Замедленный потенциал

В электродинамике — запаздывающие потенциалы это электромагнитные потенциалы электромагнитного поля, созданного изменяющимся во времени электрическим током или распределением заряда в прошлом. Поля распространяются со скоростью света c , поэтому задержка полей, связывающих причину и следствие, в более ранние и более поздние моменты времени является важным фактором: сигналу требуется конечное время для распространения от точки распределения заряда или тока (точка причины) в другую точку пространства (где измеряется эффект), см. рисунок ниже.

В калибровке Лоренца

Основные статьи: уравнения Максвелла и математические описания электромагнитного поля.

Векторы положения r и r', используемые в расчете

Отправной точкой являются уравнения Максвелла в потенциальной формулировке с использованием калибровки Лоренца :

$\Box \varphi ={\dfrac {\rho }{\epsilon _{0}}}\,,\quad \Box \mathbf {A} =\mu _{0}\mathbf {J}$

где φ( r , t ) — электрический потенциал , а A ( r , t ) — магнитный векторный потенциал , для произвольного источника плотности заряда ρ( r , t ) и плотности тока J ( r , t ), и $\Box$ — оператор Даламбера . Решение этих задач дает приведенные ниже запаздывающие потенциалы (все в единицах СИ ).

Для полей, зависящих от времени

Для нестационарных полей запаздывающие потенциалы равны:

$\mathrm {\varphi } (\mathbf {r} ,t)={\frac {1}{4\pi \epsilon _{0}}}\int {\frac {\rho (\mathbf {r} ',t_{r})}{|\mathbf {r} -\mathbf {r} '|}}\,\mathrm {d} ^{3}\mathbf {r} '$

$\mathbf {A} (\mathbf {r} ,t)={\frac {\mu _{0}}{4\pi }}\int {\frac {\mathbf {J} (\mathbf {r} ',t_{r})}{|\mathbf {r} -\mathbf {r} '|}}\,\mathrm {d} ^{3}\mathbf {r} '\,.$

где r — точка пространства, t — время,

$t_{r}=t-{\frac {|\mathbf {r} -\mathbf {r} '|}{c}}$

– запаздывающее время , а d ³ r' — мера интегрирования с использованием r' .

Из φ( r , t ) и A ( r , t ) поля E ( r , t ) и B ( r , t ) можно вычислить, используя определения потенциалов:

$-\mathbf {E} =\nabla \varphi +{\frac {\partial \mathbf {A} }{\partial t}}\,,\quad \mathbf {B} =\nabla \times \mathbf {A} \,.$

и это приводит к уравнениям Ефименко . Соответствующие опережающие потенциалы имеют одинаковую форму, за исключением опережающего времени.

$t_{a}=t+{\frac {|\mathbf {r} -\mathbf {r} '|}{c}}$

заменяет отставшее время.

По сравнению со статическими потенциалами для нестационарных полей

В случае, когда поля не зависят от времени ( электростатические и магнитостатические поля), производные по времени в $\Box$ операторы полей равны нулю, и уравнения Максвелла сводятся к

$\nabla ^{2}\varphi =-{\dfrac {\rho }{\epsilon _{0}}}\,,\quad \nabla ^{2}\mathbf {A} =-\mu _{0}\mathbf {J} \,,$

где ∇ ² является лапласианом , который принимает форму уравнения Пуассона с четырьмя компонентами (один для φ и три для A ), и решения:

$\mathrm {\varphi } (\mathbf {r} )={\frac {1}{4\pi \epsilon _{0}}}\int {\frac {\rho (\mathbf {r} ')}{|\mathbf {r} -\mathbf {r} '|}}\,\mathrm {d} ^{3}\mathbf {r} '$

$\mathbf {A} (\mathbf {r} )={\frac {\mu _{0}}{4\pi }}\int {\frac {\mathbf {J} (\mathbf {r} ')}{|\mathbf {r} -\mathbf {r} '|}}\,\mathrm {d} ^{3}\mathbf {r} '\,.$

Они также следуют непосредственно из запаздывающих потенциалов.

