Суперконформная алгебра

В теоретической физике суперконформная алгебра — это градуированная алгебра Ли или супералгебра , сочетающая в себе конформную алгебру и суперсимметрию . В двух измерениях суперконформная алгебра бесконечномерна. В более высоких измерениях суперконформные алгебры конечномерны и порождают суперконформную группу (в двух евклидовых измерениях супералгебра Ли не порождает никакой супергруппы Ли ).

Суперконформная алгебра в размерности больше 2 [ править ]

Конформная группа $(p+q)$ -мерное пространство $\mathbb {R} ^{p,q}$ является $SO(p+1,q+1)$ и его алгебра Ли есть ${\mathfrak {so}}(p+1,q+1)$ . Суперконформная алгебра — это супералгебра Ли, содержащая бозонный фактор ${\mathfrak {so}}(p+1,q+1)$ и чьи нечетные генераторы преобразуются в спинорные представления ${\mathfrak {so}}(p+1,q+1)$ . Учитывая классификацию Каца конечномерных простых супералгебр Ли, это может произойти только при малых значениях $p$ и $q$ . Список (возможно неполный)

${\mathfrak {osp}}^{*}(2N|2,2)$ в 3+0D благодаря ${\mathfrak {usp}}(2,2)\simeq {\mathfrak {so}}(4,1)$ ;
${\mathfrak {osp}}(N|4)$ в 2+1D благодаря ${\mathfrak {sp}}(4,\mathbb {R} )\simeq {\mathfrak {so}}(3,2)$ ;
${\mathfrak {su}}^{*}(2N|4)$ в 4+0D благодаря ${\mathfrak {su}}^{*}(4)\simeq {\mathfrak {so}}(5,1)$ ;
${\mathfrak {su}}(2,2|N)$ в 3+1D благодаря ${\mathfrak {su}}(2,2)\simeq {\mathfrak {so}}(4,2)$ ;
${\mathfrak {sl}}(4|N)$ в 2+2D благодаря ${\mathfrak {sl}}(4,\mathbb {R} )\simeq {\mathfrak {so}}(3,3)$ ;
реальные формы $F(4)$ в пяти измерениях
${\mathfrak {osp}}(8^{*}|2N)$ в 5+1D благодаря тому, что спинорные и фундаментальные представления ${\mathfrak {so}}(8,\mathbb {C} )$ отображаются друг в друга внешними автоморфизмами.

Суперконформная алгебра в 3+1D [ править ]

В соответствии с ^[1]^[2] суперконформная алгебра с ${\mathcal {N}}$ суперсимметрии в 3+1 измерениях задаются бозонными генераторами $P_{\mu }$ , $D$ , $M_{\mu \nu }$ , $K_{\mu }$ , U(1) R-симметрия $A$ SU(N) R-симметрия $T_{j}^{i}$ и фермионные генераторы $Q^{\alpha i}$ , ${\overline {Q}}_{i}^{\dot {\alpha }}$ , $S_{i}^{\alpha }$ и ${\overline {S}}^{{\dot {\alpha }}i}$ . Здесь, $\mu ,\nu ,\rho ,\dots$ обозначают пространственно-временные индексы; $\alpha ,\beta ,\dots$ левые спинорные индексы Вейля; ${\dot {\alpha }},{\dot {\beta }},\dots$ правосторонние спинорные индексы Вейля; и $i,j,\dots$ индексы внутренней R-симметрии.

Суперскобки Ли бозонной конформной алгебры имеют вид

[M_{\mu \nu },M_{\rho \sigma }]=\eta _{\nu \rho }M_{\mu \sigma }-\eta _{\mu \rho }M_{\nu \sigma }+\eta _{\nu \sigma }M_{\rho \mu }-\eta _{\mu \sigma }M_{\rho \nu }

[M_{\mu \nu },P_{\rho }]=\eta _{\nu \rho }P_{\mu }-\eta _{\mu \rho }P_{\nu }

[M_{\mu \nu },K_{\rho }]=\eta _{\nu \rho }K_{\mu }-\eta _{\mu \rho }K_{\nu }

[M_{\mu \nu },D]=0

[D,P_{\rho }]=-P_{\rho }

[D,K_{\rho }]=+K_{\rho }

[P_{\mu },K_{\nu }]=-2M_{\mu \nu }+2\eta _{\mu \nu }D

[K_{n},K_{m}]=0

[P_{n},P_{m}]=0

где η — метрика Минковского ; а для фермионных генераторов:

