Риччи-плоское многообразие

В математической области геометрии дифференциальной Риччи-плоскость является условием кривизны риманова многообразия . Риччи-плоские многообразия — это особый вид многообразий Эйнштейна . В теоретической физике риччи-плоские лоренцевы многообразия представляют фундаментальный интерес, поскольку являются решениями уравнений поля Эйнштейна в вакууме с исчезающей космологической постоянной .

В лоренцевой геометрии ряд риччи-плоских метрик известен из работ Карла Шварцшильда , Роя Керра и Ивонны Шоке-Брюа . В римановой геометрии решение -Тунг Яу Шинг гипотезы Калаби привело к появлению ряда риччи-плоских метрик на кэлеровых многообразиях .

Определение

Псевдориманово многообразие называется Риччи-плоским, если его кривизна Риччи равна нулю. Непосредственно проверить, что, за исключением размерности два, метрика является Риччи-плоской тогда и только тогда, когда ее тензор Эйнштейна равен нулю. Риччи-плоские многообразия — один из трёх особых типов многообразий Эйнштейна , возникающих как частный случай скалярной кривизны, равной нулю.

Из определения тензора кривизны Вейля сразу видно, что любая Риччи-плоская метрика имеет кривизну Вейля, равную тензору кривизны Римана . Взяв следы , легко увидеть, что обратное также верно. Это также можно сформулировать так: Риччи-плоскость характеризуется исчезновением двух невейлевских частей разложения Риччи .

Поскольку кривизна Вейля исчезает в двух или трех измерениях, каждая Риччи-плоская метрика в этих измерениях является плоской . И наоборот, из определений автоматически следует, что любая плоская метрика является Риччи-плоской. Изучение плоских метрик обычно рассматривается как отдельная тема. Таким образом, изучение риччи-плоских метрик является отдельной темой только в измерении четыре и выше.

Примеры

Как отмечалось выше, любая плоская метрика является Риччи-плоской. Однако нетривиально идентифицировать Риччи-плоские многообразия, полная кривизна которых отлична от нуля.

В 1916 году Карл Шварцшильд нашел метрики Шварцшильда , которые представляют собой Риччи-плоские лоренцевы многообразия ненулевой кривизны. Позже Рой Керр обнаружил метрики Керра , двухпараметрическое семейство, содержащее метрики Шварцшильда как особый случай. Эти метрики полностью явны и представляют фундаментальный интерес для математики и физики черных дыр . В более общем смысле, в общей теории относительности Риччи-плоские лоренцевы многообразия представляют собой вакуумные решения уравнений поля Эйнштейна с исчезающей космологической постоянной .

Многие псевдоримановы многообразия строятся как однородные пространства . Однако эти конструкции не приносят прямой пользы для Риччи-плоских римановых метрик в том смысле, что любое однородное риманово многообразие, которое является Риччи-плоским, должно быть плоским. Однако существуют однородные (и даже симметричные ) лоренцевы многообразия, которые являются Риччи-плоскими, но не плоскими, как следует из явного построения и вычисления алгебр Ли .

До Шинг-Тунг Яу разрешения гипотезы Калаби в 1970-х годах не было известно, является ли каждая Риччи-плоская риманова метрика на замкнутом многообразии плоской. Его работа, используя методы уравнений в частных производных , создала всеобъемлющую теорию существования риччи-плоских метрик в специальном случае кэлеровых метрик на замкнутых комплексных многообразиях . Благодаря его аналитическим методам метрики неявны даже в самых простых случаях. Такие римановы многообразия часто называют многообразиями Калаби–Яу , хотя разные авторы используют это название несколько по-разному.

Аналитический характер

Относительно гармонических координат условие Риччи-плоскости римановой метрики можно интерпретировать как систему эллиптических уравнений в частных производных . является Прямым следствием стандартных результатов об эллиптической регулярности то, что любая Риччи-плоская риманова метрика на гладком многообразии является аналитической в ​​том смысле, что гармонические координаты определяют совместимую аналитическую структуру , а локальное представление метрики является вещественно-аналитическим . Это справедливо и в более широком контексте римановых метрик Эйнштейна.

