Электромагнитный четырехпотенциальный

Электромагнитный четырехпотенциал — это релятивистская векторная функция , из которой электромагнитное поле можно вывести . Он объединяет как электрический скалярный потенциал , так и магнитный векторный потенциал в один четырехвекторный потенциал . ^[1]

При измерении в данной системе отсчета и для данного датчика первый компонент электромагнитного четырехпотенциала обычно считается электрическим скалярным потенциалом, а остальные три компонента составляют магнитный векторный потенциал. Хотя и скалярный, и векторный потенциал зависят от системы отсчета, электромагнитный четырехпотенциал является лоренц-ковариантным .

Как и другие потенциалы, множество различных электромагнитных четырехпотенциалов соответствуют одному и тому же электромагнитному полю, в зависимости от выбора датчика.

В этой статье используется обозначение тензорного индекса и метрики Минковского соглашение о знаках (+ − − −) . См. также ковариацию и контравариантность векторов , а также индексы повышения и понижения для получения более подробной информации об обозначениях. Формулы даны в единицах СИ и гауссовских единицах СГС .

Определение [ править ]

Контравариантный электромагнитный четырехпотенциал можно определить как: ^[2]

единицы СИ	Гауссовы единицы
$A^{\alpha }=\left({\frac {1}{c}}\phi ,\mathbf {A} \right)\,\!$	$A^{\alpha }=(\phi ,\mathbf {A} )$

в котором φ — электрический потенциал , а А — магнитный потенциал ( векторный потенциал ). Единицы А ^а являются В · с · м ⁻¹ в СИ и Мх · см ⁻¹ в гауссовском-cgs .

Электрические и магнитные поля, связанные с этими четырьмя потенциалами: ^[3]

единицы СИ	Гауссовы единицы
$\mathbf {E} =-\mathbf {\nabla } \phi -{\frac {\partial \mathbf {A} }{\partial t}}$	$\mathbf {E} =-\mathbf {\nabla } \phi -{\frac {1}{c}}{\frac {\partial \mathbf {A} }{\partial t}}$
$\mathbf {B} =\mathbf {\nabla } \times \mathbf {A}$	$\mathbf {B} =\mathbf {\nabla } \times \mathbf {A}$

В специальной теории относительности электрические и магнитные поля преобразуются при преобразованиях Лоренца . Это можно записать в виде тензора второго ранга — электромагнитного тензора . 16 контравариантных компонентов электромагнитного тензора, используя метрическое соглашение Минковского (+ - - -), записываются через электромагнитный четырехпотенциал и четырехградиент как :

F^{\mu \nu }=\partial ^{\mu }A^{\nu }-\partial ^{\nu }A^{\mu }={\begin{bmatrix}0&-E_{x}/c&-E_{y}/c&-E_{z}/c\\E_{x}/c&0&-B_{z}&B_{y}\\E_{y}/c&B_{z}&0&-B_{x}\\E_{z}/c&-B_{y}&B_{x}&0\end{bmatrix}}

Если вместо указанной подписи указано (− + + +), то:

F'\,^{\mu \nu }=\partial '\,^{\mu }A^{\nu }-\partial '\,^{\nu }A^{\mu }={\begin{bmatrix}0&E_{x}/c&E_{y}/c&E_{z}/c\\-E_{x}/c&0&B_{z}&-B_{y}\\-E_{y}/c&-B_{z}&0&B_{x}\\-E_{z}/c&B_{y}&-B_{x}&0\end{bmatrix}}

По сути, это определяет четырехпотенциал с точки зрения физически наблюдаемых величин, а также сводится к приведенному выше определению.

В калибровке Лоренца [ править ]

Часто калибровочное условие Лоренца $\partial _{\alpha }A^{\alpha }=0$ в инерциальной системе отсчета используется для упрощения уравнений Максвелла как: ^[2]

единицы СИ	Гауссовы единицы
$\Box A^{\alpha }=\mu _{0}J^{\alpha }$	$\Box A^{\alpha }={\frac {4\pi }{c}}J^{\alpha }$

где Дж ^а являются компонентами четырехтока , а

\Box ={\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\partial ^{2}}{\partial t^{2}}}-\nabla ^{2}=\partial ^{\alpha }\partial _{\alpha }

есть оператор Даламбера . В терминах скалярного и векторного потенциалов последнее уравнение принимает вид:

единицы СИ	Гауссовы единицы
$\Box \phi ={\frac {\rho }{\epsilon _{0}}}$	$\Box \phi =4\pi \rho$
$\Box \mathbf {A} =\mu _{0}\mathbf {j}$	$\Box \mathbf {A} ={\frac {4\pi }{c}}\mathbf {j}$

