Трилинейная интерполяция

Трилинейная интерполяция — это метод многомерной интерполяции на трёхмерной регулярной сетке . Он аппроксимирует значение функции в промежуточной точке. $(x,y,z)$ внутри локальной осевой прямоугольной призмы линейно, используя данные функции в точках решетки. Для произвольной неструктурированной сетки (используемой в анализе методом конечных элементов ) необходимо использовать другие методы интерполяции; если все элементы сетки представляют собой тетраэдры (3D- симплексы ), то барицентрические координаты обеспечивают простую процедуру.

Трилинейная интерполяция часто используется в численном анализе , анализе данных и компьютерной графике .

с линейной и

Трилинейная интерполяция — это расширение линейной интерполяции , которая работает в пространствах с размерностью $D=1$и билинейная интерполяция , которая работает с размерностью $D=2$, для измерения $D=3$. Все эти схемы интерполяции используют полиномы первого порядка, что дает точность второго порядка и требует $2^{D}=8$ соседние заранее определенные значения, окружающие точку интерполяции. Существует несколько способов прийти к трилинейной интерполяции, которая эквивалентна трехмерной тензорной B-сплайн- интерполяции порядка 1, а оператор трилинейной интерполяции также является тензорным произведением трех линейных операторов интерполяции.

Метод

Восемь угловых точек куба, окружающих точку интерполяции C.

Изображение 3D-интерполяции

Геометрическая визуализация трилинейной интерполяции. Произведение значения в нужной точке и всего объема равно сумме произведений значения в каждом углу и частичного объема по диагонали напротив угла.

Пусть на периодической и кубической решетке $x_{\text{d}}$, $y_{\text{d}}$, и $z_{\text{d}}$ быть различиями между каждым из $x$, $y$, $z$ и меньшая координата связана, то есть:

${\begin{aligned}x_{\text{d}}={\frac {x-x_{0}}{x_{1}-x_{0}}}\\y_{\text{d}}={\frac {y-y_{0}}{y_{1}-y_{0}}}\\z_{\text{d}}={\frac {z-z_{0}}{z_{1}-z_{0}}}\end{aligned}}$

где $x_{0}$ указывает на точку решетки ниже $x$, и $x_{1}$ указывает на точку решетки выше $x$ и аналогично для $y_{0},y_{1},z_{0}$ и $z_{1}$.

Сначала мы интерполируем вдоль $x$ (представьте, что мы «толкаем» грань куба, определяемую формулой $C_{0jk}$ к противоположному лицу, определяемому $C_{1jk}$), давая:

${\begin{aligned}c_{00}&=c_{000}(1-x_{\text{d}})+c_{100}x_{\text{d}}\\c_{01}&=c_{001}(1-x_{\text{d}})+c_{101}x_{\text{d}}\\c_{10}&=c_{010}(1-x_{\text{d}})+c_{110}x_{\text{d}}\\c_{11}&=c_{011}(1-x_{\text{d}})+c_{111}x_{\text{d}}\end{aligned}}$

Где $c_{000}$ означает значение функции $(x_{0},y_{0},z_{0}).$ Затем мы интерполируем эти значения (вдоль $y$, «отталкивая» от $C_{i0k}$ к $C_{i1k}$), давая:

${\begin{aligned}c_{0}&=c_{00}(1-y_{\text{d}})+c_{10}y_{\text{d}}\\c_{1}&=c_{01}(1-y_{\text{d}})+c_{11}y_{\text{d}}\end{aligned}}$

Наконец, мы интерполируем эти значения вдоль $z$ (проходя через ряд):

$c=c_{0}(1-z_{\text{d}})+c_{1}z_{\text{d}}.$

Это дает нам прогнозируемое значение точки.

Результат трилинейной интерполяции не зависит от порядка шагов интерполяции по трем осям: любой другой порядок, например по $x$, затем вдоль $y$и, наконец, вдоль $z$, дает то же значение.

