Лоренц-ковариация

В релятивистской физике Лоренц -симметрия или Лоренц-инвариантность , названная в честь голландского физика Хендрика Лоренца , представляет собой эквивалент наблюдения или наблюдательной симметрии, обусловленный специальной теорией относительности, подразумевающей, что законы физики остаются одинаковыми для всех наблюдателей, которые движутся относительно друг друга. в инерциальной системе отсчета . Это также описывалось как «особенность природы, которая утверждает, что результаты экспериментов не зависят от ориентации или скорости движения лаборатории в пространстве». ^[1]

Лоренц-ковариация , родственное понятие, является свойством основного пространственно-временного многообразия. Ковариация Лоренца имеет два разных, но тесно связанных значения:

называется Физическая величина лоренц-ковариантной, если она преобразуется при заданном представлении группы Лоренца . Согласно теории представлений группы Лоренца , эти величины строятся из скаляров , четырёхвекторов , четырёхтензоров и спиноров . В частности, лоренц-ковариантный скаляр (например, пространственно-временной интервал ) остается неизменным при преобразованиях Лоренца и называется лоренц-инвариантом (т. е. они преобразуются при тривиальном представлении ).
Уравнение « называется лоренц-ковариантным, если его можно записать в терминах лоренц-ковариантных величин (что сбивает с толку, некоторые здесь используют термин . инвариант») Ключевое свойство таких уравнений состоит в том, что если они выполняются в одной инерциальной системе отсчета, то они выполняются и в любой инерциальной системе отсчета; это следует из того, что если все компоненты тензора обращаются в нуль в одной системе отсчета, то они исчезают и в каждой системе отсчета. Это условие является требованием принципа относительности ; т.е. все негравитационные законы должны делать одни и те же предсказания для идентичных экспериментов, происходящих в одном и том же пространственно-временном событии в двух разных инерциальных системах отсчета .

На многообразиях слова «ковариант» и «контравариант» относятся к тому, как объекты трансформируются при общих преобразованиях координат. Как ковариантные, так и контравариантные четырехвекторы могут быть лоренц-ковариантными величинами.

Локальная ковариация Лоренца , которая следует из общей теории относительности , относится к ковариации Лоренца, применяемой только локально в бесконечно малой области пространства-времени в каждой точке. Существует обобщение этой концепции на ковариацию Пуанкаре и инвариантность Пуанкаре.

Примеры [ править ]

В общем, (трансформационная) природа тензора Лоренца ^{[ нужны разъяснения ]} может быть идентифицирован по его тензорному порядку , который представляет собой количество имеющихся у него свободных индексов. Отсутствие индексов подразумевает, что это скаляр, один подразумевает, что это вектор и т. д. Некоторые тензоры с физической интерпретацией перечислены ниже.

соглашение знаках о метрики Минковского η = diag (1, −1, −1, −1) На протяжении всей статьи используется .

Скаляры [ править ]

Пространственно-временной интервал: $\Delta s^{2}=\Delta x^{a}\Delta x^{b}\eta _{ab}=c^{2}\Delta t^{2}-\Delta x^{2}-\Delta y^{2}-\Delta z^{2}$
Собственное время (для времениподобных интервалов): $\Delta \tau ={\sqrt {\frac {\Delta s^{2}}{c^{2}}}},\,\Delta s^{2}>0$
Правильное расстояние (для пространственноподобных интервалов): $L={\sqrt {-\Delta s^{2}}},\,\Delta s^{2}<0$
Масса: $m_{0}^{2}c^{2}=P^{a}P^{b}\eta _{ab}={\frac {E^{2}}{c^{2}}}-p_{x}^{2}-p_{y}^{2}-p_{z}^{2}$
Инварианты электромагнетизма: ${\begin{aligned}F_{ab}F^{ab}&=\ 2\left(B^{2}-{\frac {E^{2}}{c^{2}}}\right)\\G_{cd}F^{cd}&={\frac {1}{2}}\epsilon _{abcd}F^{ab}F^{cd}=-{\frac {4}{c}}\left({\vec {B}}\cdot {\vec {E}}\right)\end{aligned}}$
Даламбериан /волновой оператор: $\Box =\eta ^{\mu \nu }\partial _{\mu }\partial _{\nu }={\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\partial ^{2}}{\partial t^{2}}}-{\frac {\partial ^{2}}{\partial x^{2}}}-{\frac {\partial ^{2}}{\partial y^{2}}}-{\frac {\partial ^{2}}{\partial z^{2}}}$

