Тензор

Чтобы узнать о других значениях, см. Тензор (значения) .

Эта статья о тензорах в одном векторном пространстве. Не путать с векторным полем или тензорным полем .

второго порядка Тензор напряжений Коши $\mathbf {T}$ описывает напряжение, испытываемое материалом в данной точке. Для любого единичного вектора $\mathbf {v}$, продукт $\mathbf {T} \cdot \mathbf {v}$ – вектор, обозначаемый $\mathbf {T} (\mathbf {v} )$, который количественно определяет силу на площадь вдоль плоскости, перпендикулярной $\mathbf {v}$. На этом изображении показано, что для граней куба, перпендикулярных $\mathbf {e} _{1},\mathbf {e} _{2},\mathbf {e} _{3}$, соответствующие векторы напряжений $\mathbf {T} (\mathbf {e} _{1}),\mathbf {T} (\mathbf {e} _{2}),\mathbf {T} (\mathbf {e} _{3})$ вдоль этих лиц. Поскольку тензор напряжений принимает один вектор в качестве входных данных и выдает один вектор в качестве выходных, он является тензором второго порядка.

В математике тензор — это алгебраический объект , который описывает полилинейную связь между множествами алгебраических объектов, связанных с векторным пространством . Тензоры могут сопоставляться между различными объектами, такими как векторы , скаляры и даже другие тензоры. Существует множество типов тензоров, включая скаляры и векторы (которые являются простейшими тензорами), двойственные векторы , полилинейные отображения между векторными пространствами и даже некоторые операции, такие как скалярное произведение . Тензоры определяются независимо от какого-либо базиса , хотя их часто называют по компонентам в базисе, связанном с определенной системой координат; эти компоненты образуют массив, который можно рассматривать как многомерную матрицу .

Тензоры стали важными в физике , поскольку они обеспечивают краткую математическую основу для формулирования и решения физических задач в таких областях, как механика ( напряжение , упругость , квантовая механика , механика жидкости , момент инерции , ...), электродинамика ( электромагнитный тензор , Максвелл тензор , диэлектрическая проницаемость , магнитная восприимчивость ,...), общая теория относительности ( тензор энергии-импульса , тензор кривизны ,...) и другие. В приложениях обычно изучаются ситуации, в которых в каждой точке объекта может возникнуть другой тензор; например, напряжение внутри объекта может варьироваться от одного места к другому. Это приводит к понятию тензорного поля . В некоторых областях тензорные поля настолько распространены, что их часто называют просто «тензорами».

Туллио Леви-Чивита и Грегорио Риччи-Курбастро популяризировали тензоры в 1900 году, продолжая более ранние работы Бернхарда Римана , Элвина Бруно Кристоффеля и других, как часть абсолютного дифференциального исчисления . Эта концепция позволила альтернативную формулировку внутренней дифференциальной геометрии многообразия тензора кривизны в форме Римана .

Определение

Хотя разные подходы к определению тензоров кажутся разными, они описывают одну и ту же геометрическую концепцию, используя разные языки и на разных уровнях абстракции.

Как многомерные массивы

Тензор может быть представлен как (потенциально многомерный) массив. Подобно тому, как вектор в n - мерном пространстве представляется одномерным массивом с n компонентами относительно данного базиса , любой тензор относительно базиса представляется многомерным массивом. Например, линейный оператор представляется в базисе как двумерный квадратный массив размера n × n . Числа в многомерном массиве называются компонентами тензора . Они обозначаются индексами, указывающими их положение в массиве, в виде нижних и верхних индексов , следующих за символическим именем тензора. порядка 2 Например, компоненты тензора T можно обозначить Tij _, где i и j — индексы от 1 до n , или также T  ^я
_Дж . Отображается ли индекс в виде верхнего или нижнего индекса, зависит от свойств преобразования тензора, описанных ниже. Таким образом, хотя T _ij и T  ^я
_j могут быть выражены в виде n матриц размером x n и численно связаны посредством подтасовки индексов , разница в их законах преобразования указывает на то, что было бы неправильно складывать их вместе.

Общее количество индексов ( m ), необходимых для однозначной идентификации каждого компонента, равно размерности или количеству способов массива, поэтому тензор иногда называют m -мерным массивом или m -мерным массивом. Общее количество индексов также называют порядком , степенью или рангом тензора. хотя термин «ранг» обычно имеет другое значение в контексте матриц и тензоров.

Подобно тому, как компоненты вектора изменяются при изменении базиса векторного пространства, при таком преобразовании изменяются и компоненты тензора. Каждый тип тензора оснащен законом преобразования , который подробно описывает, как компоненты тензора реагируют на изменение базиса . Компоненты вектора могут реагировать двумя разными способами на изменение базиса (см. Ковариантность и контравариантность векторов ), где новые базисные векторы $\mathbf {\hat {e}} _{i}$ выражаются через старые базисные векторы $\mathbf {e} _{j}$ как,

$\mathbf {\hat {e}} _{i}=\sum _{j=1}^{n}\mathbf {e} _{j}R_{i}^{j}=\mathbf {e} _{j}R_{i}^{j}.$

Здесь Р ^дж _i — записи изменения базовой матрицы, а в крайнем правом выражении знак суммы был подавлен: это соглашение Эйнштейна о суммировании , которое будет использоваться на протяжении всей статьи. Компоненты v ^я вектора-столбца v преобразования с обратной матрицей R ,

${\hat {v}}^{i}=\left(R^{-1}\right)_{j}^{i}v^{j},$

где шляпка обозначает компоненты нового базиса. Это называется контравариантным законом преобразования, поскольку компоненты вектора преобразуются путем, обратным изменению базиса. Напротив, компоненты wi _w ковектора (или вектора-строки) преобразуются вместе с самой матрицей R ,

${\hat {w}}_{i}=w_{j}R_{i}^{j}.$

Это называется ковариантным законом преобразования, поскольку компоненты ковектора преобразуются по той же матрице, что и изменение базовой матрицы. Компоненты более общего тензора преобразуются с помощью некоторой комбинации ковариантных и контравариантных преобразований с одним законом преобразования для каждого индекса. Если матрица преобразования индекса является обратной матрицей базисного преобразования, то индекс называется контравариантным и условно обозначается верхним индексом (надстрочным индексом). Если матрица преобразования индекса сама является базисным преобразованием, то индекс называется ковариантным и обозначается нижним индексом (индексом).