В кулоновской калибровке

В кулоновской калибровке уравнения Максвелла имеют вид

$\nabla ^{2}\varphi =-{\dfrac {\rho }{\epsilon _{0}}}$

$\nabla ^{2}\mathbf {A} -{\dfrac {1}{c^{2}}}{\dfrac {\partial ^{2}\mathbf {A} }{\partial t^{2}}}=-\mu _{0}\mathbf {J} +{\dfrac {1}{c^{2}}}\nabla \left({\dfrac {\partial \varphi }{\partial t}}\right)\,,$

хотя решения противоречат вышеизложенному, поскольку A представляет собой запаздывающий потенциал, тем не менее, φ изменяется мгновенно , что определяется формулой:

$\varphi (\mathbf {r} ,t)={\dfrac {1}{4\pi \epsilon _{0}}}\int {\dfrac {\rho (\mathbf {r} ',t)}{|\mathbf {r} -\mathbf {r} '|}}\mathrm {d} ^{3}\mathbf {r} '$

$\mathbf {A} (\mathbf {r} ,t)={\dfrac {1}{4\pi \varepsilon _{0}}}\nabla \times \int \mathrm {d} ^{3}\mathbf {r'} \int _{0}^{|\mathbf {r} -\mathbf {r} '|/c}\mathrm {d} t_{r}{\dfrac {t_{r}\mathbf {J} (\mathbf {r'} ,t-t_{r})}{|\mathbf {r} -\mathbf {r} '|^{3}}}\times (\mathbf {r} -\mathbf {r} ')\,.$

В этом есть преимущество и недостаток кулоновской калибровки: φ легко вычислить по распределению заряда ρ, но A не так легко вычислить по распределению тока j . Однако если мы требуем, чтобы потенциалы обращались в нуль на бесконечности, их можно аккуратно выразить через поля:

$\varphi (\mathbf {r} ,t)={\dfrac {1}{4\pi }}\int {\dfrac {\nabla \cdot \mathbf {E} (\mathbf {r} ',t)}{|\mathbf {r} -\mathbf {r} '|}}\mathrm {d} ^{3}\mathbf {r} '$

$\mathbf {A} (\mathbf {r} ,t)={\dfrac {1}{4\pi }}\int {\dfrac {\nabla \times \mathbf {B} (\mathbf {r} ',t)}{|\mathbf {r} -\mathbf {r} '|}}\mathrm {d} ^{3}\mathbf {r} '$

В линеаризованной гравитации

Запаздывающий потенциал в линеаризованной общей теории относительности очень похож на электромагнитный случай. Тензор с обращенным следом ${\textstyle {\tilde {h}}_{\mu \nu }=h_{\mu \nu }-{\frac {1}{2}}\eta _{\mu \nu }h}$ играет роль четырехвекторного потенциала, гармонической калибровки ${\tilde {h}}^{\mu \nu }{}_{,\mu }=0$ заменяет электромагнитную калибровку Лоренца, уравнения поля имеют вид $\Box {\tilde {h}}_{\mu \nu }=-16\pi GT_{\mu \nu }$, а решение для запаздывающей волны имеет вид $${\tilde {h}}_{\mu \nu }(\mathbf {r} ,t)=4G\int {\frac {T_{\mu \nu }(\mathbf {r} ',t_{r})}{|\mathbf {r} -\mathbf {r} '|}}\mathrm {d} ^{3}\mathbf {r} '.$$Используя единицы СИ, выражение необходимо разделить на $c^{4}$, что может быть подтверждено анализом размерностей.

Возникновение и применение

Теория многих тел, которая включает в себя среднее значение запаздывающих и опережающих потенциалов Льенара-Вихерта, представляет собой теорию поглотителя Уиллера-Фейнмана, также известную как симметричная во времени теория Уиллера-Фейнмана.

Пример

Потенциал заряда с равномерной скоростью по прямой имеет инверсию в точке , находящейся в недавнем положении. Потенциал не изменяется в направлении движения.

См. также

• Уравнения Максвелла
• Потенциал Льенара – Вихерта
• закон Ленца