Четырехвекторы [ править ]

4-смещение: $\Delta X^{a}=\left(c\Delta t,\Delta {\vec {x}}\right)=(c\Delta t,\Delta x,\Delta y,\Delta z)$
4-позиционный: $X^{a}=\left(ct,{\vec {x}}\right)=(ct,x,y,z)$
4-градиент: 4D что является частной производной :
$\partial ^{a}=\left({\frac {\partial _{t}}{c}},-{\vec {\nabla }}\right)=\left({\frac {1}{c}}{\frac {\partial }{\partial t}},-{\frac {\partial }{\partial x}},-{\frac {\partial }{\partial y}},-{\frac {\partial }{\partial z}}\right)$
4-скоростной: $U^{a}=\gamma \left(c,{\vec {u}}\right)=\gamma \left(c,{\frac {dx}{dt}},{\frac {dy}{dt}},{\frac {dz}{dt}}\right)$
где $U^{a}={\frac {dX^{a}}{d\tau }}$
4-импульс: $P^{a}=\left(\gamma mc,\gamma m{\vec {v}}\right)=\left({\frac {E}{c}},{\vec {p}}\right)=\left({\frac {E}{c}},p_{x},p_{y},p_{z}\right)$
где $P^{a}=mU^{a}$ и $m$ это остальная масса .
4-токовый: $J^{a}=\left(c\rho ,{\vec {j}}\right)=\left(c\rho ,j_{x},j_{y},j_{z}\right)$
где $J^{a}=\rho _{o}U^{a}$
4-потенциал: $A^{a}=\left({\frac {\phi }{c}},{\vec {A}}\right)=\left({\frac {\phi }{c}},A_{x},A_{y},A_{z}\right)$

Четыре тензора [ править ]

Кронекера дельта: $\delta _{b}^{a}={\begin{cases}1&{\mbox{if }}a=b,\\0&{\mbox{if }}a\neq b.\end{cases}}$
Метрика Минковского (метрика плоского пространства согласно общей теории относительности ): $\eta _{ab}=\eta ^{ab}={\begin{cases}1&{\mbox{if }}a=b=0,\\-1&{\mbox{if }}a=b=1,2,3,\\0&{\mbox{if }}a\neq b.\end{cases}}$
Тензор электромагнитного поля (с использованием метрической сигнатуры + - - -): $F_{ab}={\begin{bmatrix}0&{\frac {1}{c}}E_{x}&{\frac {1}{c}}E_{y}&{\frac {1}{c}}E_{z}\\-{\frac {1}{c}}E_{x}&0&-B_{z}&B_{y}\\-{\frac {1}{c}}E_{y}&B_{z}&0&-B_{x}\\-{\frac {1}{c}}E_{z}&-B_{y}&B_{x}&0\end{bmatrix}}$
Двойной тензор электромагнитного поля: $G_{cd}={\frac {1}{2}}\epsilon _{abcd}F^{ab}={\begin{bmatrix}0&B_{x}&B_{y}&B_{z}\\-B_{x}&0&{\frac {1}{c}}E_{z}&-{\frac {1}{c}}E_{y}\\-B_{y}&-{\frac {1}{c}}E_{z}&0&{\frac {1}{c}}E_{x}\\-B_{z}&{\frac {1}{c}}E_{y}&-{\frac {1}{c}}E_{x}&0\end{bmatrix}}$

Лоренц модели , нарушающий

В стандартной теории поля существуют очень строгие и суровые ограничения на маргинальные и соответствующие операторы, нарушающие Лоренца, как в КЭД , так и в Стандартной модели . Нерелевантные операторы, нарушающие Лоренца, могут быть подавлены с помощью высокого масштаба обрезания , но они обычно вызывают маргинальные и значимые операторы, нарушающие Лоренца, посредством радиационных поправок. Таким образом, у нас также есть очень строгие и строгие ограничения на нерелевантные операторы, нарушающие Лоренца.

