Проекция (линейная алгебра)

«Ортогональная проекция» перенаправляется сюда. Информацию о концепции технического чертежа см. в разделе Ортографическая проекция . Подробное обсуждение ортогональных проекций в конечномерных линейных пространствах см. в разделе «Векторная проекция» .

Преобразование P это ортогональная проекция на прямую m — .

В линейной алгебре и функциональном анализе проекция . — это линейное преобразование $P$ из векторного пространства в себя ( эндоморфизм ) такой, что $P\circ P=P$. То есть всякий раз, когда $P$ применяется дважды к любому вектору, он дает тот же результат, как если бы он был применен один раз (т. е. $P$идемпотент ) . Он оставляет свой имидж неизменным. Это определение «проекции» формализует и обобщает идею графической проекции . Можно также рассмотреть влияние проекции на геометрический объект, исследуя влияние проекции на точки объекта.

Определения

Проекция на векторное пространство $V$ является линейным оператором $P\colon V\to V$ такой, что $P^{2}=P$.

Когда $V$ имеет внутренний продукт и является полным , т.е. когда $V$является гильбертовым пространством понятие ортогональности , можно использовать . Проекция $P$ в гильбертовом пространстве $V$ называется ортогональным проектором, если он удовлетворяет условию $\langle P\mathbf {x} ,\mathbf {y} \rangle =\langle \mathbf {x} ,P\mathbf {y} \rangle$ для всех $\mathbf {x} ,\mathbf {y} \in V$. Проекция на гильбертово пространство, не ортогональная, называется наклонной проекцией .

Матрица проекции

• Квадратная матрица $P$ называется матрицей проекции , если она равна своему квадрату, т. е. если $P^{2}=P$.
• Квадратная матрица $P$ называется ортогональной проекционной матрицей , если $P^{2}=P=P^{\mathrm {T} }$ для вещественной матрицы и соответственно $P^{2}=P=P^{*}$ для комплексной матрицы, где $P^{\mathrm {T} }$ обозначает транспонирование ​ $P$ и $P^{*}$ обозначает присоединенное или эрмитово транспонирование $P$.
• Матрица проекции, которая не является ортогональной матрицей проекции, называется матрицей наклонной проекции .

Собственные значения матрицы проекции должны быть 0 или 1.

Примеры

Ортогональная проекция

Например, функция, отображающая точку $(x,y,z)$ в трехмерном пространстве $\mathbb {R} ^{3}$ к точке $(x,y,0)$является ортогональной проекцией на плоскость xy . Эта функция представлена ​​матрицей

$$P={\begin{bmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&0\end{bmatrix}}.$$

Действие этой матрицы на произвольный вектор равно

$$P{\begin{bmatrix}x\\y\\z\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}x\\y\\0\end{bmatrix}}.$$

Чтобы увидеть это $P$ действительно является проекцией, т.е. $P=P^{2}$, мы вычисляем

$$P^{2}{\begin{bmatrix}x\\y\\z\end{bmatrix}}=P{\begin{bmatrix}x\\y\\0\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}x\\y\\0\end{bmatrix}}=P{\begin{bmatrix}x\\y\\z\end{bmatrix}}.$$

Наблюдая за этим $P^{\mathrm {T} }=P$ показывает, что проекция является ортогональной.

Косая проекция

Простой пример неортогональной (наклонной) проекции:

$$P={\begin{bmatrix}0&0\\\alpha &1\end{bmatrix}}.$$

Путем умножения матриц можно увидеть, что

$$P^{2}={\begin{bmatrix}0&0\\\alpha &1\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}0&0\\\alpha &1\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}0&0\\\alpha &1\end{bmatrix}}=P.$$

показывая это $P$ это действительно проекция.

Проекция $P$ ортогональна тогда и только тогда, когда $\alpha =0$ потому что только тогда $P^{\mathrm {T} }=P.$

Свойства и классификация

Преобразование T — это проекция вдоль k на m . Диапазон T равен m , а ядро ​​— k .

Идемпотентность

По определению, проекция $P$ является идемпотентным (т.е. $P^{2}=P$).