Вышеупомянутые операции можно визуализировать следующим образом: Сначала мы находим восемь углов куба, которые окружают нашу точку интереса. Эти углы имеют значения $c_{000}$, $c_{100}$, $c_{010}$, $c_{110}$, $c_{001}$, $c_{101}$, $c_{011}$, $c_{111}$.

Далее мы выполняем линейную интерполяцию между $c_{000}$ и $c_{100}$ найти $c_{00}$, $c_{001}$ и $c_{101}$ найти $c_{01}$, $c_{011}$ и $c_{111}$ найти $c_{11}$, $c_{010}$ и $c_{110}$ найти $c_{10}$.

Теперь мы делаем интерполяцию между $c_{00}$ и $c_{10}$ найти $c_{0}$, $c_{01}$ и $c_{11}$ найти $c_{1}$. Наконец, мы вычисляем значение $c$ посредством линейной интерполяции $c_{0}$ и $c_{1}$

На практике трилинейная интерполяция идентична двум билинейным интерполяциям в сочетании с линейной интерполяцией:

$c\approx l\left(b(c_{000},c_{010},c_{100},c_{110}),\,b(c_{001},c_{011},c_{101},c_{111})\right)$

Альтернативный алгоритм

Альтернативный способ записи решения задачи интерполяции:

$f(x,y,z)\approx a_{0}+a_{1}x+a_{2}y+a_{3}z+a_{4}xy+a_{5}xz+a_{6}yz+a_{7}xyz$

где коэффициенты находятся из решения линейной системы

${\begin{aligned}{\begin{bmatrix}1&x_{0}&y_{0}&z_{0}&x_{0}y_{0}&x_{0}z_{0}&y_{0}z_{0}&x_{0}y_{0}z_{0}\\1&x_{1}&y_{0}&z_{0}&x_{1}y_{0}&x_{1}z_{0}&y_{0}z_{0}&x_{1}y_{0}z_{0}\\1&x_{0}&y_{1}&z_{0}&x_{0}y_{1}&x_{0}z_{0}&y_{1}z_{0}&x_{0}y_{1}z_{0}\\1&x_{1}&y_{1}&z_{0}&x_{1}y_{1}&x_{1}z_{0}&y_{1}z_{0}&x_{1}y_{1}z_{0}\\1&x_{0}&y_{0}&z_{1}&x_{0}y_{0}&x_{0}z_{1}&y_{0}z_{1}&x_{0}y_{0}z_{1}\\1&x_{1}&y_{0}&z_{1}&x_{1}y_{0}&x_{1}z_{1}&y_{0}z_{1}&x_{1}y_{0}z_{1}\\1&x_{0}&y_{1}&z_{1}&x_{0}y_{1}&x_{0}z_{1}&y_{1}z_{1}&x_{0}y_{1}z_{1}\\1&x_{1}&y_{1}&z_{1}&x_{1}y_{1}&x_{1}z_{1}&y_{1}z_{1}&x_{1}y_{1}z_{1}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}a_{0}\\a_{1}\\a_{2}\\a_{3}\\a_{4}\\a_{5}\\a_{6}\\a_{7}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}c_{000}\\c_{100}\\c_{010}\\c_{110}\\c_{001}\\c_{101}\\c_{011}\\c_{111}\end{bmatrix}},\end{aligned}}$

