Точечное отражение

Двойные тетраэдры, центрально симметричные друг другу.

В геометрии точечное отражение (также называемое инверсией точки или центральной инверсией ) — это преобразование аффинного пространства , при котором каждая точка отражается через определенную фиксированную точку . При работе с кристаллическими структурами и в физических науках термины инверсионная симметрия , центр инверсии или центросимметричный чаще используются .

Точечное отражение — это инволюция : его применение дважды — это тождественное преобразование . Это эквивалентно гомотетическому преобразованию с масштабным коэффициентом $-1$ . Точку инверсии еще называют гомотетическим центром .

Говорят, что объект, инвариантный относительно точечного отражения, обладает точечной симметрией ; если он инвариантен относительно точечного отражения через свой центр , говорят, что он обладает центральной симметрией или центрально симметричен . Точечная группа , включающая в себя точечное отражение среди своих симметрий, называется центросимметричной .

В евклидовом пространстве точечное отражение является изометрией ( сохраняет расстояние ). ^[1] В евклидовой плоскости точечное отражение аналогично на пол-оборота повороту (180° или $π$ радиан ); объекта отражение точки через центр тяжести аналогично вращению на пол-оборота .

Терминология

Термин «отражение» является расплывчатым и некоторые считают злоупотреблением языком, предпочтительнее инверсия ; однако точечное отражение широко используется . Такие карты являются инволюциями , то есть они имеют порядок 2 — они сами себе инверсны: их применение дважды дает тождественную карту — что также верно и для других карт, называемых отражениями . В более узком смысле под отражением понимается отражение в гиперплоскости ( $n-1$ размерное аффинное подпространство - точка на прямой , линия на плоскости , плоскость в трехмерном пространстве), с фиксированной гиперплоскостью, но в более широком смысле отражение применяется к любой инволюции евклидова пространства и фиксированному множеству (аффинное пространство размерности k , где $1\leq k\leq n-1$ ) называется зеркалом . В измерении 1 они совпадают, поскольку точка является гиперплоскостью на линии.

С точки зрения линейной алгебры, предполагая, что начало координат фиксировано, инволюции представляют собой в точности диагонализуемые отображения со всеми собственными значениями либо 1, либо -1. Отражение в гиперплоскости имеет единственное собственное значение −1 (и кратность $n-1$ по 1 собственному значению), тогда как точечное отражение имеет только собственное значение -1 (с кратностью n ).

Термин «инверсия» не следует путать с инверсивной геометрией , где инверсия определяется по отношению к кругу.

Примеры

2D примеры
Шестиугольный параллелогон	Октагон

В двух измерениях отражение точки аналогично повороту на 180 градусов. В трех измерениях точечное отражение можно описать как вращение на 180 градусов, состоящее из отражения через плоскость вращения, перпендикулярную оси вращения. В измерении n точечные отражения сохраняют ориентацию , если n четное, и меняют ориентацию, если n нечетное.

Формула

Дан вектор a в евклидовом пространстве R ^н, формула отражения a через точку p имеет вид

\mathrm {Ref} _{\mathbf {p} }(\mathbf {a} )=2\mathbf {p} -\mathbf {a} .

В случае, когда p — начало координат, точечное отражение — это просто отрицание вектора a .

В евклидовой геометрии инверсией * точки X такая относительно точки P является точка X , что P является серединой отрезка прямой с концами X и X *. Другими словами, вектор от X до P аналогичен вектору от P до X *.

Формула инверсии в P :

х * = 2 п - х

где p , x и x * — векторы положения P , X и X * соответственно.

Это отображение представляет собой изометрическое инволютивное аффинное преобразование имеющее ровно одну неподвижную точку , то есть P. ,

Точечное отражение как частный случай равномерного масштабирования или гомотетии

Когда точка инверсии P совпадает с началом координат, отражение точки эквивалентно частному случаю равномерного масштабирования : равномерному масштабированию с масштабным коэффициентом, равным −1. Это пример линейного преобразования .