Открыть карту

Каждая проекция представляет собой карту , то есть она отображает каждое открытое множество в домене в открытое множество в топологии подпространства изображения открытую . То есть для любого вектора $\mathbf {x}$ и любой мяч $B_{\mathbf {x} }$ (с положительным радиусом) с центром $\mathbf {x}$, существует шар $B_{P\mathbf {x} }$ (с положительным радиусом) с центром $P\mathbf {x}$ это полностью содержится в изображении $P(B_{\mathbf {x} })$.

Взаимодополняемость образа и ядра

Позволять $W$ быть конечномерным векторным пространством и $P$ быть проекцией на $W$. Предположим, что подпространства $U$ и $V$ являются образом и ядром ​ $P$соответственно. Затем $P$ имеет следующие свойства:

1. $P$ это идентификационный оператор $I$ на $U$:
   $$\forall \mathbf {x} \in U:P\mathbf {x} =\mathbf {x} .$$
2. У нас есть прямая сумма $W=U\oplus V$. Каждый вектор $\mathbf {x} \in W$ может быть однозначно разложена как $\mathbf {x} =\mathbf {u} +\mathbf {v}$ с $\mathbf {u} =P\mathbf {x}$ и $\mathbf {v} =\mathbf {x} -P\mathbf {x} =\left(I-P\right)\mathbf {x}$, и где $\mathbf {u} \in U,\mathbf {v} \in V.$

Образ и ядро ​​проекции дополняют друг друга , как и $P$ и $Q=I-P$. Оператор $Q$ также является проекцией, образом и ядром $P$ стать ядром и образом $Q$и наоборот. Мы говорим $P$ представляет собой проекцию вдоль $V$ на $U$ (ядро/изображение) и $Q$ представляет собой проекцию вдоль $U$ на $V$.

Спектр

В бесконечномерных векторных пространствах спектр проекции содержится в $\{0,1\}$ как

$$(\lambda I-P)^{-1}={\frac {1}{\lambda }}I+{\frac {1}{\lambda (\lambda -1)}}P.$$

Только 0 или 1 могут быть собственным значением проекции. Это означает, что ортогональная проекция $P$всегда является положительной полуопределенной матрицей . В общем случае соответствующие собственные пространства представляют собой (соответственно) ядро ​​и образ проекции. Разложение векторного пространства на прямые суммы неоднозначно. Следовательно, учитывая подпространство $V$, может существовать множество проекций, диапазон (или ядро) которых равен $V$.

Если проекция нетривиальна, она имеет минимальный полином $x^{2}-x=x(x-1)$, который разбивается на отдельные линейные факторы и, таким образом, $P$ является диагонализируемым .

прогнозов

Произведение проекций вообще не является проекцией, даже если они ортогональны. Если две проекции коммутируют , то их произведение является проекцией, но обратное неверно: произведение двух некоммутирующих проекций может быть проекцией.

Если две ортогональные проекции коммутируют, то их произведение является ортогональной проекцией. Если произведение двух ортогональных проекций является ортогональным проектором, то два ортогональных проектора коммутируют (в более общем смысле: два самосопряженных эндоморфизма коммутируют тогда и только тогда, когда их произведение самосопряжено).

Ортогональные проекции

Основные статьи: теорема о проекции Гильберта и дополненное подпространство.

Когда векторное пространство $W$имеет внутренний продукт и является полным (является гильбертовым пространством понятие ортогональности ), можно использовать . Ортогональная проекция — это проекция, для которой диапазон $U$ и ядро $V$являются ортогональными подпространствами . Таким образом, для каждого $\mathbf {x}$ и $\mathbf {y}$ в $W$, $\langle P\mathbf {x} ,(\mathbf {y} -P\mathbf {y} )\rangle =\langle (\mathbf {x} -P\mathbf {x} ),P\mathbf {y} \rangle =0$. Эквивалентно:

$$\langle \mathbf {x} ,P\mathbf {y} \rangle =\langle P\mathbf {x} ,P\mathbf {y} \rangle =\langle P\mathbf {x} ,\mathbf {y} \rangle .$$

