Уравнение Пуассона

Уравнение Пуассона — эллиптическое уравнение в частных производных , имеющее широкое применение в теоретической физике . Например, решением уравнения Пуассона является потенциальное поле, вызванное данным распределением электрического заряда или плотности массы; зная потенциальное поле, можно затем рассчитать электростатическое или гравитационное (силовое) поле. Это обобщение уравнения Лапласа , которое также часто встречается в физике. Уравнение названо в честь французского математика и физика Симеона Дени Пуассона . ^[1]^[2]

Формулировка уравнения [ править ]

Уравнение Пуассона

\Delta \varphi =f,

где

\Delta

– оператор Лапласа , а

f

и

\varphi

являются действительными или комплекснозначными функциями на многообразии . Обычно,

f

дано, и

\varphi

разыскивается. Когда многообразие представляет собой евклидово пространство , оператор Лапласа часто обозначается как

\nabla 2

, поэтому уравнение Пуассона часто записывается как

\nabla ^{2}\varphi =f.

В трехмерных декартовых координатах она принимает вид

\left({\frac {\partial ^{2}}{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}}{\partial y^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}}{\partial z^{2}}}\right)\varphi (x,y,z)=f(x,y,z).

Когда $f=0$ тождественно получаем уравнение Лапласа .

Уравнение Пуассона можно решить с помощью функции Грина :

\varphi (\mathbf {r} )=-\iiint {\frac {f(\mathbf {r} ')}{4\pi |\mathbf {r} -\mathbf {r} '|}}\,\mathrm {d} ^{3}r',

где интеграл ведется по всему пространству. Общее изложение функции Грина для уравнения Пуассона дано в статье об экранированном уравнении Пуассона . Существуют различные методы численного решения, такие как метод релаксации , итерационный алгоритм.

Ньютоновская гравитация [ править ]

В случае гравитационного поля g, возникающего из-за притягивающего массивного объекта с плотностью ρ , закон гравитации Гаусса в дифференциальной форме можно использовать для получения соответствующего уравнения Пуассона для гравитации:

\nabla \cdot \mathbf {g} =-4\pi G\rho .

Поскольку гравитационное поле консервативно (и безвихрево ), его можно выразить через скалярный потенциал φ :

\mathbf {g} =-\nabla \phi .

Подставив это в закон Гаусса,

\nabla \cdot (-\nabla \phi )=-4\pi G\rho ,

дает уравнение Пуассона для гравитации:

\nabla ^{2}\phi =4\pi G\rho .

Если плотность массы равна нулю, уравнение Пуассона сводится к уравнению Лапласа. Соответствующую функцию Грина можно использовать для расчета потенциала на расстоянии $r$ от центральной точечной массы $m$ (т. е. фундаментального решения ). В трех измерениях потенциал

\phi (r)={\frac {-Gm}{r}},

что эквивалентно закону всемирного тяготения Ньютона .

Электростатика [ править ]

Одним из краеугольных камней электростатики является постановка и решение задач, описываемых уравнением Пуассона. Решение уравнения Пуассона сводится к нахождению электрического потенциала $φ$ для заданного заряда . распределения $\rho _{f}$ .

Математические детали уравнения Пуассона в электростатике следующие ( СИ используются единицы , а не единицы Гаусса , которые также часто используются в электромагнетизме ).

Начиная с закона Гаусса для электричества (также одного из уравнений Максвелла ) в дифференциальной форме, имеем

\mathbf {\nabla } \cdot \mathbf {D} =\rho _{f},

где

\mathbf {\nabla } \cdot

– оператор дивергенции , D – поле электрического смещения , ρ _f – плотность свободных зарядов (описывающая заряды, принесенные извне).

Предполагая, что среда линейна, изотропна и однородна (см. Плотность поляризации ), имеем материальное уравнение

\mathbf {D} =\varepsilon \mathbf {E} ,

где

ε

— диэлектрическая проницаемость среды, а E — электрическое поле .

Подставляя это в закон Гаусса и предполагая, что $ε$ пространственно постоянна в интересующей области, получаем

\mathbf {\nabla } \cdot \mathbf {E} ={\frac {\rho _{f}}{\varepsilon }}.