Когда P не совпадает с началом координат, точечное отражение эквивалентно частному случаю гомотетического преобразования : гомотетии с центром гомотетики , совпадающим с P, и масштабным коэффициентом -1. (Это пример нелинейного аффинного преобразования .)

Группа точечных отражений

Композиция является двух точечных отражений трансляцией . ^[2] В частности, точечное отражение в точке p , за которым следует точечное отражение в точке q, является переносом вектора 2( q - p ).

Множество, состоящее из всех точечных отражений и перемещений, является подгруппой Ли евклидовой группы . Это продукт R полупрямой ^н с циклической группой порядка 2, действующей на R ^н путем отрицания. Именно подгруппа евклидовой группы поточечно фиксирует линию на бесконечности .

В случае n = 1 группа точечных отражений является полной группой изометрии линии.

Точечные отражения в математике

Отражение точки через центр сферы дает антиподальную карту .
Симметричное пространство — это риманово многообразие с изометрическим отражением в каждой точке. Симметрические пространства играют важную роль в изучении групп Ли и римановой геометрии .

Отражение точки в аналитической геометрии

Учитывая точку $P(x,y)$ и его отражение $P'(x',y')$ относительно точки $C(x_{c},y_{c})$ , последняя является серединой отрезка ${\overline {PP'}}$ ;

{\begin{cases}x_{c}={\frac {x+x'}{2}}\\y_{c}={\frac {y+y'}{2}}\end{cases}}

Следовательно, уравнения для нахождения координат отраженной точки имеют вид

{\begin{cases}x'=2x_{c}-x\\y'=2y_{c}-y\end{cases}}

Частным является случай, когда точка С имеет координаты $(0,0)$ (см. абзац ниже )

{\begin{cases}x'=-x\\y'=-y\end{cases}}

Характеристики

В четномерном евклидовом пространстве , скажем, 2 N -мерном пространстве, инверсия в точке P эквивалентна N поворотам на углы $π$ в каждой плоскости произвольного набора N взаимно ортогональных плоскостей, пересекающихся в P. точке Эти вращения взаимно коммутативны. Поэтому инверсия в точке четномерного пространства — это изометрия, сохраняющая ориентацию, или прямая изометрия .

В нечетномерном евклидовом пространстве , скажем (2 N + 1)-мерном пространстве, это эквивалентно N вращениям по $π$ в каждой плоскости произвольного набора N взаимно ортогональных плоскостей, пересекающихся в точке P , в сочетании с отражением в 2 N -мерное подпространство, охватываемое этими плоскостями вращения. Следовательно, она меняет, а не сохраняет ориентацию , это косвенная изометрия .

Геометрически в 3D это представляет собой вращение вокруг оси, проходящей через P , на угол 180 ° в сочетании с отражением в плоскости, проходящей через P , перпендикулярной оси; результат не зависит от ориентации (в другом смысле) оси. Обозначения типа операции или типа создаваемой ею группы: ${\overline {1}}$ , C _i , S ₂ и 1×. Тип группы — один из трех типов группы симметрии в 3D без какой-либо чистой вращательной симметрии , см. циклические симметрии с n = 1.

Следующие группы точек в трех измерениях содержат инверсию:

C _{n h} и D _{n h} для четных n
S _{2 n} и D _{n d} для нечетного n
Ч , о _, и я _ч

С обратным в точке тесно связано отражение относительно плоскости , которое можно рассматривать как «инверсию в плоскости».

Центры инверсии в кристаллографии.

Молекулы содержат центр инверсии, когда существует точка, через которую все атомы могут отражаться, сохраняя при этом симметрию. В кристаллографии наличие центров инверсии различает центросимметричные и нецентросимметричные соединения. Кристаллические структуры состоят из различных многогранников, классифицированных по координационному числу и валентным углам. Например, четырехкоординатные многогранники относят к тетраэдрам , а пятикоординатные окружения могут быть квадратно-пирамидальными или тригонально-бипирамидальными в зависимости от углов соединения. Все кристаллические соединения происходят из повторения атомного строительного блока, известного как элементарная ячейка, и эти элементарные ячейки определяют, какие многогранники формируются и в каком порядке. Эти многогранники соединяются друг с другом посредством общих углов, ребер или граней, в зависимости от того, какие атомы имеют общие связи. Многогранники, содержащие центры инверсии, называются центросимметричными, а многогранники без них - нецентросимметричными. Шестикоординатные октаэдры являются примером центросимметричных многогранников, поскольку центральный атом действует как центр инверсии, благодаря которому шесть связанных атомов сохраняют симметрию. Тетраэдры, с другой стороны, нецентросимметричны, поскольку инверсия через центральный атом приведет к переворачиванию многогранника. Многогранники с нечетным (а не четным) координационным числом не являются центросимметричными.