Проекция ортогональна тогда и только тогда, когда она самосопряжена . Используя самосопряженные и идемпотентные свойства $P$, для любого $\mathbf {x}$ и $\mathbf {y}$ в $W$ у нас есть $P\mathbf {x} \in U$, $\mathbf {y} -P\mathbf {y} \in V$, и

$$\langle P\mathbf {x} ,\mathbf {y} -P\mathbf {y} \rangle =\langle \mathbf {x} ,\left(P-P^{2}\right)\mathbf {y} \rangle =0$$

где $\langle \cdot ,\cdot \rangle$ внутренний продукт, связанный с $W$. Поэтому, $P$ и $I-P$ являются ортогональными проекциями. Другое направление, а именно то, что если $P$ ортогональна, то она самосопряжена, следует из импликации из $\langle (\mathbf {x} -P\mathbf {x} ),P\mathbf {y} \rangle =\langle P\mathbf {x} ,(\mathbf {y} -P\mathbf {y} )\rangle =0$ к

$$\langle \mathbf {x} ,P\mathbf {y} \rangle =\langle P\mathbf {x} ,P\mathbf {y} \rangle =\langle P\mathbf {x} ,\mathbf {y} \rangle =\langle \mathbf {x} ,P^{*}\mathbf {y} \rangle$$

для каждого $x$ и $y$ в $W$; таким образом $P=P^{*}$.

Существование ортогонального проектирования на замкнутое подпространство следует из теоремы о проектировании Гильберта .

Свойства и особые случаи

Ортогональный проектор — ограниченный оператор . Это потому, что для каждого $\mathbf {v}$ в векторном пространстве мы имеем по неравенству Коши – Шварца :

$$\left\|P\mathbf {v} \right\|^{2}=\langle P\mathbf {v} ,P\mathbf {v} \rangle =\langle P\mathbf {v} ,\mathbf {v} \rangle \leq \left\|P\mathbf {v} \right\|\cdot \left\|\mathbf {v} \right\|$$

Таким образом $\left\|P\mathbf {v} \right\|\leq \left\|\mathbf {v} \right\|$.

Для конечномерных комплексных или вещественных векторных пространств стандартный внутренний продукт можно заменить на $\langle \cdot ,\cdot \rangle$.

Formulas

Простой случай возникает, когда ортогональная проекция находится на прямой. Если $\mathbf {u}$ — единичный вектор на прямой, тогда проекция определяется внешним произведением

$$P_{\mathbf {u} }=\mathbf {u} \mathbf {u} ^{\mathsf {T}}.$$

(Если $\mathbf {u}$является комплексным, транспонирование в приведенном выше уравнении заменяется эрмитовым транспонированием). Этот оператор оставляет u инвариантным и аннулирует все векторы, ортогональные вектору $\mathbf {u}$, доказывая, что это действительно ортогональная проекция на прямую, содержащую u . Простой способ убедиться в этом — рассмотреть произвольный вектор $\mathbf {x}$ как сумма компонента на прямой (т. е. вектора проекции, который мы ищем) и другого перпендикуляра к нему, $\mathbf {x} =\mathbf {x} _{\parallel }+\mathbf {x} _{\perp }$. Применяя проекцию, получаем

$$P_{\mathbf {u} }\mathbf {x} =\mathbf {u} \mathbf {u} ^{\mathsf {T}}\mathbf {x} _{\parallel }+\mathbf {u} \mathbf {u} ^{\mathsf {T}}\mathbf {x} _{\perp }=\mathbf {u} \left(\operatorname {sgn} \left(\mathbf {u} ^{\mathsf {T}}\mathbf {x} _{\parallel }\right)\left\|\mathbf {x} _{\parallel }\right\|\right)+\mathbf {u} \cdot \mathbf {0} =\mathbf {x} _{\parallel }$$

свойствами скалярного произведения параллельных и перпендикулярных векторов.