дающий результат

${\begin{aligned}a_{0}={}&{\frac {-c_{000}x_{1}y_{1}z_{1}+c_{001}x_{1}y_{1}z_{0}+c_{010}x_{1}y_{0}z_{1}-c_{011}x_{1}y_{0}z_{0}}{(x_{0}-x_{1})(y_{0}-y_{1})(z_{0}-z_{1})}}+{}\\&{\frac {c_{100}x_{0}y_{1}z_{1}-c_{101}x_{0}y_{1}z_{0}-c_{110}x_{0}y_{0}z_{1}+c_{111}x_{0}y_{0}z_{0}}{(x_{0}-x_{1})(y_{0}-y_{1})(z_{0}-z_{1})}},\\[4pt]a_{1}={}&{\frac {c_{000}y_{1}z_{1}-c_{001}y_{1}z_{0}-c_{010}y_{0}z_{1}+c_{011}y_{0}z_{0}}{(x_{0}-x_{1})(y_{0}-y_{1})(z_{0}-z_{1})}}+{}\\&{\frac {-c_{100}y_{1}z_{1}+c_{101}y_{1}z_{0}+c_{110}y_{0}z_{1}-c_{111}y_{0}z_{0}}{(x_{0}-x_{1})(y_{0}-y_{1})(z_{0}-z_{1})}},\\[4pt]a_{2}={}&{\frac {c_{000}x_{1}z_{1}-c_{001}x_{1}z_{0}-c_{010}x_{1}z_{1}+c_{011}x_{1}z_{0}}{(x_{0}-x_{1})(y_{0}-y_{1})(z_{0}-z_{1})}}+{}\\&{\frac {-c_{100}x_{0}z_{1}+c_{101}x_{0}z_{0}+c_{110}x_{0}z_{1}-c_{111}x_{0}z_{0}}{(x_{0}-x_{1})(y_{0}-y_{1})(z_{0}-z_{1})}},\\[4pt]a_{3}={}&{\frac {c_{000}x_{1}y_{1}-c_{001}x_{1}y_{1}-c_{010}x_{1}y_{0}+c_{011}x_{1}y_{0}}{(x_{0}-x_{1})(y_{0}-y_{1})(z_{0}-z_{1})}}+{}\\&{\frac {-c_{100}x_{0}y_{1}+c_{101}x_{0}y_{1}+c_{110}x_{0}y_{0}-c_{111}x_{0}y_{0}}{(x_{0}-x_{1})(y_{0}-y_{1})(z_{0}-z_{1})}},\\[4pt]a_{4}={}&{\frac {-c_{000}z_{1}+c_{001}z_{0}+c_{010}z_{1}-c_{011}z_{0}+c_{100}z_{1}-c_{101}z_{0}-c_{110}z_{1}+c_{111}z_{0}}{(x_{0}-x_{1})(y_{0}-y_{1})(z_{0}-z_{1})}},\\[4pt]a_{5}=&{\frac {-c_{000}y_{1}+c_{001}y_{1}+c_{010}y_{0}-c_{011}y_{0}+c_{100}y_{1}-c_{101}y_{1}-c_{110}y_{0}+c_{111}y_{0}}{(x_{0}-x_{1})(y_{0}-y_{1})(z_{0}-z_{1})}},\\[4pt]a_{6}={}&{\frac {-c_{000}x_{1}+c_{001}x_{1}+c_{010}x_{1}-c_{011}x_{1}+c_{100}x_{0}-c_{101}x_{0}-c_{110}x_{0}+c_{111}x_{0}}{(x_{0}-x_{1})(y_{0}-y_{1})(z_{0}-z_{1})}},\\[4pt]a_{7}={}&{\frac {c_{000}-c_{001}-c_{010}+c_{011}-c_{100}+c_{101}+c_{110}-c_{111}}{(x_{0}-x_{1})(y_{0}-y_{1})(z_{0}-z_{1})}}.\end{aligned}}$

См. также

• Линейная интерполяция
• Билинейная интерполяция
• Трикубическая интерполяция
• Радиальная интерполяция
• Тетраэдрическая интерполяция
• Сферическая линейная интерполяция

Внешние ссылки

• псевдокод от НАСА , описывает итеративную обратную трилинейную интерполяцию (по вершинам и значению C находят Xd, Yd и Zd).
• Пол Бурк, Методы интерполяции , 1999. Содержит очень умный и простой метод поиска трилинейной интерполяции, который основан на двоичной логике и может быть расширен до любого измерения (тетралинейного, пятилинейного, ...).
• Кенрайт, Деформация тетраэдра свободной формы. Международный симпозиум по визуальным вычислениям. Springer International Publishing, 2015 [1] .