К -теория (физика)

В струн теории классификация K-теории относится к предполагаемому применению K-теории (в абстрактной алгебре и алгебраической топологии ) к суперструнам для классификации разрешенных сил поля Рамона-Рамонда, а также зарядов стабильных D-бран .

В физике конденсированного состояния К-теория также нашла важные приложения, особенно в топологической классификации топологических изоляторов , сверхпроводников и стабильных поверхностей Ферми ( Китаев (2009) , Хорава (2005) ).

История

Эта гипотеза применительно к зарядам D-браны была впервые предложена Минасианом и Муром (1997) . Ее популяризировал Виттен (1998), который продемонстрировал, что типа IIB теория струн естественным образом возникает в результате реализации Ашоком Сеном произвольных конфигураций D-бран в виде стопок D9- и анти-D9-бран после конденсации тахионов .

Такие стопки бран несовместимы в некрутильном фоне 3-форм Неве-Шварца (NS) , что, как было подчеркнуто Капустиным (2000) , усложняет распространение классификации K-теории на такие случаи. Баукнегт и Варгезе (2000) предложили решение этой проблемы: D-браны в целом классифицируются в соответствии с искривленной К-теорией , которая ранее была определена Розенбергом (1989) .

Приложения

Классификация D-бран в рамках K-теории нашла множество применений. Например, Ханани и Кол (2000) использовали его, чтобы доказать, что существует восемь видов ориентифолдов с одной плоскостью. Уранга (2001) применил классификацию K-теории для вывода новых условий согласованности для компактификаций потока . K-теория также использовалась для построения гипотезы о формуле топологий T-двойственных многообразий Боукнегтом, Эвслином и Варгезе (2004) . Недавно была выдвинута гипотеза о том, что K-теория классифицирует спиноры в компактификациях на обобщенных комплексных многообразиях .

Открытые проблемы

Несмотря на эти успехи, потоки RR не вполне классифицируются К-теорией. Диаконеску, Мур и Виттен (2003) утверждали, что классификация K-теории несовместима с S-дуальностью в теории струн IIB .

Кроме того, если попытаться классифицировать потоки в компактном десятимерном пространстве-времени, то возникает сложность из-за самодуальности потоков RR. В двойственности используется звезда Ходжа , которая зависит от метрики и поэтому постоянно оценивается и, в частности, в целом иррациональна. интерпретируются как характеры Черна Таким образом, не все потоки RR, которые в K-теории , могут быть рациональными. Однако персонажи Черна всегда рациональны, поэтому классификацию К-теории необходимо заменить. Нужно выбрать половину потоков для квантования, или поляризацию на геометрическим квантованием языке Диаконеску, Мура и Виттена, вдохновленного , а затем Варгезе и Сати (2004) . В качестве альтернативы можно использовать К-теорию 9-мерного временного интервала, как это было сделано Малдасеной, Муром и Зайбергом (2001) .

Классификация потоков RR по

В классическом пределе теории струн типа II , который представляет собой супергравитацию типа II , напряженности поля Рамона-Рамонда являются дифференциальными формами . В квантовой теории четкость статистических сумм D-бран означает, что напряженности поля RR подчиняются условиям квантования Дирака , когда пространство-время или компактно когда пространственный срез компактен и рассматриваются только (магнитные) компоненты поля. силы, лежащие вдоль пространственных направлений. Это побудило физиков двадцатого века классифицировать напряженность поля RR, используя когомологии с интегральными коэффициентами.

Однако некоторые авторы утверждают, что когомологии пространства-времени с целыми коэффициентами слишком велики. Например, при наличии H-потока Неве-Шварца или неспиновых циклов некоторые RR-потоки диктуют наличие D-бран. В первом случае это является следствием уравнения движения супергравитации, которое гласит, что произведением потока RR на NS 3-форму является плотность заряда D-браны. Таким образом, набор топологически различных напряженностей поля RR, которые могут существовать в конфигурациях без бран, представляет собой лишь подмножество когомологий с целыми коэффициентами.