Аналогично относительно гармонических координат Риччи-плоскость лоренцевой метрики можно интерпретировать как систему гиперболических уравнений в частных производных . Основываясь на этой точке зрения, Ивонн Шоке-Брюа разработала корректность условия Риччи-плоскости. Она достигла окончательного результата в сотрудничестве с Робертом Герохом в 1960-х годах, установив, как определенный класс максимально расширенных Риччи-плоских лоренцевых метрик задается и строится на основе определенных римановых данных. Они известны как максимальные глобально гиперболические развития . В общей теории относительности это обычно интерпретируется как начальная формулировка уравнений поля гравитации Эйнштейна.

Исследование Риччи-плоскости в римановом и лоренцевом случаях весьма различно. На это уже указывает фундаментальное различие между геодезически полными метриками, типичными для римановой геометрии, и максимальными глобально-гиперболическими разработками, возникающими из работ Шоке-Брюа и Героха. Более того, аналитичность и соответствующее ей однозначное продолжение римановой метрики с Риччи имеют принципиально иной характер, чем плоские с Риччи лоренцевы метрики, которые имеют конечные скорости распространения и полностью локализуемые явления. Это можно рассматривать как нелинейный геометрический аналог разницы между уравнением Лапласа и волновым уравнением .

Топология Риччи-

Теорема Яу о существовании риччи-плоских кэлеровых метрик установила точное топологическое условие, при котором такая метрика существует на данном замкнутом комплексном многообразии : первый класс Чженя голоморфного касательного расслоения должен быть равен нулю. Необходимость этого условия была ранее известна теорией Черна–Вейля .

За пределами кэлеровой геометрии ситуация не так хорошо понята. Четырехмерное замкнутое и ориентированное многообразие, поддерживающее любую риманову метрику Эйнштейна, должно удовлетворять неравенству Хитчина-Торпа на своих топологических данных. Как частные случаи известных теорем о римановых многообразиях неотрицательной кривизны Риччи, любое многообразие с полной Риччи-плоской римановой метрикой должно:

• иметь первое число Бетти меньше или равно размерности, когда многообразие закрыто
• имеют фундаментальную группу полиномиального роста.

Михаил Громов и Блейн Лоусон ввели понятие расширяемости замкнутого многообразия. Класс расширяемых многообразий замкнут относительно гомотопической эквивалентности , взятия произведений и связной суммы с произвольным замкнутым многообразием. Каждое Риччи-плоское риманово многообразие в этом классе является плоским, что является следствием теоремы о расщеплении Чигера и Громолла .

-плоскость

На односвязном кэлеровом многообразии кэлерова метрика является Риччи-плоской тогда и только тогда, когда группа голономии содержится в специальной унитарной группе . На общем кэлеровом многообразии направление if по-прежнему сохраняется, но только ограниченная группа голономии риччи-плоской кэлеровой метрики обязательно содержится в специальной унитарной группе.

Гиперкэлерово многообразие — это риманово многообразие, группа голономии которого содержится в симплектической группе . Это условие на римановом многообразии можно также охарактеризовать (грубо говоря) существованием 2-сферы комплексных структур , все из которых параллельны . Это, в частности, говорит о том, что каждая гиперкэлерова метрика является кэлеровой; более того, согласно теореме Амброуза-Зингера каждая такая метрика является Риччи-плоской. Теорема Калаби–Яу специализируется на этом контексте, давая общую теорему существования и единственности гиперкелеровых метрик на компактных кэлеровах многообразиях, допускающих голоморфно симплектические структуры. Примеры гиперкелеровых метрик на некомпактных пространствах ранее были получены Эудженио Калаби . конструкции . Открытое тогда же пространство Эгучи–Хэнсона является частным случаем его

Кватернион -кэлерово многообразие — это риманово многообразие, группа голономии которого содержится в группе Ли Sp(n) · Sp(1) . Марсель Бергер показал, что любая такая метрика должна быть эйнштейновской. Более того, любое Риччи-плоское кватернион-кэлерово многообразие должно быть локально гиперкелеровым, а это означает, что ограниченная группа голономии содержится в симплектической группе.