Эту формулу можно обобщить на ортогональные проекции на подпространство произвольной размерности . Позволять $\mathbf {u} _{1},\ldots ,\mathbf {u} _{k}$ быть ортонормированным базисом подпространства $U$, в предположении, что целое число $k\geq 1$, и разреши $A$ обозначают $n\times k$ матрица, столбцы которой $\mathbf {u} _{1},\ldots ,\mathbf {u} _{k}$, то есть, $A={\begin{bmatrix}\mathbf {u} _{1}&\cdots &\mathbf {u} _{k}\end{bmatrix}}$. Тогда проекция определяется следующим образом:

$$P_{A}=AA^{\mathsf {T}}$$

который можно переписать как

$$P_{A}=\sum _{i}\langle \mathbf {u} _{i},\cdot \rangle \mathbf {u} _{i}.$$

Матрица $A^{\mathsf {T}}$ - это частичная изометрия , которая обращается в нуль в ортогональном дополнении к $U$, и $A$ это изометрия, которая вкладывает $U$в базовое векторное пространство. Диапазон $P_{A}$ поэтому является пространством последним $A$. Также ясно, что $AA^{\mathsf {T}}$ является оператором идентификации на $U$.

Условие ортонормированности также можно отбросить. Если $\mathbf {u} _{1},\ldots ,\mathbf {u} _{k}$ является (не обязательно ортонормированным) базисом с $k\geq 1$, и $A$ является матрицей с этими векторами в качестве столбцов, то проекция будет:

$$P_{A}=A\left(A^{\mathsf {T}}A\right)^{-1}A^{\mathsf {T}}.$$

Матрица $A$ все еще встраивает $U$в базовое векторное пространство, но больше не является изометрией в целом. Матрица $\left(A^{\mathsf {T}}A\right)^{-1}$является «нормализующим фактором», восстанавливающим норму. Например, оператор ранга -1 $\mathbf {u} \mathbf {u} ^{\mathsf {T}}$ не является проекцией, если $\left\|\mathbf {u} \right\|\neq 1.$ После деления на $\mathbf {u} ^{\mathsf {T}}\mathbf {u} =\left\|\mathbf {u} \right\|^{2},$ мы получаем проекцию $\mathbf {u} \left(\mathbf {u} ^{\mathsf {T}}\mathbf {u} \right)^{-1}\mathbf {u} ^{\mathsf {T}}$ на подпространство, охватываемое $u$.

В общем случае мы можем иметь произвольную положительно определенную матрицу $D$ определение внутреннего продукта $\langle x,y\rangle _{D}=y^{\dagger }Dx$, и проекция $P_{A}$ дан кем-то ${\textstyle P_{A}x=\operatorname {argmin} _{y\in \operatorname {range} (A)}\left\|x-y\right\|_{D}^{2}}$. Затем

$$P_{A}=A\left(A^{\mathsf {T}}DA\right)^{-1}A^{\mathsf {T}}D.$$

Когда пространство диапазонов проекции генерируется кадром ( т.е. количество образующих больше его размерности), формула проекции принимает вид: $P_{A}=AA^{+}$. Здесь $A^{+}$означает псевдообратную задачу Мура-Пенроуза . Это лишь один из многих способов построения оператора проектирования.

Если ${\begin{bmatrix}A&B\end{bmatrix}}$ является неособой матрицей и $A^{\mathsf {T}}B=0$ (т.е. $B$ - это нулевого пространства матрица $A$), имеет место следующее:

$${\begin{aligned}I&={\begin{bmatrix}A&B\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}A&B\end{bmatrix}}^{-1}{\begin{bmatrix}A^{\mathsf {T}}\\B^{\mathsf {T}}\end{bmatrix}}^{-1}{\begin{bmatrix}A^{\mathsf {T}}\\B^{\mathsf {T}}\end{bmatrix}}\\&={\begin{bmatrix}A&B\end{bmatrix}}\left({\begin{bmatrix}A^{\mathsf {T}}\\B^{\mathsf {T}}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}A&B\end{bmatrix}}\right)^{-1}{\begin{bmatrix}A^{\mathsf {T}}\\B^{\mathsf {T}}\end{bmatrix}}\\&={\begin{bmatrix}A&B\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}A^{\mathsf {T}}A&O\\O&B^{\mathsf {T}}B\end{bmatrix}}^{-1}{\begin{bmatrix}A^{\mathsf {T}}\\B^{\mathsf {T}}\end{bmatrix}}\\[4pt]&=A\left(A^{\mathsf {T}}A\right)^{-1}A^{\mathsf {T}}+B\left(B^{\mathsf {T}}B\right)^{-1}B^{\mathsf {T}}\end{aligned}}$$