Это подмножество все еще слишком велико, поскольку некоторые из этих классов связаны большими калибровочными преобразованиями. В КЭД есть большие калибровочные преобразования, которые добавляют к петлям Вильсона целые числа, кратные двум пи. Потенциалы p-формы в теориях супергравитации типа II также подвергаются этим большим калибровочным преобразованиям, но из-за присутствия членов Черна-Саймонса в действиях супергравитации эти большие калибровочные преобразования преобразуют не только потенциалы p-формы, но и одновременно (p+ 3)-форма напряженности поля. Таким образом, чтобы получить пространство неэквивалентных напряженностей поля из упомянутого подмножества целочисленных когомологий, мы должны факторизовать эти большие калибровочные преобразования.

Спектральная последовательность Атьи – Хирцебруха строит скрученную K-теорию с поворотом, задаваемым напряженностью поля NS 3-формы, как фактор подмножества когомологий с целыми коэффициентами. В классическом пределе, соответствующем работе с рациональными коэффициентами, это в точности частное описанного выше подмножества в супергравитации. Квантовые поправки происходят из классов кручения и содержат поправки кручения по модулю 2 из-за аномалии Фрида-Виттена.

Таким образом, скрученная K-теория классифицирует подмножество напряженностей RR-полей, которые могут существовать в отсутствие D-бран, факторизованных большими калибровочными преобразованиями. Дэниел Фрид попытался расширить эту классификацию, включив в нее также потенциалы RR, используя дифференциальную K-теорию.

бран по K

K-теория классифицирует D-браны в некомпактном пространстве-времени, интуитивно в пространстве-времени, в котором нас не беспокоит поток, создаваемый браной, которому некуда идти. В то время как К-теория 10-мерного пространства-времени классифицирует D-браны как подмножества этого пространства-времени, если пространство-время является произведением времени и фиксированного 9-многообразия, то К-теория также классифицирует сохраняющиеся заряды D-браны на каждом 9-мерном пространстве. пространственный срез. Хотя нам пришлось забыть о RR-потенциалах, чтобы получить классификацию напряженности RR-поля в рамках K-теории, нам пришлось забыть о напряженности поля RR, чтобы получить классификацию D-бран в соответствии с K-теорией.

против заряда BPS

Как подчеркнул Петр Горжава , классификация D-бран в К-теории независима от классификации состояний BPS и в некотором смысле сильнее ее . K-теория, похоже, классифицирует стабильные D-браны, упущенные классификациями, основанными на суперсимметрии .

Например, D-браны с торсионными зарядами, то есть с зарядами порядка N циклической группы. $\mathbf {Z} _{N}$, притягивают друг друга и поэтому БПС никогда не может быть. Фактически, N таких бран могут распасться, тогда как суперпозиция бран, удовлетворяющих границе Богомольного, никогда не может распасться. Однако заряд таких бран сохраняется по модулю N, и это фиксируется классификацией K-теории, но не классификацией BPS. Такие торсионные браны применялись, например, для моделирования струн Дугласа-Шенкера в суперсимметричных калибровочных теориях U(N) .

тахионной конденсации

Ашок Сен предположил, что в отсутствие топологически нетривиального потока NS 3-формы все конфигурации бран IIB могут быть получены из стопок заполняющих пространство бран D9 и анти-D9 посредством тахионной конденсации . Топология полученных бран кодируется в топологии калибровочного расслоения на стеке бран, заполняющих пространство. Топологию калибровочного расслоения стека D9 и анти-D9 можно разложить на калибровочное расслоение на D9 и еще одно расслоение на анти-D9. Тахионная конденсация преобразует такую ​​пару пучков в другую пару, в которой тот же пучок напрямую суммируется с каждым компонентом пары. Таким образом, инвариантная величина тахионной конденсации, то есть заряд, который сохраняется в процессе тахионной конденсации, представляет собой не пару расслоений, а скорее класс эквивалентности пары расслоений относительно прямых сумм одного и того же расслоения по обе стороны пары . Это и есть обычная конструкция топологической К-теории . Таким образом, калибровочные расслоения на стопках D9 и анти-D9 классифицируются топологической K-теорией. Если гипотеза Сена верна, все конфигурации D-бран типа IIB классифицируются K-теорией. Петр Горава распространил эту гипотезу на тип IIA, используя D8-браны.

К-теория из

В то время как картина тахионной конденсации классификации K-теории классифицирует D-браны как подмножества 10-мерного пространства-времени без потока NS 3-форм, картина Малдасены, Мура, Зайберга классифицирует стабильные D-браны с конечной массой как подмножества 9-мерный пространственный срез пространства-времени.