Многообразие G ₂ это риманово или Spin(7) — многообразие, группа голономии которого содержится в группах Ли Spin(7) или G ₂ . Из теоремы Амброуза –Зингера следует, что любое такое многообразие является Риччи-плоским. Существование замкнутых многообразий такого типа было установлено Домиником Джойсом в 1990-х годах.

Марсель Бергер заметил, что все известные примеры неприводимых Риччи-плоских римановых метрик на односвязных замкнутых многообразиях имеют специальные группы голономии в соответствии с указанными выше возможностями. Неизвестно, предполагает ли это неизвестную общую теорему или просто ограничение известных методов. По этой причине Бергер считал Риччи-плоские многообразия «чрезвычайно загадочными».

Ссылки

Примечания.

Источники.

• Бергер, Марсель (2003). Панорама римановой геометрии . Берлин: Springer-Verlag . дои : 10.1007/978-3-642-18245-7 . ISBN  3-540-65317-1 . МР   2002701 . Збл   1038.53002 .
• Бесс, Артур Л. (1987). Многообразия Эйнштейна . Результаты математики и ее пограничные области (3). Том 10. Перепечатано в 2008 г. Берлин: Springer-Verlag . дои : 10.1007/978-3-540-74311-8 . ISBN  3-540-15279-2 . МР   0867684 . Збл   0613.53001 .
• Эйнштейн, А. (1916). «Основы общей теории относительности». Анналы физики . 354 (7). Перевод Перретта, В.; Джеффри, Великобритания: 769-822. JFM   46.1293.01 .
• Хокинг, Юго-Запад ; Эллис, СКФ (1973). Крупномасштабная структура пространства-времени . Кембриджские монографии по математической физике. Том. 1. Лондон-Нью-Йорк: Издательство Кембриджского университета . дои : 10.1017/CBO9780511524646 . ISBN  0-521-20016-4 . МР   0424186 . Збл   0265.53054 .
• Джойс, Доминик Д. (2000). Компактные многообразия со специальной голономией . Оксфордские математические монографии. Оксфорд: Издательство Оксфордского университета . ISBN  0-19-850601-5 . МР   1787733 . Збл   1027.53052 .
• Керр, Рой П. (1963). «Гравитационное поле вращающейся массы как пример алгебраически специальной метрики». Письма о физических отзывах . 11 (5): 237–238. дои : 10.1103/PhysRevLett.11.237 . МР   0156674 . Збл   0112.21904 .
• Лоусон, Х. Блейн-младший ; Мишельсон, Мария-Луиза (1989). Спиновая геометрия . Принстонская математическая серия. Том. 38. Принстон, Нью-Джерси: Издательство Принстонского университета . ISBN  0-691-08542-0 . МР   1031992 . Збл   0688.57001 .
• Миснер, Чарльз В .; Торн, Кип С .; Уилер, Джон Арчибальд (1973). Гравитация . Сан-Франциско, Калифорния: WH Freeman and Company . ISBN  0-7503-0948-2 . МР   0418833 . Збл   1375.83002 .
• О'Нил, Барретт (1983). Полуриманова геометрия. С приложениями к теории относительности . Чистая и прикладная математика. Том. 103. Нью-Йорк: Academic Press, Inc. doi : 10.1016/s0079-8169(08)x6002-7 . ISBN  0-12-526740-1 . МР   0719023 . Збл   0531.53051 .
• Шварцшильд, К. (1916). «О гравитационном поле массовой точки по теории Эйнштейна». Труды Королевской прусской академии наук в Берлине, физико-математический класс : 189–196. JFM   46.1296.02 .
  Шварцшильд, К. (2003). «О гравитационном поле массовой точки по теории Эйнштейна». Общая теория относительности и гравитация . 35 (5). Перевод Анточи С.; Лойнгер, А.: 951–959. дои : 10.1023/А:1022971926521 . МР   1982197 . Збл   1020.83005 .
• Яу, Шинг Тунг (1978). «О кривизне Риччи компактного кэлерова многообразия и комплексном уравнении Монжа-Ампера. I». Сообщения по чистой и прикладной математике . 31 (3): 339–411. дои : 10.1002/cpa.3160310304 . МР   0480350 . Збл   0369.53059 .