Гильбертово пространство

Чтобы узнать о кривой заполнения пространства, см. кривую Гильберта .

Состояние колеблющейся струны можно смоделировать как точку в гильбертовом пространстве. Разложение колеблющейся струны на ее колебания по отдельным обертонам задается проекцией точки на оси координат в пространстве.

В математике гильбертовы пространства (названные в честь Дэвида Гильберта ) позволяют обобщать методы линейной алгебры и исчисления от (конечномерных) евклидовых векторных пространств до пространств, которые могут быть бесконечномерными . Гильбертовы пространства естественным образом и часто возникают в математике и физике , обычно как функциональные пространства . Формально гильбертово пространство — это векторное пространство , снабженное скалярным произведением , которое индуцирует функцию расстояния , для которой пространство является полным метрическим пространством .

Самые ранние гильбертовы пространства изучались с этой точки зрения в первом десятилетии 20-го века Давидом Гильбертом , Эрхардом Шмидтом и Фриджесом Риссом . Они являются незаменимыми инструментами в теориях уравнений в частных производных , квантовой механике , анализе Фурье (который включает приложения к обработке сигналов и теплопередаче ) и эргодической теории (которая формирует математическую основу термодинамики ). Джон фон Нейман ввел термин «гильбертово пространство» для обозначения абстрактной концепции, лежащей в основе многих из этих разнообразных приложений. Успех методов гильбертова пространства открыл очень плодотворную эпоху функционального анализа . Помимо классических евклидовых векторных пространств, примеры гильбертовых пространств включают пространства интегрируемых с квадратом функций , пространства последовательностей , пространства Соболева, состоящие из обобщенных функций , и пространства Харди голоморфных функций .

Геометрическая интуиция играет важную роль во многих аспектах теории гильбертова пространства. Точные аналоги теоремы Пифагора и закона параллелограмма справедливы в гильбертовом пространстве. На более глубоком уровне перпендикулярная проекция на линейное подпространство играет важную роль в задачах оптимизации и других аспектах теории. Элемент гильбертова пространства может быть однозначно задан своими координатами относительно ортонормированного базиса по аналогии с декартовыми координатами в классической геометрии. Когда этот базис , счетно бесконечен он позволяет отождествить гильбертово пространство с пространством бесконечных последовательностей , суммируемых с квадратом . Последнее пространство в старой литературе часто называют гильбертовым пространством.

Определение и иллюстрация

Мотивирующий пример: евклидово векторное пространство

Одним из наиболее известных примеров гильбертова пространства является евклидово векторное пространство, состоящее из трехмерных векторов , обозначаемое R ³ и оснащен скалярным произведением . Скалярное произведение принимает два вектора x и y и дает действительное число x ⋅ y . Если x и y представлены в декартовых координатах , то скалярное произведение определяется выражением

$${\begin{pmatrix}x_{1}\\x_{2}\\x_{3}\end{pmatrix}}\cdot {\begin{pmatrix}y_{1}\\y_{2}\\y_{3}\end{pmatrix}}=x_{1}y_{1}+x_{2}y_{2}+x_{3}y_{3}\,.$$

Скалярное произведение удовлетворяет свойствам

1. Он симметричен по x и y : x ⋅ y знак равно y ⋅ x .
2. Он линеен по своему первому аргументу: ( a x ₁ + b x ₂ ) ⋅ y = a ( x ₁ ⋅ y ) + b ( x ₂ ⋅ y ) для любых скаляров a , b и векторов x ₁ , x ₂ , и й .
3. Оно положительно определено : для всех векторов x , x ⋅ x ≥ 0 , с равенством тогда и только тогда, когда x = 0 .

Операция над парами векторов, которая, как и скалярное произведение, удовлетворяет этим трем свойствам, называется (реальным) внутренним произведением . Векторное пространство , оснащенное таким внутренним продуктом, известно как (реальное) пространство внутреннего продукта . Каждое конечномерное пространство внутреннего произведения также является гильбертовым пространством. Основная особенность скалярного произведения, которое связывает его с евклидовой геометрией, заключается в том, что оно связано как с длиной (или нормой ) вектора, обозначаемого ‖ x ‖ , так и с углом θ между двумя векторами x и y посредством формула

$$\mathbf {x} \cdot \mathbf {y} =\left\|\mathbf {x} \right\|\left\|\mathbf {y} \right\|\,\cos \theta \,.$$

Полнота означает, что если частица движется по ломаному пути (синий цвет), преодолевая конечное общее расстояние, то частица имеет четко определенное суммарное смещение (оранжевый цвет).

Многомерное исчисление в евклидовом пространстве основано на способности вычислять пределы и иметь полезные критерии для вывода о существовании пределов. Математический ряд

$$\sum _{n=0}^{\infty }\mathbf {x} _{n}$$

состоящий из векторов из R ³ абсолютно сходится при условии, что сумма длин сходится как обычный ряд действительных чисел:

$$\sum _{k=0}^{\infty }\|\mathbf {x} _{k}\|<\infty \,.$$

Как и в случае с рядом скаляров, абсолютно сходящаяся серия векторов также сходится к некоторому предельному вектору L в евклидовом пространстве в том смысле, что

$${\Biggl \|}\mathbf {L} -\sum _{k=0}^{N}\mathbf {x} _{k}{\Biggr \|}\to 0\quad {\text{as }}N\to \infty \,.$$

Это свойство выражает полноту евклидова пространства: ряд, который сходится абсолютно, сходится и в обычном смысле.

В гильбертовых пространствах часто используются комплексные числа . Комплексная плоскость , обозначенная C , наделена понятием величины, комплексного модуля | г | , который определяется как квадратный корень произведения z на его комплексно-сопряженное число :

$$|z|^{2}=z{\overline {z}}\,.$$

Если z = x + iy — разложение z на действительную и мнимую части, то модуль — это обычная евклидова двумерная длина:

$$|z|={\sqrt {x^{2}+y^{2}}}\,.$$

Внутренний продукт пары комплексных чисел z и w — это произведение z на комплексно-сопряженное число w :

$$\langle z,w\rangle =z{\overline {w}}\,.$$

Это комплексное значение. Действительная часть ⟨ z , w ⟩ дает обычное двумерное евклидово скалярное произведение .

Второй пример — пространство C ² элементами которого являются пары комплексных чисел z = ( z ₁ , z ₂ ) . Тогда скалярное произведение z с другим таким вектором w = ( w ₁ , w ₂ ) определяется выражением

$$\langle z,w\rangle =z_{1}{\overline {w_{1}}}+z_{2}{\overline {w_{2}}}\,.$$

Действительная часть ⟨ z , w ⟩ тогда является двумерным евклидовым скалярным произведением. Этот внутренний продукт является эрмитовым симметричным, что означает, что результатом замены z и w является комплексно-сопряженное выражение:

$$\langle w,z\rangle ={\overline {\langle z,w\rangle }}\,.$$

Определение

Гильбертово пространство — это вещественное или комплексное пространство внутреннего произведения , которое также является полным метрическим пространством относительно функции расстояния, индуцированной внутренним произведением.

Сказать, что комплексное векторное пространство H является пространством комплексного внутреннего продукта, означает, что существует внутренний продукт $\langle x,y\rangle$ присвоение комплексного числа каждой паре элементов $x,y$ H , который удовлетворяет следующим свойствам:

1. Внутренний продукт сопряжен симметричен; то есть внутренний продукт пары элементов равен комплексно- сопряженному внутреннему продукту замененных элементов:
   $$\langle y,x\rangle ={\overline {\langle x,y\rangle }}\,.$$
   Важно отметить, что это означает, что $\langle x,x\rangle$ это действительное число.
2. Внутренний продукт линеен в своем первом аргумент. Для всех комплексных чисел $a$ и $b,$
   $$\langle ax_{1}+bx_{2},y\rangle =a\langle x_{1},y\rangle +b\langle x_{2},y\rangle \,.$$
3. Внутренний продукт элемента сам на себя положительно определен :
   $${\begin{alignedat}{4}\langle x,x\rangle >0&\quad {\text{ if }}x\neq 0,\\\langle x,x\rangle =0&\quad {\text{ if }}x=0\,.\end{alignedat}}$$

Из свойств 1 и 2 следует, что комплексное скалярное произведение является антилинейным , также называемым сопряженным линейным , по второму аргументу, что означает, что

$$\langle x,ay_{1}+by_{2}\rangle ={\bar {a}}\langle x,y_{1}\rangle +{\bar {b}}\langle x,y_{2}\rangle \,.$$

Реальное пространство внутреннего продукта определяется таким же образом, за исключением того, что H является реальным векторным пространством, а внутренний продукт принимает действительные значения. Таким внутренним продуктом будет билинейная карта и $(H,H,\langle \cdot ,\cdot \rangle )$ сформирует двойную систему .

Норма – это вещественная функция

$$\|x\|={\sqrt {\langle x,x\rangle }}\,,$$

и расстояние $d$ между двумя точками $x,y$ в H определяется по норме выражением

$$d(x,y)=\|x-y\|={\sqrt {\langle x-y,x-y\rangle }}\,.$$

То, что эта функция является функцией расстояния, означает, во-первых, что она симметрична относительно $x$ и $y,$ во-вторых, расстояние между $x$ и само равно нулю, иначе расстояние между $x$ и $y$ должно быть положительным, и, наконец, выполняется неравенство треугольника , означающее, что длина одной стороны треугольника xyz не может превышать сумму длин двух других сторон:

$$d(x,z)\leq d(x,y)+d(y,z)\,.$$

Это последнее свойство в конечном итоге является следствием более фундаментального неравенства Коши – Шварца , которое утверждает

$$\left|\langle x,y\rangle \right|\leq \|x\|\|y\|$$

с равенством тогда и только тогда, когда $x$ и $y$ зависимы линейно .

Если функция расстояния определена таким образом, любое пространство внутреннего произведения является метрическим пространством и иногда называется хаусдорфовым предгильбертовым пространством . Любое предгильбертово пространство, которое к тому же является полным пространством, является гильбертовым пространством.

Полнота последовательность H Коши выражается с использованием формы критерия Коши для последовательностей в H : прегильбертово пространство H является полным, если каждая сходится относительно этой нормы к элементу в пространстве. Полноту можно охарактеризовать следующим эквивалентным условием: если ряд векторов

$$\sum _{k=0}^{\infty }u_{k}$$

абсолютно сходится в том смысле, что

$$\sum _{k=0}^{\infty }\|u_{k}\|<\infty \,,$$

тогда ряд сходится в H в том смысле, что частичные суммы сходятся к элементу H .

Как полное нормированное пространство, гильбертово пространство по определению также является банаховым пространством . По сути, они являются топологическими векторными пространствами , в которых топологические понятия, такие как открытость и замкнутость подмножеств четко определены . Особое значение имеет понятие замкнутого линейного подпространства гильбертова пространства, которое со скалярным произведением, индуцированным ограничением , также является полным (будучи замкнутым множеством в полном метрическом пространстве) и, следовательно, само по себе является гильбертовым пространством.

Второй пример: пробелы последовательности

Пространство последовательностей l ² состоит из всех бесконечных последовательностей z = ( z ₁ , z ₂ , …) следующий ряд комплексных чисел таких, что сходится :

$$\sum _{n=1}^{\infty }|z_{n}|^{2}$$

Скалярный продукт по l ² определяется:

$$\langle \mathbf {z} ,\mathbf {w} \rangle =\sum _{n=1}^{\infty }z_{n}{\overline {w_{n}}}\,,$$

Этот второй ряд сходится вследствие неравенства Коши – Шварца и сходимости предыдущего ряда.

Полнота пространства имеет место при условии, что всякий раз, когда ряд элементов из l ² сходится абсолютно (по норме), то сходится к элементу из l ² . Доказательство является базовым в математическом анализе и позволяет манипулировать математическими рядами элементов пространства с той же легкостью, что и рядами комплексных чисел (или векторами в конечномерном евклидовом пространстве).

История

Дэвид Хилберт

До разработки гильбертовых пространств математикам и физикам были известны и другие обобщения евклидовых пространств . В частности, идея абстрактного линейного пространства (векторного пространства) приобрела некоторую популярность к концу XIX века: это пространство, элементы которого можно складывать и умножать на скаляры (например, действительные или комплексные числа ) без обязательного отождествления этих элементов с «геометрическими» векторами , такими как векторы положения и импульса в физических системах. Другие объекты, изучаемые математиками на рубеже 20-го века, в частности пространства последовательностей (включая ряды ) и пространства функций, естественно можно рассматривать как линейные пространства. Функции, например, можно складывать или умножать на постоянные скаляры, и эти операции подчиняются алгебраическим законам, которым удовлетворяют сложение и скалярное умножение пространственных векторов.