В электростатике мы предполагаем, что магнитное поле отсутствует (следующее рассуждение справедливо и при наличии постоянного магнитного поля). Тогда у нас есть это

\nabla \times \mathbf {E} =0,

где

\nabla\times

— оператор ротора . Это уравнение означает, что мы можем записать электрическое поле как градиент скалярной функции

φ

(называемой электрическим потенциалом ), поскольку ротор любого градиента равен нулю. Таким образом, мы можем написать

\mathbf {E} =-\nabla \varphi ,

где знак минус введен для того, чтобы

φ

идентифицировалась как потенциальная электрическая энергия на единицу заряда.

Вывод уравнения Пуассона в этих обстоятельствах прост. Подставив электрическое поле градиентом потенциала,

\nabla \cdot \mathbf {E} =\nabla \cdot (-\nabla \varphi )=-\nabla ^{2}\varphi ={\frac {\rho _{f}}{\varepsilon }},

непосредственно выводит уравнение Пуассона для электростатики, которое

\nabla ^{2}\varphi =-{\frac {\rho _{f}}{\varepsilon }}.

Решение уравнения Пуассона для потенциала требует знания распределения плотности заряда. Если плотность заряда равна нулю, то получается уравнение Лапласа . Если плотность заряда подчиняется распределению Больцмана , то получается уравнение Пуассона-Больцмана . Уравнение Пуассона-Больцмана играет роль в развитии теории Дебая-Хюккеля разбавленных растворов электролитов .

Используя функцию Грина, потенциал на расстоянии $r$ от центрального точечного заряда $Q$ (т. е. фундаментального решения ) равен

\varphi (r)={\frac {Q}{4\pi \varepsilon r}},

что является Кулона законом электростатики . (По историческим причинам и в отличие от модели гравитации, описанной выше,

4\pi

фактор появляется здесь, а не в законе Гаусса.)

Приведенное выше обсуждение предполагает, что магнитное поле не меняется во времени. То же уравнение Пуассона возникает, даже если оно меняется во времени, если кулоновская калибровка используется . В этом более общем контексте вычисления $φ$ уже недостаточно для расчета E , поскольку E также зависит от векторного магнитного потенциала A , который должен быть вычислен независимо. См. уравнение Максвелла в потенциальной формулировке, чтобы узнать больше о $φ$ и A в уравнениях Максвелла и о том, как уравнение Пуассона получается в этом случае.

Потенциал гауссовой плотности заряда

Если существует статическая сферически-симметричная гауссова плотность заряда

\rho _{f}(r)={\frac {Q}{\sigma ^{3}{\sqrt {2\pi }}^{3}}}\,e^{-r^{2}/(2\sigma ^{2})},

где

Q

— полный заряд, то решение

φ (r)

уравнения Пуассона

\nabla ^{2}\varphi =-{\frac {\rho _{f}}{\varepsilon }}

дается

\varphi (r)={\frac {1}{4\pi \varepsilon }}{\frac {Q}{r}}\operatorname {erf} \left({\frac {r}{{\sqrt {2}}\sigma }}\right),

где

erf(x)

— функция ошибок .

Это решение можно проверить явно, вычислив $\nabla 2 ф$ .

Обратите внимание, что для $r,$ намного большего, чем $σ$ , функция erf приближается к единице, а потенциал $φ (r)$ приближается к потенциалу точечного заряда ,

\varphi \approx {\frac {1}{4\pi \varepsilon }}{\frac {Q}{r}},

как и следовало ожидать. Более того, функция ошибок очень быстро приближается к 1 по мере увеличения ее аргумента; на практике при

r > 3 σ

относительная погрешность составляет менее одной тысячной.

