Ковариантное преобразование

В физике ковариантное преобразование — это правило, которое определяет, как определенные объекты, такие как векторы или тензоры , изменяются при изменении базиса . Преобразование, которое описывает новые базисные векторы как линейную комбинацию старых базисных векторов, определяется как ковариантное преобразование . Обычно индексы, идентифицирующие базисные векторы, размещаются как более низкие индексы , как и все объекты, которые преобразуются таким же образом. Обратным ковариантному преобразованию является контравариантное преобразование . Всякий раз, когда вектор должен быть инвариантным при изменении базиса, то есть он должен представлять тот же геометрический или физический объект, имеющий ту же величину и направление, что и раньше, его компоненты должны трансформироваться в соответствии с правилом контраварианта. Обычно индексы, идентифицирующие компоненты вектора, размещаются как верхние индексы , как и все индексы объектов, которые преобразуются одинаковым образом. Сумма по попарно совпадающим индексам произведения с одинаковыми нижними и верхними индексами равна инвариант относительно преобразования.

Вектор сам по себе является геометрической величиной, в принципе не зависящей (инвариантной) от выбранного базиса. Вектор v задан, скажем, в компонентах v ^я на выбранной основе e _i . На другом основании, скажем, e ′ _j , один и тот же вектор v имеет разные компоненты v ′ ^дж и $$\mathbf {v} =\sum _{i}v^{i}{\mathbf {e} }_{i}=\sum _{j}{v'\,}^{j}\mathbf {e} '_{j}.$$Как вектор, v должен быть инвариантным по отношению к выбранной системе координат и независимым от любого выбранного базиса, т.е. его «реальное» направление и величина должны быть одинаковыми независимо от базисных векторов. Если мы выполняем замену базиса путем преобразования векторов в _ei базисные векторы e ′ _j , мы также должны гарантировать, что компоненты v ^я преобразовать в новые компоненты v ′ ^дж чтобы компенсировать.

Необходимое преобразование v называется правилом контравариантного преобразования .

• 
  Вектор v и локальные касательные базисные векторы { e _x , e _y } и { e _r , e _φ } .
• 
  Координатные представления v .

В показанном примере вектор ${\textstyle \mathbf {v} =\sum _{i\in \{x,y\}}v^{i}{\mathbf {e} }_{i}=\sum _{j\in \{r,\phi \}}{v'\,}^{j}\mathbf {e} '_{j}}$ описывается двумя различными системами координат: прямоугольной системой координат (черная сетка) и радиальной системой координат (красная сетка). Базисные векторы выбраны для обеих систем координат: e _x и e _y для прямоугольной системы координат и e _r и e _φ для радиальной системы координат. Радиальные базисные векторы e _r и e _φ повернутыми против часовой стрелки относительно прямоугольных базисных векторов ex _y и e _{кажутся} . Таким образом, ковариантное преобразование, выполняемое с базисными векторами, представляет собой вращение против часовой стрелки, от первых базисных векторов ко вторым базисным векторам.

Координаты v должны быть преобразованы в новую систему координат, но сам вектор v , как математический объект, остается независимым от выбранного базиса, указывая в том же направлении и с той же величиной, инвариантным к изменению координат. . Контравариантное преобразование обеспечивает это, компенсируя вращение между различными основаниями. Если мы посмотрим на v в контексте радиальной системы координат, то окажется, что она повернута по часовой стрелке относительно базисных векторов e _r и e _φ . тем, как это выглядело относительно прямоугольных базисных векторов ex _и e по сравнению с _y . Таким образом, необходимое контравариантное преобразование v в этом примере — это вращение по часовой стрелке.

Примеры ковариантного преобразования

Производная функции преобразуется ковариантно

Явную форму ковариантного преобразования лучше всего представить с помощью свойств преобразования производной функции. Рассмотрим скалярную функцию f (например, температуру в определенном месте в пространстве), определенную на множестве точек p , идентифицируемых в данной системе координат. $x^{i},\;i=0,1,\dots$ (такая совокупность называется многообразием ). Если мы примем новую систему координат ${x'}^{j},j=0,1,\dots$ тогда для каждого i исходная координата ${x}^{i}$ может быть выражено как функция новых координат, так что $x^{i}\left({x'}^{j}\right),j=0,1,\dots$ Можно выразить производную f в старых координатах через новые координаты, используя цепное правило производной, как

${\frac {\partial f}{\partial {x}^{i}}}={\frac {\partial f}{\partial {x'}^{j}}}\;{\frac {\partial {x'}^{j}}{\partial {x}^{i}}}$

Это явная форма правила ковариантного преобразования . В обозначении нормальной производной по координатам иногда используется запятая, например:

$f_{,i}\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ {\frac {\partial f}{\partial x^{i}}}$

где индекс i помещен как нижний индекс из-за ковариантного преобразования.

Базисные векторы преобразуются ковариантно.