В первом десятилетии 20-го века параллельные разработки привели к введению гильбертовых пространств. Первым из них было наблюдение, возникшее во время Дэвидом Гильбертом и Эрхардом Шмидтом исследования интегральных уравнений : что две , суммируемые с квадратом, вещественные функции f и g на интервале [ a , b ] имеют скалярный продукт

$\langle f,g\rangle =\int _{a}^{b}f(x)g(x)\,\mathrm {d} x$

которое обладает многими знакомыми свойствами евклидова скалярного произведения. В частности, имеет смысл идея ортогонального семейства функций. Шмидт использовал сходство этого скалярного произведения с обычным скалярным произведением, чтобы доказать аналог спектрального разложения для оператора вида

$f(x)\mapsto \int _{a}^{b}K(x,y)f(y)\,\mathrm {d} y$

где K — непрерывная функция, симметричная по x и y . Полученное разложение по собственным функциям выражает функцию K в виде ряда вида

$K(x,y)=\sum _{n}\lambda _{n}\varphi _{n}(x)\varphi _{n}(y)$

где функции φ _n ортогональны в том смысле, что ⟨ φ _n , φ _m ⟩ = 0 для всех n ≠ m . Отдельные термины в этой серии иногда называют элементарными решениями продукта. Однако существуют разложения по собственным функциям, которые не могут сходиться в подходящем смысле к функции, интегрируемой с квадратом: недостающим ингредиентом, обеспечивающим сходимость, является полнота.

Вторым развитием стал интеграл Лебега , альтернатива интегралу Римана, введенному Анри Лебегом в 1904 году. Интеграл Лебега позволил интегрировать гораздо более широкий класс функций. В 1907 году Фридьес Рис и Эрнст Сигизмунд Фишер независимо друг от друга доказали, что пространство L ² функций, интегрируемых с квадратом по Лебегу, является полным метрическим пространством . В результате взаимодействия между геометрией и полнотой, результаты XIX века Жозефа Фурье , Фридриха Бесселя и Марка-Антуана Парсеваля о тригонометрических рядах легко переносились на эти более общие пространства, в результате чего появился геометрический и аналитический аппарат, который теперь обычно известен как Теорема Рисса–Фишера .

Дальнейшие основные результаты были доказаны в начале 20 века. Например, теорема о представлении Рисса была независимо установлена ​​Морисом Фреше и Фриджесом Риссом в 1907 году. Джон фон Нейман ввёл термин «абстрактное гильбертово пространство» в своей работе о неограниченных эрмитовых операторах . Хотя другие математики, такие как Герман Вейль и Норберт Винер, уже очень подробно изучали отдельные гильбертовы пространства, часто с физически мотивированной точки зрения, фон Нейман дал первое их полное и аксиоматическое рассмотрение. Фон Нейман позже использовал их в своей плодотворной работе по основам квантовой механики. и в его постоянной работе с Юджином Вигнером . Название «гильбертово пространство» вскоре было принято другими, например, Германом Вейлем в его книге по квантовой механике и теории групп.

Значимость концепции гильбертова пространства была подчеркнута осознанием того, что она предлагает одну из лучших математических формулировок квантовой механики . Короче говоря, состояния квантово-механической системы являются векторами в определенном гильбертовом пространстве, наблюдаемые — эрмитовыми операторами в этом пространстве, симметрии системы — унитарными операторами , а измерения — ортогональными проекциями . механическими симметриями и унитарными операторами дала толчок развитию теории унитарного представления групп Связь между квантово - , начатой ​​в 1928 году работой Германа Вейля. С другой стороны, в начале 1930-х годов стало ясно, что классическую механику можно описать в терминах гильбертова пространства ( классическая механика Купмана – фон Неймана ) и что некоторые свойства классических динамических систем можно анализировать с использованием методов гильбертового пространства в рамках эргодическая теория .

Алгебра наблюдаемых в квантовой механике, естественно, является алгеброй операторов, определенных в гильбертовом пространстве, согласно Вернера Гейзенберга . матричной формулировке квантовой теории Фон Нейман начал исследовать операторные алгебры в 1930-х годах как кольца операторов в гильбертовом пространстве. Вид алгебр, изучаемых фон Нейманом и его современниками, теперь известен как алгебры фон Неймана . В 1940-х годах Исраэль Гельфанд , Марк Наймарк и Ирвинг Сигал дали определение своего рода операторных алгебр, называемых C*-алгебрами , которые, с одной стороны, не ссылались на лежащее в их основе гильбертово пространство, а с другой, экстраполировали многие полезные свойства. ранее изученных операторных алгебр. Спектральная теорема для самосопряженных операторов, лежащая в основе большей части существующей теории гильбертового пространства, была обобщена на С*-алгебры. Эти методы сейчас являются базовыми в абстрактном гармоническом анализе и теории представлений.

Примеры

Пространства Лебега

Основной предмет: Л ^п космос

Пространства Лебега — это функциональные пространства ассоциированные с пространствами с мерой ( X , M , µ ) , где X — множество, M — σ-алгебра подмножеств X , а µ — счётно-аддитивная мера на M. , Пусть L ² ( X , µ ) — пространство тех комплекснозначных измеримых функций на X , для которых интеграл Лебега от квадрата модуля функции конечен, т. е. для функции f из L ² ( Х , м ) ,

$$\int _{X}|f|^{2}\mathrm {d} \mu <\infty \,,$$

и где функции идентифицируются тогда и только тогда, когда они различаются только на множестве нулевой меры .

Скалярное произведение функций f и g в L ² ( X , µ ) тогда определяется как

$$\langle f,g\rangle =\int _{X}f(t){\overline {g(t)}}\,\mathrm {d} \mu (t)$$

или

$$\langle f,g\rangle =\int _{X}{\overline {f(t)}}g(t)\,\mathrm {d} \mu (t)\,,$$

где вторая форма (сопряжение первого элемента) обычно встречается в литературе по теоретической физике . Для f и g в L ² , интеграл существует благодаря неравенству Коши – Шварца и определяет скалярный продукт в пространстве. Оснащенный этим внутренним продуктом, L ² фактически является полным. Интеграл Лебега необходим для обеспечения полноты: например, в областях действительных чисел недостаточно функций, интегрируемых по Риману .

Пространства Лебега встречаются во многих природных условиях. Пространства L ² ( р ) и л ² ([0,1]) функций, интегрируемых с квадратом относительно меры Лебега на вещественной прямой и единичном интервале соответственно, являются естественными областями, на которых можно определить преобразование Фурье и ряд Фурье. В других ситуациях мера может быть чем-то иным, чем обычная мера Лебега на действительной прямой. Например, если w — любая положительная измеримая функция, пространство всех измеримых функций f на интервале [0, 1] , удовлетворяющих

$$\int _{0}^{1}{\bigl |}f(t){\bigr |}^{2}w(t)\,\mathrm {d} t<\infty$$

называется взвешенным L ² пространство L ²
_w ([0, 1]) и w называется весовой функцией. Внутренний продукт определяется

$$\langle f,g\rangle =\int _{0}^{1}f(t){\overline {g(t)}}w(t)\,\mathrm {d} t\,.$$

Весовое пространство L ²
_w ([0, 1]) тождественно гильбертовому пространству L ² ([0, 1], µ ) , где мера µ измеримого по Лебегу множества A определяется формулой

$$\mu (A)=\int _{A}w(t)\,\mathrm {d} t\,.$$

Взвешенный L ² Подобные пространства часто используются для изучения ортогональных полиномов , поскольку разные семейства ортогональных полиномов ортогональны относительно разных весовых функций.

Sobolev spaces

Sobolev spaces , denoted by H ^с или Вт ^{с , 2} , являются гильбертовыми пространствами. Это особый вид функционального пространства , в котором дифференцирование может выполняться , но которое (в отличие от других банаховых пространств, таких как пространства Гёльдера ) поддерживает структуру внутреннего продукта. Поскольку дифференцирование разрешено, пространства Соболева являются удобным инструментом для теории уравнений в частных производных . Они также составляют основу теории прямых методов вариационного исчисления .

Для s — неотрицательное целое число и Ω ⊂ R ^н , пространство Соболева H ^с (Ω) содержит L ² функции, слабые производные которых порядка до s также являются L ² . Внутренний продукт в H ^с (Ом )

$$\langle f,g\rangle =\int _{\Omega }f(x){\bar {g}}(x)\,\mathrm {d} x+\int _{\Omega }Df(x)\cdot D{\bar {g}}(x)\,\mathrm {d} x+\cdots +\int _{\Omega }D^{s}f(x)\cdot D^{s}{\bar {g}}(x)\,\mathrm {d} x$$

где точка указывает скалярное произведение в евклидовом пространстве частных производных каждого порядка. Пространства Соболева также можно определить, когда s не является целым числом.

Пространства Соболева изучаются также с точки зрения спектральной теории, более конкретно опираясь на структуру гильбертова пространства. Если Ω — подходящая область, то можно определить пространство Соболева H ^с (Ω) как пространство потенциалов Бесселя ; грубо,

$$H^{s}(\Omega )=\left\{(1-\Delta )^{-s/2}f\mathrel {\Big |} f\in L^{2}(\Omega )\right\}\,.$$

Здесь ∆ — лапласиан и (1 − ∆) ^{− с /2} понимается в терминах теоремы о спектральном отображении . Помимо предоставления работоспособного определения пространств Соболева для нецелых чисел , это определение также обладает особенно желательными свойствами при преобразовании Фурье , которые делают его идеальным для изучения псевдодифференциальных операторов . Используя эти методы на компактном римановом многообразии , можно получить, например, разложение Ходжа , которое является основой теории Ходжа .

Пространства голоморфных функций

Харди-пространства

Пространства Харди — это функциональные пространства, возникающие в комплексном анализе и гармоническом анализе , элементами которого являются некоторые голоморфные функции в комплексной области. Обозначим через U единичный круг на комплексной плоскости. Тогда пространство Харди H ² ( U ) определяется как пространство голоморфных функций f на U таких, что средства

$$M_{r}(f)={\frac {1}{2\pi }}\int _{0}^{2\pi }\left|f{\bigl (}re^{i\theta }{\bigr )}\right|^{2}\,\mathrm {d} \theta$$

остаются ограниченными при r < 1 . Норма в этом пространстве Харди определяется формулой

$$\left\|f\right\|_{2}=\lim _{r\to 1}{\sqrt {M_{r}(f)}}\,.$$

Пространства Харди в диске относятся к рядам Фурье. Функция f находится в H ² ( U ) тогда и только тогда, когда

$$f(z)=\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}z^{n}$$

где

$$\sum _{n=0}^{\infty }|a_{n}|^{2}<\infty \,.$$

Таким образом, Х ² ( U ) состоит из тех функций, которые являются L ² на круге, и отрицательные частотные коэффициенты Фурье которого равны нулю.

Пространства Бергмана

Пространства Бергмана — это еще одно семейство гильбертовых пространств голоморфных функций. Пусть D — ограниченное открытое множество на комплексной плоскости (или многомерном комплексном пространстве) и пусть L ^{2, ч} ( D ) — пространство голоморфных функций f в D , которые также находятся в L ² ( D ) в том смысле, что

$$\|f\|^{2}=\int _{D}|f(z)|^{2}\,\mathrm {d} \mu (z)<\infty \,,$$

где интеграл берется по мере Лебега в D . Очевидно, Л ^{2, ч} ( D ) — подпространство L ² ( Д ) ; на самом деле это замкнутое подпространство и, следовательно, само по себе гильбертово пространство. Это является следствием оценки, справедливой на компактных подмножествах K в D , что

$$\sup _{z\in K}\left|f(z)\right|\leq C_{K}\left\|f\right\|_{2}\,,$$

что, в свою очередь, следует из интегральной формулы Коши . Таким образом, сходимость последовательности голоморфных функций в L ² ( D ) также подразумевает компактную сходимость , поэтому предельная функция также голоморфна. Другим следствием этого неравенства является то, что линейный функционал, вычисляющий функцию f в точке D , на самом деле непрерывен на L. ^{2, ч} ( Д ) . Теорема о представлении Рисса подразумевает, что функционал оценки может быть представлен как элемент L ^{2, ч} ( Д ) . Таким образом, для каждого z ∈ D существует функция η _z ∈ L ^{2, ч} ( D ) такой, что

$$f(z)=\int _{D}f(\zeta ){\overline {\eta _{z}(\zeta )}}\,\mathrm {d} \mu (\zeta )$$

для всех f ∈ L ^{2, ч} ( Д ) . Подынтегральная функция

$$K(\zeta ,z)={\overline {\eta _{z}(\zeta )}}$$

известно как ​​Бергмана ядро D . Это интегральное ядро ​​обладает воспроизводящим свойством

$$f(z)=\int _{D}f(\zeta )K(\zeta ,z)\,\mathrm {d} \mu (\zeta )\,.$$

Пространство Бергмана является примером воспроизводящего ядра гильбертова пространства , которое представляет собой гильбертово пространство функций вместе с ядром K ( ζ , z ) , которое проверяет воспроизводящее свойство, аналогичное этому. Пространство Харди H ² ( D ) также допускает воспроизводящее ядро, известное как ядро ​​Сегё . Воспроизводящие ядра распространены и в других областях математики. Например, в гармоническом анализе является ядро ​​Пуассона воспроизводящим ядром для гильбертова пространства интегрируемых с квадратом гармонических функций в единичном шаре . То, что последнее вообще является гильбертовым пространством, является следствием теоремы о среднем значении для гармонических функций.

