N = 4 суперсимметричная теория Янга – Миллса

N = 4 суперсимметричная Янга – Миллса ( SYM ) теория представляет собой релятивистскую конформно-инвариантную лагранжеву калибровочную теорию, описывающую взаимодействия фермионов посредством обмена калибровочными полями . В D = 4 пространства-времени измерениях N = 4 — максимальное количество суперсимметрий или зарядов суперсимметрии.

Теория SYM — это игрушечная теория , основанная на теории Янга-Миллса ; он не моделирует реальный мир, но полезен, поскольку может служить испытательным полигоном для подходов к решению проблем в более сложных теориях. Она описывает вселенную, содержащую бозонные поля и фермионные поля , связанные четырьмя суперсимметриями (это означает, что преобразование бозонных и фермионных полей определенным образом оставляет теорию инвариантной). Это одна из простейших (в том смысле, что она не имеет свободных параметров, кроме калибровочной группы ) и одна из немногих ультрафиолетовых конечных квантовых теорий поля в 4 измерениях. Ее можно рассматривать как наиболее симметричную теорию поля, не связанную с гравитацией.

Как и все суперсимметричные теории поля, теорию SYM можно эквивалентно сформулировать как теорию суперполя в расширенном суперпространстве , в которой переменные пространства-времени дополнены рядом антикоммутирующих переменных Грассмана , которые в случае N = 4 состоят из 4 спиноров Дирака , что делает всего 16 независимых антикоммутирующих генераторов расширенного кольца суперфункций. Уравнения поля эквивалентны геометрическому условию, согласно которому 2-форма сверхкривизны тождественно обращается в нуль на всех супернулевых линиях . Это также известно как соответствие суперабитвистора .

Похожая характеристика суперабитвистора справедлива для D = 10, N = 1-мерной супертеории Янга – Миллса: и случаи меньшей размерности D =6, N =2 и D =4, N =4 могут быть получены из этого посредством уменьшения размерности .

Значение N и количества полей

В N суперсимметричной теории Янга – Миллса N обозначает количество независимых суперсимметричных операций, которые преобразуют калибровочное поле со спином -1 в фермионные поля со спином 1/2. По аналогии с симметриями относительно вращений, N будет числом независимых вращений, N = 1 на плоскости, N = 2 в трехмерном пространстве и т. д. То есть в теории SYM с N = 4 калибровочный бозон может быть «повернуты» на N = 4 различных суперсимметричных фермионных партнера. В свою очередь, каждый фермион может превратиться в четыре различных бозона: один соответствует вращению обратно к калибровочному полю со спином 1, а три других представляют собой бозонные поля со спином 0. Поскольку в трехмерном пространстве можно использовать разные вращения, чтобы достичь одной и той же точки (или, в данном случае, одного и того же бозона со спином 0), каждый бозон со спином 0 является суперпартнером двух разных фермионов со спином 1/2, а не только одного. Таким образом, всего бозонов со спином 0 имеется только 6, а не 16.

Следовательно, N = 4 SYM имеет 1 + 4 + 6 = 11 полей, а именно: одно векторное поле (калибровочный бозон со спином 1), четыре спинорных поля (фермионы со спином 1/2) и шесть скалярных полей (фермионы со спином 1/2). 0 бозонов). N = 4 — это максимальное количество независимых суперсимметрий: начиная с поля со спином 1 и используя больше суперсимметрий, например, N = 5, происходит вращение только между 11 полями. Чтобы иметь N > 4 независимых суперсимметрии, нужно начать с калибровочного поля со спином выше 1, например, с тензорного поля со спином 2, такого как поле гравитона . Это теория супергравитации N = 8 .

лагранжиан

Лагранжиан равен теории

$L=\operatorname {tr} \left\{-{\frac {1}{2g^{2}}}F_{\mu \nu }F^{\mu \nu }+{\frac {\theta _{I}}{8\pi ^{2}}}F_{\mu \nu }{\bar {F}}^{\mu \nu }-i{\overline {\lambda }}^{a}{\overline {\sigma }}^{\mu }D_{\mu }\lambda _{a}-D_{\mu }X^{i}D^{\mu }X^{i}+gC_{i}^{ab}\lambda _{a}[X^{i},\lambda _{b}]+g{\overline {C}}_{iab}{\overline {\lambda }}^{a}[X^{i},{\overline {\lambda }}^{b}]+{\frac {g^{2}}{2}}[X^{i},X^{j}]^{2}\right\},$

где $g$ и $\theta _{I}$ являются константами связи (в частности $g$ это манометрическая муфта и $\theta _{I}$ – инстантонный угол), напряженность поля ​ $F_{\mu \nu }^{k}=\partial _{\mu }A_{\nu }^{k}-\partial _{\nu }A_{\mu }^{k}+f^{klm}A_{\mu }^{l}A_{\nu }^{m}$ с $A_{\nu }^{k}$ калибровочное поле и индексы i , j = 1, ..., 6, а также a , b = 1, ..., 4 и $f$ представляет структурные константы конкретной калибровочной группы. $\lambda ^{a}$ являются левыми фермионами Вейля , $\sigma ^{\mu }$ – матрицы Паули , $D_{\mu }$ – калибровочная ковариантная производная , $X^{i}$ являются действительными скалярами, а $C_{i}^{ab}$ представляет структурные константы группы R-симметрии SU(4), которая вращает четыре суперсимметрии. Как следствие теорем о неперенормировке , эта суперсимметричная теория поля фактически является суперконформной теорией поля .

