Строительство АДХМ

В математической физике и калибровочной теории или конструкция ADHM монадная конструкция — это построение всех инстантонов с использованием методов линейной алгебры Майкла Атьи , Владимира Дринфельда , Найджела Хитчина , Юрия И. Манина в их статье «Построение инстантонов».

Данные ADHM [ править ]

Конструкция ADHM использует следующие данные:

комплексные векторные пространства V и W размерности k и N ,
k × k комплексные матрицы B ₁ , B ₂ , k × N комплексную матрицу I и размера N × k комплексную матрицу J ,
карта настоящая моментов $\mu _{r}=[B_{1},B_{1}^{\dagger }]+[B_{2},B_{2}^{\dagger }]+II^{\dagger }-J^{\dagger }J,$
карта сложная моментов $\displaystyle \mu _{c}=[B_{1},B_{2}]+IJ.$

Тогда конструкция ADHM утверждает, что при определенных условиях регулярности

Даны B1 _, , B2 _, , I такие J что $\mu _{r}=\mu _{c}=0$ антиавтодуальный инстантон в SU( N ) калибровочной теории с инстантонным номером k : , можно построить
Все антиавтодуальные инстантоны могут быть получены таким способом и находятся во взаимно однозначном соответствии с решениями с точностью до вращения U( k ), которое действует на каждое B в присоединенном представлении , а также на I и J через фундаментальные и антифундаментальные представления
Метрика на в пространстве модулей инстантонов — это метрика, унаследованная от плоской метрики B , I и J .

Обобщения [ править ]

Некоммутативные инстантоны [ править ]

В некоммутативной калибровочной теории конструкция ADHM идентична, но отображение моментов ${\vec {\mu }}$ устанавливается равным самодуальной проекции матрицы некоммутативности пространства-времени, умноженной на единичную матрицу . В этом случае инстантоны существуют, даже если калибровочная группа равна U(1). Некоммутативные инстантоны были открыты Никитой Некрасовым и Альбертом Шварцем в 1998 году.

Вихри [ править ]

Полагая B ₂ и J равными нулю, мы получаем классическое пространство модулей неабелевых вихрей в суперсимметричной калибровочной теории с равным числом цветов и ароматов, как было продемонстрировано в книге «Вихри, инстантоны и браны». Обобщение на большее количество ароматов появилось в солитонах на фазе Хиггса: матричный подход модулей. В обоих случаях член Файе–Илиопулоса , определяющий скварковый конденсат роль параметра некоммутативности в отображении реальных моментов играет .

Формула построения [ править ]

Пусть x — 4-мерные евклидовы координаты пространства-времени, записанные в кватернионной записи. $x_{ij}={\begin{pmatrix}z_{2}&z_{1}\\-{\bar {z_{1}}}&{\bar {z_{2}}}\end{pmatrix}}.$

Рассмотрим матрицу размером 2 k × ( N + 2 k )

\Delta ={\begin{pmatrix}I&B_{2}+z_{2}&B_{1}+z_{1}\\J^{\dagger }&-B_{1}^{\dagger }-{\bar {z_{1}}}&B_{2}^{\dagger }+{\bar {z_{2}}}\end{pmatrix}}.

Тогда условия $\displaystyle \mu _{r}=\mu _{c}=0$ эквивалентны условию факторизации

\Delta \Delta ^{\dagger }={\begin{pmatrix}f^{-1}&0\\0&f^{-1}\end{pmatrix}}

где f ( x ) — k × k эрмитова матрица размера .

Тогда эрмитов проектирования оператор P можно построить как

P=\Delta ^{\dagger }{\begin{pmatrix}f&0\\0&f\end{pmatrix}}\Delta .

Нулевое пространство Δ( x ) имеет размерность N для общего x . Базисные векторы для этого нулевого пространства можно собрать в ( N + 2 k ) × N матрицу U ( x ) с условием ортонормировки U. ^†У = 1.

Условие регулярности ранга ∆ гарантирует условие полноты

P+UU^{\dagger }=1.\,

Тогда антиавтодуальная связность строится по U по формуле

A_{m}=U^{\dagger }\partial _{m}U.

См. также [ править ]

Ссылки [ править ]

Атья, Майкл Фрэнсис (1979), Геометрия полей Янга-Миллса , Scuola Normale Superiore Pisa, Пиза, MR 0554924
Атья, Майкл Фрэнсис ; Дринфельд, В.Г .; Хитчин, Нью-Джерси ; Манин, Юрий Иванович (1978), «Построение инстантонов», Physics Letters A , 65 (3): 185–187, Бибкод : 1978PhLA...65..185A , doi : 10.1016/0375-9601(78)90141- Х , ISSN 0375-9601 , МР 0598562
Хитчин, Н. (1983), «О построении монополей» , Сообщ. Математика. Физ. 89, 145–190.

Эта квантовой механике статья, посвященная , незавершена . Вы можете помочь Википедии, расширив ее .