Если условие ортогональности усиливается до $A^{\mathsf {T}}WB=A^{\mathsf {T}}W^{\mathsf {T}}B=0$ с $W$ несингулярен, имеет место следующее:

$$I={\begin{bmatrix}A&B\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}\left(A^{\mathsf {T}}WA\right)^{-1}A^{\mathsf {T}}\\\left(B^{\mathsf {T}}WB\right)^{-1}B^{\mathsf {T}}\end{bmatrix}}W.$$

Все эти формулы справедливы и для комплексных пространств внутреннего произведения, при условии, что сопряженное транспонирование вместо транспонирования используется . Более подробную информацию о суммах проекторов можно найти у Банерджи и Роя (2014). См. также Банерджи (2004). для применения сумм проекторов в основах сферической тригонометрии .

Косые проекции

Термин «косые проекции» иногда используется для обозначения неортогональных проекций. Эти проекции также используются для изображения пространственных фигур на двумерных чертежах (см. косая проекция ), хотя и не так часто, как ортогональные проекции. В то время как для расчета подобранного значения обычной регрессии наименьших квадратов требуется ортогональная проекция, для расчета подобранного значения регрессии инструментальных переменных требуется наклонная проекция.

Проекция определяется ее ядром и базисными векторами, используемыми для характеристики ее диапазона (которые являются дополнением ядра). Когда эти базисные векторы ортогональны ядру, тогда проекция является ортогональной проекцией. Когда эти базисные векторы не ортогональны ядру, проекция является наклонной проекцией или просто проекцией.

матричного представления для ненулевого

Позволять $P$ быть линейным оператором, $P:V\to V,$ такой, что $P^{2}=P$ и предположим, что $P:V\to V$не является нулевым оператором. Пусть векторы $\mathbf {u} _{1},\ldots ,\mathbf {u} _{k}$ составляют основу ассортимента $P$и соберем эти векторы в $n\times k$ матрица $A$. Следовательно, целое число $k\geq 1$, в противном случае $k=0$ и $P$является нулевым оператором. Диапазон и ядро ​​являются дополнительными пространствами, поэтому ядро ​​имеет размерность. $n-k$. Отсюда следует, что ортогональное дополнение ядра имеет размерность $k$. Позволять $\mathbf {v} _{1},\ldots ,\mathbf {v} _{k}$ сформировать основу для ортогонального дополнения ядра проекции и собрать эти векторы в матрицу $B$. Тогда проекция $P$ (с условием $k\geq 1$) дан кем-то