Поскольку некоторые подходы к квантовой гравитации приводят к нарушениям лоренц-инвариантности, ^[2] эти исследования являются частью феноменологической квантовой гравитации . Нарушения Лоренца допускаются в теории струн , суперсимметрии и гравитации Горжавы-Лифшица . ^[3]

Модели, нарушающие Лоренц, обычно делятся на четыре класса: ^{[ нужна ссылка ]}

Законы физики в точности лоренц-ковариантны, но эта симметрия спонтанно нарушается . В специальных релятивистских теориях это приводит к фононам , которые являются бозонами Голдстоуна . Фононы движутся со скоростью меньше скорости света .
Подобно приближенной лоренцевой симметрии фононов в решетке (где скорость звука играет роль критической скорости), лоренцевая симметрия специальной теории относительности (где скорость света является критической скоростью в вакууме) является лишь низкочастотной. энергетический предел законов физики, которые включают в себя новые явления в каком-то фундаментальном масштабе. Голые обычные «элементарные» частицы не являются точечными теоретико-полевыми объектами на очень малых масштабах расстояний, и необходимо учитывать ненулевую фундаментальную длину. Нарушение лоренцевой симметрии определяется параметром, зависящим от энергии, который стремится к нулю при уменьшении импульса. ^[4] Такие модели требуют существования привилегированной локальной инерциальной системы отсчета («системы покоя в вакууме»). Их можно проверить, по крайней мере частично, с помощью экспериментов с космическими лучами сверхвысоких энергий, таких как обсерватория Пьера Оже . ^[5]
Законы физики симметричны относительно деформации Лоренца или, в более общем плане, группы Пуанкаре , и эта деформированная симметрия является точной и непрерывной. Эта деформированная симметрия также обычно является симметрией квантовой группы , которая является обобщением групповой симметрии. Деформированная специальная теория относительности является примером этого класса моделей. Деформация зависит от масштаба, а это означает, что при масштабах длин, намного превышающих масштаб Планка, симметрия очень похожа на группу Пуанкаре. Эксперименты с космическими лучами сверхвысоких энергий не могут проверить такие модели.
Специальная теория относительности образует отдельный класс; если зарядовая четность (CP) является точной симметрией, подгруппы группы Лоренца достаточно, чтобы дать нам все стандартные предсказания. Однако это не так.

Модели, принадлежащие к первым двум классам, могут согласовываться с экспериментом, если лоренц-разрушение происходит в масштабе Планка или за его пределами, или даже раньше в подходящих доонных моделях. ^[6] и если нарушение симметрии Лоренца определяется подходящим энергозависимым параметром. Тогда есть класс моделей, которые отклоняются от симметрии Пуанкаре вблизи масштаба Планка, но все же движутся к точной группе Пуанкаре на очень больших масштабах длин. Это справедливо и для третьего класса, который, к тому же, защищен от радиационных поправок, поскольку сохраняет точную (квантовую) симметрию.

Несмотря на отсутствие доказательств нарушения лоренц-инвариантности, в последние годы было проведено несколько экспериментальных поисков таких нарушений. Подробная сводка результатов этих поисков приведена в таблицах данных для нарушений Лоренца и CPT. ^[7]

Лоренц-инвариантность также нарушается в КТП при условии ненулевой температуры. ^[8]^[9]^[10]

Также появляется все больше свидетельств нарушения Лоренца в полуметаллах Вейля и полуметаллах Дирака . ^[11]^[12]^[13]^[14]^[15]

См. также [ править ]

Примечания [ править ]