\left\{Q_{\alpha i},{\overline {Q}}_{\dot {\beta }}^{j}\right\}=2\delta _{i}^{j}\sigma _{\alpha {\dot {\beta }}}^{\mu }P_{\mu }

\left\{Q,Q\right\}=\left\{{\overline {Q}},{\overline {Q}}\right\}=0

\left\{S_{\alpha }^{i},{\overline {S}}_{{\dot {\beta }}j}\right\}=2\delta _{j}^{i}\sigma _{\alpha {\dot {\beta }}}^{\mu }K_{\mu }

\left\{S,S\right\}=\left\{{\overline {S}},{\overline {S}}\right\}=0

\left\{Q,S\right\}=

\left\{Q,{\overline {S}}\right\}=\left\{{\overline {Q}},S\right\}=0

Бозонные конформные генераторы не несут никаких R-зарядов, поскольку они коммутируют с генераторами R-симметрии:

[A,M]=[A,D]=[A,P]=[A,K]=0

[T,M]=[T,D]=[T,P]=[T,K]=0

Но фермионные генераторы несут R-заряд:

[A,Q]=-{\frac {1}{2}}Q

[A,{\overline {Q}}]={\frac {1}{2}}{\overline {Q}}

[A,S]={\frac {1}{2}}S

[A,{\overline {S}}]=-{\frac {1}{2}}{\overline {S}}

[T_{j}^{i},Q_{k}]=-\delta _{k}^{i}Q_{j}

[T_{j}^{i},{\overline {Q}}^{k}]=\delta _{j}^{k}{\overline {Q}}^{i}

[T_{j}^{i},S^{k}]=\delta _{j}^{k}S^{i}

[T_{j}^{i},{\overline {S}}_{k}]=-\delta _{k}^{i}{\overline {S}}_{j}

При бозонных конформных преобразованиях фермионные генераторы преобразуются как:

[D,Q]=-{\frac {1}{2}}Q

[D,{\overline {Q}}]=-{\frac {1}{2}}{\overline {Q}}

[D,S]={\frac {1}{2}}S

[D,{\overline {S}}]={\frac {1}{2}}{\overline {S}}

[P,Q]=[P,{\overline {Q}}]=0

[K,S]=[K,{\overline {S}}]=0

Суперконформная алгебра в 2D [ править ]

Существуют две возможные алгебры с минимальной суперсимметрией в двух измерениях; алгебра Невё–Шварца и алгебра Рамона. Возможна дополнительная суперсимметрия, например, суперконформная алгебра N = 2 .

См. также [ править ]

Ссылки [ править ]

^ Вест, ПК (2002). «Введение в жесткие суперсимметричные теории». Конфайнмент, двойственность и непертурбативные аспекты КХД . Научная серия НАТО: B. Vol. 368. стр. 453–476. arXiv : hep-th/9805055 . дои : 10.1007/0-306-47056-X_17 . ISBN 0-306-45826-8 . S2CID 119413468 .
^ Гейтс, С.Дж.; Грисару, Маркус Т.; Рочек, М .; Сигел, В. (1983). «Суперпространство, или тысяча и один урок суперсимметрии». Границы в физике . 58 : 1–548. arXiv : hep-th/0108200 . Бибкод : 2001hep.th....8200G .

Эта квантовой механике статья, посвященная , незавершена . Вы можете помочь Википедии, расширив ее .

[1] Вест, ПК (2002). «Введение в жесткие суперсимметричные теории». Конфайнмент, двойственность и непертурбативные аспекты КХД . Научная серия НАТО: B. Vol. 368. стр. 453–476. arXiv : hep-th/9805055 . дои : 10.1007/0-306-47056-X_17 . ISBN 0-306-45826-8 . S2CID 119413468 .

[2] Гейтс, С.Дж.; Грисару, Маркус Т.; Рочек, М .; Сигел, В. (1983). «Суперпространство, или тысяча и один урок суперсимметрии». Границы в физике . 58 : 1–548. arXiv : hep-th/0108200 . Бибкод : 2001hep.th....8200G .