Настоящим многогранникам в кристаллах часто не хватает однородности, ожидаемой в геометрии их связей. Общие нарушения, обнаруживаемые в кристаллографии, включают искажения и беспорядок. Искажение включает в себя деформацию многогранников из-за неодинаковой длины связей, часто из-за различного электростатического притяжения между гетероатомами. Например, титановый центр, вероятно, будет равномерно связываться с шестью атомами кислорода в октаэдрах, но произойдет искажение, если один из атомов кислорода будет заменен более электроотрицательным фтором. Искажения не изменят внутреннюю геометрию многогранников — искаженный октаэдр по-прежнему классифицируется как октаэдр, но достаточно сильные искажения могут повлиять на центросимметрию соединения. Беспорядок предполагает разделение занятости по двум или более позициям, при котором атом будет занимать одну кристаллографическую позицию в определенном проценте многогранников, а другую - в остальных позициях. Беспорядок также может влиять на центросимметрию определенных многогранников, в зависимости от того, разделена ли заселенность по уже существующему центру инверсии.

Центросимметрия применима к кристаллической структуре в целом, а не только к отдельным многогранникам. Кристаллы подразделяются на тридцать две кристаллографические точечные группы , которые описывают, как различные многогранники располагаются в пространстве в объемной структуре. Из этих тридцати двух точечных групп одиннадцать центросимметричны. Наличие нецентросимметричных многогранников не гарантирует, что точечная группа будет одинаковой - две нецентросимметричные формы могут быть ориентированы в пространстве таким образом, чтобы между ними был центр инверсии. Два тетраэдра, обращенные друг к другу, могут иметь центр инверсии посередине, поскольку ориентация позволяет каждому атому иметь отраженную пару. Обратное также верно, поскольку несколько центросимметричных многогранников могут быть расположены так, чтобы образовать нецентросимметричную точечную группу.

Нецентросимметричные изолирующие соединения являются пьезоэлектриками и могут быть полезны для применения в нелинейной оптике . Отсутствие симметрии из-за центров инверсии может привести к тому, что области кристалла будут по-разному взаимодействовать с падающим светом. Длина волны, частота и интенсивность света могут меняться, поскольку электромагнитное излучение взаимодействует с различными энергетическими состояниями по всей структуре. Титанилфосфат калия , KTiOPO ₄ (КТП). кристаллизуется в нецентросимметричной ромбической Pna21 пространственной группе и является полезным нелинейным кристаллом. KTP используется для удвоения частоты лазеров, легированных неодимом , используя нелинейное оптическое свойство, известное как генерация второй гармоники . Применение нелинейных материалов все еще исследуется, но эти свойства обусловлены наличием (или его отсутствием) центра инверсии.

Инверсия относительно начала координат

Инверсия относительно начала координат соответствует аддитивному обращению вектора положения, а также скалярному умножению на −1. Операция коммутирует со всеми остальными линейными преобразованиями , но не со сдвигом : она находится в центре общей линейной группы . «Инверсия» без указания «в точку», «в линию» или «в плоскость» означает настоящую инверсию; В физике трехмерное отражение через начало координат также называется преобразованием четности .

В математике отражение через начало координат относится к точечному отражению евклидова пространства R. ^н через начало декартовой системы координат . Отражение через начало координат — это ортогональное преобразование, соответствующее скалярному умножению на $-1$ , а также может быть записано как $-I$ , где $I$ является единичной матрицей . В трех измерениях это отправляет $(x,y,z)\mapsto (-x,-y,-z)$ и так далее.