^ Рассел, Нил (24 ноября 2004 г.). «Обрамление лоренцевой симметрии» . ЦЕРН Курьер . Проверено 08.11.2019 .
^ Маттингли, Дэвид (2005). «Современные тесты лоренц-инвариантности» . Живые обзоры в теории относительности . 8 (1): 5. arXiv : gr-qc/0502097 . Бибкод : 2005LRR.....8....5M . дои : 10.12942/lrr-2005-5 . ПМК 5253993 . ПМИД 28163649 .
^ Сотрудничество, IceCube; Аартсен, МГ; Акерманн, М.; Адамс, Дж.; Агилар, Дж.А.; Алерс, М.; Аренс, М.; Аль Самарай, И.; Альтманн, Д.; Андин, К.; Андерсон, Т.; Ансо, И.; Антон, Г.; Аргуэльес, К.; Ауффенберг, Дж.; Аксани, С.; Багерпур, Х.; Бай, X.; Бэррон, JP; Барвик, Юго-Запад; Баум, В.; Бэй, Р.; Битти, Джей-Джей; Беккер Тьюс, Дж.; Беккер, К.-Х.; БенЦви, С.; Берли, Д.; Бернардини, Э.; Бессон, ДЗ; и др. (2018). «Нейтринная интерферометрия для высокоточной проверки симметрии Лоренца с помощью Ice Cube ». Физика природы . 14 (9): 961–966. arXiv : 1709.03434 . Бибкод : 2018NatPh..14..961I . дои : 10.1038/s41567-018-0172-2 . S2CID 59497861 .
^ Луис Гонсалес-Местрес (25 мая 1995 г.). «Свойства возможного класса частиц, способных двигаться быстрее света» . Темная материя в космологии : 645. arXiv : astro-ph/9505117 . Бибкод : 1995dmcc.conf..645G .
^ Луис Гонсалес-Местрес (26 мая 1997 г.). «Отсутствие обрезания Грейзена-Зацепина-Кузьмина и стабильность нестабильных частиц при очень высоких энергиях как следствие нарушения лоренц-симметрии». Материалы 25-й Международной конференции по космическим лучам (30 июля — 6 августа) . 6 : 113. arXiv : физика/9705031 . Бибкод : 1997ICRC....6..113G .
^ Луис Гонсалес-Местрес (2014). «Физика сверхвысоких энергий и стандартные базовые принципы. Действительно ли единицы Планка имеют смысл?» (PDF) . Сеть конференций EPJ . 71 : 00062. Бибкод : 2014EPJWC..7100062G . doi : 10.1051/epjconf/20147100062 .
^ Костелецкий, В.А.; Рассел, Н. (2010). «Таблицы данных для нарушений Лоренца и CPT». arXiv : 0801.0287v3 [ hep-ph ].
^ Лайне, Микко; Вуоринен, Алекси (2016). Основы теории теплового поля . Конспект лекций по физике. Том. 925. arXiv : 1701.01554 . Бибкод : 2016ЛНП...925.....Л . дои : 10.1007/978-3-319-31933-9 . ISBN 978-3-319-31932-2 . ISSN 0075-8450 . S2CID 119067016 .
^ Одзима, Идзуми (январь 1986 г.). «Лоренц-инвариантность в зависимости от температуры в КТП». Письма по математической физике . 11 (1): 73–80. Бибкод : 1986LMaPh..11...73O . дои : 10.1007/bf00417467 . ISSN 0377-9017 . S2CID 122316546 .
^ «Доказательство потери лоренц-инвариантности в квантовой теории поля при конечной температуре» . Обмен стеками по физике . Проверено 18 июня 2018 г.
^ Сюй, Су-Ян; Алидуст, Насер; Чанг, Гоцин; Лу, Хун; Сингх, Бахадур; Белопольский, Илья; Санчес, Дэниел С.; Чжан, Сяо; Бянь, Гуан; Чжэн, Хао; Хусану, Мариус-Адриан; Бянь, Йи; Хуан, Шин-Мин; Сюй, Чуан-Хань; Чанг, Тай-Ронг; Дженг, Хорнг-Тай; Бансил, Арун; Нойперт, Титус; Строков Владимир Н.; Линь, Синь; Цзя, Шуан; Хасан, М. Захид (2017). «Открытие фермионов Вейля типа II, нарушающих Лоренц, в LaAl Ge » . Достижения науки . 3 (6): e1603266. Бибкод : 2017SciA....3E3266X . дои : 10.1126/sciadv.1603266 . ПМК 5457030 . ПМИД 28630919 .
^ Ян, Хуацин; Ван, Яо, Вэй; Ван, Хунюнь; Ян, Хайтао; Ян, Шушань; Дуань, Чжоу , Шуюн (2017). фермионы Дирака типа II в дихалькогениде переходного металла PtTe2» . Nature Communications 8 ( 1): arXiv : 1607.03643 . 257. «Лоренц- нарушающие . ... 8..257Y дои : 10.1038 . PMC 5557853 s41467-017-00280-6 /
^ Дэн, Кэ; Дэн, Пэн; Ван, Эрьин, Минчжэ; Чжан, Хунюнь; Дэнлингер, Джонатан, Хайтао, Вэньхуэй, Ву, Ян, Чжан, Чэнь, Шуюн (2016) . Физика . 12 ): 1105–1110. : 1603.08508 . Бибкод : 2016NatPh..12.1105D . doi : 10.1038 /nphys3871 . arXiv ( 12
^ Хуан, Лунань; Маккормик, Тимоти М.; Очи, Масаюки; Чжао, Чжиин; Сузуки, Мичи-То; Арита, Рётаро; Ву, Юн; Моу, Дайсян; Цао, Уэйбо; Ян, Цзяцян; Триведи, Нандини; Камински, Адам (2016). «Спектроскопические доказательства полуметаллического состояния Вейля типа II в MoTe2». Природные материалы . 15 (11): 1155–1160. arXiv : 1603.06482 . Бибкод : 2016NatMa..15.1155H . дои : 10.1038/nmat4685 . ПМИД 27400386 . S2CID 2762780 .
^ Белопольски, Илья; Исида, Юкиаки; Ю, Пэн; Чанг, Гоцин; Чжэн, Хао; Алидуст, Бянь, Гуан; Неупане, Мадхаб; Ли, Чи-Чэн; Бу, Хайцзюнь; Ли, Шишэн; Цзэн, Хорнг-Тай; Лю, Чжэн, Шин, Шик, М. Захид (2016). полуметаллического состояния фермиона Вейля в MoxW1-xTe2» Nature Communications . топологического нового « типа . Открытие Бибкод : 2016NatCo...713643B . Номер документа : 10.1038/ . PMC 5150217. ncomms13643 PMID 27917858 .