Приложения

Во многих приложениях гильбертовых пространств используется тот факт, что гильбертовы пространства поддерживают обобщения простых геометрических концепций, таких как проекция и замена базиса, из их обычной конечномерной ситуации. В частности, спектральная теория непрерывных в самосопряженных линейных операторов гильбертовом пространстве обобщает обычное спектральное разложение матрицы . , и это часто играет важную роль в приложениях теории к другим областям математики и физики

Штурма

Основные статьи: теория Штурма – Лиувилля и спектральная теория обыкновенных дифференциальных уравнений.

Обертоны . вибрирующей струны Это собственные функции ассоциированной задачи Штурма – Лиувилля. Собственные значения 1, 1 / 2 , 1/3 , ... образуют ( музыкальный ) гармонический ряд .

В теории обыкновенных дифференциальных уравнений для изучения поведения собственных значений и собственных функций дифференциальных уравнений применяются спектральные методы на подходящем гильбертовом пространстве. Например, задача Штурма–Лиувилля возникает при исследовании гармоник волн в скрипичной струне или барабане и является центральной проблемой в обыкновенных дифференциальных уравнениях . Задача представляет собой дифференциальное уравнение вида

$$-{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}\left[p(x){\frac {\mathrm {d} y}{\mathrm {d} x}}\right]+q(x)y=\lambda w(x)y$$

для неизвестной функции y на интервале [ a , b ] , удовлетворяющей общим однородным граничным условиям Робина

$${\begin{cases}\alpha y(a)+\alpha 'y'(a)&=0\\\beta y(b)+\beta 'y'(b)&=0\,.\end{cases}}$$

Функции p , q и w заданы заранее, и задача состоит в том, чтобы найти функцию y и константы λ , для которых уравнение имеет решение. Проблема имеет решения только для определенных значений λ , называемых собственными значениями системы, и это является следствием спектральной теоремы для компактных операторов , примененной к интегральному оператору , определяемому функцией Грина для системы. Более того, еще одним следствием этого общего результата является то, что собственные значения λ системы можно расположить в возрастающей последовательности, стремящейся к бесконечности.

Уравнения в частных производных

Гильбертовые пространства представляют собой основной инструмент при изучении уравнений в частных производных . Для многих классов уравнений в частных производных, таких как линейные эллиптические уравнения , можно рассмотреть обобщенное решение (известное как слабое решение) путем расширения класса функций. Многие слабые формулировки включают класс функций Соболева , который является гильбертовым пространством. Подходящая слабая формулировка сводится к геометрической задаче, аналитической задаче нахождения решения или, что часто, что более важно, доказывания того, что решение существует и является единственным для заданных граничных данных. Для линейных эллиптических уравнений одним геометрическим результатом, обеспечивающим однозначную разрешимость большого класса задач, является теорема Лакса – Милгрэма . Эта стратегия составляет основу метода Галеркина ( метода конечных элементов ) для численного решения уравнений в частных производных.

Типичным примером является уравнение Пуассона −Δ u = g с граничными условиями Дирихле в ограниченной области Ω в R ² . Слабая формулировка состоит в нахождении функции u такой, что для всех непрерывно дифференцируемых функций v в Ω , исчезающих на границе:

$$\int _{\Omega }\nabla u\cdot \nabla v=\int _{\Omega }gv\,.$$

Это можно переписать в терминах гильбертова пространства H ¹
₀ (Ω), состоящая из функций u таких, что u вместе со своими слабыми частными производными интегрируемы с квадратом на Ω и обращаются в нуль на границе. Тогда вопрос сводится к нахождению u в этом пространстве такого, что для всех v в этом пространстве

$$a(u,v)=b(v)$$

где a — непрерывная билинейная форма , а b — непрерывный линейный функционал , определяемый соответственно формулой

$$a(u,v)=\int _{\Omega }\nabla u\cdot \nabla v,\quad b(v)=\int _{\Omega }gv\,.$$

Поскольку уравнение Пуассона эллиптическое , из неравенства Пуанкаре следует, что билинейная форма a является коэрцитивной . Тогда теорема Лакса – Милгрэма обеспечивает существование и единственность решений этого уравнения.

Гильбертовые пространства позволяют формулировать многие эллиптические уравнения в частных производных аналогичным образом, и теорема Лакса – Милгрэма становится тогда основным инструментом в их анализе. С соответствующими модификациями аналогичные методы можно применять к параболическим уравнениям в частных производных и некоторым гиперболическим уравнениям в частных производных .

Эргодическая теория

Путь бильярдного шара на стадионе Бунимовича описывается эргодической динамической системой .

Область эргодической теории — изучение долговременного поведения хаотических динамических систем . Типичным случаем поля, к которому применяется эргодическая теория, является термодинамика , в которой — хотя микроскопическое состояние системы чрезвычайно сложно (невозможно понять ансамбль отдельных столкновений между частицами материи) — среднее поведение в течение достаточно длительного времени временные интервалы являются управляемыми. Законы термодинамики являются утверждениями о таком среднем поведении. В частности, одна из формулировок нулевого закона термодинамики утверждает, что в течение достаточно длительного периода времени единственным функционально независимым измерением термодинамической системы, находящейся в равновесии, является ее полная энергия в форме температуры .

Эргодическая динамическая система — это такая система, для которой, кроме энергии, измеряемой гамильтонианом , нет других функционально независимых сохраняющихся величин в фазовом пространстве . Более подробно предположим, что энергия E фиксирована, и пусть Ω _E — подмножество фазового пространства, состоящее из всех состояний энергии E (энергетическая поверхность), и пусть T _t обозначает оператор эволюции в фазовом пространстве. Динамическая система является эргодической, если каждая инвариантная измеримая функция на Ω _E постоянна почти всюду . Инвариантная функция f — это такая функция, для которой

$$f(T_{t}w)=f(w)$$

для всех w на Ω _E и за все время t . Из теоремы Лиувилля следует, что на энергетической поверхности существует мера µ , инвариантная относительно перемещения времени . В результате сдвиг времени представляет собой унитарное преобразование гильбертова пространства L ² (Ω _E , µ ) , состоящая из интегрируемых с квадратом функций на энергетической поверхности Ω _E относительно скалярного произведения

$$\left\langle f,g\right\rangle _{L^{2}\left(\Omega _{E},\mu \right)}=\int _{E}f{\bar {g}}\,\mathrm {d} \mu \,.$$

Эргодическая теорема фон Неймана о среднем заявляет следующее:

• Если U _t — (сильно непрерывная) однопараметрическая полугруппа унитарных операторов в гильбертовом пространстве H , а P — ортогональный проектор на пространство общих неподвижных точек U _t , { x ∈ H | U _t x = x , ∀ t > 0} , тогда
  $$Px=\lim _{T\to \infty }{\frac {1}{T}}\int _{0}^{T}U_{t}x\,\mathrm {d} t\,.$$

Для эргодической системы фиксированный набор временной эволюции состоит только из постоянных функций, поэтому из эргодической теоремы следует следующее: для любой функции f ∈ L ² (Ом _Е , м ) ,

$${\underset {T\to \infty }{L^{2}-\lim }}{\frac {1}{T}}\int _{0}^{T}f(T_{t}w)\,\mathrm {d} t=\int _{\Omega _{E}}f(y)\,\mathrm {d} \mu (y)\,.$$

То есть среднее значение наблюдаемой f за долгое время равно ее математическому ожиданию по энергетической поверхности.

Анализ Фурье

Суперпозиция базисных функций синусоидальной волны (внизу) для формирования пилообразной волны (вверху)

Сферические гармоники , ортонормированный базис гильбертова пространства функций, интегрируемых с квадратом на сфере, показаны на графике в радиальном направлении.

Одной из основных целей анализа Фурье является разложение функции на (возможно, бесконечную) линейную комбинацию заданных базисных функций: соответствующий ряд Фурье . Классический ряд Фурье, связанный с функцией f , определенной на интервале [0, 1], представляет собой ряд вида

$$\sum _{n=-\infty }^{\infty }a_{n}e^{2\pi in\theta }$$

где

$$a_{n}=\int _{0}^{1}f(\theta )\;\!e^{-2\pi in\theta }\,\mathrm {d} \theta \,.$$

Пример сложения первых нескольких членов ряда Фурье для пилообразной функции показан на рисунке. Базисными функциями являются синусоидальные волны с длинами волн λ / n (для целого числа n ) короче длины волны λ самой пилообразной волны (за исключением n = 1 , основной волны).

Важная проблема в классических рядах Фурье заключается в том, в каком смысле ряд Фурье сходится, если вообще сходится, к функции f . Методы гильбертового пространства дают один из возможных ответов на этот вопрос. Функции e _{и n} ( θ ) = e ^{2р внутр.} образуют ортогональный базис гильбертова пространства L ² ([0, 1]) . Следовательно, любую интегрируемую с квадратом функцию можно выразить в виде ряда

$$f(\theta )=\sum _{n}a_{n}e_{n}(\theta )\,,\quad a_{n}=\langle f,e_{n}\rangle$$

и, кроме того, этот ряд сходится в смысле гильбертова пространства (т.е. в пространстве L ² иметь в виду ).

Проблему также можно изучать с абстрактной точки зрения: каждое гильбертово пространство имеет ортонормированный базис , и каждый элемент гильбертова пространства может быть записан уникальным образом как сумма кратных этих базисных элементов. Коэффициенты, возникающие на этих базисных элементах, иногда абстрактно называют коэффициентами Фурье элемента пространства. Абстракция особенно полезна, когда более естественно использовать разные базисные функции для такого пространства, как L ² ([0, 1]) . Во многих случаях желательно не разлагать функцию на тригонометрические функции, а, на ортогональные полиномы или вейвлеты : например, и в более высоких измерениях в сферические гармоники .

Например, если en _— любые ортонормированные базисные функции L ² [0, 1] , то заданная функция из L ² [0, 1] можно аппроксимировать как конечную линейную комбинацию

$$f(x)\approx f_{n}(x)=a_{1}e_{1}(x)+a_{2}e_{2}(x)+\cdots +a_{n}e_{n}(x)\,.$$

Коэффициенты { a _j } выбираются так, чтобы определить величину разницы ‖ f − f _n ‖ ² как можно меньше. Геометрически лучшим приближением является ортогональная проекция f { на подпространство, состоящее из всех линейных комбинаций e j _} , и его можно вычислить по формуле

$$a_{j}=\int _{0}^{1}{\overline {e_{j}(x)}}f(x)\,\mathrm {d} x\,.$$

Что эта формула минимизирует разницу ‖ f − f _n ‖ ² является следствием неравенства Бесселя и формулы Парсеваля .

В различных приложениях к физическим задачам функция может быть разложена на физически значимые собственные функции дифференциального оператора (обычно оператора Лапласа ): это формирует основу для спектрального исследования функций относительно спектра дифференциального оператора. Конкретное физическое приложение включает в себя задачу услышать форму барабана : учитывая основные виды вибрации, которые способен создавать пластик барабана, можно ли сделать вывод о форме самого барабана? Математическая формулировка этого вопроса включает в себя собственные значения Дирихле уравнения Лапласа на плоскости, которые представляют основные виды колебаний по прямой аналогии с целыми числами, которые представляют основные виды колебаний струны скрипки.

Спектральная теория также лежит в основе некоторых аспектов преобразования Фурье функции. В то время как анализ Фурье разлагает функцию, определенную на компактном множестве, в дискретный спектр лапласиана (который соответствует колебаниям скрипки или барабана), преобразование Фурье функции представляет собой разложение функции, определенной на всем евклидовом пространстве. на его компоненты в непрерывном спектре лапласиана. Преобразование Фурье также является геометрическим, в некотором смысле уточненным теоремой Планшереля , которая утверждает, что оно представляет собой изометрию одного гильбертова пространства («временная область») с другим («частотная область»). Это свойство изометрии преобразования Фурье является повторяющейся темой в абстрактном гармоническом анализе (поскольку оно отражает сохранение энергии для непрерывного преобразования Фурье), о чем свидетельствует, например, теорема Планшереля для сферических функций , встречающихся в некоммутативном гармоническом анализе .