Реконструкция поверхности [ править ]

Реконструкция поверхности является обратной задачей . Цель состоит в том, чтобы в цифровом виде восстановить гладкую поверхность на основе большого количества точек ( _pi облака точек ), где каждая точка также несет оценку локальной нормали к поверхности n _i . ^[3] Уравнение Пуассона можно использовать для решения этой проблемы с помощью метода, называемого реконструкцией поверхности Пуассона. ^[4]

Целью этого метода является восстановление неявной функции f равно нулю в точках pi _и чей градиент в точках pi _i равен нормальным векторам n _. , значение которой набор ( pi _Таким , ni _, ) моделируется как непрерывное векторное поле V. образом Неявная функция f находится путем интегрирования векторного V. поля Поскольку не каждое векторное поле является градиентом функции, проблема может иметь или не иметь решение: необходимым и достаточным условием для того, чтобы гладкое векторное поле V было градиентом функции f, является то, что ротор V должен быть тождественно ноль. В случае, если это условие трудно наложить, все же можно выполнить аппроксимацию методом наименьших квадратов , чтобы минимизировать разницу между V и градиентом f .

Чтобы эффективно применить уравнение Пуассона к задаче реконструкции поверхности, необходимо найти хорошую дискретизацию векторного поля V . Основной подход состоит в том, чтобы связать данные сеткой конечных разностей . Для функции, оцениваемой в узлах такой сетки, ее градиент может быть представлен как оцененный на шахматных сетках, то есть на сетках, узлы которых лежат между узлами исходной сетки. Удобно определить три шахматные сетки, каждая из которых сдвинута в одном и только одном направлении, соответствующем компонентам нормальных данных. На каждой шахматной сетке мы выполняем трилинейную интерполяцию по множеству точек. Затем веса интерполяции используются для распределения величины связанного компонента n _i по узлам конкретной ячейки шахматной сетки, pi _{содержащей} . Каждан и соавторы предлагают более точный метод дискретизации с использованием адаптивной конечно-разностной сетки, то есть ячейки сетки меньше (сетка более мелко разделена) там, где больше точек данных. ^[4] Они предлагают реализовать эту технику с помощью адаптивного октодерева .

Гидродинамика [ править ]

Для несжимаемых уравнений Навье–Стокса , определяемых формулой

{\begin{aligned}{\frac {\partial \mathbf {v} }{\partial t}}+(\mathbf {v} \cdot \nabla )\mathbf {v} &=-{\frac {1}{\rho }}\nabla p+\nu \Delta \mathbf {v} +\mathbf {g} ,\\\nabla \cdot \mathbf {v} &=0.\end{aligned}}

Уравнение для поля давления $p$ является примером нелинейного уравнения Пуассона:

{\begin{aligned}\Delta p&=-\rho \nabla \cdot (\mathbf {v} \cdot \nabla \mathbf {v} )\\&=-\rho \operatorname {Tr} {\big (}(\nabla \mathbf {v} )(\nabla \mathbf {v} ){\big )}.\end{aligned}}

Обратите внимание, что приведенная выше трасса не является знакоопределенной.

См. также [ править ]

Ссылки [ править ]

^ Джексон, Джулия А.; Мель, Джеймс П.; Нойендорф, Клаус К.Е., ред. (2005), Глоссарий геологии , Американский геологический институт, Спрингер, стр. 503, ISBN 9780922152766
^ Рыба (1823 г.). «Воспоминания о теории магнетизма в движении» . Мемуары Королевской академии наук Института Франции (на французском языке). 6 :441–570. Из стр. 463 : «Итак, согласно вышеизложенному, мы наконец получим: ${\frac {\partial ^{2}V}{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}V}{\partial y^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}V}{\partial z^{2}}}=0,=-2k\pi ,=-4k\pi ,$ в зависимости от того, будет ли точка М располагаться снаружи, на поверхности или внутри того объема, который мы рассматриваем». (Таким образом, согласно предшествующему, мы окончательно будем иметь: ${\frac {\partial ^{2}V}{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}V}{\partial y^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}V}{\partial z^{2}}}=0,=-2k\pi ,=-4k\pi ,$ в зависимости от того, находится ли точка М снаружи, на поверхности или внутри рассматриваемого объема.) V определяется (с. 462) как $V=\iiint {\frac {k'}{\rho }}\,dx'\,dy'\,dz',$ где в случае электростатики интеграл производится по объёму заряженного тела, координаты точек, находящихся внутри или на объёме заряженного тела, обозначаются через $(x',y',z')$ , $k'$ является заданной функцией $(x',y,'z')$ и в электростатике, $k'$ будет мерой плотности заряда, а $\rho$ определяется как длина радиуса, простирающегося от точки М до точки, лежащей внутри или на заряженном теле. Координаты точки М обозначим через $(x,y,z)$ и $k$ обозначает значение $k'$ (плотность заряда) при M .
^ Калаклы, Фатих; Таубин, Габриэль (2011). «Реконструкция поверхности с плавным знаком со знаком» (PDF) . Тихоокеанская графика . 30 (7).
^ Jump up to: Перейти обратно: ^а ^б Каждан, Михаил; Болито, Мэтью; Хоппе, Хьюз (2006). «Реконструкция поверхности Пуассона» . Материалы четвертого симпозиума Eurographics по геометрической обработке (SGP '06) . Ассоциация еврографики, Эр-ла-Виль, Швейцария. стр. 61–70. ISBN 3-905673-36-3 .