В качестве простого примера матрица линейного оператора относительно базиса представляет собой прямоугольный массив. $T$ который преобразуется при изменении базовой матрицы $R=\left(R_{i}^{j}\right)$ к ${\hat {T}}=R^{-1}TR$. Для отдельных элементов матрицы этот закон преобразования имеет вид ${\hat {T}}_{j'}^{i'}=\left(R^{-1}\right)_{i}^{i'}T_{j}^{i}R_{j'}^{j}$ поэтому тензор, соответствующий матрице линейного оператора, имеет один ковариантный и один контравариантный индекс: он имеет тип (1,1).

Комбинации ковариантных и контравариантных компонент с одним и тем же индексом позволяют выразить геометрические инварианты. Например, тот факт, что вектор является одним и тем же объектом в разных системах координат, можно отразить с помощью следующих уравнений, используя формулы, определенные выше:

$\mathbf {v} ={\hat {v}}^{i}\,\mathbf {\hat {e}} _{i}=\left(\left(R^{-1}\right)_{j}^{i}{v}^{j}\right)\left(\mathbf {e} _{k}R_{i}^{k}\right)=\left(\left(R^{-1}\right)_{j}^{i}R_{i}^{k}\right){v}^{j}\mathbf {e} _{k}=\delta _{j}^{k}{v}^{j}\mathbf {e} _{k}={v}^{k}\,\mathbf {e} _{k}={v}^{i}\,\mathbf {e} _{i}$,

где $\delta _{j}^{k}$ — это дельта Кронекера , которая функционирует аналогично единичной матрице и приводит к переименованию индексов ( j в k в этом примере ). Это показывает несколько особенностей нотации компонентов: возможность переупорядочивать термины по своему желанию ( коммутативность ), необходимость использовать разные индексы при работе с несколькими объектами в одном и том же выражении, возможность переименовывать индексы и способ контравариантности. и ковариантные тензоры объединяются так, что все экземпляры матрицы преобразования и ее обратной связи сокращаются, так что выражения типа ${v}^{i}\,\mathbf {e} _{i}$ Сразу видно, что они геометрически идентичны во всех системах координат.

Точно так же линейный оператор, рассматриваемый как геометрический объект, на самом деле не зависит от базиса: это просто линейное отображение, которое принимает вектор в качестве аргумента и создает другой вектор. Закон преобразования изменения матрицы компонент линейного оператора с базисом согласуется с законом преобразования контравариантного вектора, так что действие линейного оператора на контравариантный вектор представляется в координатах как матричное произведение их соответствующие координатные представления. То есть компоненты $(Tv)^{i}$ даны $(Tv)^{i}=T_{j}^{i}v^{j}$. Эти компоненты преобразуются контравариантно, поскольку

$\left({\widehat {Tv}}\right)^{i'}={\hat {T}}_{j'}^{i'}{\hat {v}}^{j'}=\left[\left(R^{-1}\right)_{i}^{i'}T_{j}^{i}R_{j'}^{j}\right]\left[\left(R^{-1}\right)_{k}^{j'}v^{k}\right]=\left(R^{-1}\right)_{i}^{i'}(Tv)^{i}.$

Таким образом, закон преобразования для тензора порядка p + q с p контравариантными индексами и ковариантными индексами q задается следующим образом:

${\hat {T}}_{j'_{1},\ldots ,j'_{q}}^{i'_{1},\ldots ,i'_{p}}=\left(R^{-1}\right)_{i_{1}}^{i'_{1}}\cdots \left(R^{-1}\right)_{i_{p}}^{i'_{p}}$ $T_{j_{1},\ldots ,j_{q}}^{i_{1},\ldots ,i_{p}}$ $R_{j'_{1}}^{j_{1}}\cdots R_{j'_{q}}^{j_{q}}.$

Здесь индексы со штрихом обозначают компоненты в новых координатах, а индексы без штриха обозначают компоненты в старых координатах. Говорят, что такой тензор имеет порядок или тип ( p , q ) . Термины «порядок», «тип», «ранг», «валентность» и «степень» иногда используются для одного и того же понятия. Здесь термин «порядок» или «общий порядок» будет использоваться для обозначения общей размерности массива (или его обобщения в других определениях), p + q в предыдущем примере, а термин «тип» для пары, дающей количество контравариантных и ковариантных индексов. Тензор типа ( p , q ) также для краткости называется ( p , q ) -тензором.

Это обсуждение мотивирует следующее формальное определение:

Определение. Тензор типа ( p , q ) — это присваивание многомерного массива

$T_{j_{1}\dots j_{q}}^{i_{1}\dots i_{p}}[\mathbf {f} ]$

к каждому базису f = ( e ₁ , ..., en _{векторного пространства ,} ) n -мерного такому что, если мы применим замену базиса

$\mathbf {f} \mapsto \mathbf {f} \cdot R=\left(\mathbf {e} _{i}R_{1}^{i},\dots ,\mathbf {e} _{i}R_{n}^{i}\right)$

то многомерный массив подчиняется закону преобразования

$T_{j'_{1}\dots j'_{q}}^{i'_{1}\dots i'_{p}}[\mathbf {f} \cdot R]=\left(R^{-1}\right)_{i_{1}}^{i'_{1}}\cdots \left(R^{-1}\right)_{i_{p}}^{i'_{p}}$ $T_{j_{1},\ldots ,j_{q}}^{i_{1},\ldots ,i_{p}}[\mathbf {f} ]$ $R_{j'_{1}}^{j_{1}}\cdots R_{j'_{q}}^{j_{q}}.$

Определение тензора как многомерного массива, удовлетворяющего закону преобразования, восходит к работам Риччи.