Квантовая механика

Орбитали ​ электрона являются в водорода функциями собственными энергии . атоме

Основная статья: Измерения в квантовой механике

В математически строгой формулировке квантовой механики , разработанной Джоном фон Нейманом , возможные состояния (точнее, чистые состояния ) квантово-механической системы представлены единичными векторами (называемыми векторами состояний ), находящимися в комплексном сепарабельном гильбертовом пространстве, известном как пространство состояний , четко определенном с точностью до комплексного числа нормы 1. ( фазовый коэффициент ). Другими словами, возможные состояния — это точки проективизации гильбертова пространства, обычно называемого комплексным проективным пространством . Точная природа этого гильбертова пространства зависит от системы; например, состояния положения и импульса для одиночной нерелятивистской частицы со спином ноль представляют собой пространство всех интегрируемых с квадратом функций, а состояния для спина одного протона являются единичными элементами двумерного комплексного гильбертова пространства спиноров. . Каждая наблюдаемая представляется самосопряженным линейным оператором, действующим в пространстве состояний. Каждое собственное состояние наблюдаемой соответствует собственному вектору оператора, а связанное с ним собственное значение соответствует значению наблюдаемой в этом собственном состоянии.

Внутренний продукт между двумя векторами состояния представляет собой комплексное число, известное как амплитуда вероятности . Во время идеального измерения квантово-механической системы вероятность коллапса системы из заданного начального состояния в конкретное собственное состояние определяется квадратом абсолютного значения амплитуд вероятности между начальным и конечным состояниями. Возможными результатами измерения являются собственные значения оператора, что объясняет выбор самосопряженных операторов, поскольку все собственные значения должны быть действительными. Распределение вероятностей наблюдаемой в данном состоянии можно найти путем вычисления спектрального разложения соответствующего оператора.

Для общей системы состояния обычно не являются чистыми, а вместо этого представляются как статистические смеси чистых состояний или смешанных состояний, заданных матрицами плотности : самосопряженными операторами следа один в гильбертовом пространстве. Более того, для общих квантово-механических систем эффекты одного измерения могут влиять на другие части системы таким образом, который вместо этого описывается положительной мерой с операторным значением . Таким образом, структура как состояний, так и наблюдаемых в общей теории значительно сложнее, чем идеализация чистых состояний.

Теория вероятностей

В теории вероятностей гильбертовы пространства также имеют разнообразные приложения. Здесь фундаментальное гильбертово пространство — это пространство случайных величин в заданном вероятностном пространстве , имеющее класс $L^{2}$(конечные первый и второй моменты ). Распространенной операцией в статистике является центрирование случайной величины путем вычитания ее математического ожидания . Таким образом, если $X$ является случайной величиной, то $X-E(X)$это его центрирование. С точки зрения гильбертова пространства это ортогональная проекция $X$ на ядро ​​оператора ожидания, который является непрерывным линейным функционалом в гильбертовом пространстве (фактически, скалярным произведением с постоянной случайной величиной 1), и поэтому это ядро ​​является замкнутым подпространством.

Условное ожидание имеет естественную интерпретацию в гильбертовом пространстве. Предположим, что вероятностное пространство $(\Omega ,P,{\mathcal {B}})$ дано, где ${\mathcal {B}}$ является сигма-алгеброй на множестве $\Omega$, и $P$ является вероятностной мерой в пространстве меры $(\Omega ,{\mathcal {B}})$. Если ${\mathcal {F}}\leq {\mathcal {B}}$ является сигма-подалгеброй ${\mathcal {B}}$, то условное ожидание $E[X|{\mathcal {F}}]$ является ортогональной проекцией $X$ на подпространство $L^{2}(\Omega ,P)$ состоящий из ${\mathcal {F}}$-измеримые функции. Если случайная величина $X$ в $L^{2}(\Omega ,P)$ не зависит от сигма-алгебры ${\mathcal {F}}$ тогда условное ожидание $E(X|{\mathcal {F}})=E(X)$, т. е. его проекция на ${\mathcal {F}}$-измеримые функции постоянны. Эквивалентно, проекция его центрирования равна нулю.

В частности, если две случайные величины $X$ и $Y$ (в $L^{2}(\Omega ,P)$) независимы, то центрированные случайные величины $X-E(X)$ и $Y-E(Y)$ортогональны. (Это означает, что две переменные имеют нулевую ковариацию : они некоррелированы .) В этом случае теорема Пифагора в ядре оператора ожидания подразумевает, дисперсии что $X$ и $Y$ удовлетворить личность:

$$\operatorname {Var} (X+Y)=\operatorname {Var} (X)+\operatorname {Var} (Y),$$

Иногда ее называют статистической теоремой Пифагора, и она имеет важное значение в линейной регрессии . Как Стэплтон (1995) выразился , « дисперсионный анализ можно рассматривать как разложение квадрата длины вектора в сумму квадратов длин нескольких векторов с использованием теоремы Пифагора».

Теорию мартингалов можно сформулировать в гильбертовых пространствах. Мартингал в гильбертовом пространстве — это последовательность $x_{1},x_{2},\dots$ элементов гильбертова пространства таких, что для n каждого $x_{n}$ является ортогональной проекцией $x_{n+1}$ на линейную оболочку $x_{1},\dots ,x_{n}$. Если $x_{k}$ являются случайными величинами, это воспроизводит обычное определение (дискретного) мартингала: ожидание $x_{n+1}$, обусловленный $x_{1},\dots ,x_{n}$, равно $x_{n}$.

Гильбертовы пространства также используются в основах исчисления Ито . Любому квадратично интегрируемому мартингалу можно сопоставить гильбертову норму в пространстве классов эквивалентности прогрессивно измеримых процессов относительно мартингала (используя в качестве меры квадратичную вариацию мартингала). можно Интеграл Ито построить, сначала определив его для простых процессов , а затем используя их плотность в гильбертовом пространстве. Примечательным результатом является изометрия Ито , которая свидетельствует, что для любого мартингала M , имеющего квадратичную меру вариации $d\langle M\rangle _{t}$и любой прогрессивно измеримый процесс H :

$$E\left[\left(\int _{0}^{t}H_{s}dM_{s}\right)^{2}\right]=E\left[\int _{0}^{t}H_{s}^{2}d\langle M\rangle _{s}\right]$$

всякий раз, когда математическое ожидание в правой части конечно.

Более глубокое применение гильбертовых пространств, которое особенно важно в теории гауссовских процессов , — это попытка Леонарда Гросса и других понять смысл некоторых формальных интегралов по бесконечномерным пространствам, таких как интеграл по путям Фейнмана из квантовой теории поля . Проблема с подобным интегралом заключается в том, что не существует бесконечномерной меры Лебега . Понятие абстрактного пространства Винера позволяет построить меру на банаховом пространстве B , которое содержит гильбертово пространство H , называемое пространством Кэмерона-Мартина , как плотное подмножество, из конечно-аддитивной меры цилиндрического множества H. на Результирующая мера на B является счетно-аддитивной и инвариантной относительно переноса элементами H , и это обеспечивает математически строгий способ мышления о мере Винера как гауссовской мере в пространстве Соболева. $H^{1}([0,\infty ))$.

Восприятие цвета

Основная статья: Цветовое зрение § Математика восприятия цвета

Любой истинный физический цвет может быть представлен комбинацией чистых спектральных цветов . Поскольку физические цвета могут состоять из любого количества спектральных цветов, пространство физических цветов может быть удобно представлено гильбертовым пространством спектральных цветов. У людей есть три типа колбочек для восприятия цвета, поэтому воспринимаемые цвета могут быть представлены трехмерным евклидовым пространством. Линейное отображение «многие к одному» из гильбертова пространства физических цветов в евклидово пространство воспринимаемых человеком цветов объясняет, почему многие различные физические цвета могут восприниматься людьми как идентичные (например, чистый желтый свет по сравнению со смесью красного и зеленого цветов). свет, см. метамерия ).

Свойства

Пифагорейская идентичность

Два вектора u и v в гильбертовом пространстве H ортогональны, когда ⟨ u , v ⟩ = 0 . Обозначение для этого: u ⊥ v . В более общем смысле, когда S является подмножеством в H , обозначение u ⊥ S означает, что u ортогонален каждому элементу S. из

Когда u и v ортогональны, имеем

$$\|u+v\|^{2}=\langle u+v,u+v\rangle =\langle u,u\rangle +2\,\operatorname {Re} \langle u,v\rangle +\langle v,v\rangle =\|u\|^{2}+\|v\|^{2}\,.$$

Индукцией по n это распространяется на любое семейство u ₁ , ..., un _из ортогональных n векторов,

$$\left\|u_{1}+\cdots +u_{n}\right\|^{2}=\left\|u_{1}\right\|^{2}+\cdots +\left\|u_{n}\right\|^{2}.$$

Хотя заявленное тождество Пифагора справедливо в любом пространстве внутреннего продукта, полнота необходима для расширения тождества Пифагора на серии. Ряд Σ uk _{тогда и только тогда ,} ортогональных когда векторов сходится в H сходится ряд квадратов норм и

$${\Biggl \|}\sum _{k=0}^{\infty }u_{k}{\Biggr \|}^{2}=\sum _{k=0}^{\infty }\left\|u_{k}\right\|^{2}\,.$$

Более того, сумма ряда ортогональных векторов не зависит от порядка ее взятия.

и

Геометрически тождество параллелограмма утверждает, что AC ² + ДР ² = 2(АВ ² + AD ² ) . Другими словами, сумма квадратов диагоналей в два раза больше суммы квадратов любых двух соседних сторон.

По определению, каждое гильбертово пространство также является банаховым пространством . Более того, в каждом гильбертовом пространстве имеет место следующее тождество параллелограмма :

$$\|u+v\|^{2}+\|u-v\|^{2}=2{\bigl (}\|u\|^{2}+\|v\|^{2}{\bigr )}\,.$$

И наоборот, каждое банахово пространство, в котором выполняется тождество параллелограмма, является гильбертовым пространством, а скалярное произведение однозначно определяется нормой с помощью поляризационного тождества . Для реальных гильбертовых пространств поляризационное тождество имеет вид

$$\langle u,v\rangle ={\tfrac {1}{4}}{\bigl (}\|u+v\|^{2}-\|u-v\|^{2}{\bigr )}\,.$$

Для комплексных гильбертовых пространств это

$$\langle u,v\rangle ={\tfrac {1}{4}}{\bigl (}\|u+v\|^{2}-\|u-v\|^{2}+i\|u+iv\|^{2}-i\|u-iv\|^{2}{\bigr )}\,.$$

Из закона параллелограмма следует, что любое гильбертово пространство является равномерно выпуклым банаховым пространством .

Наилучшее приближение

В этом подразделе используется теорема о проекции Гильберта . Если C — непустое замкнутое выпуклое подмножество гильбертова пространства H и x — точка в H , существует единственная точка y ∈ C , которая минимизирует расстояние между x и точками в C ,

$$y\in C\,,\quad \|x-y\|=\operatorname {dist} (x,C)=\min {\bigl \{}\|x-z\|\mathrel {\big |} z\in C{\bigr \}}\,.$$

Это эквивалентно утверждению, что в сдвинутом выпуклом множестве D = C − x существует точка с минимальной нормой . Доказательство состоит в том, чтобы показать, что каждая минимизирующая последовательность ( d _n ) ⊂ D является Коши (с использованием тождества параллелограмма), следовательно, сходится (с использованием полноты) к точке в D , которая имеет минимальную норму. В более общем смысле это справедливо в любом равномерно выпуклом банаховом пространстве.

Когда этот результат применяется к замкнутому подпространству F в H , можно показать, что точка y ∈ F , ближайшая к x , характеризуется

$$y\in F\,,\quad x-y\perp F\,.$$

Эта точка y является ортогональной проекцией x → на F , а отображение P _F : x Ортогональные y линейно (см. дополнения и проекции ). Этот результат особенно важен в прикладной математике , особенно в численном анализе , где он лежит в основе методов наименьших квадратов .

В частности, когда F не равно H , можно найти ненулевой вектор v, ортогональный F (выберите x ∉ F и v = x − y ). Очень полезный критерий получается применением этого наблюдения к замкнутому подпространству F порожденному подмножеством S из H. ,

Подмножество S в H охватывает плотное векторное подпространство тогда и только тогда, когда вектор 0 является единственным вектором v ∈ H , ортогональным S .

Двойственность

Двойственное пространство H * — это пространство всех непрерывных линейных функций из пространства H в основное поле. Оно несет в себе естественную норму, определенную

$$\|\varphi \|=\sup _{\|x\|=1,x\in H}|\varphi (x)|\,.$$

Эта норма удовлетворяет закону параллелограмма , и поэтому двойственное пространство также является пространством внутреннего продукта, где этот внутренний продукт может быть определен в терминах этой двойственной нормы с использованием тождества поляризации . Двойственное пространство также является полным, поэтому оно само по себе является гильбертовым пространством. Если e _• = ( e _i ) _{i ∈ I} — полный ортонормированный базис для H, то скалярное произведение в двойственном пространстве любых двух $f,g\in H^{*}$ является

$$\langle f,g\rangle _{H^{*}}=\sum _{i\in I}f(e_{i}){\overline {g(e_{i})}}$$

где все члены этого ряда, кроме счетного числа, равны нулю.