Вектор можно выразить через базисные векторы. Для определенной системы координат мы можем выбрать векторы, касательные к координатной сетке. Этот базис называется координатным.

Чтобы проиллюстрировать свойства преобразования, снова рассмотрим набор точек p , идентифицируемых в заданной системе координат. $x^{i}$ где $i=0,1,\dots$ ( многообразие ). Скалярная функция f , которая присваивает вещественное число каждой точке p в этом пространстве, является функцией координат $f\;\left(x^{0},x^{1},\dots \right)$. Кривая — это однопараметрический набор точек c , скажем, с параметром кривой λ, c (λ). Касательный вектор v к кривой является производной $dc/d\lambda$ вдоль кривой с производной, взятой в точке p рассматриваемой . Обратите внимание, что мы можем рассматривать касательный вектор v как оператор ( производную по направлению ), который можно применить к функции

$\mathbf {v} [f]\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ {\frac {df}{d\lambda }}={\frac {d\;\;}{d\lambda }}f(c(\lambda ))$

Параллель между касательным вектором и оператором можно провести и в координатах

$\mathbf {v} [f]={\frac {dx^{i}}{d\lambda }}{\frac {\partial f}{\partial x^{i}}}$

или с точки зрения операторов $\partial /\partial x^{i}$

$\mathbf {v} ={\frac {dx^{i}}{d\lambda }}{\frac {\partial \;\;}{\partial x^{i}}}={\frac {dx^{i}}{d\lambda }}\mathbf {e} _{i}$

где мы написали $\mathbf {e} _{i}=\partial /\partial x^{i}$, касательные векторы к кривым, которые представляют собой просто сетку координат.

Если мы примем новую систему координат ${x'}^{i},\;i=0,1,\dots$ тогда для каждого i старая координата ${x^{i}}$ может быть выражено как функция новой системы, так что $x^{i}\left({x'}^{j}\right),j=0,1,\dots$Позволять $\mathbf {e} '_{i}={\partial }/{\partial {x'}^{i}}$ быть базовыми, касательными векторами в этой новой системе координат. Мы можем выразить $\mathbf {e} _{i}$ в новой системе, применив правило цепочки к x . В зависимости от координат находим следующее преобразование

$\mathbf {e} '_{i}={\frac {\partial }{\partial {x'}^{i}}}={\frac {\partial x^{j}}{\partial {x'}^{i}}}{\frac {\partial }{\partial x^{j}}}={\frac {\partial x^{j}}{\partial {x'}^{i}}}\mathbf {e} _{j}$

что на самом деле совпадает с ковариантным преобразованием производной функции.

Контравариантное преобразование

Компоненты (касательного ) вектора преобразуются другим способом, называемым контравариантным преобразованием. Рассмотрим касательный вектор v и назовем его компоненты $v^{i}$ на основе $\mathbf {e} _{i}$. На другом основании $\mathbf {e} '_{i}$ мы называем компоненты ${v'}^{i}$, так

$\mathbf {v} =v^{i}\mathbf {e} _{i}={v'}^{i}\mathbf {e} '_{i}$

в котором

$v^{i}={\frac {dx^{i}}{d\lambda }}\;{\mbox{ and }}\;{v'}^{i}={\frac {d{x'}^{i}}{d\lambda }}$

Если выразить новые компоненты через старые, то

${v'}^{i}={\frac {d{x'}^{i}}{d\lambda \;\;}}={\frac {\partial {x'}^{i}}{\partial x^{j}}}{\frac {dx^{j}}{d\lambda }}={\frac {\partial {x'}^{i}}{\partial x^{j}}}{v}^{j}$

Это явная форма преобразования, называемого контравариантным преобразованием , и мы отмечаем, что оно отличается и является обратной формой ковариантного правила. Чтобы отличить их от ковариантных (касательных) векторов, сверху ставится индекс.

Базисные дифференциальные формы преобразуются контравариантно.

Примером контравариантного преобразования является дифференциальная форма df . Для f как функции координат $x^{i}$, df можно выразить через базис $dx^{i}$. Дифференциалы dx преобразуются по контравариантному правилу, так как

$d{x'}^{i}={\frac {\partial {x'}^{i}}{\partial {x}^{j}}}{dx}^{j}$

Двойные свойства

Сущности, которые преобразуются ковариантно (например, базисные векторы), и те, которые преобразуются контравариантно (например, компоненты вектора и дифференциальные формы), «почти одинаковы», но все же они различны. Они обладают «двойственными» свойствами.То, что стоит за этим, математически известно как двойственное пространство , которое всегда идет вместе с данным линейным векторным пространством .