Ссылки [ править ]

Справочная информация о нарушении Лоренца и CPT: http://www.physical.indiana.edu/~kostelec/faq.html .
Маттингли, Дэвид (2005). «Современные тесты лоренц-инвариантности» . Живые обзоры в теории относительности . 8 (1): 5. arXiv : gr-qc/0502097 . Бибкод : 2005LRR.....8....5M . дои : 10.12942/lrr-2005-5 . ПМК 5253993 . ПМИД 28163649 .
Амелино-Камелия Г., Эллис Дж., Мавроматос Н.Е., Нанопулос Д.В., Саркар С. (июнь 1998 г.). «Испытания квантовой гравитации по наблюдениям ярких гамма-всплесков» . Природа . 393 (6687): 763–765. arXiv : astro-ph/9712103 . Бибкод : 1998Natur.393..763A . дои : 10.1038/31647 . S2CID 4373934 . Проверено 22 декабря 2007 г.
Джейкобсон Т., Либерати С., Маттингли Д. (август 2003 г.). «Сильное астрофизическое ограничение на нарушение специальной теории относительности квантовой гравитацией». Природа . 424 (6952): 1019–1021. arXiv : astro-ph/0212190 . Бибкод : 2003Natur.424.1019J . CiteSeerX 10.1.1.256.1937 . дои : 10.1038/nature01882 . ПМИД 12944959 . S2CID 17027443 .
Кэрролл С. (август 2003 г.). «Квантовая гравитация: астрофизическое ограничение» . Природа . 424 (6952): 1007–1008. Бибкод : 2003Natur.424.1007C . дои : 10.1038/4241007a . ПМИД 12944951 . S2CID 4322563 .
Джейкобсон, Т.; Либерати, С.; Маттингли, Д. (2003). «Пороговые эффекты и нарушение Лоренца в масштабе Планка: комбинированные ограничения из астрофизики высоких энергий». Физический обзор D . 67 (12): 124011. arXiv : hep-ph/0209264 . Бибкод : 2003PhRvD..67l4011J . дои : 10.1103/PhysRevD.67.124011 . S2CID 119452240 .

