Мера Ковнера – Безиковича

В плоской геометрии мера Ковнера – Безиковича — это число, определенное для любого ограниченного выпуклого множества, близко к центрально-симметричному описывающее, насколько оно . Это часть площади множества, которую может покрыть его самое большое центрально-симметричное подмножество. ^{[ 1 ]}

Характеристики

Эта мера равна единице для множества, которое центрально симметрично, и меньше единицы для множеств, замыкание которых не является центрально симметричным. Он инвариантен относительно аффинных преобразований плоскости. Если $c$ - центр симметрии наибольшего центрально-симметричного множества внутри данного выпуклого тела. $K$ , то само центрально-симметричное множество является пересечением $K$ с его отражением поперек $c$ . ^{[ 1 ]}

Минимайзеры

Выпуклые множества с наименьшей возможной мерой Ковнера–Безиковича — это треугольники, для которых мера равна 2/3. Результат о том, что треугольники являются минимизаторами этой меры, известен как теорема Ковнера или теорема Ковнера–Безиковича , а неравенство, ограничивающее меру выше 2/3 для всех выпуклых множеств, является неравенством Ковнера–Безиковича . ^{[ 2 ]} Кривая постоянной ширины с наименьшей возможной мерой Ковнера – Безиковича представляет собой треугольник Рело . ^{[ 3 ]}

Вычислительная сложность

Мера Ковнера–Безиковича любого выпуклого многоугольника с $n$ вершины можно найти во времени $O(n\log n)$ путем определения перевода отражения многоугольника, который имеет максимально возможное перекрытие с неотраженным многоугольником. ^{[ 4 ]}

История

Бранко Грюнбаум что теорема Ковнера-Безиковича была впервые опубликована на русском языке в учебнике по вариационному исчислению Михаила Лаврентьева и Лазаря Люстерника советскому математику и геофизику С. Ковнеру С. 1935 года, где она была приписана . пишет , Дополнительные доказательства были даны Абрамом Самойловичем Безиковичем и Иштваном Фари , которые также доказали, что каждый минимизатор меры Ковнера – Безиковича является треугольником. ^{[ 1 ]}

См. также

Мера Эстермана — мера центральной симметрии, определяемая с использованием надмножеств вместо подмножеств.

Ссылки

^ Перейти обратно: ^а ^б ^с Грюнбаум, Бранко (1963), «Меры симметрии для выпуклых множеств», Клее, Виктор Л. (редактор), Выпуклость , Труды симпозиумов по чистой математике, том. 7, Провиденс, Род-Айленд: Американское математическое общество, стр. 233–270, MR 0156259.
^ Макеев В.В. (2007), "Некоторые экстремальные задачи для векторных расслоений", Санкт-Петербургский математический журнал , 19 (2): 131–155, doi : 10.1090/S1061-0022-08-00998-9 , MR 2333901
^ Финч, Стивен Р. (2003), «8.10 Константы треугольника Рело» (PDF) , Математические константы , Энциклопедия математики и ее приложений, Cambridge University Press, стр. 513–514 , ISBN 978-0-521-81805-6 .
^ де Берг, М .; Чеонг, О. ; Девиллерс, О.; ван Кревелд, М .; Тейо, М. (1998), «Вычисление максимального перекрытия двух выпуклых многоугольников при сдвиге» (PDF) , Theory of Computing Systems , 31 (5): 613–628, doi : 10.1007/PL00005845 , MR 1640323 , S2CID 7193951

Внешние ссылки

Мера центральной симметрии , Тани Ховановой , 2 сентября 2012 г. Математический блог

[grunbaum-1] Перейти обратно: ^а ^б ^с Грюнбаум, Бранко (1963), «Меры симметрии для выпуклых множеств», Клее, Виктор Л. (редактор), Выпуклость , Труды симпозиумов по чистой математике, том. 7, Провиденс, Род-Айленд: Американское математическое общество, стр. 233–270, MR 0156259.

[makaev-2] Макеев В.В. (2007), "Некоторые экстремальные задачи для векторных расслоений", Санкт-Петербургский математический журнал , 19 (2): 131–155, doi : 10.1090/S1061-0022-08-00998-9 , MR 2333901

[finch-3] Финч, Стивен Р. (2003), «8.10 Константы треугольника Рело» (PDF) , Математические константы , Энциклопедия математики и ее приложений, Cambridge University Press, стр. 513–514 , ISBN 978-0-521-81805-6 .

[bcdkt-4] де Берг, М .; Чеонг, О. ; Девиллерс, О.; ван Кревелд, М .; Тейо, М. (1998), «Вычисление максимального перекрытия двух выпуклых многоугольников при сдвиге» (PDF) , Theory of Computing Systems , 31 (5): 613–628, doi : 10.1007/PL00005845 , MR 1640323 , S2CID 7193951

[ 1 ]

[ 2 ]

[ 3 ]

[ 4 ]