Для данного распределения заряда и тока, ρ ( r , t ) и j ( r , t ) , решения этих уравнений в единицах СИ: ^[3]

{\begin{aligned}\phi (\mathbf {r} ,t)&={\frac {1}{4\pi \epsilon _{0}}}\int \mathrm {d} ^{3}x^{\prime }{\frac {\rho \left(\mathbf {r} ^{\prime },t_{r}\right)}{\left|\mathbf {r} -\mathbf {r} ^{\prime }\right|}}\\\mathbf {A} (\mathbf {r} ,t)&={\frac {\mu _{0}}{4\pi }}\int \mathrm {d} ^{3}x^{\prime }{\frac {\mathbf {j} \left(\mathbf {r} ^{\prime },t_{r}\right)}{\left|\mathbf {r} -\mathbf {r} ^{\prime }\right|}},\end{aligned}}

где

t_{r}=t-{\frac {\left|\mathbf {r} -\mathbf {r} '\right|}{c}}

это отсталое время . Иногда это также выражается с помощью

\rho \left(\mathbf {r} ',t_{r}\right)=\left[\rho \left(\mathbf {r} ',t\right)\right],

где квадратные скобки предназначены для обозначения того, что время должно оцениваться в запаздывающем времени. Конечно, поскольку приведенные выше уравнения являются просто решением неоднородного дифференциального уравнения , к ним можно добавить любое решение однородного уравнения, чтобы удовлетворить граничным условиям . Эти однородные решения в общем представляют собой волны, распространяющиеся от источников за границей.

Когда приведенные выше интегралы оцениваются для типичных случаев, например, для осциллирующего тока (или заряда), обнаруживается, что они дают как компонент магнитного поля, изменяющийся в зависимости от r ⁻² ( поле индукции ) и компоненту, убывающую при r ⁻¹ ( поле излучения ). ^{[ нужны разъяснения ]}

Свобода измерения [ править ]

При сведении к одной форме (в тензорных обозначениях $A_{\mu }$ ), четырехпотенциал $A$ (обычно записывается как вектор или, $A^{\mu }$ в тензорной записи) можно разложить ^{[ нужны разъяснения ]} через теорему о разложении Ходжа как сумму точной , коточной и гармонической формы,

A=d\alpha +\delta \beta +\gamma

.

существует калибровочная свобода В $A$ в этой из трех форм этого разложения, только коточная форма оказывает какое-либо влияние на электромагнитный тензор

F=dA

.

Точные формы замкнуты, как и гармонические формы в соответствующей области, поэтому $dd\alpha =0$ и $d\gamma =0$ , всегда. Так что независимо от того, что $\alpha$ и $\gamma$ есть, нам остается просто

F=d\delta \beta

.

В бесконечном плоском пространстве Минковского каждая замкнутая форма точна. Поэтому $\gamma$ термин исчезает. Каждое калибровочное преобразование $A$ таким образом, можно записать как

A\Rightarrow A+d\alpha

.

См. также [ править ]

Ссылки [ править ]

^ Гравитация, Дж. А. Уиллер, К. Миснер, К. С. Торн, WH Freeman & Co, 1973, ISBN 0-7167-0344-0
↑ Перейти обратно: Перейти обратно: ^а ^б Диджей Гриффитс (2007). Введение в электродинамику (3-е изд.). Pearson Education, Дорлинг Киндерсли. ISBN 978-81-7758-293-2 .
↑ Перейти обратно: Перейти обратно: ^а ^б И. С. Грант, В. Р. Филлипс (2008). Электромагнетизм (2-е изд.). Манчестерская физика, Джон Уайли и сыновья. ISBN 978-0-471-92712-9 .

Риндлер, Вольфганг (1991). Введение в специальную теорию относительности (2-е место) . Оксфорд: Издательство Оксфордского университета. ISBN 0-19-853952-5 .
Джексон, JD (1999). Классическая электродинамика (3-е место) . Нью-Йорк: Уайли. ISBN 0-471-30932-Х .

[1] Гравитация, Дж. А. Уиллер, К. Миснер, К. С. Торн, WH Freeman & Co, 1973, ISBN 0-7167-0344-0

[Griffiths-2] Перейти обратно: Перейти обратно: ^а ^б Диджей Гриффитс (2007). Введение в электродинамику (3-е изд.). Pearson Education, Дорлинг Киндерсли. ISBN 978-81-7758-293-2 .

[grant-3] Перейти обратно: Перейти обратно: ^а ^б И. С. Грант, В. Р. Филлипс (2008). Электромагнетизм (2-е изд.). Манчестерская физика, Джон Уайли и сыновья. ISBN 978-0-471-92712-9 .

[1]

[2]

[3]