Эквивалентное определение тензора использует представления общей линейной группы . Существует действие полной линейной группы на множестве всех упорядоченных базисов -мерного векторного n пространства. Если $\mathbf {f} =(\mathbf {f} _{1},\dots ,\mathbf {f} _{n})$ является упорядоченным базисом, и $R=\left(R_{j}^{i}\right)$ является обратимым $n\times n$ матрица, то действие определяется выражением

$\mathbf {f} R=\left(\mathbf {f} _{i}R_{1}^{i},\dots ,\mathbf {f} _{i}R_{n}^{i}\right).$

Пусть F — множество всех упорядоченных базисов. Тогда F — главное однородное пространство для GL( n ). Пусть W — векторное пространство и пусть $\rho$ — представление GL( n ) на W (т. е. групповой гомоморфизм $\rho :{\text{GL}}(n)\to {\text{GL}}(W)$). Тогда тензор типа $\rho$ является эквивариантным отображением $T:F\to W$. Эквивариантность здесь означает, что

$T(FR)=\rho \left(R^{-1}\right)T(F).$

Когда $\rho$ является тензорным представлением общей линейной группы, это дает обычное определение тензоров как многомерных массивов. Это определение часто используется для описания тензоров на многообразиях. и легко обобщается на другие группы.

Как многолинейные карты

Основная статья: Многолинейная карта

Недостатком определения тензора с использованием подхода многомерного массива является то, что из определения не очевидно, что определенный объект действительно не зависит от базиса, как и ожидается от геометрического объекта по своей сути. Хотя можно показать, что законы трансформации действительно обеспечивают независимость от базиса, иногда предпочтительнее более внутреннее определение. Один из подходов, распространенных в дифференциальной геометрии, заключается в определении тензоров относительно фиксированного (конечномерного) векторного пространства V , которое обычно считается конкретным векторным пространством, имеющим некоторую геометрическую значимость, например, касательным пространством к многообразию. типа ( p , q ) В этом подходе тензор T определяется как полилинейное отображение ,

$T:\underbrace {V^{*}\times \dots \times V^{*}} _{p{\text{ copies}}}\times \underbrace {V\times \dots \times V} _{q{\text{ copies}}}\rightarrow \mathbf {R} ,$

где В ^∗ — соответствующее дуальное пространство ковекторов, линейное по каждому из своих аргументов. Вышеупомянутое предполагает, что V является векторным пространством над действительными числами , $\mathbb {R}$. В более общем смысле, V может быть взято для любого поля F (например, комплексных чисел ), при этом F заменяет $\mathbb {R}$ как кодомейн полилинейных отображений.

Применяя полилинейное отображение T типа ( p , q ) к базису { e _j } для V и каноническому кобазису { ε ^я } для V ^∗ ,

$T_{j_{1}\dots j_{q}}^{i_{1}\dots i_{p}}\equiv T\left({\boldsymbol {\varepsilon }}^{i_{1}},\ldots ,{\boldsymbol {\varepsilon }}^{i_{p}},\mathbf {e} _{j_{1}},\ldots ,\mathbf {e} _{j_{q}}\right),$

-мерный массив Можно получить ( p + q ) компонентов. Другой выбор основы даст разные компоненты. Но поскольку T является линейным по всем своим аргументам, компоненты удовлетворяют закону тензорного преобразования, используемому в определении полилинейного массива. Таким образом, многомерный массив компонентов T образует тензор в соответствии с этим определением. Более того, такой массив можно реализовать как компоненты некоторого полилинейного отображения T . Это побуждает рассматривать полилинейные карты как внутренние объекты, лежащие в основе тензоров.

Рассматривая тензор как полилинейное отображение, принято идентифицировать двойное двойное V ^∗∗ векторного пространства V , т.е. пространства линейных функционалов на двойственном векторном пространстве V ^∗ , с векторным пространством V . Всегда существует естественное линейное отображение V V. двойной двойник, заданное путем вычисления линейной формы в в его ^∗ против вектора в V . Это линейное отображение является изоморфизмом в конечных размерностях, и тогда часто бывает целесообразно отождествить V с его двойным двойником.

Использование тензорных произведений

Основная статья: Тензор (внутреннее определение)

Для некоторых математических приложений иногда полезен более абстрактный подход. Этого можно достичь, определив тензоры в терминах элементов тензорных произведений векторных пространств, которые, в свою очередь, определяются через универсальное свойство , как описано здесь и здесь .

( Тензор типа p , q ) определяется в этом контексте как элемент тензорного произведения векторных пространств,

$T\in \underbrace {V\otimes \dots \otimes V} _{p{\text{ copies}}}\otimes \underbrace {V^{*}\otimes \dots \otimes V^{*}} _{q{\text{ copies}}}.$

Базис v _i из V и базис w _j из W индуцируют базис vi _⊗ w естественным образом _j тензорного произведения V ⊗ W . Компонентами тензора T являются коэффициенты тензора относительно базиса, полученного из базиса { e _i } для V и его двойственного базиса { ε ^дж } , т.е.

$T=T_{j_{1}\dots j_{q}}^{i_{1}\dots i_{p}}\;\mathbf {e} _{i_{1}}\otimes \cdots \otimes \mathbf {e} _{i_{p}}\otimes {\boldsymbol {\varepsilon }}^{j_{1}}\otimes \cdots \otimes {\boldsymbol {\varepsilon }}^{j_{q}}.$

Используя свойства тензорного произведения, можно показать, что эти компоненты удовлетворяют закону преобразования для тензора типа ( p , q ) . Более того, универсальное свойство тензорного произведения дает взаимно однозначное соответствие между тензорами, определенными таким образом, и тензорами, определенными как полилинейные отображения.

Это соответствие 1 к 1 можно заархивировать следующим образом, поскольку в конечномерном случае существует канонический изоморфизм между векторным пространством и его двойным двойником:

$U\otimes V\cong \left(U^{**}\right)\otimes \left(V^{**}\right)\cong \left(U^{*}\otimes V^{*}\right)^{*}\cong \operatorname {Hom} ^{2}\left(U^{*}\times V^{*};\mathbb {F} \right)$

Последняя строка использует универсальное свойство тензорного произведения, заключающееся в том, что между картами из $\operatorname {Hom} ^{2}\left(U^{*}\times V^{*};\mathbb {F} \right)$ и $\operatorname {Hom} \left(U^{*}\otimes V^{*};\mathbb {F} \right)$.

Тензорные произведения могут быть определены в широком смысле, например, с использованием произвольных модулей над кольцом. В принципе, можно определить «тензор» просто как элемент любого тензорного произведения. Однако в математической литературе термин «тензор» обычно используется для элемента тензорного произведения любого количества копий одного векторного пространства V и его двойственного пространства, как указано выше.