Основное наблюдение состоит в том, что D-браны не классифицируются по интегральной гомологии, поскольку Dp-браны, обертывающие определенные циклы, страдают от аномалии Фрида-Виттена, которая устраняется вставкой D(p-2)-бран, а иногда и D(p- 4)-браны, оканчивающиеся на пораженной Dp-бране. Эти вставленные браны могут либо продолжаться до бесконечности, и в этом случае составной объект имеет бесконечную массу, либо они могут заканчиваться на анти-Dp-бране, и в этом случае общий заряд Dp-браны равен нулю. В любом случае может возникнуть желание удалить аномальные Dp-браны из спектра, оставив лишь подмножество исходных целых когомологий.

Вставленные браны нестабильны. Чтобы убедиться в этом, представьте, что они простираются во времени вдаль (в прошлое) от аномальной браны. Это соответствует процессу, в котором вставленные браны распадаются через Dp-брану, которая образуется, обертывает вышеупомянутый цикл и затем исчезает. ММС назовем этот процесс инстантонным, хотя на самом деле он не обязательно должен быть инстантонным.

Таким образом, сохраняющиеся заряды представляют собой неаномольное подмножество, факторизованное нестабильными вставками. Это в точности конструкция спектральной последовательности Атьи-Хирцебруха скрученной K-теории как множества.

искаженной K-теории и S

Диаконеску, Мур и Виттен отметили, что классификация искривленной K-теории несовместима с ковариацией S-двойственности теории струн типа IIB. Например, рассмотрим ограничение на 3-формы Рамона-Рамонда напряженность поля G ₃ в спектральной последовательности Атьи-Хирцебруха (AHSS):

$d_{3}G_{3}=Sq^{3}G_{3}+H\cup G_{3}=G_{3}\cup G_{3}+H\cup G_{3}=0$

где d ₃ =Sq ³ +H — первый нетривиальный дифференциал в AHSS, Sq ³ является третьим квадратом Стинрода , а последнее равенство следует из того факта, что n-й квадрат Стинрода, действующий на любую n-форму x, равен x $\cup$х.

Приведенное выше уравнение не является инвариантным относительно S-дуальности, которая меняет местами G ₃ и H. Вместо этого Диаконеску, Мур и Виттен предложили следующее ковариантное расширение S-дуальности

$G_{3}\cup G_{3}+H\cup G_{3}+H\cup H=P$

где P — неизвестный характеристический класс, зависящий только от топологии и, в частности, не от потоков. Диаконеску, Фрид и Мур (2007) обнаружили ограничение на P, используя подход калибровочной теории E ₈ к М-теории, впервые предложенный Диаконеску, Муром и Виттеном.

Таким образом, D-браны в IIB в конце концов классифицируются не искривленной K-теорией, а каким-то неизвестным S-ковариантным объектом, который неизбежно также классифицирует как фундаментальные струны, так и NS5-браны .

Однако рецепт MMS для расчета искривленной K-теории легко S-ковариантизируется, поскольку аномалии Фрида-Виттена соблюдают S-дуальность. Таким образом, S-ковариантизированная форма конструкции MMS может быть применена для построения S-ковариантизированной скрученной K-теории как множества, не зная, что имеется какое-либо геометрическое описание того, что именно представляет собой этот странный ковариантный объект. Эта программа была реализована в ряде работ, таких как Evslin & Varadarajan (2003) и Evslin (2003a) , а также была применена к классификации потоков Evslin (2003b) . Боукнегт и др. (2006) используют этот подход для доказательства предполагаемого ограничения Дьяконеску, Мура и Виттена на 3-потоки и показывают, что существует дополнительный член, равный заряду D3-браны. Евслин (2006) показывает, что каскад Клебанова-Штрасслера состоит дуальностей Зайберга из серии S-двойственных инстантонов MMS, по одному на каждую дуальность Зайберга. Группа, $\mathbf {Z} _{N}$ классов универсальности $SU(M+N)\times SU(M)$ суперсимметричная калибровочная теория Затем показано, что согласуется с S-двойственной скрученной K-теорией, а не с исходной скрученной K-теорией.

Некоторые авторы предложили радикально разные решения этой загадки. Например, Криц и Сати (2005) предлагают, чтобы вместо скрученной K-теории конфигурации струн II должны классифицироваться с помощью эллиптических когомологий .