Теорема о представлении Рисса дает удобное описание двойственного пространства. Каждому элементу u из H существует уникальный элемент φ _u из H * , определяемый формулой

$$\varphi _{u}(x)=\langle x,u\rangle$$

где, кроме того, $\left\|\varphi _{u}\right\|=\left\|u\right\|.$

Теорема о представлении Рисса утверждает, что отображение H в H * , определяемое u ↦ φ _u, является сюръективным , что делает это отображение изометрическим антилинейным изоморфизмом. Таким образом, для каждого элемента φ двойственного H * существует один и только один u _φ в H такой, что

$$\langle x,u_{\varphi }\rangle =\varphi (x)$$

для x ∈ H. всех Внутренний продукт в двойственном пространстве H * удовлетворяет

$$\langle \varphi ,\psi \rangle =\langle u_{\psi },u_{\varphi }\rangle \,.$$

Изменение порядка в правой части восстанавливает линейность в φ из антилинейности u _φ . В реальном случае антилинейный изоморфизм H к его двойственному пространству на самом деле является изоморфизмом, и поэтому реальные гильбертовы пространства естественно изоморфны своим собственным двойственным пространствам.

Представляющий вектор u _φ получается следующим образом. Когда φ ≠ 0 , ядро ​​F = Ker( φ ) является замкнутым векторным подпространством H , не равным H , следовательно, существует ненулевой вектор v, ортогональный F . Вектор u является подходящим скалярным кратным λv вектора v . Требование, чтобы φ ( v ) = ⟨ v , u ⟩, дает

$$u=\langle v,v\rangle ^{-1}\,{\overline {\varphi (v)}}\,v\,.$$

Это соответствие φ ↔ u используется в обозначениях брекетов популярных в физике . В физике принято предполагать, что внутренний продукт, обозначаемый ⟨ x | y ⟩ , линейна справа,

$$\langle x|y\rangle =\langle y,x\rangle \,.$$

Результат ⟨ х | y ⟩ можно рассматривать как действие линейного функционала ⟨ x | ( бюстгальтер ) на векторе | y ⟩ ( кет ).

Теорема о представлении Рисса фундаментально опирается не только на наличие скалярного произведения, но и на полноту пространства. Фактически, из теоремы следует, что топологическое двойственное пространство любого внутреннего продукта может быть отождествлено с его пополнением. Непосредственным следствием теоремы о представлении Рисса также является то, что гильбертово пространство , а H рефлексивно это означает, что естественное отображение H в его двойное двойственное пространство является изоморфизмом.

Слабо сходящиеся последовательности

Основная статья: Слабая сходимость (гильбертово пространство)

В гильбертовом пространстве H последовательность { x _n } к слабо сходится вектору x ∈ H , когда

$$\lim _{n}\langle x_{n},v\rangle =\langle x,v\rangle$$

для v ∈ H. каждого

Например, любая ортонормированная последовательность { f _n } слабо сходится к 0, как следствие неравенства Бесселя . последовательность { xn _} Любая слабо сходящаяся ограничена принципом равномерной ограниченности .

Обратно, каждая ограниченная последовательность в гильбертовом пространстве допускает слабо сходящиеся подпоследовательности ( теорема Алаоглу ). Этот факт можно использовать для доказательства результатов минимизации для непрерывных выпуклых функционалов , точно так же, как теорема Больцано–Вейерштрасса используется для непрерывных функций на R. ^д . Среди нескольких вариантов есть одно простое утверждение:

Если f : H → R — выпуклая непрерывная функция такая, что f ( x ) стремится к +∞, когда ‖ x ‖ стремится к ∞ , то f допускает минимум в некоторой точке x ₀ ∈ H .

Этот факт (и различные его обобщения) имеют основополагающее значение для прямых методов исчисления вариационного . Результаты минимизации выпуклых функционалов также являются прямым следствием несколько более абстрактного факта, что замкнутые ограниченные выпуклые подмножества в гильбертовом пространстве H , слабо компактны поскольку H рефлексивно. Существование слабо сходящихся подпоследовательностей является частным случаем теоремы Эберлейна–Шмулиана .

Свойства банахового пространства

Любое общее свойство банаховых пространств продолжает сохраняться и для гильбертовых пространств. Теорема об открытом отображении утверждает, что непрерывное сюръективное линейное преобразование одного банахова пространства в другое является открытым отображением, что означает, что оно отправляет открытые множества в открытые множества. Следствием является ограниченная обратная теорема о том, что непрерывная и биективная линейная функция из одного банахова пространства в другое является изоморфизмом (то есть непрерывным линейным отображением, обратное для которого также непрерывно). Эту теорему значительно проще доказать в случае гильбертовых пространств, чем в общих банаховых пространствах. Теорема об открытом отображении эквивалентна теореме о замкнутом графике , которая утверждает, что линейная функция из одного банахова пространства в другое непрерывна тогда и только тогда, когда ее график является замкнутым множеством . В случае гильбертовых пространств это является основным при изучении неограниченных операторов (см. закрытый оператор ).

(Геометрическая) теорема Хана – Банаха утверждает, что замкнутое выпуклое множество можно отделить от любой точки вне его с помощью гиперплоскости гильбертова пространства. Это непосредственное следствие свойства наилучшего приближения : если y — элемент замкнутого выпуклого множества F, ближайший к x , то разделяющая гиперплоскость — это плоскость, перпендикулярная отрезку xy , проходящая через его середину.

Операторы в гильбертовых пространствах

Ограниченные операторы

Непрерывные ограниченные линейные операторы A : H ₁ → H ₂ из гильбертова пространства H ₁ во второе гильбертово пространство H ₂ ограничены множества в том смысле, что они отображают в ограниченные множества. И наоборот, если оператор ограничен, то он непрерывен. Пространство таких ограниченных линейных операторов имеет норму , норму оператора , заданную формулой

$$\lVert A\rVert =\sup {\bigl \{}\|Ax\|\mathrel {\big |} \|x\|\leq 1{\bigr \}}\,.$$

Сумма и композиция двух ограниченных линейных операторов снова ограничены и линейны. Для y в H ₂ отображение, которое переводит x ∈ H ₁ в ⟨ Ax , y ⟩, является линейным и непрерывным, и поэтому согласно теореме о представлении Рисса может быть представлено в виде

$$\left\langle x,A^{*}y\right\rangle =\langle Ax,y\rangle$$

для некоторого вектора A * y в H ₁ . линейный оператор A * H2 _{определяет другой ограниченный} → H1 _к , сопряженный A. : Это Сопряженный удовлетворяет условию A ** = A . Когда теорема о представлении Рисса используется для идентификации каждого гильбертова пространства с его непрерывным двойственным пространством, сопряженное к A можно показать, что идентично транспонированному . ^т A : H ₂ * → H ₁ * of A , что по определению отправляет $\psi \in H_{2}^{*}$ к функционалу $\psi \circ A\in H_{1}^{*}.$

Множество B( H ) всех ограниченных линейных операторов на H (имеются в виду операторы H → H ) вместе с операциями сложения и композиции, нормой и присоединенной операцией представляет собой C*-алгебру , которая является разновидностью операторной алгебры .

Элемент A из B( H ) называется «самосопряженным» или «эрмитовым», если * = A. A Если A эрмитово и ⟨ Ax , x ⟩ ≥ 0 для каждого x , то A называется «неотрицательным», пишется A ≥ 0 ; если равенство имеет место только при x = 0 , то A называется «положительным». Множество самосопряженных операторов допускает частичный порядок , в котором A ≥ B , если A − B ≥ 0 . Если A имеет форму B * B для некоторого B , то A неотрицательно; если B обратим, то A положителен. Обратное также верно в том смысле, что для неотрицательного оператора A существует единственный неотрицательный квадратный корень B такой, что

$$A=B^{2}=B^{*}B\,.$$

В смысле, уточненном спектральной теоремой , самосопряженные операторы можно с пользой рассматривать как «реальные» операторы. Элемент A из B( H ) называется нормальным , если A * A = AA * . Нормальные операторы распадаются на сумму самосопряженного оператора и мнимого кратного самосопряженного оператора.

$$A={\frac {A+A^{*}}{2}}+i{\frac {A-A^{*}}{2i}}$$

которые ездят друг с другом. Обычные операторы также можно с пользой рассматривать как их действительную и мнимую части.

Элемент U из B( H ) называется унитарным , если U обратим и его обратный равен U * . Это также можно выразить, потребовав, чтобы принадлежало и ⟨ Ux , Uy ⟩ = ⟨ x , y ⟩ для всех x , y ∈ H. U Унитарные операторы образуют группу по композиции, которая является изометрии группой H .

Элемент B( H ) компактен , если он переводит ограниченные множества в относительно компактные множества. Эквивалентно, ограниченный оператор T компактен, если для любой ограниченной последовательности { x _k } последовательность { Tx _k } имеет сходящуюся подпоследовательность. Многие интегральные операторы компактны и фактически определяют специальный класс операторов, известных как операторы Гильберта – Шмидта, которые особенно важны при изучении интегральных уравнений . Операторы Фредгольма отличаются от компактного оператора кратностью единицы и эквивалентно характеризуются как операторы с конечномерным ядром и коядром . Индекс фредгольмова оператора T определяется формулой

$$\operatorname {index} T=\dim \ker T-\dim \operatorname {coker} T\,.$$

Индекс гомотопически инвариантен и играет глубокую роль в дифференциальной геометрии посредством теоремы об индексе Атьи – Зингера .

Неограниченные операторы

Неограниченные операторы также применимы в гильбертовых пространствах и имеют важные приложения в квантовой механике . Неограниченный оператор T в гильбертовом пространстве H определяется как линейный оператор, область определения ( T ) которого является линейным подпространством H. D Часто область D ( T ) является плотным подпространством H , и в этом случае T известен как плотно определенный оператор .

Сопряженный к плотно определенному неограниченному оператору определяется по существу так же, как и для ограниченных операторов. Самосопряженные неограниченные операторы играют роль наблюдаемых в математической формулировке квантовой механики. Примеры самосопряженных неограниченных операторов в гильбертовом пространстве L ² ( Редкий : ​

• Подходящее расширение дифференциального оператора
  $$(Af)(x)=-i{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}f(x)\,,$$
  где i — мнимая единица, а f — дифференцируемая функция с компактным носителем.
• Оператор умножения на x :
  $$(Bf)(x)=xf(x)\,.$$

Они соответствуют наблюдаемым импульсу и положению соответственно. Ни A, ни B не определены на всем пространстве H , поскольку в случае A производная не обязательно должна существовать, а в случае B функция произведения не обязательно должна быть интегрируемой с квадратом. В обоих случаях множество возможных аргументов образуют плотные подпространства L ² ( Р ) .

Конструкции

Прямые суммы

Два гильбертовых пространства H ₁ и H ₂ можно объединить в другое гильбертово пространство, называемое (ортогональной) прямой суммой , и обозначил

$$H_{1}\oplus H_{2}\,,$$

состоящий из набора всех упорядоченных пар ( x ₁ , x ₂ ) , где x _i ∈ H _i , i = 1, 2 , и скалярного произведения, определяемого формулой

$${\bigl \langle }(x_{1},x_{2}),(y_{1},y_{2}){\bigr \rangle }_{H_{1}\oplus H_{2}}=\left\langle x_{1},y_{1}\right\rangle _{H_{1}}+\left\langle x_{2},y_{2}\right\rangle _{H_{2}}\,.$$

В более общем смысле, если H _i является семейством гильбертовых пространств, индексированных i ∈ I , то прямая сумма H _i , обозначаемая

$$\bigoplus _{i\in I}H_{i}$$

состоит из множества всех индексированных семейств

$$x=(x_{i}\in H_{i}\mid i\in I)\in \prod _{i\in I}H_{i}$$

в декартовом произведении H что _i такое,

$$\sum _{i\in I}\|x_{i}\|^{2}<\infty \,.$$

Внутренний продукт определяется

$$\langle x,y\rangle =\sum _{i\in I}\left\langle x_{i},y_{i}\right\rangle _{H_{i}}\,.$$

Каждое из H _i включено как замкнутое подпространство в прямую сумму всех H _i . Более того, H _i попарно ортогональны. существует система замкнутых подпространств Vi _, i ∈ , которые попарно ортогональны и объединение которых I в гильбертовом пространстве H плотно в H , то H канонически изоморфно прямой сумме Vi _. Обратно, если В этом случае H называется внутренней прямой суммой V _i . Прямая сумма (внутренняя или внешняя) также снабжена семейством ортогональных проекторов E _i на i-е прямое слагаемое H _i . Эти проекции представляют собой ограниченные самосопряженные идемпотентные операторы, удовлетворяющие условию ортогональности.

$$E_{i}E_{j}=0,\quad i\neq j\,.$$

Спектральная теорема для компактных самосопряженных операторов в гильбертовом пространстве H утверждает, что H распадается в ортогональную прямую сумму собственных пространств оператора, а также дает явное разложение оператора как сумму проекций на собственные пространства. Прямая сумма гильбертовых пространств также появляется в квантовой механике как пространство Фока системы, содержащей переменное число частиц, где каждое гильбертово пространство в прямой сумме соответствует дополнительной степени свободы квантовомеханической системы. В теории представлений теорема Питера -Вейля гарантирует, что любое унитарное представление в компактной группы гильбертовом пространстве распадается как прямая сумма конечномерных представлений.