Тензоры в бесконечных измерениях

До сих пор обсуждение тензоров предполагало конечномерность рассматриваемых пространств, причем пространства тензоров, полученные каждой из этих конструкций, естественно изоморфны . Конструкции пространств тензоров, основанные на тензорном произведении и полилинейных отображениях, могут быть обобщены, по существу без изменений, на векторные расслоения или когерентные пучки . Для бесконечномерных векторных пространств неэквивалентные топологии приводят к неэквивалентным понятиям тензора, и эти различные изоморфизмы могут выполняться или не выполняться в зависимости от того, что именно подразумевается под тензором (см. Топологическое тензорное произведение ). В некоторых приложениях имеется в виду тензорное произведение гильбертовых пространств , свойства которого наиболее близки к конечномерному случаю. Более современная точка зрения состоит в том, что именно структура тензоров как симметричная моноидальная категория кодирует их наиболее важные свойства, а не конкретные модели этих категорий.

Тензорные поля

Основная статья: Тензорное поле

Во многих приложениях, особенно в дифференциальной геометрии и физике, естественно рассматривать тензор с компонентами, являющимися функциями точки пространства. Это была декорация оригинальной работы Риччи. В современной математической терминологии такой объект называется тензорным полем , часто называемым просто тензором.

В этом контексте координатный базис часто выбирается для касательного векторного пространства . Тогда закон преобразования можно выразить через частные производные координатных функций:

${\bar {x}}^{i}\left(x^{1},\ldots ,x^{n}\right),$

определение преобразования координат,

${\hat {T}}_{j'_{1}\dots j'_{q}}^{i'_{1}\dots i'_{p}}\left({\bar {x}}^{1},\ldots ,{\bar {x}}^{n}\right)={\frac {\partial {\bar {x}}^{i'_{1}}}{\partial x^{i_{1}}}}\cdots {\frac {\partial {\bar {x}}^{i'_{p}}}{\partial x^{i_{p}}}}{\frac {\partial x^{j_{1}}}{\partial {\bar {x}}^{j'_{1}}}}\cdots {\frac {\partial x^{j_{q}}}{\partial {\bar {x}}^{j'_{q}}}}T_{j_{1}\dots j_{q}}^{i_{1}\dots i_{p}}\left(x^{1},\ldots ,x^{n}\right).$

История

Концепции более позднего тензорного анализа возникли из работ Карла Фридриха Гаусса по дифференциальной геометрии , а на их формулировку большое влияние оказала теория алгебраических форм и инвариантов, разработанная в середине девятнадцатого века. Само слово «тензор» было введено в 1846 году Уильямом Роуэном Гамильтоном. описать нечто иное, чем то, что сейчас подразумевается под тензором. Гиббс ввел диадики и полиадические алгебры , которые также являются тензорами в современном смысле. Современное использование было введено Вольдемаром Фойгтом в 1898 году.

Тензорное исчисление было разработано Грегорио Риччи-Курбастро примерно в 1890 году под названием «абсолютное дифференциальное исчисление» и первоначально представлено Риччи-Курбастро в 1892 году. Он стал доступен многим математикам после публикации классического текста Риччи-Курбастро и Туллио Леви-Чивита 1900 года . «Методы абсолютного дифференциального исчисления и их приложения» В обозначениях Риччи он относится к «системам» с ковариантными и контравариантными компонентами, которые известны как тензорные поля в современном смысле.

В 20 веке этот предмет стал известен как тензорный анализ и получил более широкое признание с появлением Эйнштейна общей теории относительности примерно в 1915 году. Общая теория относительности полностью сформулирована на языке тензоров. Эйнштейн с большим трудом узнал о них от геометра Марселя Гроссмана . Затем Леви-Чивита начал переписку с Эйнштейном, чтобы исправить ошибки, которые Эйнштейн допустил при использовании тензорного анализа. Переписка длилась 1915–17 и характеризовалась взаимным уважением:

Я восхищаюсь элегантностью вашего метода вычислений; Должно быть, приятно ехать по этим полям на коне истинной математики, в то время как нам, подобным нам, приходится с трудом пробираться пешком.

— Альберт Эйнштейн

Тензоры и тензорные поля также оказались полезными в других областях, таких как механика сплошной среды . Некоторыми хорошо известными примерами тензоров в дифференциальной геометрии являются квадратичные формы , такие как метрические тензоры и тензор кривизны Римана . Германа Внешняя алгебра Грассмана середины девятнадцатого века сама по себе является тензорной теорией и в высшей степени геометрической, но прошло некоторое время, прежде чем она стала рассматриваться вместе с теорией дифференциальных форм как естественно объединенная с тензорным исчислением. Работы Эли Картана сделали дифференциальные формы одним из основных видов тензоров, используемых в математике, а Хасслер Уитни популяризировал тензорное произведение .

Примерно с 1920-х годов стало понятно, что тензоры играют основную роль в алгебраической топологии (например, в теореме Кюннета ). , используются типы тензоров Соответственно, во многих разделах абстрактной алгебры , особенно в гомологической алгебре и теории представлений . Полилинейную алгебру можно развивать в большей общности, чем для скаляров, исходящих из поля . Например, скаляры могут происходить из кольца . Но в этом случае теория становится менее геометрической, а вычисления более техническими и менее алгоритмическими. Тензоры обобщаются в теории категорий посредством концепции моноидальной категории 1960-х годов.

Примеры

Смотрите также: Диадический тензор

Элементарным примером отображения, описываемого как тензор, является скалярное произведение , которое отображает два вектора в скаляр. Более сложным примером является тензор напряжений Коши T , который принимает единичный вектор направления v в качестве входных данных и отображает его в вектор напряжения T. ^{( v )} , которая представляет собой силу (на единицу площади), действующую материалом на отрицательной стороне плоскости, ортогональной v, на материал на положительной стороне плоскости, таким образом выражая связь между этими двумя векторами, показанными на рисунке (справа). . Перекрестное произведение , где два вектора отображаются в третий, строго говоря, не является тензором, поскольку меняет знак при тех преобразованиях, которые меняют ориентацию системы координат. Абсолютно антисимметричный символ $\varepsilon _{ijk}$ тем не менее, позволяет удобно обрабатывать векторное произведение в одинаково ориентированных трехмерных системах координат.