$$P=A\left(B^{\mathsf {T}}A\right)^{-1}B^{\mathsf {T}}.$$

Это выражение обобщает приведенную выше формулу для ортогональных проекций. Стандартное доказательство этого выражения следующее. Для любого вектора $\mathbf {x}$ в векторном пространстве $V$, мы можем разложить $\mathbf {x} =\mathbf {x} _{1}+\mathbf {x} _{2}$, где вектор $\mathbf {x} _{1}=P(\mathbf {x} )$ находится в образе $P$и вектор $\mathbf {x} _{2}=\mathbf {x} -P(\mathbf {x} ).$ Так $P(\mathbf {x} _{2})=P(\mathbf {x} )-P^{2}(\mathbf {x} )=\mathbf {0}$, а потом $\mathbf {x} _{2}$ находится в ядре $P$, которое представляет собой нулевое пространство $A.$ Другими словами, вектор $\mathbf {x} _{1}$ находится в пространстве столбцов $A,$ так $\mathbf {x} _{1}=A\mathbf {w}$ для некоторых $k$ вектор измерения $\mathbf {w}$ и вектор $\mathbf {x} _{2}$ удовлетворяет $B^{\mathsf {T}}\mathbf {x} _{2}=\mathbf {0}$ путем строительства $B$. Сложив эти условия вместе, мы найдем вектор $\mathbf {w}$ так что $B^{\mathsf {T}}(\mathbf {x} -A\mathbf {w} )=\mathbf {0}$. Поскольку матрицы $A$ и $B$ имеют полный ранг $k$ по своей конструкции, $k\times k$-матрица $B^{\mathsf {T}}A$является обратимым. Итак, уравнение $B^{\mathsf {T}}(\mathbf {x} -A\mathbf {w} )=\mathbf {0}$ дает вектор $\mathbf {w} =(B^{\mathsf {T}}A)^{-1}B^{\mathsf {T}}\mathbf {x} .$ Таким образом, $P\mathbf {x} =\mathbf {x} _{1}=A\mathbf {w} =A(B^{\mathsf {T}}A)^{-1}B^{\mathsf {T}}\mathbf {x}$ для любого вектора $\mathbf {x} \in V$ и поэтому $P=A(B^{\mathsf {T}}A)^{-1}B^{\mathsf {T}}$.

В случае, если $P$ является ортогональной проекцией, мы можем взять $A=B$, и отсюда следует, что $P=A\left(A^{\mathsf {T}}A\right)^{-1}A^{\mathsf {T}}$. Используя эту формулу, можно легко проверить, что $P=P^{\mathsf {T}}$. В общем, если векторное пространство находится над полем комплексных чисел, тогда используется эрмитово транспонирование. $A^{*}$ и имеет формулу $P=A\left(A^{*}A\right)^{-1}A^{*}$. Напомним, что можно определить Мура–Пенроуза обратную матрицу $A$ к $A^{+}=(A^{*}A)^{-1}A^{*}$ с $A$ имеет полный ранг столбца, поэтому $P=AA^{+}$.

Сингулярные значения

Обратите внимание, что $I-P$также является косой проекцией. Сингулярные значения $P$ и $I-P$ может быть вычислено с помощью базиса ортонормированного $A$. Позволять $Q_{A}$ быть ортонормированным базисом $A$ и разреши $Q_{A}^{\perp }$ быть дополнением ортогональным $Q_{A}$. Обозначим сингулярные значения матрицы $Q_{A}^{T}A(B^{T}A)^{-1}B^{T}Q_{A}^{\perp }$ по положительным значениям $\gamma _{1}\geq \gamma _{2}\geq \ldots \geq \gamma _{k}$. При этом сингулярные значения для $P$ являются:

$$\sigma _{i}={\begin{cases}{\sqrt {1+\gamma _{i}^{2}}}&1\leq i\leq k\\0&{\text{otherwise}}\end{cases}}$$

и сингулярные значения для $I-P$ являются

$$\sigma _{i}={\begin{cases}{\sqrt {1+\gamma _{i}^{2}}}&1\leq i\leq k\\1&k+1\leq i\leq n-k\\0&{\text{otherwise}}\end{cases}}$$

Это означает, что наибольшие сингулярные значения $P$ и $I-P$равны, а значит, и матричные нормы косых проекций одинаковы. Однако число обусловленности удовлетворяет соотношению $\kappa (I-P)={\frac {\sigma _{1}}{1}}\geq {\frac {\sigma _{1}}{\sigma _{k}}}=\kappa (P)$, и поэтому не обязательно равен.

Нахождение проекции с внутренним продуктом

Позволять $V$ быть векторным пространством (в данном случае плоскостью), натянутым на ортогональные векторы $\mathbf {u} _{1},\mathbf {u} _{2},\dots ,\mathbf {u} _{p}$. Позволять $y$быть вектором. Можно определить проекцию $\mathbf {y}$ на $V$ как

$$\operatorname {proj} _{V}\mathbf {y} ={\frac {\mathbf {y} \cdot \mathbf {u} ^{i}}{\mathbf {u} ^{i}\cdot \mathbf {u} ^{i}}}\mathbf {u} ^{i}$$

где повторяющиеся индексы суммируются ( обозначение суммы Эйнштейна ). Вектор $\mathbf {y}$ можно записать в виде ортогональной суммы такой, что $\mathbf {y} =\operatorname {proj} _{V}\mathbf {y} +\mathbf {z}$. Обратите внимание, что $\operatorname {proj} _{V}\mathbf {y}$ иногда обозначается как ${\hat {\mathbf {y} }}$. В линейной алгебре есть теорема, утверждающая, что это $\mathbf {z}$ — наименьшее расстояние ( ортогональное расстояние ) от $\mathbf {y}$ к $V$ и обычно используется в таких областях, как машинное обучение .

y проецируется на векторное пространство V .