Дальнейшее чтение [ править ]

Эванс, Лоуренс К. (1998). Уравнения в частных производных . Провиденс (Род-Айленд): Американское математическое общество. ISBN 0-8218-0772-2 .
Мэтьюз, Джон; Уокер, Роберт Л. (1970). Математические методы физики (2-е изд.). Нью-Йорк: WA Бенджамин. ISBN 0-8053-7002-1 .
Полянин, Андрей Дмитриевич (2002). Справочник по линейным уравнениям в частных производных для инженеров и ученых . Бока-Ратон (Флорида): Chapman & Hall/CRC Press. ISBN 1-58488-299-9 .

Внешние ссылки [ править ]

«Уравнение Пуассона» , Математическая энциклопедия , EMS Press , 2001 [1994]
Уравнение Пуассона на EqWorld: мир математических уравнений

[1] Джексон, Джулия А.; Мель, Джеймс П.; Нойендорф, Клаус К.Е., ред. (2005), Глоссарий геологии , Американский геологический институт, Спрингер, стр. 503, ISBN 9780922152766

[2] Рыба (1823 г.). «Воспоминания о теории магнетизма в движении» . Мемуары Королевской академии наук Института Франции (на французском языке). 6 :441–570. Из стр. 463 : «Итак, согласно вышеизложенному, мы наконец получим: ${\frac {\partial ^{2}V}{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}V}{\partial y^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}V}{\partial z^{2}}}=0,=-2k\pi ,=-4k\pi ,$ в зависимости от того, будет ли точка М располагаться снаружи, на поверхности или внутри того объема, который мы рассматриваем». (Таким образом, согласно предшествующему, мы окончательно будем иметь: ${\frac {\partial ^{2}V}{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}V}{\partial y^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}V}{\partial z^{2}}}=0,=-2k\pi ,=-4k\pi ,$ в зависимости от того, находится ли точка М снаружи, на поверхности или внутри рассматриваемого объема.) V определяется (с. 462) как $V=\iiint {\frac {k'}{\rho }}\,dx'\,dy'\,dz',$ где в случае электростатики интеграл производится по объёму заряженного тела, координаты точек, находящихся внутри или на объёме заряженного тела, обозначаются через $(x',y',z')$ , $k'$ является заданной функцией $(x',y,'z')$ и в электростатике, $k'$ будет мерой плотности заряда, а $\rho$ определяется как длина радиуса, простирающегося от точки М до точки, лежащей внутри или на заряженном теле. Координаты точки М обозначим через $(x,y,z)$ и $k$ обозначает значение $k'$ (плотность заряда) при M .

[3] Калаклы, Фатих; Таубин, Габриэль (2011). «Реконструкция поверхности с плавным знаком со знаком» (PDF) . Тихоокеанская графика . 30 (7).

[Kazhdan06-4] Jump up to: Перейти обратно: ^а ^б Каждан, Михаил; Болито, Мэтью; Хоппе, Хьюз (2006). «Реконструкция поверхности Пуассона» . Материалы четвертого симпозиума Eurographics по геометрической обработке (SGP '06) . Ассоциация еврографики, Эр-ла-Виль, Швейцария. стр. 61–70. ISBN 3-905673-36-3 .

[1]

[2]

[3]

[4]