В этой таблице показаны важные примеры тензоров в векторных пространствах и тензорных полей на многообразиях. Тензоры классифицируются в соответствии с их типом ( n , m ) , где n — количество контравариантных индексов, m — количество ковариантных индексов, а n + m дает общий порядок тензора. Например, билинейная форма — это то же самое, что (0, 2) -тензор; внутренний продукт является примером (0, 2) -тензора, но не все (0, 2) -тензоры являются внутренними продуктами. В (0, M ) -записи таблицы M обозначает размерность базового векторного пространства или многообразия, поскольку для каждого измерения пространства необходим отдельный индекс для выбора этого измерения и получения максимально ковариантного антисимметричного тензора.

Примеры тензоров в векторных пространствах и тензорных полей на многообразиях

		м
		0	1	2	3	⋯	М	⋯
н	0	Скаляр , например скалярная кривизна	Ковектор , линейный функционал , 1-форма , например, дипольный момент , градиент скалярного поля	Билинейная форма , например , скалярное произведение , квадрупольный момент , метрический тензор , кривизна Риччи , 2-форма , симплектическая форма	3-форма Например, октупольный момент		Например, М -форма, т.е. форма объема.
	1	Евклидов вектор	Линейное преобразование , Кронекера дельта	Например, векторное произведение в трех измерениях	Например, тензор кривизны Римана.
	2	Обратный метрический тензор , бивектор , например, структура Пуассона		Например, тензор упругости
	⋮
	Н	Многовекторный
	⋮

Повышение индекса ( n , m ) -тензора дает ( n + 1, m − 1) -тензор; это соответствует движению по диагонали вниз и влево по столу. Симметрично понижение индекса соответствует перемещению по таблице по диагонали вверх и вправо. Сжатие верхнего индекса с нижним ( n , m ) -тензора дает ( n − 1, m − 1) -тензор; это соответствует движению по столу по диагонали вверх и влево.

Ориентация определяется упорядоченным набором векторов.

Обратная ориентация соответствует отрицанию внешнего продукта.

Геометрическая интерпретация элементов степени n в реальной внешней алгебре для n = 0 (точка со знаком), 1 (направленный отрезок или вектор), 2 (ориентированный плоский элемент), 3 (ориентированный объем). Внешний продукт n векторов можно визуализировать как любую n -мерную форму (например, n - параллелотоп , n - эллипсоид ); с величиной ( гиперобъемом ) и ориентацией, определяемой тем, что на его n - 1 -мерной границе и на какой стороне находится внутренняя часть.

Свойства

Предполагая, что основой реального векторного пространства является, например, система координат в окружающем пространстве, тензор можно представить как организованный многомерный массив числовых значений относительно этого конкретного базиса. Изменение базиса преобразует значения в массиве характерным образом, что позволяет определить тензоры как объекты, придерживающиеся этого трансформационного поведения. Например, существуют инварианты тензоров, которые должны сохраняться при любом изменении базиса, тем самым делая тензорами только определенные многомерные массивы чисел. Сравните это с массивом, представляющим $\varepsilon _{ijk}$ не является тензором, так как знак меняется при преобразованиях, меняющих ориентацию.

Поскольку компоненты векторов и их двойников преобразуются по-разному при изменении их двойственных оснований, существует ковариантный и/или контравариантный закон преобразования , связывающий массивы, представляющие тензор по отношению к одному базису и по отношению к другому. . Числа соответственно векторов: n ( контравариантные индексы) и двойственных векторов: m ( ковариантные индексы) на входе и выходе тензора определяют тип (или валентность ) тензора, пара натуральных чисел ( n , m ) , которые определяют точный вид закона преобразования. порядок тензора есть сумма этих двух чисел.

Порядок (также степень или Rank ) тензора, таким образом, представляет собой сумму порядков его аргументов плюс порядок результирующего тензора. Это также размерность массива чисел, необходимая для представления тензора относительно определенного базиса, или, что то же самое, количество индексов, необходимых для обозначения каждого компонента в этом массиве. Например, в фиксированном базисе стандартная линейная карта, которая отображает вектор в вектор, представлена ​​матрицей (двумерным массивом) и, следовательно, является тензором 2-го порядка. Простой вектор может быть представлен как одномерный массив и, следовательно, является тензором 1-го порядка. Скаляры представляют собой простые числа и, следовательно, являются тензорами 0-го порядка. Таким образом, тензор, представляющий скалярное произведение, принимающий два вектора и дающий скаляр, имеет порядок 2 + 0 = 2 , такой же, как тензор напряжений, принимающий один вектор и возвращающий другой 1 + 1 = 2 . $\varepsilon _{ijk}$-символ, отображающий два вектора в один вектор, будет иметь порядок 2 + 1 = 3.

Коллекция тензоров в векторном пространстве и его двойственном пространстве образует тензорную алгебру , которая допускает произведения произвольных тензоров. Простые применения тензоров второго порядка , которые можно представить в виде квадратной матрицы, можно решить путем умного расположения транспонированных векторов и применения правил умножения матриц, но не следует путать с этим тензорное произведение.

Обозначения

Существует несколько систем обозначений, которые используются для описания тензоров и выполнения вычислений с их участием.

Исчисление Риччи

Исчисление Риччи — это современный формализм и обозначения тензорных индексов: указание внутренних и внешних произведений , ковариантности и контравариантности , суммирования компонентов тензора, симметрии и антисимметрии , а также частичных и ковариантных производных .

Эйнштейна

Соглашение Эйнштейна о суммировании не требует написания знаков суммирования , оставляя суммирование неявным. Любой повторяющийся символ индекса суммируется: если индекс i используется дважды в данном члене тензорного выражения, это означает, что этот термин необходимо суммировать для всех i . Таким образом можно суммировать несколько различных пар индексов.

Пенроуза

Графическая нотация Пенроуза — это схематическая нотация, в которой символы тензоров заменяются фигурами, а их индексы — линиями и кривыми. Он не зависит от базисных элементов и не требует символов для индексов.

Обозначение абстрактного индекса

Обозначение абстрактного индекса — это способ записи тензоров, при котором индексы больше не считаются числовыми, а скорее являются неопределенными . Эта нотация отражает выразительность индексов и независимость безиндексной нотации от базиса.