Представительства

Как скалярная матрица , она представлена в каждом базисе матрицей с $-1$ на диагонали и вместе с единицей является центром ортогональной группы $O(n)$ .

Это произведение n ортогональных отражений (отражение через оси любого ортогонального базиса ); отметим, что ортогональные отражения коммутируют.

В 2 измерениях это фактически поворот на 180 градусов, а в измерении $2n$ , это поворот на 180 градусов в n ортогональных плоскостях; ^[а] еще раз отметим, что вращения в ортогональных плоскостях коммутируют.

Характеристики

Он имеет определитель $(-1)^{n}$ (от представления матрицей или как продукт отражений). Таким образом, он сохраняет ориентацию в четном измерении и, следовательно, является элементом специальной ортогональной группы SO(2 n ), и меняет ориентацию в нечетном измерении, поэтому не является элементом SO(2 n + 1) и вместо этого обеспечивает разделение карты $O(2n+1)\to \pm 1$ , показывая это $O(2n+1)=SO(2n+1)\times \{\pm I\}$ как внутренний прямой продукт .

Вместе с единицей он образует центр ортогональной группы .
Он сохраняет каждую квадратичную форму, то есть $Q(-v)=Q(v)$ является элементом каждой неопределенной ортогональной группы . и, таким образом, также
Оно равно тождеству тогда и только тогда, когда характеристика равна 2.
Это самый длинный элемент группы Кокстера знаковых перестановок .

Аналогично, это самый длинный элемент ортогональной группы по отношению к порождающему набору отражений: все элементы ортогональной группы имеют длину не более n по отношению к порождающему набору отражений, ^[б] и отражение через начало координат имеет длину n, хотя в этом оно не уникально: другие максимальные комбинации поворотов (и, возможно, отражений) также имеют максимальную длину.

Геометрия

В SO(2 r ) отражение через начало координат является самой дальней точкой от единичного элемента по отношению к обычной метрике. В O(2 r + 1) отражение через начало координат не находится в SO(2 r +1) (оно находится в нетождественном компоненте), и не существует естественного смысла, в котором оно является «дальней точкой», чем любая другая точка в неидентичном компоненте, но она обеспечивает базовую точку в другом компоненте.

Алгебры Клиффорда и спиновые группы

следует путать его Не с элементом $-1\in \mathrm {Spin} (n)$ в спиновой группе . Это особенно сбивает с толку даже спиновые группы, поскольку $-I\in SO(2n)$ , и, таким образом, в $\operatorname {Spin} (n)$ есть оба $-1$ и 2 лифта $-I$ .

Отражение через тождество распространяется на автоморфизм алгебры Клиффорда , называемый основной инволюцией или градуированной инволюцией.

Отражение через тождество поднимается до псевдоскаляра .

См. также

Примечания

^ «Ортогональные плоскости» означают, что все элементы ортогональны, и плоскости пересекаются только в точке 0, а не в том, что они пересекаются по линии и имеют двугранный угол 90 °.
^ Это следует из классификации ортогональных преобразований как прямых сумм вращений и отражений, что следует из спектральной теоремы . , например,

Ссылки

^ «Отражения в линиях» . new.math.uiuc.edu . Проверено 27 апреля 2024 г.
^ «Лаборатория 9-точечного отражения» . сайты.math.washington.edu . Проверено 27 апреля 2024 г.

[3] «Ортогональные плоскости» означают, что все элементы ортогональны, и плоскости пересекаются только в точке 0, а не в том, что они пересекаются по линии и имеют двугранный угол 90 °.

[4] Это следует из классификации ортогональных преобразований как прямых сумм вращений и отражений, что следует из спектральной теоремы . , например,

[1] «Отражения в линиях» . new.math.uiuc.edu . Проверено 27 апреля 2024 г.

[2] «Лаборатория 9-точечного отражения» . сайты.math.washington.edu . Проверено 27 апреля 2024 г.

[1]

[2]

[а]

[б]