Твисторная теория

В теоретической физике твисторная теория была предложена Роджером Пенроузом в 1967 году. как возможный путь к квантовой гравитации и превратилась в широко изучаемую отрасль теоретической и математической физики . Идея Пенроуза заключалась в том, что твисторное пространство должно стать основной ареной физики, из которой должно возникнуть само пространство-время. Это привело к появлению мощных математических инструментов, которые имеют приложения к дифференциальной и интегральной геометрии , нелинейным дифференциальным уравнениям и теории представлений , а также в физике к общей теории относительности , квантовой теории поля и теории амплитуд рассеяния . Теория твисторов возникла в контексте быстро расширяющихся математических разработок общей теории относительности Эйнштейна в конце 1950-х и в 1960-х годах и несет в себе ряд влияний того периода. В частности, Роджер Пенроуз отметил, что Айвор Робинсон оказал важное влияние на развитие твисторной теории благодаря его построению так называемых сравнений Робинсона .

Обзор

Проективное твисторное пространство $\mathbb {PT}$ является проективным трехмерным пространством $\mathbb {CP} ^{3}$, простейшее трехмерное компактное алгебраическое многообразие . Оно имеет физическую интерпретацию как пространство безмассовых частиц со спином . Это проективизация 4-мерного комплексного векторного пространства , непроективного твисторного пространства. $\mathbb {T}$, с эрмитовой формой сигнатуры (2 , 2) и голоморфной формой объёма . Наиболее естественно это понимать как пространство киральных ( вейлевских ) спиноров конформной группы. $SO(4,2)/\mathbb {Z} _{2}$ пространства Минковского ; это фундаментальное представление спиновой группы $SU(2,2)$ конформной группы. Это определение можно распространить на произвольные измерения, за исключением того, что за пределами четвертого измерения проективное твисторное пространство определяется как пространство проективных чистых спиноров. для конформной группы.

В своей первоначальной форме твисторная теория кодирует физические поля в пространстве Минковского в терминах сложных аналитических объектов в твисторном пространстве посредством преобразования Пенроуза . Это особенно естественно для безмассовых полей произвольного спина . В первом случае они получаются с помощью формул контурного интеграла в терминах свободных голоморфных функций на областях твисторного пространства. Голоморфные твисторные функции, которые приводят к решениям уравнений безмассового поля, можно более глубоко понять как Чеха представителей классов аналитических когомологий в областях в $\mathbb {PT}$. Эти соответствия были распространены на некоторые нелинейные поля, включая самодуальную Пенроуза. гравитацию в нелинейной гравитонов конструкции и самодуальные поля Янга–Миллса в так называемой конструкции Уорда; первое приводит к деформациям базовой сложной структуры регионов в $\mathbb {PT}$, а последний — к некоторым голоморфным векторным расслоениям над областями в $\mathbb {PT}$. Эти конструкции нашли широкое применение, в том числе в теории интегрируемых систем .

Условие самодуальности является основным ограничением для включения полной нелинейности физических теорий, хотя его достаточно для Янга – Миллса – Хиггса монополей и инстантонов (см. конструкцию ADHM ). Первой попыткой преодолеть это ограничение было введение амбивитисторов Изенбергом, Яскиным и Грином. и их суперпространственное расширение — суперамбивитисторы Эдварда Виттена . Амбитвисторное пространство — это пространство комплексифицированных световых лучей или безмассовых частиц, которое можно рассматривать как комплексификацию или кокасательное расслоение исходного твисторного описания. Распространив соответствие амбивитистора на подходящим образом определенные формальные окрестности, Изенберг, Ясскин и Грин показал эквивалентность исчезновения кривизны вдоль таких протяженных нулевых линий и полных уравнений поля Янга – Миллса. Виттен показал, что дальнейшее расширение в рамках супертеории Янга–Миллса, включая фермионные и скалярные поля, привело в случае суперсимметрии N = 1 или 2 к уравнениям связи, а при N = 3 (или 4) , условие исчезновения суперкривизны вдоль супернулевых линий (суперамбивитисторов) подразумевало полный набор уравнений поля , включая уравнения для фермионных полей. Впоследствии было показано, что это дает счет 1-1. эквивалентность между уравнениями ограничений нулевой кривизны и суперсимметричными уравнениями поля Янга-Миллса. Посредством уменьшения размерностей его также можно вывести из аналогичного соответствия суперабитвистора для 10-мерной N = 1. теории супер-Янга – Миллса с

Твисториные формулы для взаимодействий за пределами самодуального сектора также возникли в теории твисторных струн Виттена . которая представляет собой квантовую теорию голоморфных отображений римановой поверхности в твисторное пространство. Это привело к появлению удивительно компактных формул RSV (Ройбана, Спрэдлина и Воловича) для S-матриц древовидного уровня теорий Янга – Миллса: но его гравитационные степени свободы породили версию конформной супергравитации , ограничивающую ее применимость; конформная гравитация — это нефизическая теория, содержащая призраков , но ее взаимодействия объединены с взаимодействиями теории Янга – Миллса в петлевых амплитудах, рассчитанных с помощью теории твисторных струн.