Бескомпонентная нотация

Бескомпонентная обработка тензоров использует обозначения, которые подчеркивают, что тензоры не полагаются ни на какой базис, и определяются в терминах тензорного произведения векторных пространств .

Операции

Есть несколько операций над тензорами, которые снова создают тензор. Линейная природа тензора подразумевает, что два тензора одного типа могут быть сложены вместе и что тензоры могут быть умножены на скаляр с результатами, аналогичными масштабированию вектора . На компонентах эти операции просто выполняются покомпонентно. Эти операции не меняют тип тензора; но есть также операции, которые создают тензор другого типа.

Тензорное произведение

Основная статья: Тензорное произведение

Тензорное произведение принимает два тензора S и T и создает новый тензор S ⊗ T , порядок которого является суммой порядков исходных тензоров. При описании как полилинейные карты тензорное произведение просто умножает два тензора, т. е.

$$(S\otimes T)(v_{1},\ldots ,v_{n},v_{n+1},\ldots ,v_{n+m})=S(v_{1},\ldots ,v_{n})T(v_{n+1},\ldots ,v_{n+m}),$$

что снова создает карту, линейную по всем своим аргументам. Что касается компонентов, эффект заключается в попарном умножении компонентов двух входных тензоров, т. е.

$$(S\otimes T)_{j_{1}\ldots j_{k}j_{k+1}\ldots j_{k+m}}^{i_{1}\ldots i_{l}i_{l+1}\ldots i_{l+n}}=S_{j_{1}\ldots j_{k}}^{i_{1}\ldots i_{l}}T_{j_{k+1}\ldots j_{k+m}}^{i_{l+1}\ldots i_{l+n}}.$$

Если S имеет тип ( l , k ), а T имеет тип ( n , m ) , то тензорное произведение S ⊗ T имеет тип ( l + n , k + m ) .

Сокращение

Основная статья: Тензорное сокращение

Тензорное сжатие — это операция, которая сводит тензор типа ( n , m ) к тензору типа ( n — 1, m — 1) которого является след , частным случаем . Тем самым он уменьшает общий порядок тензора на два. Операция достигается путем суммирования компонентов, для которых один указанный контравариантный индекс совпадает с одним указанным ковариантным индексом, для создания нового компонента. Компоненты, для которых эти два индекса различны, отбрасываются. Например, (1, 1) -тензор $T_{i}^{j}$ может быть сжато до скаляра через $T_{i}^{i}$, где снова подразумевается суммирование. Когда (1, 1) -тензор интерпретируется как линейное отображение, эта операция известна как трассировка .

Сокращение часто используется вместе с тензорным произведением для сжатия индекса каждого тензора.

Сжатие также можно понять, используя определение тензора как элемента тензорного произведения копий пространства V с пространством V. ^∗ сначала разложив тензор на линейную комбинацию простых тензоров, а затем применив множитель из V ^∗ на коэффициент от V . Например, тензор $T\in V\otimes V\otimes V^{*}$ можно записать в виде линейной комбинации

$T=v_{1}\otimes w_{1}\otimes \alpha _{1}+v_{2}\otimes w_{2}\otimes \alpha _{2}+\cdots +v_{N}\otimes w_{N}\otimes \alpha _{N}.$

Тогда сокращение T на первом и последнем слотах будет вектором

$\alpha _{1}(v_{1})w_{1}+\alpha _{2}(v_{2})w_{2}+\cdots +\alpha _{N}(v_{N})w_{N}.$

В векторном пространстве со скалярным произведением (также известным как метрика ) g термин сокращение используется для удаления двух контравариантных или двух ковариантных индексов путем формирования следа с помощью метрического тензора или его обратного. Например, (2,0) -тензор $T^{ij}$ может быть сжато до скаляра через $T^{ij}g_{ij}$ (опять же при условии соблюдения соглашения о суммировании).

Повышение или понижение индекса

Основная статья: Повышение и понижение индексов

Когда векторное пространство снабжено невырожденной билинейной формой (или метрическим тензором , как его часто называют в этом контексте), можно определить операции, которые преобразуют контравариантный (верхний) индекс в ковариантный (нижний) индекс и наоборот. Метрический тензор — это (симметричный) ( 0, 2) -тензор; таким образом, можно сжать верхний индекс тензора с одним из нижних индексов метрического тензора в произведении. В результате создается новый тензор с той же структурой индекса, что и предыдущий тензор, но с нижним индексом, обычно отображаемым в том же положении, что и сжатый верхний индекс. Эта операция довольно наглядно известна как понижение индекса .

И наоборот, можно определить обратную операцию, которая называется повышением индекса . Это эквивалентно аналогичному сжатию произведения с (2,0) -тензором. Этот обратный метрический тензор имеет компоненты, которые являются матрицами, обратными компонентам метрического тензора.

Приложения

Механика сплошных сред

Важные примеры дает механика сплошных сред . Напряжения внутри твердого тела или жидкости описываются тензорным полем. Тензор напряжений и тензор деформации являются тензорными полями второго порядка и связаны в обычном линейном упругом материале полем тензора упругости четвертого порядка . Более подробно, тензор, количественно определяющий напряжение в трехмерном твердом объекте, имеет компоненты, которые удобно представить в виде массива 3 × 3. Каждая из трех граней бесконечно малого объемного сегмента твердого тела в форме куба подвергается действию некоторой заданной силы. Компонентов вектора силы также три. Таким образом, для описания напряжения на этом бесконечно малом сегменте кубической формы требуется 3 × 3, или 9 компонентов. В пределах этого твердого тела находится целая масса различных величин напряжений, для описания каждой из которых требуется девять величин. Таким образом, необходим тензор второго порядка.

конкретный элемент поверхности Если выделить внутри материала, материал на одной стороне поверхности будет прикладывать силу к другой стороне. В общем случае эта сила не будет ортогональна поверхности, а будет линейно зависеть от ориентации поверхности. Это описывается тензором типа (2,0) в линейной упругости или, точнее, тензорным полем типа (2,0) , поскольку напряжения могут меняться от точки к точке.