Тензорные произведения

Основная статья: Тензорное произведение гильбертовых пространств

Если x ₁ , y ₁ ∊ H ₁ и x ₂ , y ₂ ∊ H ₂ , то скалярное произведение на (обычном) тензорном произведении определяется следующим образом. на простых тензорах Пусть

$$\langle x_{1}\otimes x_{2},\,y_{1}\otimes y_{2}\rangle =\langle x_{1},y_{1}\rangle \,\langle x_{2},y_{2}\rangle \,.$$

Затем эта формула расширяется по полуторалинейности до скалярного произведения на H ₁ ⊗ H ₂ . Гильбертово тензорное произведение H ₁ и H ₂ , иногда обозначаемое H ₁ ${\widehat {\otimes }}$ H ₂ , — гильбертово пространство, полученное путем дополнения H ₁ ⊗ H ₂ для метрики, связанной с этим скалярным произведением.

Примером может служить гильбертово пространство L ² ([0, 1]) . Гильбертово тензорное произведение двух копий L ² ([0, 1]) изометрически и линейно изоморфно пространству L ² ([0, 1] ² ) функций, интегрируемых с квадратом на квадрате [0, 1] ² . Этот изоморфизм переводит простой тензор f ₁ ⊗ f ₂ в функцию

$$(s,t)\mapsto f_{1}(s)\,f_{2}(t)$$

на площади.

Этот пример типичен в следующем смысле. Каждому простому тензорному произведению x ₁ ⊗ x ₂ соответствует оператор ранга один из H ^∗
₁ в H ₂ , который отображает заданный x * ∈ H ^∗
₁ как

$$x^{*}\mapsto x^{*}(x_{1})x_{2}\,.$$

Это отображение, определенное на простых тензорах, продолжается до линейного отождествления между H ₁ ⊗ H ₂ и пространством операторов конечного ранга из H ^∗
₁ до Н ₂ . Это распространяется на линейную изометрию гильбертова тензорного произведения H ₁ ${\widehat {\otimes }}$ H ₂ с гильбертовым пространством HS ( H ^∗
₁ , H ₂ ) операторов Гильберта–Шмидта из H ^∗
₁ до Н ₂ .

Ортонормированные базисы

Понятие ортонормированного базиса из линейной алгебры обобщается на случай гильбертовых пространств. В гильбертовом пространстве H ортонормированный базис — это семейство { e _k } _{k ∈ B} элементов H , удовлетворяющее условиям:

1. Ортогональность : каждые два разных элемента B ортогональны: ⟨ e _k , e _j ⟩ = 0 для всех k , j ∈ B , где k ≠ j .
2. Нормализация : Каждый элемент семейства имеет норму 1: ‖ e _k ‖ = 1 для всех k ∈ B .
3. Полнота : оболочка семейства ek _​ , k ∈ B , плотна в H. Линейная

Система векторов, удовлетворяющая первым двум условиям базиса, называется ортонормированной системой или ортонормированным множеством (или ортонормированной последовательностью, если счетно ) B . Такая система всегда линейно независима .

Несмотря на название, ортонормированный базис, вообще говоря, не является базисом в смысле линейной алгебры ( базисом Гамеля ). Точнее, ортонормированный базис является базисом Гамеля тогда и только тогда, когда гильбертово пространство является конечномерным векторным пространством.

Полноту ортонормированной системы векторов гильбертова пространства можно эквивалентно переформулировать как:

для каждого v ∈ H , если ⟨ v , e _k ⟩ = 0 для всех k ∈ B , то v = 0 .

Это связано с тем, что единственным вектором, ортогональным плотному линейному подпространству, является нулевой вектор, поскольку если S — любое ортонормированное множество, а v ортогонален S , то v ортогонален замыканию линейной оболочки S , которое это все пространство.

Примеры ортонормированных базисов включают:

• набор {(1, 0, 0), (0, 1, 0), (0, 0, 1)} образует ортонормированный базис R ³ со скалярным произведением ;
• последовательность { f _n | n ∈ Z } с f _n ( x ) = exp (2π inx ) образует ортонормированный базис комплексного пространства L ² ([0, 1]) ;

В бесконечномерном случае ортонормированный базис не будет базисом в смысле линейной алгебры ; чтобы различать эти два базиса, последний базис также называют базисом Гамеля . Плотность диапазона базисных векторов означает, что каждый вектор в пространстве можно записать как сумму бесконечного ряда, а из ортогональности следует, что это разложение уникально.

Пространства последовательности

Космос $\ell _{2}$ суммируемых с квадратом последовательностей комплексных чисел — это множество бесконечных последовательностей

$$(c_{1},c_{2},c_{3},\dots )$$

действительных или комплексных чисел таких, что

$$\left|c_{1}\right|^{2}+\left|c_{2}\right|^{2}+\left|c_{3}\right|^{2}+\cdots <\infty \,.$$

Это пространство имеет ортонормированный базис:

$${\begin{aligned}e_{1}&=(1,0,0,\dots )\\e_{2}&=(0,1,0,\dots )\\&\ \ \vdots \end{aligned}}$$

Это пространство является бесконечномерным обобщением $\ell _{2}^{n}$пространство конечномерных векторов. Обычно это первый пример, показывающий, что в бесконечномерных пространствах замкнутое и ограниченное множество не обязательно (секвенциально) компактно (как это имеет место во всех конечномерных пространствах). Действительно, приведенный выше набор ортонормированных векторов показывает следующее: это бесконечная последовательность векторов в единичном шаре (т. е. шаре точек с нормой, меньшей или равной единице). Это множество явно ограничено и замкнуто; однако ни одна подпоследовательность этих векторов ни к чему не сходится и, следовательно, единичный шар в $\ell _{2}$не компактен. Интуитивно это происходит потому, что «всегда существует другое направление координат», в которое могут уйти следующие элементы последовательности.

Можно обобщить пространство $\ell _{2}$во многих отношениях. Например, если B — любое множество, то можно сформировать гильбертово пространство последовательностей с набором индексов B , определяемым формулой

$$\ell ^{2}(B)={\biggl \{}x:B\xrightarrow {x} \mathbb {C} \mathrel {\bigg |} \sum _{b\in B}\left|x(b)\right|^{2}<\infty {\biggr \}}\,.$$

Суммирование по B здесь определяется формулой

$$\sum _{b\in B}\left|x(b)\right|^{2}=\sup \sum _{n=1}^{N}\left|x(b_{n})\right|^{2}$$

верхняя грань берется по всем конечным подмножествам B . Отсюда следует, что для того, чтобы эта сумма была конечной, каждый элемент l ² ( B ) имеет только счетное число ненулевых членов. Это пространство становится гильбертовым пространством со скалярным произведением

$$\langle x,y\rangle =\sum _{b\in B}x(b){\overline {y(b)}}$$

для всех x , y ∈ l ² ( Б ) . Здесь сумма также имеет только счетное число ненулевых членов и безоговорочно сходится по неравенству Коши – Шварца.

Ортонормированный базис l ² ( B ) индексируется набором B , заданным формулой

$$e_{b}(b')={\begin{cases}1&{\text{if }}b=b'\\0&{\text{otherwise.}}\end{cases}}$$

Неравенство Бесселя

Пусть f ₁ , …, f _n — конечная ортонормированная система в H . Для произвольного вектора x ∈ H пусть

$$y=\sum _{j=1}^{n}\langle x,f_{j}\rangle \,f_{j}\,.$$

Тогда ⟨ x , f _k ⟩ = ⟨ y , f _k ⟩ для каждого k = 1, …, n . Отсюда следует, что x − y ортогонален каждому f _k , следовательно, x − y ортогонален y . Дважды используя тождество Пифагора, следует, что

$$\|x\|^{2}=\|x-y\|^{2}+\|y\|^{2}\geq \|y\|^{2}=\sum _{j=1}^{n}{\bigl |}\langle x,f_{j}\rangle {\bigr |}^{2}\,.$$

Пусть { f _i }, i ∈ I , — произвольная ортонормированная система в H . Применение предыдущего неравенства к каждому конечному подмножеству J из I дает неравенство Бесселя:

$$\sum _{i\in I}{\bigl |}\langle x,f_{i}\rangle {\bigr |}^{2}\leq \|x\|^{2},\quad x\in H$$

(согласно определению суммы произвольного семейства неотрицательных действительных чисел).

Геометрически неравенство Бесселя означает, что ортогональная проекция x на линейное подпространство, натянутое на fi _, имеет норму, не превышающую норму x . В двух измерениях это утверждение, что длина катета прямоугольного треугольника не может превышать длину гипотенузы.

Неравенство Бесселя является ступенькой к более сильному результату, называемому тождеством Парсеваля , которое регулирует случай, когда неравенство Бесселя на самом деле является равенством. По определению, если { e _k } _{k ∈ B} является ортонормированным базисом H , то каждый элемент x из H можно записать как

$$x=\sum _{k\in B}\left\langle x,e_{k}\right\rangle \,e_{k}\,.$$

Даже если B несчетно, неравенство Бесселя гарантирует, что выражение корректно определено и состоит только из счетного числа ненулевых членов. Эта сумма называется разложением Фурье x , а отдельные коэффициенты ⟨ x , e _k ⟩ являются коэффициентами Фурье x . Затем личность Парсеваля утверждает, что

$$\|x\|^{2}=\sum _{k\in B}|\langle x,e_{k}\rangle |^{2}\,.$$

Наоборот, если { e _k } — ортонормированный набор такой, что тождество Парсеваля выполняется для каждого x , то { e _k } — ортонормированный базис.

Гильбертово измерение

Как следствие леммы Цорна , каждое гильбертово пространство допускает ортонормированный базис; более того, любые два ортонормированных базиса одного и того же пространства имеют одинаковую мощность , называемую гильбертовой размерностью пространства. Например, поскольку л ² ( B ) имеет ортонормированный базис, индексированный B , его гильбертова размерность равна мощности B (которая может быть конечным целым числом или счетным или несчетным кардинальным числом ).

Гильбертова размерность не больше размерности Гамеля (обычной размерности векторного пространства). Два измерения равны тогда и только одно из них конечно.

Как следствие личности Парсеваля, если { e _k } _{k ∈ B} — ортонормированный базис H , то отображение Φ : H → l ² ( B ), определенный формулой Φ( x ) = ⟨x, e _k ⟩ _{k ∈ B} , является изометрическим изоморфизмом гильбертовых пространств: это биективное линейное отображение такое, что

$${\bigl \langle }\Phi (x),\Phi (y){\bigr \rangle }_{l^{2}(B)}=\left\langle x,y\right\rangle _{H}$$

для x , y ∈ H. всех Кардинальное число B — гильбертова размерность H. это Таким образом, каждое гильбертово пространство изометрически изоморфно пространству последовательностей l ² ( B ) для некоторого B. множества

Разделяемые пробелы

По определению, гильбертово пространство является сепарабельным , если оно содержит плотное счетное подмножество. Вместе с леммой Цорна это означает, что гильбертово пространство сепарабельно тогда и только тогда, когда оно допускает счетный ортонормированный базис. Таким образом, все бесконечномерные сепарабельные гильбертовы пространства изометрически изоморфны пространству суммируемых с квадратом последовательностей. $\ell ^{2}.$

Раньше в рамках определения часто требовалось, чтобы гильбертово пространство было отделимым.

В квантовой теории поля

Большинство пространств, используемых в физике, являются сепарабельными, и, поскольку все они изоморфны друг другу, любое бесконечномерное сепарабельное гильбертово пространство часто называют « гильбертовым пространством» или просто «гильбертовым пространством». Даже в квантовой теории поля большинство гильбертовых пространств фактически сепарабельны, как это предусмотрено аксиомами Вайтмана . Однако иногда утверждают, что несепарабельные гильбертовы пространства также важны в квантовой теории поля, примерно потому, что системы в теории обладают бесконечным числом степеней свободы и любым бесконечным гильбертовым тензорным произведением (пространств размерности больше единицы) является неразделимым. Например, бозонное поле можно естественно рассматривать как элемент тензорного произведения, факторы которого представляют собой гармонические осцилляторы в каждой точке пространства. С этой точки зрения пространство естественных состояний бозона может показаться неразделимым. Однако это лишь небольшое сепарабельное подпространство полного тензорного произведения, которое может содержать физически значимые поля (на которых могут быть определены наблюдаемые). Другое несепарабельное гильбертово пространство моделирует состояние бесконечного набора частиц в неограниченной области пространства. Ортонормированный базис пространства индексируется плотностью частиц, непрерывным параметром, и поскольку множество возможных плотностей несчетно, базис не счетен.