Несмотря на свои недостатки, теория твисторных струн привела к быстрому развитию исследований амплитуд рассеяния. Одним из них был так называемый формализм MHV. в общих чертах основан на несвязных струнах, но получил более базовую основу с точки зрения твисторного действия для полной теории Янга – Миллса в твисторном пространстве. Еще одним ключевым событием стало введение рекурсии BCFW . Это имеет естественную формулировку в твисторном пространстве. это, в свою очередь, привело к замечательным формулировкам амплитуд рассеяния в терминах интегральных формул Грассмана и многогранники . Эти идеи в последнее время развились в позитивную грассманову теорию. и амплитуэдр .

Теория твисторных струн была расширена сначала путем обобщения амплитудной формулы Янга – Миллса RSV, а затем путем открытия лежащей в ее основе теории струн . Расширение гравитации было дано Качасо и Скиннером. как теория твисторных струн для максимальной супергравитации . и сформулированная Дэвидом Скиннером Аналогичные формулы были затем найдены во всех измерениях Качазо, Хэ и Юанем для теории Янга – Миллса и гравитации. и впоследствии для множества других теорий. Затем Мейсон и Скиннер поняли их как теории струн в амбивитисторном пространстве. в общей структуре, которая включает исходную твисторную струну и расширяется, создавая ряд новых моделей и формул. Как теории струн они имеют те же критические измерения , что и обычная теория струн; например, суперсимметричные версии типа II имеют решающее значение в десяти измерениях и эквивалентны полной теории поля супергравитаций типа II в десяти измерениях (это отличается от обычных теорий струн, которые также имеют дополнительную бесконечную иерархию массивных состояний с более высоким спином, которые обеспечивают ультрафиолетовое завершение ). Они расширяются и дают формулы для амплитуд контура. и может быть определен на изогнутом фоне.

Твисторная переписка

Обозначим пространство Минковского через $M$, с координатами $x^{a}=(t,x,y,z)$ и лоренцева метрика $\eta _{ab}$ подпись $(1,3)$. Введем двухкомпонентные спинорные индексы. $A=0,1;\;A'=0',1',$ и установить

$x^{AA'}={\frac {1}{\sqrt {2}}}{\begin{pmatrix}t-z&x+iy\\x-iy&t+z\end{pmatrix}}.$

Непроективное твисторное пространство $\mathbb {T}$ представляет собой четырехмерное комплексное векторное пространство с координатами, обозначаемыми $Z^{\alpha }=\left(\omega ^{A},\,\pi _{A'}\right)$ где $\omega ^{A}$ и $\pi _{A'}$ два постоянных спинора Вейля . Эрмитову форму можно выразить, определив комплексное сопряжение из $\mathbb {T}$ своему двойственному $\mathbb {T} ^{*}$ к ${\bar {Z}}_{\alpha }=\left({\bar {\pi }}_{A},\,{\bar {\omega }}^{A'}\right)$ так что эрмитову форму можно выразить как

$Z^{\alpha }{\bar {Z}}_{\alpha }=\omega ^{A}{\bar {\pi }}_{A}+{\bar {\omega }}^{A'}\pi _{A'}.$

Это вместе с голоморфной формой объема $\varepsilon _{\alpha \beta \gamma \delta }Z^{\alpha }dZ^{\beta }\wedge dZ^{\gamma }\wedge dZ^{\delta }$ инвариантен относительно группы SU(2,2), четверного накрытия конформной группы C(1,3) компактифицированного пространства-времени Минковского.

Точки в пространстве Минковского связаны с подпространствами твисторного пространства соотношением инцидентности.