Другие примеры из физики

Общие приложения включают в себя:

• Электромагнитный тензор (или тензор Фарадея) в электромагнетизме
• Тензоры конечных деформаций описания деформаций и тензор деформаций для в механике сплошных сред
• Диэлектрическая проницаемость и электрическая восприимчивость являются тензорами в анизотропных средах.
• Четыре тензора в общей теории относительности (например, тензор энергии-напряжения ), используемые для представления импульса. потоков
• Сферические тензорные операторы являются собственными функциями квантового оператора углового момента в сферических координатах.
• Тензоры диффузии, лежащие в основе визуализации тензоров диффузии , представляют скорость диффузии в биологической среде.
• Квантовая механика и квантовые вычисления используют тензорные произведения для комбинации квантовых состояний.

Компьютерное зрение и оптика

Понятие тензора второго порядка часто путают с понятием матрицы. Однако тензоры более высокого порядка действительно улавливают идеи, важные в науке и технике, как это было последовательно показано во многих областях по мере их развития. Это происходит, например, в области компьютерного зрения , когда трифокальный тензор обобщает фундаментальную матрицу .

Область нелинейной оптики изучает изменения плотности поляризации материала в экстремальных электрических полях. Генерируемые волны поляризации связаны с генерирующими электрическими полями через тензор нелинейной восприимчивости. Если поляризация P не линейно пропорциональна электрическому полю E , среду называют нелинейной . В хорошем приближении (для достаточно слабых полей, при условии отсутствия постоянных дипольных моментов) P задается рядом Тейлора по E , коэффициенты которого представляют собой нелинейные восприимчивости:

${\frac {P_{i}}{\varepsilon _{0}}}=\sum _{j}\chi _{ij}^{(1)}E_{j}+\sum _{jk}\chi _{ijk}^{(2)}E_{j}E_{k}+\sum _{jk\ell }\chi _{ijk\ell }^{(3)}E_{j}E_{k}E_{\ell }+\cdots .\!$

Здесь $\chi ^{(1)}$ – линейная восприимчивость, $\chi ^{(2)}$ дает эффект Поккельса и генерацию второй гармоники , и $\chi ^{(3)}$ дает эффект Керра . Это расширение показывает, как естественным образом возникают тензоры более высокого порядка в предмете исследования.

Машинное обучение

Свойства тензоров (машинное обучение) , особенно тензорная декомпозиция , позволили использовать их в машинном обучении для встраивания данных более высокой размерности в искусственные нейронные сети . Это понятие тензора существенно отличается от представлений в других областях математики и физики в том смысле, что тензор обычно рассматривается как числовая величина в фиксированном базисе, и размерность пространств вдоль различных осей тензора не обязательно должна быть одинаковый.

Обобщения

произведения

Векторные пространства тензорного произведения не обязательно должны быть одинаковыми, и иногда элементы такого более общего тензорного произведения называют «тензорами». Например, элемент тензорного пространства произведений V ⊗ W является «тензором» второго порядка в более общем смысле: и тензор порядка d также может быть определен как элемент тензорного произведения d различных векторных пространств. Тензор типа ( n , m ) в смысле, определенном ранее, также является тензором порядка n + m в этом более общем смысле. Понятие тензорного произведения можно распространить на произвольные модули над кольцом .

Тензоры в бесконечных измерениях

Понятие тензора можно различными способами обобщить на бесконечные измерения . Например, через тензорное произведение гильбертовых пространств . Другой способ обобщения идеи тензора, распространенной в нелинейном анализе , заключается в определении полилинейных отображений , где вместо использования конечномерных векторных пространств и их алгебраических двойственных пространств используются бесконечномерные банаховы пространства и их непрерывные двойственные пространства . Таким образом, тензоры естественным образом живут на банаховых многообразиях. и многообразия Фреше .

плотности

Основная статья: Тензорная плотность

Предположим, что однородная среда заполняет R ³ , так что плотность среды описывается одной скалярной величиной ρ в кг⋅м ⁻³ . Масса области Ω в кг получается путем умножения ρ на объем области Ω или, что эквивалентно, интегрирования постоянной ρ по области:

$m=\int _{\Omega }\rho \,dx\,dy\,dz,$

где декартовы координаты x , y , z измеряются в м . Если единицы длины изменить на см , то числовые значения координатных функций необходимо масштабировать в 100 раз:

$x'=100x,\quad y'=100y,\quad z'=100z.$

Численное значение плотности ρ тогда также должно преобразоваться на 100 ⁻³ м ³ /см ³ для компенсации, так что числовое значение массы в кг по-прежнему определяется интегралом от $\rho \,dx\,dy\,dz$. Таким образом $\rho '=100^{-3}\rho$ (в единицах кг⋅см ⁻³ ).

В более общем смысле, если декартовы координаты x , y , z подвергаются линейному преобразованию, то числовое значение плотности ρ должно измениться в коэффициент, обратный абсолютному значению определителя преобразования координат, так что интеграл остается инвариант, по формуле замены переменных для интегрирования. Такая величина, которая масштабируется пропорционально абсолютному значению определителя карты перехода координат, называется скалярной плотностью . Для моделирования непостоянной плотности ρ является функцией переменных x , y , z ( скалярное поле ), и при криволинейном изменении координат оно преобразуется на величину, обратную якобиану изменения координат. Дополнительную информацию о внутреннем значении см. в разделе «Плотность на многообразии» .

Тензорная плотность преобразуется подобно тензору при изменении координаты, с той лишь разницей, что она дополнительно приобретает коэффициент абсолютного значения определителя координатного перехода:

$T_{j'_{1}\dots j'_{q}}^{i'_{1}\dots i'_{p}}[\mathbf {f} \cdot R]=\left|\det R\right|^{-w}\left(R^{-1}\right)_{i_{1}}^{i'_{1}}\cdots \left(R^{-1}\right)_{i_{p}}^{i'_{p}}T_{j_{1},\ldots ,j_{q}}^{i_{1},\ldots ,i_{p}}[\mathbf {f} ]R_{j'_{1}}^{j_{1}}\cdots R_{j'_{q}}^{j_{q}}.$

Здесь w называется весом. В общем, любой тензор, умноженный на степень этой функции или ее абсолютное значение, называется тензорной плотностью или взвешенным тензором. Примером тензорной плотности является тока электромагнетизма плотность .