Исследователи

Среди выдающихся исследователей в этой области Эдвард Виттен , Питер Баукнегт, Анхель Уранга, Эмануэль Диаконеску, Грегори Мур , Антон Капустин , Джонатан Розенберг , Рубен Минасян, Амихай Ханани, Хишам Сати, Натан Зайберг , Хуан Малдасена , Алексей Китаев , Дэниел Фрид и Игорь. Криз.

См. также

• Кальб-Рамондское месторождение

Ссылки

• Букнегт, Питер; Евслин, Джара; Юрко, Бранислав ; Варгезе, Матаи; Сати, Хишам (2006), «Компактификации потока в проективных пространствах и загадка S-дуальности», « Достижения в области теоретической и математической физики » , 10 (3): 345–394, arXiv : hep-th/0501110 , Bibcode : 2005hep.th ....1110B , doi : 10.4310/atmp.2006.v10.n3.a3 , S2CID   15571867 .

• Букнегт, Питер; Евслин, Джара; Варгезе, Матаи (2004), «T-дуальность: изменение топологии из-за H-потока», Communications in Mathematical Physics , 249 (2): 383–415, arXiv : hep-th/0306062 , Bibcode : 2004CMaPh.249..383B , doi : 10.1007/s00220-004-1115-6 , S2CID   6041460 .

• Букнегт, Питер; Варгезе, Матай (2000), «D-браны, B-поля и скрученная K-теория», Журнал физики высоких энергий , 0003 (7): 007, arXiv : hep-th/0002023 , Bibcode : 2000JHEP...03 ..007B , doi : 10.1088/1126-6708/2000/03/007 , S2CID   12897181 .

• Дьяконеску, Эмануэль; Фрид, Дэниел С .; Мур, Грегори (2007), «3-форма М-теории и калибровочная теория E ₈ », Миллер, Хейнс Р.; Равенел, Дуглас К. (ред.), Эллиптические когомологии: геометрия, приложения и высшие хроматические аналоги , Cambridge University Press, стр. 44–88, arXiv : hep-th/0312069 , Bibcode : 2003hep.th...12069D .

• Дьяконеску, Эмануэль; Мур, Грегори; Виттен, Эдвард (2003), «Калибровочная теория E ₈ и вывод K-теории из M-теории», Успехи в теоретической и математической физике , 6 (6): 1031–1134, arXiv : hep-th/0005090 , Bibcode : 2000hep.th....5090D , doi : 10.4310/ATMP.2002.v6.n6.a2 , S2CID   11647083 .

• Евслин, Джара (2003a), «Солитонные спектры IIB с активированными всеми потоками», Nuclear Physics B , 657 : 139–168, arXiv : hep-th/0211172 , Bibcode : 2003NuPhB.657..139E , doi : 10.1016/S0550- 3213(03)00154-8 , S2CID   119350721 .

• Евслин, Джара (2003b), «Скрученная K-теория из монодромии», Журнал физики высоких энергий , 0305 (30): 030, arXiv : hep-th/0302081 , Bibcode : 2003JHEP...05..030E , doi : 10.1088/1126-6708/2003/05/030 , S2CID   14606015 .

• Евслин, Джара (2006), «Каскад - это инстантон MMS», « Достижения в области исследований солитонов » , Nova Science Publishers, стр. 153–187, arXiv : hep-th/0405210 , Bibcode : 2004hep.th....5210E .

• Евслин, Джара; Варадараджан, Удай (2003), «K-теория и S-дуальность: начиная с квадрата 3», Журнал физики высоких энергий , 0303 (26): 026, arXiv : hep-th/0112084 , Bibcode : 2003JHEP... 03..026E , doi : 10.1088/1126-6708/2003/03/026 , S2CID   2809191 .

• Ханани, Амихай; Кол, Барак (2000), «Об ориентифолдах, дискретном кручении, бранах и теории М», Журнал физики высоких энергий , 0006 (13): 013, arXiv : hep-th/0003025 , Bibcode : 2000JHEP...06.. 013H , номер документа : 10.1088/1126-6708/2000/06/013 , S2CID   11424297 .

• Капустин, Антон (2000), «D-браны в топологически нетривиальном B-поле», Успехи теоретической и математической физики , 4 : 127–154, arXiv : hep-th/9909089 , Bibcode : 1999hep.th.... 9089K , doi : 10.4310/ATMP.2000.v4.n1.a3 , S2CID   853130 .