[1] Рассел, Нил (24 ноября 2004 г.). «Обрамление лоренцевой симметрии» . ЦЕРН Курьер . Проверено 08.11.2019 .

[Mattingly-2] Маттингли, Дэвид (2005). «Современные тесты лоренц-инвариантности» . Живые обзоры в теории относительности . 8 (1): 5. arXiv : gr-qc/0502097 . Бибкод : 2005LRR.....8....5M . дои : 10.12942/lrr-2005-5 . ПМК 5253993 . ПМИД 28163649 .

[3] Сотрудничество, IceCube; Аартсен, МГ; Акерманн, М.; Адамс, Дж.; Агилар, Дж.А.; Алерс, М.; Аренс, М.; Аль Самарай, И.; Альтманн, Д.; Андин, К.; Андерсон, Т.; Ансо, И.; Антон, Г.; Аргуэльес, К.; Ауффенберг, Дж.; Аксани, С.; Багерпур, Х.; Бай, X.; Бэррон, JP; Барвик, Юго-Запад; Баум, В.; Бэй, Р.; Битти, Джей-Джей; Беккер Тьюс, Дж.; Беккер, К.-Х.; БенЦви, С.; Берли, Д.; Бернардини, Э.; Бессон, ДЗ; и др. (2018). «Нейтринная интерферометрия для высокоточной проверки симметрии Лоренца с помощью Ice Cube ». Физика природы . 14 (9): 961–966. arXiv : 1709.03434 . Бибкод : 2018NatPh..14..961I . дои : 10.1038/s41567-018-0172-2 . S2CID 59497861 .

[Gonzalez-MestresMoriond1995-4] Луис Гонсалес-Местрес (25 мая 1995 г.). «Свойства возможного класса частиц, способных двигаться быстрее света» . Темная материя в космологии : 645. arXiv : astro-ph/9505117 . Бибкод : 1995dmcc.conf..645G .

[Gonzalez-MestresICRC97-5] Луис Гонсалес-Местрес (26 мая 1997 г.). «Отсутствие обрезания Грейзена-Зацепина-Кузьмина и стабильность нестабильных частиц при очень высоких энергиях как следствие нарушения лоренц-симметрии». Материалы 25-й Международной конференции по космическим лучам (30 июля — 6 августа) . 6 : 113. arXiv : физика/9705031 . Бибкод : 1997ICRC....6..113G .

[Gonzalez-MestresCrete2013-6] Луис Гонсалес-Местрес (2014). «Физика сверхвысоких энергий и стандартные базовые принципы. Действительно ли единицы Планка имеют смысл?» (PDF) . Сеть конференций EPJ . 71 : 00062. Бибкод : 2014EPJWC..7100062G . doi : 10.1051/epjconf/20147100062 .

[DataTables-7] Костелецкий, В.А.; Рассел, Н. (2010). «Таблицы данных для нарушений Лоренца и CPT». arXiv : 0801.0287v3 [ hep-ph ].