и

Основная статья: Ортогональное дополнение

Если S является подмножеством гильбертова пространства H , набор векторов, ортогональных S , определяется выражением

$$S^{\perp }=\left\{x\in H\mid \langle x,s\rangle =0\ {\text{ for all }}s\in S\right\}\,.$$

Набор С ^⊥ является замкнутым подпространством H (это легко доказать, используя линейность и непрерывность скалярного произведения) и поэтому образует гильбертово пространство. Если V — замкнутое подпространство H , то V ^⊥ называется ортогональным дополнением к V . Фактически, тогда каждый x ∈ H можно однозначно записать как x = v + w , где v ∈ V и w ∈ V. ^⊥ . Следовательно, H — внутренняя прямая сумма Гильберта V и V ^⊥ .

Линейный оператор P _V : H → H , который отображает x в v, ортогональным проектором на V. называется Существует естественное взаимно однозначное соответствие между множеством всех замкнутых подпространств в H и множеством всех ограниченных самосопряженных операторов P таких, что P ² = П. ​ Конкретно,

Теорема . Ортогональный проектор P _V — это самосопряженный линейный оператор на H нормы ≤ 1 со свойством P ²
_В знак равно п _В . Более того, любой самосопряженный линейный оператор E такой, что E ² = E имеет форму P _V , где V — диапазон E . Для каждого x в H PV , _x ( ) является уникальным элементом v из V который минимизирует расстояние ‖ x − v ‖ .

геометрическую интерпретацию PV _x ( ) Это обеспечивает наилучшее приближение к x элементами V. : это

Проекции P _U и P _V называются взаимно ортогональными, если P _U P _V = 0 . Это эквивалентно тому, что U и V ортогональны как подпространства H . Сумма двух проекций PU _{ортогональны} и PV _V является проекцией только в том случае, если друг другу , и в PU _этом + PV _и = PU _{U + V.} случае Составной P _U P _V обычно не является проекцией; на самом деле, композиция является проекцией тогда и только тогда, когда две проекции коммутируют, и в этом случае P _U P _V = P _{U ∩ V} .

Ограничивая кодобласть гильбертовым пространством V ортогональная проекция PV _V приводит к отображению проекции π : H → , ; это сопряжение отображения включения

$$i:V\to H\,,$$

означающий, что

$$\left\langle ix,y\right\rangle _{H}=\left\langle x,\pi y\right\rangle _{V}$$

для x ∈ V и y ∈ H. всех

Операторная норма ортогональной проекции P _V на ненулевое замкнутое подпространство V равна 1:

$$\|P_{V}\|=\sup _{x\in H,x\neq 0}{\frac {\|P_{V}x\|}{\|x\|}}=1\,.$$

Поэтому каждое замкнутое подпространство V гильбертова пространства является образом оператора P нормы один такого, что P ² = П. ​ Свойство наличия соответствующих операторов проектирования характеризует гильбертово пространство:

• Банахово пространство размерности выше 2 является (изометрически) гильбертовым пространством тогда и только тогда, когда для каждого замкнутого подпространства V существует оператор P _V нормы один, образ которого равен V , такой, что P ²
  _В знак равно п _В .

Хотя этот результат характеризует метрическую структуру гильбертова пространства, сама структура гильбертова пространства как топологического векторного пространства может быть охарактеризована с точки зрения наличия дополнительных подпространств:

• Банахово пространство X топологически и линейно изоморфно гильбертовому пространству тогда и только тогда, когда для каждого замкнутого подпространства V существует замкнутое подпространство W такое, что X равно внутренней прямой сумме V ⊕ W .

Ортогональное дополнение удовлетворяет еще нескольким элементарным результатам. Это монотонная функция в том смысле, что если U ⊂ V , то V ^⊥ ⊆ У ^⊥ с равенством тогда и только тогда, когда содержится в замыкании U V . Этот результат является частным случаем теоремы Хана–Банаха . Замыкание подпространства можно полностью охарактеризовать в терминах ортогонального дополнения: если V — подпространство H , то замыкание V равно V ^⊥⊥ . Таким образом, ортогональное дополнение является связностью Галуа в частичном порядке подпространств гильбертова пространства. В общем, ортогональное дополнение суммы подпространств - это пересечение ортогональных дополнений:

$${\biggl (}\sum _{i}V_{i}{\biggr )}^{\perp }=\bigcap _{i}V_{i}^{\perp }\,.$$

Если V _i дополнительно замкнуты, то

$${\overline {\sum _{i}V_{i}^{\perp }{\vphantom {\Big |}}}}={\biggl (}\bigcap _{i}V_{i}{\biggr )}^{\perp }\,.$$

Спектральная теория

Существует хорошо разработанная спектральная теория самосопряженных операторов в гильбертовом пространстве, которая примерно аналогична изучению симметричных матриц над действительными числами или самосопряженных матриц над комплексными числами. В том же смысле можно получить «диагонализацию» самосопряженного оператора как подходящую сумму (фактически интеграл) ортогональных операторов проектирования.

Спектр оператора T , обозначаемый σ ( T ) , представляет собой набор комплексных чисел λ таких, что T − λ не имеет непрерывного обратного. Если T ограничено, то спектр всегда представляет собой компакт в комплексной плоскости и лежит внутри круга | г | ≤ ‖ Т ‖ . Если T самосопряженный, то спектр вещественный. Фактически он содержится в интервале [ m , M ] , где

$$m=\inf _{\|x\|=1}\langle Tx,x\rangle \,,\quad M=\sup _{\|x\|=1}\langle Tx,x\rangle \,.$$

Более того, m и M фактически содержатся в спектре.

Собственные пространства оператора T задаются формулой

$$H_{\lambda }=\ker(T-\lambda )\,.$$

В отличие от конечных матриц, не каждый элемент спектра T должен быть собственным значением: у линейного оператора T − λ может отсутствовать только обратный, поскольку он не является сюръективным. Элементы спектра оператора в общем смысле называются спектральными значениями . Поскольку спектральные значения не обязательно должны быть собственными значениями, спектральное разложение часто бывает более тонким, чем в конечных измерениях.

Однако спектральная теорема о самосопряженном операторе Т принимает особенно простой вид, если, кроме того, предположить, что Т — компактный оператор . Спектральная теорема для компактных самосопряженных операторов гласит:

• Компактный самосопряженный оператор T имеет лишь счетное (или конечное) число спектральных значений. Спектр T не имеет предельной точки в комплексной плоскости, кроме, возможно, нуля. Собственные пространства T разлагают H в ортогональную прямую сумму:
  $$H=\bigoplus _{\lambda \in \sigma (T)}H_{\lambda }\,.$$
  Более того, если E _λ обозначает ортогональный проектор на собственное пространство H _λ , то
  $$T=\sum _{\lambda \in \sigma (T)}\lambda E_{\lambda }\,,$$
  где сумма сходится по норме на B( H ) .

Эта теорема играет фундаментальную роль в теории интегральных уравнений , так как многие интегральные операторы компактны, в частности те, которые возникают из операторов Гильберта–Шмидта .

Общая спектральная теорема для самосопряженных операторов включает в себя своего рода операторнозначный интеграл Римана – Стилтьеса , а не бесконечное суммирование. Спектральное семейство , связанное с T, сопоставляет каждому действительному числу λ оператор E _λ , который является проекцией на нулевое пространство оператора ( T − λ ). ⁺ , где положительная часть самосопряженного оператора определяется формулой

$$A^{+}={\tfrac {1}{2}}{\Bigl (}{\sqrt {A^{2}}}+A{\Bigr )}\,.$$

Операторы E _λ монотонно возрастают относительно частичного порядка, определенного на самосопряженных операторах; собственные значения в точности соответствуют разрывам скачка. Существует спектральная теорема, которая утверждает

$$T=\int _{\mathbb {R} }\lambda \,\mathrm {d} E_{\lambda }\,.$$

Под интегралом понимается интеграл Римана–Стилтьеса, сходящийся по норме на B( H ) . В частности, имеет место обычное скалярнозначное интегральное представление

$$\langle Tx,y\rangle =\int _{\mathbb {R} }\lambda \,\mathrm {d} \langle E_{\lambda }x,y\rangle \,.$$

Несколько похожее спектральное разложение справедливо и для нормальных операторов, хотя, поскольку спектр теперь может содержать недействительные комплексные числа, вместо этого операторно-значную меру Стилтьеса d E _λ необходимо заменить разрешением тождества .

Важным применением спектральных методов является теорема о спектральном отображении , которая позволяет применить к самосопряженному оператору T любую непрерывную комплексную функцию f, определенную на спектре оператора T, путем формирования интеграла

$$f(T)=\int _{\sigma (T)}f(\lambda )\,\mathrm {d} E_{\lambda }\,.$$

Полученное в результате непрерывное функциональное исчисление имеет приложения, в частности, к псевдодифференциальным операторам .

Спектральная теория неограниченных самосопряженных операторов лишь немногим сложнее, чем ограниченных операторов. Спектр неограниченного оператора определяется точно так же, как и для ограниченных операторов: λ является спектральной величиной, если резольвентный оператор

$$R_{\lambda }=(T-\lambda )^{-1}$$

не может быть корректно определенным непрерывным оператором. Самосопряженность T по-прежнему гарантирует вещественность спектра. Таким образом, основная идея работы с неограниченными операторами состоит в том, чтобы вместо этого рассматривать резольвенту R _λ , где λ недействителен. Это ограниченный нормальный оператор, допускающий спектральное представление, которое затем можно перевести в спектральное представление T. самого Аналогичная стратегия используется, например, для изучения спектра оператора Лапласа: вместо того, чтобы напрямую обращаться к оператору, вместо этого рассматривают связанную резольвенту, такую ​​​​как потенциал Рисса или потенциал Бесселя .

Точная версия спектральной теоремы в этом случае такова:

Теорема . Данному плотно определенному самосопряженному оператору T в гильбертовом пространстве H соответствует единственное разрешение идентичности E на борелевских множествах R , такое, что

$$\langle Tx,y\rangle =\int _{\mathbb {R} }\lambda \,\mathrm {d} E_{x,y}(\lambda )$$

для всех x ∈ D ( T ) и y ∈ H . Спектральная мера E сосредоточена на спектре T .

Существует также версия спектральной теоремы, применимая к неограниченным нормальным операторам.

В популярной культуре

В «Радуга гравитации романе Томаса Пинчона » (1973) одного из персонажей зовут «Сэмми Гилберт-Спасс», игра слов на тему «Гильбертово пространство». В романе также упоминаются теоремы Гёделя о неполноте .

См. также

• Банахово пространство - полное нормированное векторное пространство.
• Пространство Фока - Пространство многочастичных состояний.
• Основная теорема гильбертовых пространств
• Пространство Адамара - геодезически полное метрическое пространство неположительной кривизны. Страницы, отображающие описания викиданных в качестве запасного варианта.
• Пространство Хаусдорфа - Тип топологического пространства.
• Гильбертова алгебра
• Гильберт C*-модуль - Математические объекты, обобщающие понятие гильбертовых пространств.
• Гильбертово многообразие - Многообразие, смоделированное на гильбертовых пространствах.
• L-полувнутренний продукт - обобщение внутренних произведений, применимое ко всем нормированным пространствам.
• Локально выпуклое топологическое векторное пространство - векторное пространство с топологией, определяемой выпуклыми открытыми множествами.
• Теория операторов - Математическая область исследования
• Операторные топологии - Топологии на множестве операторов в гильбертовом пространстве.
• Квантовое пространство состояний - математическое пространство, представляющее физические квантовые системы.
• Оснащенное гильбертово пространство - конструкция, связывающая изучение «связанных» и непрерывных собственных значений в функциональном анализе.
• Топологическое векторное пространство - векторное пространство с понятием близости.