• Криж, Игорь; Сати, Хишам (2005), «Теория струн типа IIB, S-дуальность и обобщенные когомологии», Nuclear Physics B , 715 (3): 639–664, arXiv : hep-th/0410293 , Bibcode : 2005NuPhB.715.. 639K , doi : 10.1016/j.nuclphysb.2005.02.016 , S2CID   16552348 .

• Мальдасена, Хуан ; Мур, Грегори; Зайберг, Натан (2001), «Инстантоны D-браны и заряды K-теории», Журнал физики высоких энергий , 0111 (62): 062, arXiv : hep-th/0108100 , Bibcode : 2001JHEP...11..062M , doi : 10.1088/1126-6708/2001/11/062 , S2CID   15132458 .

• Минасян, Рубен; Мур, Грегори (1997), «К-теория и заряд Рамона-Рамонда», Журнал физики высоких энергий , 9711 (2): 002, arXiv : hep-th/9710230 , Бибкод : 1997JHEP...11..002M , doi : 10.1088/1126-6708/1997/11/002 , S2CID   3095614 .

• Олсен, Каспер; Сабо, Ричард Дж. (1999), «Построение D-бран на основе K-теории», «Достижения в теоретической и математической физике » , 3 (4): 889–1025, arXiv : hep-th/9907140 , Bibcode : 1999hep.th. ...7140O , doi : 10.4310/ATMP.1999.v3.n4.a5 , S2CID   117445831 .

• Розенберг, Джонатан (1989), «Алгебры с непрерывными следами с теоретической точки зрения расслоения», Журнал Австралийского математического общества, серия A , 47 (3): 368–381, doi : 10.1017/S1446788700033097 .

• Уранга, Энджел М. (2001), «Зонды на D-бранах, RR-головастик и заряд K-теории», Nuclear Physics B , 598 (1–2): 225–246, arXiv : hep-th/0011048 , Bibcode : 2001NuPhB.598..225U , номер документа : 10.1016/S0550-3213(00)00787-2 , S2CID   15021358 .

• Варгезе, Матай ; Сати, Хишам (2004), «Некоторые связи между Twisted K-теорией и _{E 8} калибровочной теорией », Journal of High Energy Physics , 0403 (16): 016, arXiv : hep-th/0312033 , Bibcode : 2004JHEP...03 ..016M , doi : 10.1088/1126-6708/2004/03/016 , S2CID   119380196 .

• Виттен, Эдвард (1998), «D-браны и K-теория», Журнал физики высоких энергий , 9812 (19): 019, arXiv : hep-th/9810188 , Bibcode : 1998JHEP...12..019W , doi : 10.1088/1126-6708/1998/12/019 , S2CID   14970516 .

Справочная информация (физика конденсированного состояния)

• Китаев, Алексей (2009), «Периодическая таблица топологических изоляторов и сверхпроводников», Материалы конференции AIP , 1134 (1): 22–30, arXiv : 0901.2686 , Bibcode : 2009AIPC.1134...22K , doi : 10.1063/1.3149495 , S2CID   14320124 .

• Хорава, Петр (2005), «Стабильность поверхностей Ферми и теория K», Physical Review Letters , 95 (16405): 016405, arXiv : hep-th/0503006 , Bibcode : 2005PhRvL..95a6405H , doi : 10.1103/physrevlett.95.01640 5 , PMID   16090638 , S2CID   15197829 .
• Рой, Рахул; Феннер Харпер (2017), «Периодическая таблица топологических изоляторов Флоке», Physical Review B , 96 (15): 155118, arXiv : 1603.06944 , Bibcode : 2017PhRvB..96o5118R , doi : 10.1103/PhysRevB.96.15511 8 , S2CID   119270701 .

Дальнейшее чтение

Отличным введением в К-теории классификацию D-бран в 10 измерениях в рамках , основанную на гипотезе Ашока Сена , является оригинальная статья Эдварда Виттена «D-браны и К-теория» ; существует также обширный обзор Olsen & Szabo (1999) .

Очень понятное введение в классификацию сохраняющихся зарядов D-браны в скрученной K-теории на 9-мерном интервале времени в присутствии потока Неве-Шварца представлена ​​Maldacena, Moore & Seiberg (2001) .

Внешние ссылки

• К-теория на arxiv.org