$\omega ^{A}=ix^{AA'}\pi _{A'}.$

Отношение инцидентности сохраняется при общем изменении масштаба твистора, поэтому обычно мы работаем в проективном твисторном пространстве. $\mathbb {PT} ,$ которое как комплексное многообразие изоморфно $\mathbb {CP} ^{3}$. точка $x\in M$ тем самым определяет линию $\mathbb {CP} ^{1}$ в $\mathbb {PT}$ параметризовано $\pi _{A'}.$ И твистер $Z^{\alpha }$ легче всего понять в пространстве-времени для комплексных значений координат, где оно определяет полностью нулевую двухплоскость, которая является самодвойственной. Брать $x$ быть реальным, то если $Z^{\alpha }{\bar {Z}}_{\alpha }$ исчезает, затем $x$ лежит на луче света, тогда как если $Z^{\alpha }{\bar {Z}}_{\alpha }$ не обращается в нуль, решений нет, и действительно, тогда $Z^{\alpha }$ соответствует безмассовой частице со спином, не локализованным в реальном пространстве-времени.

Вариации

Супертвисторы

Супертвисторы — это суперсимметричное расширение твисторов, введенное Аланом Фербером в 1978 году. Непроективное твисторное пространство расширяется фермионными координатами, где ${\mathcal {N}}$ - количество суперсимметрий , так что твистор теперь задается формулой $\left(\omega ^{A},\,\pi _{A'},\,\eta ^{i}\right),i=1,\ldots ,{\mathcal {N}}$ с $\eta ^{i}$ антикоммутирующий. Суперконформная группа $SU(2,2|{\mathcal {N}})$ естественным образом действует в этом пространстве, и суперсимметричная версия преобразования Пенроуза переводит классы когомологий в пространстве супертвисторов в безмассовые суперсимметричные мультиплеты в суперпространстве Минковского. ${\mathcal {N}}=4$ случай обеспечивает цель для исходной твисторной струны Пенроуза и ${\mathcal {N}}=8$ Дело обстоит так же, как и с обобщением супергравитации Скиннера.

соответствия

Более многомерное обобщение соответствия Клейна, лежащего в основе твисторной теории, применимое к изотропным подпространствам конформно компактифицированного (комплексифицированного) пространства Минковского и его расширений в суперпространства, было развито Дж. Харнадом и С. Шнайдером.

Гиперкэлеровы многообразия

Гиперкэлеровы многообразия размерности $4k$ также допускают твисторное соответствие с твисторным пространством комплексной размерности $2k+1$.

твистора

Нелинейная конструкция гравитона кодирует только антиавтодуальные, т.е. левые поля. Первым шагом к проблеме модификации твисторного пространства для кодирования общего гравитационного поля является кодирование правых полей. Бесконечно мало они кодируются твисторными функциями или когомологий классами однородности −6. Задача использования таких твисторных функций полностью нелинейным способом для получения правостороннего нелинейного гравитона получила название ( гравитационной ) задачи Гугли . (Слово « гугл » — это термин, используемый в игре в крикет для обозначения мяча, подаваемого с правосторонней спиральностью с использованием видимого действия, которое обычно приводит к левой спиральности.) Самое последнее предложение в этом направлении принадлежит Пенроузу в 2015 была основана на некоммутативной геометрии твисторного пространства и называлась дворцовой твисторной теорией . Теория названа в честь Букингемского дворца , где жил Майкл Атья. предложил Пенроузу использовать своего рода « некоммутативную алгебру », важный компонент теории. (Основная твисторная структура в палатиальной твисторной теории была смоделирована не на твисторном пространстве, а на некоммутативной голоморфной твисторной квантовой алгебре .)

См. также

• Независимость от фона
• Комплексное пространство-время
• История петлевой квантовой гравитации
• Сравнения Робинсона
• Спиновая сеть

Ссылки

• Роджер Пенроуз (2004), Дорога к реальности , Альфред А. Кнопф, гл. 33, стр. 958–1009.
• Роджер Пенроуз и Вольфганг Риндлер (1984), Спиноры и пространство-время; том. 1, Двухспинорное исчисление и релятивистские поля , Издательство Кембриджского университета, Кембридж.
• Роджер Пенроуз и Вольфганг Риндлер (1986), Спиноры и пространство-время; том. 2, Спинорные и твисторные методы в геометрии пространства-времени , Издательство Кембриджского университета, Кембридж.