Ссылки

• Экслер, Шелдон (18 декабря 2014 г.), « Линейная алгебра сделана правильно» , Тексты для студентов по математике (3-е изд.), Springer Publishing (опубликовано в 2015 г.), стр. 296, ISBN  978-3-319-11079-0
• Бахман, Джордж; Наричи, Лоуренс; Бекенштейн, Эдвард (2000), Фурье и вейвлет-анализ , Universitext, Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag , ISBN  978-0-387-98899-3 , МР   1729490 .
• Берс, Липман ; Джон, Фриц ; Шехтер, Мартин (1981), Уравнения в частных производных , Американское математическое общество, ISBN  978-0-8218-0049-2 .
• Биллингсли, Патрик (1986), Вероятность и мера , Уайли .
• Бурбаки, Николя (1986), Спектральные теории , Элементы математики, Берлин: Springer-Verlag, ISBN  978-0-201-00767-1 .
• Бурбаки, Николя (1987), Топологические векторные пространства , Элементы математики, Берлин: Springer-Verlag, ISBN  978-3-540-13627-9 .
• Бойер, Карл Бенджамин ; Мерцбах, Ута С (1991), История математики (2-е изд.), John Wiley & Sons, Inc., ISBN  978-0-471-54397-8 .
• Бреннер, С.; Скотт, Р.Л. (2005), Математическая теория методов конечных элементов (2-е изд.), Springer, ISBN  978-0-387-95451-6 .
• Брезис, Хаим (2010), Функциональный анализ, пространства Соболева и уравнения в частных производных , Спрингер .
• Бутаццо, Джузеппе; Джаквинта, Мариано; Хильдебрандт, Стефан (1998), Одномерные вариационные задачи , Оксфордская серия лекций по математике и ее приложениям, том. 15, издательство Clarendon Press, издательство Оксфордского университета, ISBN.  978-0-19-850465-8 , МР   1694383 .
• Кларксон, Дж. А. (1936), «Равномерно выпуклые пространства», Пер. амер. Математика. Соц. , 40 (3): 396–414, номер документа : 10.2307/1989630 , JSTOR   1989630 .
• Курант, Ричард ; Гильберт, Дэвид (1953), Методы математической физики, Vol. Я , Интерсайенс .
• Дьедонне, Жан (1960), Основы современного анализа , Academic Press .
• Дирак, ПАМ (1930), Принципы квантовой механики , Оксфорд: Clarendon Press .
• Данфорд, Н.; Шварц, Дж. Т. (1958), Линейные операторы, части I и II , Wiley-Interscience .
• Дюрен, П. (1970), Теория H ^п -Spaces , Нью-Йорк: Академическая пресса .
• Эйнзидлер, Манфред; Уорд, Томас (2011), Эргодическая теория с точки зрения теории чисел , Спрингер .
• Эванс, LC (1998), Уравнения в частных производных , Провиденс: Американское математическое общество, ISBN  0-8218-0772-2 .
• Фолланд, Джеральд Б. (2009), Анализ Фурье и его применение (Перепечатка книги Уодсворта и Брукса / Коула, 1992 г.), Книжный магазин Американского математического общества, ISBN  978-0-8218-4790-9 .
• Фолланд, Джеральд Б. (1989), Гармонический анализ в фазовом пространстве , Анналы математических исследований, том. 122, Издательство Принстонского университета, ISBN  978-0-691-08527-2 .
• Фреше, Морис (1907), “О множествах функций и линейных операциях”, CR Acad. наук. Париж , 144 : 1414–1416 .
• Фреше, Морис (1904), «О линейных операциях», Труды Американского математического общества , 5 (4): 493–499, doi : 10.2307/1986278 , JSTOR   1986278 .
• Джусти, Энрико (2003), Прямые методы вариационного исчисления , World Scientific, ISBN  978-981-238-043-2 .
• Граттан-Гиннесс, Айвор (2000), Поиск математических корней, 1870–1940 , Princeton Paperbacks, Princeton University Press , ISBN  978-0-691-05858-0 , МР   1807717 .
• Халмос, Пол (1957), Введение в гильбертово пространство и теорию спектральной множественности , Chelsea Pub. Ко
• Халмош, Пол (1982), Книга задач гильбертова пространства , Springer-Verlag, ISBN  978-0-387-90685-0 .
• Хьюитт, Эдвин; Стромберг, Карл (1965), Реальный и абстрактный анализ , Нью-Йорк: Springer-Verlag .
• Гильберт, Дэвид ; Нордхайм, Лотар Вольфганг ; фон Нейман, Джон (1927), «Об основах квантовой механики», Mathematical Annals , 98 : 1–30, doi : 10.1007/BF01451579 , S2CID   120986758 .
• Холево, Александр С. (2001), Статистическая структура квантовой теории , Конспект лекций по физике, Springer, ISBN  3-540-42082-7 , OCLC   318268606 .
• Кац, Марк (1966), «Можно ли услышать форму барабана?», American Mathematical Monthly , 73 (4, часть 2): 1–23, doi : 10.2307/2313748 , JSTOR   2313748 .
• Кэдисон, Ричард В.; Рингроуз, Джон Р. (1997), Основы теории операторных алгебр. Том. Я , Аспирантура по математике, вып. 15, Провиденс, Род-Айленд: Американское математическое общество , ISBN.  978-0-8218-0819-1 , МР   1468229 .
• Кэдисон, Ричард В.; Рингроуз, Джон Р. (1983), Основы теории операторных алгебр, Vol. I: Элементарная теория , Нью-Йорк: Academic Press, Inc.
• Карацас, Иоаннис; Шрив, Стивен (2019), Броуновское движение и стохастическое исчисление (2-е изд.), Springer, ISBN  978-0-387-97655-6

• Какутани, Сидзуо (1939), «Некоторые характеристики евклидова пространства», Японский журнал математики , 16 : 93–97, doi : 10.4099/jjm1924.16.0_93 , MR   0000895 .
• Клайн, Моррис (1972), Математическая мысль от древних до наших дней, Том 3 (3-е изд.), Oxford University Press (опубликовано в 1990 г.), ISBN  978-0-19-506137-6 .
• Колмогоров Андрей ; Фомин, Сергей В. (1970), Вводный реальный анализ (пересмотренное английское издание, перевод Ричарда А. Сильвермана (1975), изд.), Dover Press, ISBN  978-0-486-61226-3 .
• Кранц, Стивен Г. (2002), Теория функций нескольких комплексных переменных , Провиденс, Род-Айленд: Американское математическое общество , ISBN  978-0-8218-2724-6 .
• Ланцос, Корнелиус (1988), Прикладной анализ (переиздание 1956 г., изд. Прентис-Холл), Dover Publications, ISBN  978-0-486-65656-4 .
• Лебег, Анри (1904), Уроки интегрирования и поиска примитивных функций , Готье-Виллар .
• Левитан, Б.М. (2001) [1994], «Гильбертово пространство» , Энциклопедия математики , EMS Press .
• Линденштраусс, Дж.; Цафрири, Л. (1971), «О проблеме дополненных подпространств», Израильский журнал математики , 9 (2): 263–269, doi : 10.1007/BF02771592 , ISSN   0021-2172 , MR   0276734 , S2CID   119575718 .
• Марсден, Джерролд Э. (1974), Элементарный классический анализ , WH Freeman and Co., MR   0357693 .
• Мерфи, Джеральд Дж. (1990), C*-алгебры и теория операторов , Academic Press, ISBN  0-12-511360-9 .
• фон Нейман, Джон (1929), «Общая теория собственных значений эрмитовых функциональных операторов», Mathematical Annals , 102 : 49–131, doi : 10.1007/BF01782338 , S2CID   121249803 .
• фон Нейман, Джон (1932), «Физические приложения эргодической гипотезы», Proc Natl Acad Sci USA , 18 (3): 263–266, Бибкод : 1932PNAS...18..263N , doi : 10.1073/pnas.18.3 .263 , JSTOR   86260 , PMC   1076204 , PMID   16587674 .
• фон Нейман, Джон (1955), Математические основы квантовой механики , Принстонские ориентиры в математике, перевод Бейера, Роберта Т., Princeton University Press (опубликовано в 1996 г.), ISBN  978-0-691-02893-4 , МР   1435976 .
• Нильсен, Майкл А .; Чуанг, Исаак Л. (2000), Квантовые вычисления и квантовая информация (1-е изд.), Кембридж: Издательство Кембриджского университета , ISBN  978-0-521-63503-5 , OCLC   634735192 .
• О'Коннор, Джон Дж.; Робертсон, Эдмунд Ф. (1996), «Абстрактные линейные пространства» , Архив истории математики MacTutor , Университет Сент-Эндрюс
• Патрия, РК (1996), Статистическая механика (2-е изд.), Academic Press .
• Педерсен, Герт (1995), Анализ сейчас , Тексты для выпускников по математике, том. 118, Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag , ISBN.  978-1-4612-6981-6 , МР   0971256
• Перес, Ашер (1993), Квантовая теория: концепции и методы , Kluwer, ISBN  0-7923-2549-4 , OCLC   28854083
• Пруговечки, Эдуард (1981), Квантовая механика в гильбертовом пространстве (2-е изд.), Дувр (опубликовано в 2006 г.), ISBN  978-0-486-45327-9 .
• Рид, Майкл ; Саймон, Барри (1980), Функциональный анализ (том I из 4 томов) , Методы современной математической физики, Academic Press, ISBN  978-0-12-585050-6 .
• Рид, Майкл ; Саймон, Барри (1975), Анализ Фурье, самосопряженность (том II из 4 томов) , Методы современной математической физики, Academic Press, ISBN  9780125850025 .
• Риффель, Элеонора Г .; Полак, Вольфганг Х. (04 марта 2011 г.), Квантовые вычисления: нежное введение , MIT Press, ISBN  978-0-262-01506-6 .
• Рис, Фридьес (1907), «Об одной из разновидностей аналитической геометрии систем суммируемых функций», CR Acad. наук. Париж , 144 : 1409–1411 .
• Рисс, Фридьес (1934), «К теории гильбертова пространства», Acta Sci. Математика Сегед , 7 : 34–38 .
• Рисс, Фредерик ; С.-Надь, Бела (1990), Функциональный анализ , Дувр, ISBN  978-0-486-66289-3 .
• Роман, Стивен (2008), Продвинутая линейная алгебра , Тексты для выпускников по математике (Третье изд.), Springer, ISBN  978-0-387-72828-5
• Рудин, Вальтер (1973). Функциональный анализ . Международная серия по чистой и прикладной математике. Том. 25 (Первое изд.). Нью-Йорк, штат Нью-Йорк: McGraw-Hill Science/Engineering/Math . ISBN  9780070542259 .
• Рудин, Уолтер (1987), Реальный и комплексный анализ , McGraw-Hill, ISBN  978-0-07-100276-9 .
• Сакс, Станислав (2005), Теория интеграла (2-е изд. Дувра), Дувр, ISBN  978-0-486-44648-6 ; первоначально опубликовано Monografje Matematyczne , том 7, Варшава, 1937.
• Шефер, Хельмут Х .; Вольф, Манфред П. (1999). Топологические векторные пространства . ГТМ . Том. 8 (Второе изд.). Нью-Йорк, Нью-Йорк: Springer New York Выходные данные Springer. ISBN  978-1-4612-7155-0 . OCLC   840278135 .
• Шмидт, Эрхард (1908), «О разрешении линейных уравнений с бесконечным числом неизвестных», Rend. Цирк. Мат. Палермо , 25 : 63–77, номер документа : 10.1007/BF03029116 , S2CID   120666844 .
• Шубин, М.А. (1987), Псевдодифференциальные операторы и спектральная теория , Ряды Спрингера в советской математике, Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag , ISBN  978-3-540-13621-7 , МР   0883081 .
• Собрино, Луис (1996), Элементы нерелятивистской квантовой механики , Ривер Эдж, Нью-Джерси: World Scientific Publishing Co. Inc., Бибкод : 1996lnrq.book.....S , doi : 10.1142/2865 , ISBN  978-981-02-2386-1 , МР   1626401 .
• Стэплтон, Джеймс (1995), Линейные статистические модели , Джон Уайли и сыновья .
• Стюарт, Джеймс (2006), Исчисление: концепции и контексты (3-е изд.), Томсон/Брукс/Коул .
• Стейн, Э. (1970), Сингулярные интегралы и свойства дифференцируемости функций , Princeton Univ. Пресса, ISBN  978-0-691-08079-6 .
• Штейн, Элиас ; Вайс, Гвидо (1971), Введение в анализ Фурье в евклидовых пространствах , Принстон, Нью-Джерси: Princeton University Press, ISBN  978-0-691-08078-9 .
• Штейн, Э; Шакарчи, Р. (2005), Реальный анализ, теория меры, интегрирование и гильбертовы пространства , Princeton University Press .
• Стритер, Рэй ; Вайтман, Артур (1964), PCT, спин, статистика и все такое , WA Benjamin, Inc.
• Струк, Дэниел (2011), Теория вероятностей: аналитический взгляд (2-е изд.), Cambridge University Press .
• Тешль, Джеральд (2009). Математические методы в квантовой механике; С приложениями к операторам Шрёдингера . Провиденс : Американское математическое общество . ISBN  978-0-8218-4660-5 . .
• Титчмарш, Эдвард Чарльз (1946), Расширение собственных функций, часть 1 , Оксфордский университет: Clarendon Press .
• Тревес, Франсуа (1967), Топологические векторные пространства, распределения и ядра , Academic Press .
• Уорнер, Франк (1983), Основы дифференцируемых многообразий и групп Ли , Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag , ISBN  978-0-387-90894-6 .
• Вайдман, Иоахим (1980), Линейные операторы в гильбертовых пространствах , Тексты для аспирантов по математике, том. 68, Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag , ISBN  978-0-387-90427-6 , МР   0566954 .
• Вейль, Герман (1931), Теория групп и квантовая механика (английское издание 1950 г.), Dover Press, ISBN  978-0-486-60269-1 .
• Young, Nicholas (1988), An introduction to Hilbert space, Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-33071-8, Zbl 0645.46024.

External links

• "Hilbert space", Encyclopedia of Mathematics, EMS Press, 2001 [1994]
• Hilbert space at Mathworld
• 245B, notes 5: Hilbert spaces by Terence Tao