При аффинном преобразовании координат тензор преобразуется по линейной части самого преобразования (или обратного ему) по каждому индексу. Они происходят из рациональных представлений общей линейной группы. Но это не совсем общий закон линейного преобразования, который может иметь такой объект: тензорные плотности нерациональны, но все же являются полупростыми представлениями. Следующий класс преобразований происходит из логарифмического представления полной линейной группы, приводимого, но не полупростого представления. состоящий из ( x , y ) ∈ R ² с законом трансформации

$(x,y)\mapsto (x+y\log \left|\det R\right|,y).$

Геометрические объекты

Закон преобразования тензора ведет себя как функтор в категории допустимых систем координат при общих линейных преобразованиях (или других преобразованиях внутри некоторого класса, таких как локальные диффеоморфизмы ). Это делает тензор частным случаем геометрического объекта в техническом смысле, поскольку он является функцией системы координат, функториально преобразующейся при изменении координат. Примерами объектов, подчиняющихся более общим законам трансформации, являются струи и, в более общем плане, естественные сгустки .

Спиноры

Основная статья: Спинор

При переходе от одного ортонормированного базиса (называемого фреймом ) к другому путем вращения компоненты тензора преобразуются в результате того же вращения. Это преобразование не зависит от пути, пройденного через пространство кадров. Однако пространство кадров не просто связно (см. ориентационное запутывание и трюк с пластинами ): в пространстве кадров существуют непрерывные пути с одинаковыми конфигурациями начала и конца, не деформируемые один в другой. К каждому кадру можно прикрепить дополнительный дискретный инвариант, который включает в себя эту зависимость от пути и который (локально) имеет значения ±1. Спинор — это объект, который трансформируется как тензор при вращениях в системе отсчета, за исключением возможного знака, который определяется значением этого дискретного инварианта.

Короче говоря, спиноры являются элементами спинового представления группы вращения, а тензоры — элементами ее тензорных представлений . Другие классические группы имеют тензорные представления, а также тензоры, совместимые с группой, но все некомпактные классические группы также имеют бесконечномерные унитарные представления.

См. также

• Словарное определение тензора в Викисловаре
• Тип данных массива для тензорного хранения и манипулирования.

Основополагающий

• Декартов тензор
• Пучок волокон
• Глоссарий тензорной теории
• Мультилинейная проекция
• Одна форма
• Тензорное произведение модулей

Приложения

• Применение тензорной теории в технике
• Механика сплошных сред
• Ковариантная производная
• Кривизна
• Диффузионно-тензорная МРТ
• Уравнения поля Эйнштейна
• Гидравлическая механика
• Гравитация
• Мультилинейное обучение подпространству
• Риманова геометрия
• Тензор структуры
• Тензорный механизм сжатия
• Тензорное разложение
• Тензорная производная
• Тензорное программное обеспечение

Ссылки

Общие

• Бишоп, Ричард Л .; Сэмюэл И. Голдберг (1980) [1968]. Тензорный анализ на многообразиях . Дувр. ISBN  978-0-486-64039-6 .
• Дэниэлсон, Дональд А. (2003). Векторы и тензоры в технике и физике (2/е изд.). Вествью (Персей). ISBN  978-0-8133-4080-7 .
• Дмитриенко, Юрий (2002). Тензорный анализ и нелинейные тензорные функции . Спрингер. ISBN  978-1-4020-1015-6 .
• Дживанджи, Надир (2011). Введение в тензоры и теорию групп для физиков . Биркгаузер. ISBN  978-0-8176-4714-8 .
• Лоуден, Д.Ф. (2003). Введение в тензорное исчисление, теорию относительности и космологию (3-е изд.). Дувр. ISBN  978-0-486-42540-5 .
• Лебедев Леонид П.; Клауд, Майкл Дж. (2003). Тензорный анализ . Всемирная научная. ISBN  978-981-238-360-0 .
• Лавлок, Дэвид; Рунд, Ханно (1989) [1975]. Тензоры, дифференциальные формы и вариационные принципы . Дувр. ISBN  978-0-486-65840-7 .
• Манкрес, Джеймс Р. (1997). Анализ на многообразиях . Авалон. ISBN  978-0-8133-4548-2 . В шестой главе «с нуля» дается введение в ковариантные тензоры.
• Риччи, Грегорио ; Леви-Чивита, Туллио (март 1900 г.). «Методы абсолютного дифференциального исчисления и их приложения» . Математический Аннален . 54 (1–2): 125–201. дои : 10.1007/BF01454201 . S2CID   120009332 .
• Кей, Дэвид С. (1 апреля 1988 г.). Схема тензорного исчисления Шаума . МакГроу-Хилл. ISBN  978-0-07-033484-7 .
• Шютц, Бернард Ф. (28 января 1980 г.). Геометрические методы математической физики . Издательство Кембриджского университета. ISBN  978-0-521-29887-2 .
• Синг, Джон Лайтон; Шильд, Альфред (1969). Тензорное исчисление . Курьерская корпорация. ISBN  978-0-486-63612-2 .

• В эту статью включены материалы из тензора PlanetMath , который распространяется по лицензии Creative Commons Attribution/Share-Alike License .

Внешние ссылки

• Вайсштейн, Эрик В. «Тензор» . Математический мир .
• Боуэн, Рэй М .; Ван, CC (1976). Линейная и полилинейная алгебра . Введение в векторы и тензоры. Том. 1. Пленум Пресс. hdl : 1969.1/2502 . ISBN  9780306375088 .
• Боуэн, Рэй М.; Ван, CC (2006). Векторный и тензорный анализ . Введение в векторы и тензоры. Том. 2. HDL : 1969.1/3609 . ISBN  9780306375095 .
• Колецки, Джозеф К. (2002). «Введение в тензоры для студентов-физиков и инженеров» . Кливленд, Огайо: Исследовательский центр Гленна НАСА . 20020083040.
• Колецки, Джозеф К. (2005). «Основы тензорного анализа для студентов-физиков и инженеров с введением в теорию относительности» (PDF) . Кливленд, Огайо: Исследовательский центр Гленна НАСА. 20050175884.
• Обсуждение различных подходов к обучению тензорам и рекомендации учебников.
• Шарипов, Руслан (2004). «Краткое введение в тензорный анализ». arXiv : math.HO/0403252 .
• Фейнман, Ричард (1964–2013). «31. Тензоры» . Фейнмановские лекции . Калифорнийский технологический институт.