Дальнейшее чтение

• Атья, Майкл; Дунайский, Мацей; Мейсон, Лайонел Дж. (2017). «Твисторная теория в пятьдесят: от контурных интегралов к твисторным струнам» . Труды Королевского общества A: Математические, физические и технические науки . 473 (2206): 20170530. arXiv : 1704.07464 . Бибкод : 2017RSPSA.47370530A . дои : 10.1098/rspa.2017.0530 . ПМЦ   5666237 . ПМИД   29118667 . S2CID   5735524 .
• Бэрд П., « Введение в твисторы ».
• Хаггетт С. и Тод К.П. (1994). Введение в теорию твисторов , второе издание. Издательство Кембриджского университета. ISBN   9780521456890 . OCLC   831625586 .
• Хьюстон, Л.П. (1979) Твисторы и частицы . Конспекты лекций Springer по физике 97, Springer-Verlag. ISBN   978-3-540-09244-5 .
• Хьюстон, Л.П. и Уорд, Р.С., редакторы (1979) Достижения в теории твисторов . Питман. ISBN   0-273-08448-8 .
• Мейсон, Л.Дж. и Хьюстон, Л.П., редакторы (1990) Дальнейшие достижения в теории твисторов, Том I: Преобразование Пенроуза и его приложения . Исследовательские заметки Питмана в серии «Математика» 231, Longman Scientific and Technical. ISBN   0-582-00466-7 .
• Мейсон Л.Дж., Хьюстон Л.П. и Кобак П.К., редакторы (1995) Дальнейшие достижения в теории твисторов, Том II: Интегрируемые системы, конформная геометрия и гравитация . Исследовательские заметки Питмана в серии «Математика» 232, Longman Scientific and Technical. ISBN   0-582-00465-9 .
• Мейсон Л.Дж., Хьюстон Л.П., Кобак П.К. и Пулверер К., ред. (2001) «Дальнейшие достижения в теории твисторов», том III: Искривленные твисторные пространства . Исследовательские заметки по математике 424, Чепмен и Холл / CRC. ISBN   1-58488-047-3 .
• Пенроуз, Роджер (1967), «Твисторная алгебра» , Журнал математической физики , 8 (2): 345–366, Бибкод : 1967JMP.....8..345P , doi : 10.1063/1.1705200 , MR   0216828 , заархивировано из оригинал от 12 января 2013 г.
• Пенроуз, Роджер (1968), «Твисторное квантование и искривленное пространство-время», Международный журнал теоретической физики , 1 (1): 61–99, Бибкод : 1968IJTP....1...61P , doi : 10.1007/BF00668831 , S2CID   123628735
• Пенроуз, Роджер (1969), «Решения уравнений нулевой массы покоя» , Журнал математической физики , 10 (1): 38–39, Бибкод : 1969JMP....10...38P , doi : 10.1063/ 1.1664756 , заархивировано из оригинала 12 января 2013 г.
• Пенроуз, Роджер (1977), «Программа Твистор», Отчеты по математической физике , 12 (1): 65–76, Бибкод : 1977RpMP...12...65P , doi : 10.1016/0034-4877(77)90047 -7 , МР   0465032
• Пенроуз, Роджер (1999). «Центральная программа теории твисторов» . Хаос, солитоны и фракталы . 10 (2–3): 581–611. Бибкод : 1999CSF....10..581P . дои : 10.1016/S0960-0779(98)00333-6 .
• Виттен, Эдвард (2004), «Теория пертурбативной калибровки как теория струн в твисторном пространстве», Communications in Mathematical Physics , 252 (1–3): 189–258, arXiv : hep-th/0312171 , Bibcode : 2004CMaPh.252. .189W , doi : 10.1007/s00220-004-1187-3 , S2CID   14300396

Внешние ссылки

• Пенроуз, Роджер (1999), « Уравнение Эйнштейна и твисторная теория: последние разработки »
• Пенроуз, Роджер; Хадрович, Федя. « Твисторная теория » .
• Хадрович, Федя, « Твистор Праймер » .
• Пенроуз, Роджер. « О происхождении твисторной теории » .
• Йожа, Ричард (1976), « Применение пучковых когомологий в теории твисторов » .
• Дунайский, Мацей (2009). «Твисторная теория и дифференциальные уравнения». Дж. Физ. А: Математика. Теор . 42 (40): 404004. arXiv : 0902.0274 . Бибкод : 2009JPhA...42N4004D . дои : 10.1088/1751-8113/42/40/404004 . S2CID   62774126 .
• Эндрю Ходжес , Краткое изложение последних событий.
• Хаггетт, Стивен (2005), « Элементы твисторной теории » .
• Мейсон, Л.Дж., « Программа твистор и твисторные струны: от твисторных струн к квантовой гравитации? »
• Земанн, Кристиан (2006). Аспекты твисторной геометрии и суперсимметричных теорий поля в теории суперструн (доктор философии). Университет в Ганновере. arXiv : hep-th/0603098 .
• Спарлинг, Джордж (1999), « Об асимметрии времени » .
• Спрэдлин, Маркус (2012). «Прогресс и перспективы теории твисторных струн» (PDF) . hdl : 11299/130081 .
• MathWorld: Твисторы.
• Обзор Вселенной: « Твисторная теория » .
• Архив новостей Twistor .