и квантовые группы , Cambridge University Press, ISBN  0-521-48412-Х