[8] Лайне, Микко; Вуоринен, Алекси (2016). Основы теории теплового поля . Конспект лекций по физике. Том. 925. arXiv : 1701.01554 . Бибкод : 2016ЛНП...925.....Л . дои : 10.1007/978-3-319-31933-9 . ISBN 978-3-319-31932-2 . ISSN 0075-8450 . S2CID 119067016 .

[9] Одзима, Идзуми (январь 1986 г.). «Лоренц-инвариантность в зависимости от температуры в КТП». Письма по математической физике . 11 (1): 73–80. Бибкод : 1986LMaPh..11...73O . дои : 10.1007/bf00417467 . ISSN 0377-9017 . S2CID 122316546 .

[10] «Доказательство потери лоренц-инвариантности в квантовой теории поля при конечной температуре» . Обмен стеками по физике . Проверено 18 июня 2018 г.

[11] Сюй, Су-Ян; Алидуст, Насер; Чанг, Гоцин; Лу, Хун; Сингх, Бахадур; Белопольский, Илья; Санчес, Дэниел С.; Чжан, Сяо; Бянь, Гуан; Чжэн, Хао; Хусану, Мариус-Адриан; Бянь, Йи; Хуан, Шин-Мин; Сюй, Чуан-Хань; Чанг, Тай-Ронг; Дженг, Хорнг-Тай; Бансил, Арун; Нойперт, Титус; Строков Владимир Н.; Линь, Синь; Цзя, Шуан; Хасан, М. Захид (2017). «Открытие фермионов Вейля типа II, нарушающих Лоренц, в LaAl Ge » . Достижения науки . 3 (6): e1603266. Бибкод : 2017SciA....3E3266X . дои : 10.1126/sciadv.1603266 . ПМК 5457030 . ПМИД 28630919 .

[12] Ян, Хуацин; Ван, Яо, Вэй; Ван, Хунюнь; Ян, Хайтао; Ян, Шушань; Дуань, Чжоу , Шуюн (2017). фермионы Дирака типа II в дихалькогениде переходного металла PtTe2» . Nature Communications 8 ( 1): arXiv : 1607.03643 . 257. «Лоренц- нарушающие . ... 8..257Y дои : 10.1038 . PMC 5557853 s41467-017-00280-6 /

[13] Дэн, Кэ; Дэн, Пэн; Ван, Эрьин, Минчжэ; Чжан, Хунюнь; Дэнлингер, Джонатан, Хайтао, Вэньхуэй, Ву, Ян, Чжан, Чэнь, Шуюн (2016) . Физика . 12 ): 1105–1110. : 1603.08508 . Бибкод : 2016NatPh..12.1105D . doi : 10.1038 /nphys3871 . arXiv ( 12

[14] Хуан, Лунань; Маккормик, Тимоти М.; Очи, Масаюки; Чжао, Чжиин; Сузуки, Мичи-То; Арита, Рётаро; Ву, Юн; Моу, Дайсян; Цао, Уэйбо; Ян, Цзяцян; Триведи, Нандини; Камински, Адам (2016). «Спектроскопические доказательства полуметаллического состояния Вейля типа II в MoTe2». Природные материалы . 15 (11): 1155–1160. arXiv : 1603.06482 . Бибкод : 2016NatMa..15.1155H . дои : 10.1038/nmat4685 . ПМИД 27400386 . S2CID 2762780 .

[15] Белопольски, Илья; Исида, Юкиаки; Ю, Пэн; Чанг, Гоцин; Чжэн, Хао; Алидуст, Бянь, Гуан; Неупане, Мадхаб; Ли, Чи-Чэн; Бу, Хайцзюнь; Ли, Шишэн; Цзэн, Хорнг-Тай; Лю, Чжэн, Шин, Шик, М. Захид (2016). полуметаллического состояния фермиона Вейля в MoxW1-xTe2» Nature Communications . топологического нового « типа . Открытие Бибкод : 2016NatCo...713643B . Номер документа : 10.1038/ . PMC 5150217. ncomms13643 PMID 27917858 .

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

[10]

[11]

[12]

[13]

[14]

[15]