[1]

[2]

v т и Суперсимметрия
General topics	Supersymmetry Supersymmetric gauge theory Supersymmetric quantum mechanics Supergravity Superstring theory Super vector space Supergeometry
Supermathematics	Superalgebra Lie superalgebra Super-Poincaré algebra Superconformal algebra Supersymmetry algebra Supergroup Superspace Harmonic superspace Super Minkowski space Supermanifold
Concepts	Supercharge R-symmetry Supermultiplet Short supermultiplet BPS state Superpotential D-term FI D-term F-term Moduli space Supersymmetry breaking Konishi anomaly Seiberg duality Seiberg–Witten theory Witten index Wess–Zumino gauge Localization Mu problem Little hierarchy problem Electric–magnetic duality
Theorems	Coleman–Mandula Haag–Łopuszański–Sohnius Nonrenormalization
Field theories	Wess–Zumino N = 1 super Yang–Mills 4D N = 1 N = 4 super Yang–Mills Super QCD MSSM NMSSM 6D (2,0) superconformal ABJM superconformal
Supergravity	Pure 4D N = 1 supergravity 4D N = 1 supergravity N = 8 supergravity Higher dimensional 11D supergravity Gauged supergravity
Superpartners	Axino Chargino Gaugino Goldstino Graviphoton Graviscalar Higgsino LSP Neutralino R-hadron Sfermion Sgoldstino Stop squark Superghost
Researchers	Affleck Bagger Batchelor Berezin Dine Fayet Gates Golfand Iliopoulos Montonen Olive Salam Seiberg Siegel Roček Rogers Wess Witten Zumino

v т и Теория струн
Background	Strings Cosmic strings History of string theory First superstring revolution Second superstring revolution String theory landscape
Theory	Nambu–Goto action Polyakov action Bosonic string theory Superstring theory Type I string Type II string Type IIA string Type IIB string Heterotic string N=2 superstring F-theory String field theory Matrix string theory Non-critical string theory Non-linear sigma model Tachyon condensation RNS formalism GS formalism
String duality	T-duality S-duality U-duality Montonen–Olive duality
Particles and fields	Graviton Dilaton Tachyon Ramond–Ramond field Kalb–Ramond field Magnetic monopole Dual graviton Dual photon
Branes	D-brane NS5-brane M2-brane M5-brane S-brane Black brane Black holes Black string Brane cosmology Quiver diagram Hanany–Witten transition
Conformal field theory	Virasoro algebra Mirror symmetry Conformal anomaly Conformal algebra Superconformal algebra Vertex operator algebra Loop algebra Kac–Moody algebra Wess–Zumino–Witten model
Gauge theory	Anomalies Instantons Chern–Simons form Bogomol'nyi–Prasad–Sommerfield bound Exceptional Lie groups (G₂, F₄, E₆, E₇, E₈) ADE classification Dirac string p-form electrodynamics
Geometry	Worldsheet Kaluza–Klein theory Compactification Why 10 dimensions? Kähler manifold Ricci-flat manifold Calabi–Yau manifold Hyperkähler manifold K3 surface G₂ manifold Spin(7)-manifold Generalized complex manifold Orbifold Conifold Orientifold Moduli space Hořava–Witten theory K-theory (physics) Twisted K-theory
Supersymmetry	Supergravity Superspace Lie superalgebra Lie supergroup
Holography	Holographic principle AdS/CFT correspondence
M-theory	Matrix theory Introduction to M-theory
String theorists	Aganagić Arkani-Hamed Atiyah Banks Berenstein Bousso Curtright Dijkgraaf Distler Douglas Duff Dvali Ferrara Fischler Friedan Gates Gliozzi Gopakumar Green Greene Gross Gubser Gukov Guth Hanson Harvey 't Hooft Hořava Gibbons Kachru Kaku Kallosh Kaluza Kapustin Klebanov Knizhnik Kontsevich Klein Linde Maldacena Mandelstam Marolf Martinec Minwalla Moore Motl Mukhi Myers Nanopoulos Năstase Nekrasov Neveu Nielsen van Nieuwenhuizen Novikov Olive Ooguri Ovrut Polchinski Polyakov Rajaraman Ramond Randall Randjbar-Daemi Roček Rohm Sagnotti Scherk Schwarz Seiberg Sen Shenker Siegel Silverstein Sơn Staudacher Steinhardt Strominger Sundrum Susskind Townsend Trivedi Turok Vafa Veneziano Verlinde Verlinde Wess Witten Yau Yoneya Zamolodchikov Zamolodchikov Zaslow Zumino Zwiebach