Канонические формы

Любая проекция $P=P^{2}$ в векторном пространстве размерности $d$ над полем является диагонализируемой матрицей , так как ее минимальный многочлен делит $x^{2}-x$, который распадается на отдельные линейные факторы. Таким образом, существует основа, на которой $P$ имеет форму

$P=I_{r}\oplus 0_{d-r}$

где $r$ это ранг ​ $P$. Здесь $I_{r}$ - единичная матрица размера $r$, $0_{d-r}$ — нулевая матрица размера $d-r$, и $\oplus$— оператор прямой суммы . Если векторное пространство является комплексным и снабжено скалярным произведением , то существует ортонормированный базис, в котором матрица P равна

$P={\begin{bmatrix}1&\sigma _{1}\\0&0\end{bmatrix}}\oplus \cdots \oplus {\begin{bmatrix}1&\sigma _{k}\\0&0\end{bmatrix}}\oplus I_{m}\oplus 0_{s}.$

где $\sigma _{1}\geq \sigma _{2}\geq \dots \geq \sigma _{k}>0$. Целые числа $k,s,m$ и реальные цифры $\sigma _{i}$определяются однозначно. Обратите внимание, что $2k+s+m=d$. Фактор $I_{m}\oplus 0_{s}$ соответствует максимальному инвариантному подпространству, на котором $P$ действует как ортогональная проекция (так что P сам ортогонален тогда и только тогда, когда $k=0$) и $\sigma _{i}$-блоки соответствуют наклонным компонентам.

векторные

Когда базовое векторное пространство $X$является (не обязательно конечномерным) нормированным векторным пространством , необходимо рассмотреть аналитические вопросы, не имеющие значения в конечномерном случае. Предположим сейчас $X$ является банаховым пространством .

Многие из обсуждавшихся выше алгебраических результатов сохраняются при переходе к этому контексту. Заданное разложение в прямую сумму $X$на дополнительные подпространства по-прежнему определяет проекцию, и наоборот. Если $X$ это прямая сумма $X=U\oplus V$, то оператор, определенный формулой $P(u+v)=u$ это все еще проекция с диапазоном $U$ и ядро $V$. Также ясно, что $P^{2}=P$. И наоборот, если $P$ это проекция на $X$, то есть $P^{2}=P$, то легко проверяется, что $(1-P)^{2}=(1-P)$. Другими словами, $1-P$это тоже проекция. Отношение $P^{2}=P$ подразумевает $1=P+(1-P)$ и $X$ это прямая сумма $\operatorname {rg} (P)\oplus \operatorname {rg} (1-P)$.

Однако, в отличие от конечномерного случая, проекции не обязательно должны быть непрерывными вообще . Если подпространство $U$ из $X$ не замкнуто в нормальной топологии, то проекция на $U$не является непрерывным. Другими словами, диапазон непрерывной проекции $P$должно быть замкнутым подпространством. Более того, ядро ​​непрерывного проектора (фактически, вообще непрерывного линейного оператора) замкнуто. Таким образом, непрерывная проекция $P$ дает разложение $X$ на два взаимодополняющих замкнутых подпространства: $X=\operatorname {rg} (P)\oplus \ker(P)=\ker(1-P)\oplus \ker(P)$.