Десятимерный лагранжиан

Приведенный выше лагранжиан можно найти, начав с более простого десятимерного лагранжиана.

$L=\operatorname {tr} \left\{{\frac {1}{g^{2}}}F_{IJ}F^{IJ}-i{\bar {\lambda }}\Gamma ^{I}D_{I}\lambda \right\},$

где I и J теперь выполняются от 0 до 9 и $\Gamma ^{I}$ это гамма-матрицы 32 на 32 $(32=2^{10/2})$, с последующим добавлением термина с $\theta _{I}$ это топологический термин .

Компоненты $A_{i}$ калибровочного поля для i = 4–9 становятся скалярами после исключения дополнительных измерений. Это также дает интерпретацию R-симметрии SO(6) как вращений в сверхкомпактных измерениях.

Путем компактификации на T ⁶ , все суперзаряды сохраняются, что дает N = 4 в 4-мерной теории.

представляет Интерпретация теории струн типа IIB собой теорию мирового объема стопки D3-бран .

S-двойственность

Основная статья: S-двойственность

Основная статья: Двойственность Монтонена – Оливы

Константы связи $\theta _{I}$ и $g$ естественным образом соединяются в одну константу связи

$\tau :={\frac {\theta _{I}}{2\pi }}+{\frac {4\pi i}{g^{2}}}.$

Теория имеет симметрии, которые смещают $\tau$ целыми числами. Гипотеза S-дуальности утверждает, что существует также симметрия, которая отправляет $\tau \mapsto {\frac {-1}{n_{G}\tau }}$ а также переключение группы $G$ к своей двойственной группе Ленглендса .

Переписка AdS/CFT

Основная статья: Переписка AdS/CFT

Эта теория также важна в контексте голографического принципа . Существует двойственность на теории струн типа IIB AdS ₅ × S. ⁵ пространство (произведение 5-мерного пространства AdS с 5-мерной сферой ) и N = 4 супер Янга–Миллса на 4-мерной границе AdS ₅ . Однако эта конкретная реализация соответствия AdS/CFT не является реалистичной моделью гравитации, поскольку гравитация в нашей Вселенной четырехмерна. Несмотря на это, соответствие AdS/CFT является наиболее успешной реализацией голографического принципа, спекулятивной идеи о квантовой гравитации, первоначально предложенной Джерардом 'т Хоофтом , который расширял работы по термодинамике черных дыр, и которая была улучшена и продвинута в контексте теории струн Леонарда Саскинда .

Интегрируемость

Есть свидетельства того, что суперсимметричная теория Янга – Миллса с N = 4 имеет интегрируемую структуру в плоском больших N пределе (что означает «планарный» в данном контексте) ниже). Поскольку количество цветов (также обозначаемое N ) стремится к бесконечности, амплитуды масштабируются как $N^{2-2g}$, так что сохраняется только вклад рода 0 (плоский граф) . Плоские диаграммы Фейнмана — это графы, в которых ни один пропагатор не пересекает другой, в отличие от неплоских графов Фейнмана , где один или несколько пропагаторов пересекают другой. Непланарный граф имеет меньшее количество возможных калибровочных петель по сравнению с аналогичным плоским графом. Таким образом, непланарные графы подавляются факторами $1/N^{2-2g}$ по сравнению с плоскими, которые поэтому доминируют в больших N. пределе Следовательно, плоская теория Янга – Миллса обозначает теорию в пределе большого N , где N обычно означает количество цветов . Аналогично, планарный предел — это предел, в котором в амплитудах рассеяния преобладают диаграммы Фейнмана , которым можно придать структуру плоских графов. В больших N пределе связь $g$ исчезает, и поэтому пертурбативный формализм хорошо подходит для с большим N. вычислений Следовательно, плоские графы относятся к области, где пертурбативные вычисления хорошо сходятся.

Бейсерт и др. дать обзорную статью, демонстрирующую, как в этой ситуации локальные операторы могут быть выражены через определенные состояния в спиновых цепях (в частности, спиновую цепочку Гейзенберга ), но на основе более крупной супералгебры Ли, а не ${\mathfrak {su}}(2)$ для обычного вращения. Эти спиновые цепочки интегрируемы в том смысле, что их можно решить методом анзаца Бете . Они также строят действие соответствующего янгиана на амплитуды рассеяния .

Нима Аркани-Хамед и др. тоже исследовал эту тему. Используя твисторную теорию , они находят описание ( формализм амплитуэдра ) в терминах положительного грассманиана .

Связь с 11-мерной М-теорией

N = 4 супер Янга–Миллса можно вывести из более простой 10-мерной теории, однако супергравитация и М-теория существуют в 11 измерениях. Связь заключается в том, что если калибровочная группа U( N ) SYM становится бесконечной при $N\rightarrow \infty$ она становится эквивалентной 11-мерной теории, известной как теория матриц .

См. также

• 4D N = 1 глобальная суперсимметрия
• 6D (2,0) суперконформная теория поля
• Расширенная суперсимметрия
• N = 1 суперсимметричная теория Янга – Миллса
• N = 8 супергравитация
• Теория Зайберга – Виттена

Ссылки

Источники

• Капустин Антон; Виттен, Эдвард (2007). «Электро-магнитный дуализм и геометрическая программа Ленглендса». Связь в теории чисел и физике . 1 (1): 1–236. arXiv : hep-th/0604151 . Бибкод : 2007CNTP....1....1K . дои : 10.4310/cntp.2007.v1.n1.a1 . S2CID   30505126 .