Факторпространство (линейная алгебра)

Эта статья о факторах векторных пространств. Чтобы узнать о факторах топологических пространств, см. Факторпространство (топология) .

В линейной фактор пространства векторного алгебре $V$ через подпространство $N$ — векторное пространство, полученное «схлопыванием» $N$до нуля. Полученное пространство называется факторпространством и обозначается $V/N$ (читать " $V$ против $N$" или " $V$ к $N$").

Определение

Формально конструкция выглядит следующим образом. Позволять $V$ быть векторным пространством над полем $\mathbb {K}$, и разреши $N$ быть подпространством ​ $V$. Определим отношение эквивалентности $\sim$ на $V$ заявив, что $x\sim y$ если $x-y\in N$. То есть, $x$ относится к $y$ если одно можно получить из другого добавлением элемента $N$. Из этого определения можно сделать вывод, что любой элемент $N$относится к нулевому вектору; точнее, все векторы в $N$ отобразиться в класс эквивалентности нулевого вектора.

Класс эквивалентности – или, в данном случае, смежный класс – $x$ часто обозначается

$[x]=x+N$

поскольку оно дано

$[x]=\{x+n:n\in N\}$

Факторпространство $V/N$ затем определяется как $V/_{\sim }$, множество всех классов эквивалентности, индуцированных $\sim$ на $V$. Скалярное умножение и сложение определяются в классах эквивалентности следующим образом:

• $\alpha [x]=[\alpha x]$ для всех $\alpha \in \mathbb {K}$, и
• $[x]+[y]=[x+y]$.

Несложно проверить, что эти операции корректны (т.е. не зависят от выбора представителей ). Эти операции превращают фактор-пространство $V/N$ в векторное пространство над $\mathbb {K}$ с $N$ будучи нулевым классом, $[0]$.

Отображение, которое соответствует $v\in V$ класс эквивалентности $[v]$ известен как факторкарта .

Другими словами, факторпространство $V/N$ представляет собой множество всех аффинных подмножеств $V$ которые параллельны ​ $N$.

Примеры

Линии в декартовой плоскости

Пусть X = R ² — стандартная декартова плоскость , и пусть Y — линия проходящая через начало координат в X. , Тогда фактор-пространство X / Y можно отождествить с пространством всех прямых из X параллельных Y. , То есть элементы множества X / Y являются линиями в X параллельными Y. , Обратите внимание, что точки вдоль любой такой линии будут удовлетворять отношению эквивалентности, поскольку их разностные векторы принадлежат Y . Это дает возможность геометрически визуализировать факторпространства. (Путем повторной параметризации этих линий фактор-пространство можно более условно представить как пространство всех точек вдоль линии, проходящей через начало координат, которая не параллельна Y . Аналогично, фактор-пространство для R ³ линией, проходящей через начало координат, можно снова представить как набор всех сопараллельных линий или, альтернативно, как векторное пространство, состоящее из плоскости , которая пересекает линию только в начале координат.)

декартова

Другой пример — частное R ^н подпространством, натянутым на первые m стандартных базисных векторов . Пространство Р ^н состоит из всех n -кортежей действительных чисел ( x ₁ , ..., x _n ) . Подпространство, отождествляемое с R ^м , состоит из всех n -кортежей таких, что последние n − m записей равны нулю: ( x ₁ , ..., x _m , 0, 0, ..., 0) . Два вектора R ^н находятся в одном классе эквивалентности по модулю подпространства тогда и только тогда, когда они идентичны по последним n - m координатам. Факторпространство R ^н / Р ^м изоморфен ​ R ​ ^{п - м} очевидным образом.

векторное

Позволять ${\mathcal {P}}_{3}(\mathbb {R} )$быть векторным пространством всех кубических многочленов над действительными числами. Затем ${\mathcal {P}}_{3}(\mathbb {R} )/\langle x^{2}\rangle$представляет собой фактор-пространство, где каждый элемент представляет собой набор, соответствующий многочленам, отличающимся только квадратичным членом. Например, одним элементом факторпространства является $\{x^{3}+ax^{2}-2x+3:a\in \mathbb {R} \}$, а другим элементом факторпространства является $\{ax^{2}+2.7x:a\in \mathbb {R} \}$.