Обратное также верно, но с дополнительным предположением. Предполагать $U$ является замкнутым подпространством $X$. Если существует замкнутое подпространство $V$ такой, что X = U ⊕ V , то проекция $P$ с диапазоном $U$ и ядро $V$является непрерывным. Это следует из теоремы о замкнутом графике . Предположим, x _n → x и Px _n → y . Это нужно показать $Px=y$. С $U$ замкнуто и { Px _n } ⊂ U , y лежит в $U$, т.е. Py = y . Кроме того, Икс _п - Px _п знак равно ( I - P ) Икс _п → Икс - y . Потому что $V$ замкнуто и {( I − P ) x _n } ⊂ V , мы имеем $x-y\in V$, то есть $P(x-y)=Px-Py=Px-y=0$, что доказывает утверждение.

Приведенный выше аргумент использует предположение, что оба $U$ и $V$закрыто. В общем случае, учитывая замкнутое подпространство $U$, не обязательно должно существовать дополнительное замкнутое подпространство $V$, хотя для гильбертовых пространств это всегда можно сделать, взяв ортогональное дополнение . Для банаховых пространств одномерное подпространство всегда имеет замкнутое дополнительное подпространство. Это непосредственное следствие теоремы Хана–Банаха . Позволять $U$ быть линейным промежутком $u$. По Хану–Банаху существует ограниченный линейный функционал $\varphi$такой, что φ ( ты ) знак равно 1 . Оператор $P(x)=\varphi (x)u$ удовлетворяет $P^{2}=P$, т.е. это проекция. Ограниченность $\varphi$ подразумевает непрерывность $P$ и поэтому $\ker(P)=\operatorname {rg} (I-P)$ является замкнутым дополнительным подпространством $U$.

Приложения и дополнительные соображения

Проекции (ортогональные и другие) играют важную роль в алгоритмах решения некоторых задач линейной алгебры:

• QR-разложение (см. Преобразование Хаусхолдера и разложение Грама – Шмидта );
• Разложение по сингулярным значениям
• Приведение к форме Хессенберга (первый шаг во многих алгоритмах собственных значений )
• Линейная регрессия
• Проективные элементы матричных алгебр используются при построении некоторых K-групп в операторной K-теории.

Как говорилось выше, проекции представляют собой частный случай идемпотентов. С аналитической точки зрения ортогональные проекции являются некоммутативными обобщениями характеристических функций . Идемпотенты используются при классификации, например, полупростых алгебр , а теория меры начинается с рассмотрения характеристических функций измеримых множеств . Поэтому, как можно догадаться, проекции очень часто встречаются в контексте операторных алгебр . В частности, алгебра фон Неймана порождается своей полной решеткой проекторов.

Обобщения

В более общем смысле, учитывая карту между нормированными векторными пространствами $T\colon V\to W,$ аналогично можно потребовать, чтобы это отображение было изометрией ортогонального дополнения ядра: что $(\ker T)^{\perp }\to W$быть изометрией (ср. Частичная изометрия ); в частности, это должно быть на . Случай ортогональной проекции — это когда W является подпространством V. В римановой геометрии это используется при определении римановой субмерсии .

См. также

• Центрирующая матрица , которая является примером матрицы проекции.
• Алгоритм проекции Дикстры для вычисления проекции на пересечение множеств
• Инвариантное подпространство
• Спектральный анализ методом наименьших квадратов
• Ортогонализация
• Свойства трассировки

Ссылки

• Банерджи, Судипто; Рой, Аниндья (2014), Линейная алгебра и матричный анализ для статистики , Тексты по статистическим наукам (1-е изд.), Чепмен и Холл / CRC, ISBN  978-1420095388
• Данфорд, Н.; Шварц, Дж.Т. (1958). Линейные операторы. Часть I: Общая теория . Межнаучный.
• Мейер, Карл Д. (2000). Матричный анализ и прикладная линейная алгебра . Общество промышленной и прикладной математики. ISBN  978-0-89871-454-8 .

Внешние ссылки

• Лекция по линейной алгебре Массачусетского технологического института о матрицах проекций на YouTube , от MIT OpenCourseWare
• Линейная алгебра 15d: Преобразование проекции на YouTube , Павел Гринфельд .
• Учебное пособие по плоским геометрическим проекциям – простое учебное пособие, объясняющее различные типы плоских геометрических проекций.