мера Эстермана

В плоской геометрии мера Эстермана — это число, определенное для любого ограниченного выпуклого множества, близко к центрально-симметричному описывающее, насколько оно . Это отношение площадей между данным множеством и его наименьшим центрально-симметричным выпуклым надмножеством. Оно равно единице для множества, которое центрально симметрично, и меньше единицы для множеств, замыкание которых не является центрально симметричным. Он инвариантен относительно аффинных преобразований плоскости. ^[1]

Характеристики

Если $c$ — центр симметрии наименьшего центрально-симметричного множества, содержащего данное выпуклое тело. $K$ , то само центрально-симметричное множество является выпуклой оболочкой объединения $K$ с его отражением поперек $c$ . ^[1]

Минимайзеры

Формами минимальной меры Эстермана являются треугольники, для которых эта мера равна 1/2. ^[1]^[2] Кривая постоянной ширины с наименьшей возможной мерой Эстермана представляет собой треугольник Рело . ^[3]

История

Мера Эстермана названа в честь Теодора Эстермана , который впервые доказал в 1928 году, что эта мера всегда не меньше 1/2 и что выпуклое множество с мерой Эстермана 1/2 должно быть треугольником. ^[4]^[1]^[2] Последующие доказательства были даны Фридрихом Вильгельмом Леви , Иштваном Фари , Исааком Ягломом и Владимиром Болтянским . ^[1]

См. также

Мера Ковнера–Безиковича , мера центральной симметрии, определяемая с использованием подмножеств вместо надмножеств.

Ссылки

^ Перейти обратно: ^а ^б ^с ^д ^и Грюнбаум, Бранко (1963), «Меры симметрии для выпуклых множеств», Клее, Виктор Л. (редактор), Выпуклость , Труды симпозиумов по чистой математике, том. 7, Провиденс, Род-Айленд: Американское математическое общество, стр. 233–270, MR 0156259.
^ Перейти обратно: ^а ^б Макеев В.В. (2007), "Некоторые экстремальные задачи для векторных расслоений", Санкт-Петербургский математический журнал , 19 (2): 131–155, doi : 10.1090/S1061-0022-08-00998-9 , MR 2333901
^ Финч, Стивен Р. (2003), «8.10 Константы треугольника Рело» (PDF) , Математические константы , Энциклопедия математики и ее приложений, Cambridge University Press, стр. 513–514 , ISBN 978-0-521-81805-6 .
^ Эстерманн, Теодор (1928), «О векторной области выпуклого тела», Mathematical Journal , 28 (1): 471–475, doi : 10.1007/BF01181177 , MR 1544971 , S2CID 119465984

[grunbaum-1] Перейти обратно: ^а ^б ^с ^д ^и Грюнбаум, Бранко (1963), «Меры симметрии для выпуклых множеств», Клее, Виктор Л. (редактор), Выпуклость , Труды симпозиумов по чистой математике, том. 7, Провиденс, Род-Айленд: Американское математическое общество, стр. 233–270, MR 0156259.

[makaev-2] Перейти обратно: ^а ^б Макеев В.В. (2007), "Некоторые экстремальные задачи для векторных расслоений", Санкт-Петербургский математический журнал , 19 (2): 131–155, doi : 10.1090/S1061-0022-08-00998-9 , MR 2333901

[finch-3] Финч, Стивен Р. (2003), «8.10 Константы треугольника Рело» (PDF) , Математические константы , Энциклопедия математики и ее приложений, Cambridge University Press, стр. 513–514 , ISBN 978-0-521-81805-6 .

[estermann-4] Эстерманн, Теодор (1928), «О векторной области выпуклого тела», Mathematical Journal , 28 (1): 471–475, doi : 10.1007/BF01181177 , MR 1544971 , S2CID 119465984

[1]

[2]

[3]

[4]