Общие подпространства

В более общем смысле, если V является (внутренней) прямой суммой подпространств U и W,

$V=U\oplus W$

фактор- V / U изоморфно естественно W. пространство тогда

Интегралы Лебега

Важным примером функционального факторпространства является L ^п космос .

Свойства

Существует естественный эпиморфизм V , в фактор-пространство V / U заданный отправкой x в его класс эквивалентности [ x ]. Ядром подпространство (или нулевым пространством) этого эпиморфизма является U . Эти отношения аккуратно резюмируются короткой точной последовательностью

$0\to U\to V\to V/U\to 0.\,$

Если U подпространство V , размерность V ​ / U называется коразмерностью U ​ в V. — Поскольку базис V . может быть построен из базиса A из U и базиса B из V / U путем добавления представителя каждого элемента B к A , размерность V представляет собой сумму размерностей U и V / U . Если V конечномерен , отсюда следует , что коразмерность U в V — это разница между размерностями V и U :

$\mathrm {codim} (U)=\dim(V/U)=\dim(V)-\dim(U).$

Пусть T : V → W — линейный оператор . Ядро T , обозначаемое ker( T ), представляет собой множество всех x в V таких, что = 0. Ядро является подпространством V. Tx Первая теорема об изоморфизме что фактор-пространство V /ker( T ) изоморфно образу V гласит , в W. векторных пространств Непосредственным следствием для конечномерных пространств является теорема о ранге-пустоте : размерность V равна размерности ядра ( нулевой размер T ) плюс размерность изображения ( ранг T ) .

Коядро W линейного оператора T : V → W определяется как фактор-пространство / im( T ).

Фактор банахова пространства по подпространству

Если X — банахово пространство , а M — замкнутое подпространство X , то фактор X / M снова является банаховым пространством. Факторпространство уже наделено структурой векторного пространства по конструкции предыдущего раздела. Определим норму на X / M формулой

$\|[x]\|_{X/M}=\inf _{m\in M}\|x-m\|_{X}=\inf _{m\in M}\|x+m\|_{X}=\inf _{y\in [x]}\|y\|_{X}.$

Примеры

Обозначим через C [0,1] банахово пространство непрерывных вещественнозначных функций на отрезке [0,1] с нормой sup . Обозначим подпространство всех функций f ∈ C [0,1] с f (0) = 0 через M . Тогда класс эквивалентности некоторой функции g определяется ее значением в точке 0, а фактор-пространство C [0,1]/ M изоморфно R .

Если X — гильбертово пространство , то фактор-пространство / M изоморфно ортогональному дополнению к M. X

Обобщение на локально выпуклые пространства

Фактор локально выпуклого пространства по замкнутому подпространству снова является локально выпуклым. Действительно, предположим, что X локально выпукло, так что топология на X порождается семейством полунорм { p _α | α ∈ A }, где A — набор индексов. Пусть M — замкнутое подпространство и определим полунормы q _α на X / M формулой

$q_{\alpha }([x])=\inf _{v\in [x]}p_{\alpha }(v).$

Тогда X / M — локально выпуклое пространство, а топология на нем — фактортопология .

Если, кроме того, X метризуемо метризуемо , то и X / M . Если X — пространство Фреше тоже , то и X / M .

См. также

• Факторная группа
• Модуль коэффициентов
• Сколько комплектов
• Факторпространство (топология)

Источники

• Экслер, Шелдон (2015). Линейная алгебра сделана правильно . Тексты для студентов по математике (3-е изд.). Спрингер . ISBN  978-3-319-11079-0 .
• Дьедонне, Жан (1976), Трактат об анализе , том. 2, Академическое издательство , ISBN  978-0122155024
• Халмос, Пол Ричард (1974) [1958]. Конечномерные векторные пространства . Тексты для студентов по математике (2-е изд.). Спрингер . ISBN  0-387-90093-4 .
• Кацнельсон, Ицхак ; Кацнельсон, Джонатан Р. (2008). (Краткое) Введение в линейную алгебру . Американское математическое общество . ISBN  978-0-8218-4419-9 .
• Роман, Стивен (2005). Продвинутая линейная алгебра . Тексты для аспирантов по математике (2-е изд.). Спрингер . ISBN  0-387-24766-1 .