Возьмем любое векторное пространство T. Функция f на T называется линейной, если для любых векторов v , w и скаляра α:

${\begin{aligned}f(\mathbf {v} +\mathbf {w} )&=f(\mathbf {v} )+f(\mathbf {w} )\\f(\alpha \mathbf {v} )&=\alpha f(\mathbf {v} )\end{aligned}}$

Простым примером является функция, которая присваивает вектору значение одного из его компонентов (называемая функцией проекции ). Он имеет вектор в качестве аргумента и присваивает вещественное число, значение компонента.

Все такие скалярные линейные функции вместе образуют векторное пространство, называемое двойственным пространством к T. Сумма f+g снова является линейной функцией для линейных f и g , и то же самое справедливо для скалярного умножения α f .

Учитывая основу $\mathbf {e} _{i}$ определить базис, называемый двойственным базисом для T мы можем естественным образом для двойственного пространства, взяв набор упомянутых выше линейных функций: функций проектирования. Каждая проекционная функция (с индексом ω) дает число 1 при применении к одному из базисных векторов. $\mathbf {e} _{i}$. Например, $\omega ^{0}$ дает 1 за $\mathbf {e} _{0}$ и ноль в другом месте. Применение этой линейной функции ${\omega }^{0}$ в вектор $\mathbf {v} =v^{i}\mathbf {e} _{i}$, дает (используя его линейность)

$\omega ^{0}(\mathbf {v} )=\omega ^{0}(v^{i}\mathbf {e} _{i})=v^{i}\omega ^{0}(\mathbf {e} _{i})=v^{0}$

так что просто значение первой координаты. По этой причине ее называют функцией проекции .

Существует столько же двойственных базисных векторов $\omega ^{i}$ поскольку существуют базисные векторы $\mathbf {e} _{i}$, поэтому двойственное пространство имеет ту же размерность, что и само линейное пространство. Это «почти то же самое пространство», за исключением того, что элементы двойственного пространства (называемые двойственными векторами ) преобразуются ковариантно, а элементы касательного векторного пространства преобразуются контравариантно.

Иногда вводятся дополнительные обозначения, где действительное значение линейной функции σ на касательном векторе u задается как

$\sigma [\mathbf {u} ]:=\langle \sigma ,\mathbf {u} \rangle$

где $\langle \sigma ,\mathbf {u} \rangle$ это действительное число. Такое обозначение подчеркивает билинейный характер формы. Она линейна по σ, поскольку это линейная функция, и линейна по u, поскольку это элемент векторного пространства.

Ко- и контравариантные компоненты тензора

Без координат

Тензор может быть типа ( r , s ) определен как полилинейная функция с действительным знаком r двойственных векторов и s векторов. Поскольку векторы и двойственные векторы могут быть определены независимо от системы координат, определенный таким образом тензор не зависит от выбора системы координат.

Обозначение тензора

${\begin{aligned}&T\left(\sigma ,\ldots ,\rho ,\mathbf {u} ,\ldots ,\mathbf {v} \right)\\\equiv {}&{T^{\sigma \ldots \rho }}_{\mathbf {u} \ldots \mathbf {v} }\end{aligned}}$

для двойственных векторов (дифференциальных форм) ρ , σ и касательных векторов $\mathbf {u} ,\mathbf {v}$. Во втором обозначении различие между векторами и дифференциальными формами более очевидно.

С координатами

Поскольку тензор линейно зависит от своих аргументов, он полностью определен, если известны значения по базису $\omega ^{i}\ldots \omega ^{j}$ и $\mathbf {e} _{k}\ldots \mathbf {e} _{l}$

$T(\omega ^{i},\ldots ,\omega ^{j},\mathbf {e} _{k}\ldots \mathbf {e} _{l})={T^{i\ldots j}}_{k\ldots l}$

Числа ${T^{i\ldots j}}_{k\ldots l}$ называются компонентами тензора на выбранном базисе .

Если мы выберем другой базис (который представляет собой линейную комбинацию исходного базиса), мы можем использовать линейные свойства тензора и обнаружим, что компоненты тензора в верхних индексах преобразуются как двойственные векторы (поэтому контравариантны), тогда как нижние индексы преобразуются в основу касательных векторов и, таким образом, являются ковариантными. Для тензора ранга 2 можно проверить, что

${A'}_{ij}={\frac {\partial x^{l}}{\partial {x'}^{i}}}{\frac {\partial x^{m}}{\partial {x'}^{j}}}A_{lm}$ ковариантный тензор

${A'\,}^{ij}={\frac {\partial {x'}^{i}}{\partial x^{l}}}{\frac {\partial {x'}^{j}}{\partial x^{m}}}A^{lm}$ контравариантный тензор

Для смешанного ко- и контравариантного тензора ранга 2

${A'\,}^{i}{}_{j}={\frac {\partial {x'}^{i}}{\partial x^{l}}}{\frac {\partial x^{m}}{\partial {x'}^{j}}}A^{l}{}_{m}$ смешанный ко- и контравариантный тензор

См. также

• Ковариантность и контравариантность векторов
• Общая ковариация
• Лоренц-ковариация