Кривая постоянной ширины

Измерение ширины треугольника Рело как расстояния между параллельными опорными линиями . Поскольку это расстояние не зависит от направления линий, треугольник Рело представляет собой кривую постоянной ширины.

В геометрии кривая постоянной ширины — это простая замкнутая кривая на плоскости , ширина которой (расстояние между параллельными опорными линиями ) одинакова во всех направлениях. Форма, ограниченная кривой постоянной ширины, представляет собой тело постоянной ширины или орбиформу , название, данное этим формам Леонардом Эйлером . Стандартными примерами являются круг и треугольник Рело . Эти кривые также могут быть построены с использованием дуг окружностей с центром в точках пересечения ряда линий , как развертки определенных кривых, или путем пересечения кругов с центром на частичной кривой.

Каждое тело постоянной ширины представляет собой выпуклое множество , его границу пересекает не более двух раз любая линия, и если линия пересекает перпендикулярно, то это происходит в обоих пересечениях, разделенных шириной. По теореме Барбье периметр тела равен ровно π его ширине, но его площадь зависит от его формы: треугольник Рело имеет наименьшую возможную площадь для своей ширины, а круг - наибольшую. Каждое надмножество тела постоянной ширины включает пары точек, которые находятся дальше друг от друга, чем ширина, а каждая кривая постоянной ширины включает как минимум шесть точек крайней кривизны. Хотя треугольник Рело не является гладким, кривые постоянной ширины всегда можно сколь угодно близко аппроксимировать гладкими кривыми той же постоянной ширины.

Цилиндры с постоянным поперечным сечением можно использовать в качестве роликов для поддержания ровной поверхности. Другое применение кривых постоянной ширины — для форм чеканки монет , где правильные многоугольники Рело обычным выбором являются . Возможность того, что кривые, отличные от кругов, могут иметь постоянную ширину, усложняет проверку округлости объекта .

Кривые постоянной ширины были обобщены несколькими способами на более высокие измерения и на неевклидову геометрию .

Определения

Ширина и постоянная ширина определяются через опорные линии кривых; это линии, которые касаются кривой, но не пересекают ее.Каждая компактная кривая на плоскости имеет две опорные линии в любом заданном направлении, между которыми находится кривая. Евклидово расстояние между этими двумя линиями — это ширина кривой в этом направлении, и кривая имеет постоянную ширину, если это расстояние одинаково для всех направлений линий. Ширину ограниченного выпуклого множества можно определить так же, как и для кривых, расстоянием между парами параллельных прямых, которые касаются множества, не пересекая его, а выпуклое множество представляет собой тело постоянной ширины, когда это расстояние не равно нулю и не зависит от направления линий. Каждое тело постоянной ширины имеет кривую постоянной ширины в качестве границы, а каждая кривая постоянной ширины имеет тело постоянной ширины в качестве своей выпуклой оболочки .

Другой эквивалентный способ определить ширину компактной кривой или выпуклого множества — посмотреть на ее ортогональную проекцию на линию. В обоих случаях проекция представляет собой отрезок линии , длина которого равна расстоянию между опорными линиями, перпендикулярными линии. Итак, кривая или выпуклое множество имеет постоянную ширину, когда все ее ортогональные проекции имеют одинаковую длину.

Примеры

Кривая постоянной ширины, определяемая полиномом 8-й степени.

Круги имеют постоянную ширину, равную их диаметру . С другой стороны, квадраты этого не делают: опорные линии, параллельные двум противоположным сторонам квадрата, расположены ближе друг к другу, чем опорные линии, параллельные диагонали. В более общем смысле ни один многоугольник не может иметь постоянную ширину. Однако существуют и другие формы постоянной ширины. Стандартным примером является треугольник Рело , пересечение трех кругов, центр каждого из которых находится там, где пересекаются два других круга. Ее граничная кривая состоит из трех дуг этих окружностей, сходящихся под углом 120°, поэтому она не является гладкой , и фактически эти углы являются максимально острыми для любой кривой постоянной ширины.

Другие кривые постоянной ширины могут быть гладкими, но некруглыми и даже не иметь на границе дуг окружностей.Например, нулевой набор полинома алгебраическую ниже образует некруговую гладкую кривую постоянной ширины:

$${\begin{aligned}f(x,y)={}&(x^{2}+y^{2})^{4}-45(x^{2}+y^{2})^{3}-41283(x^{2}+y^{2})^{2}\\&+7950960(x^{2}+y^{2})+16(x^{2}-3y^{2})^{3}+48(x^{2}+y^{2})(x^{2}-3y^{2})^{2}\\&+x(x^{2}-3y^{2})\left(16(x^{2}+y^{2})^{2}-5544(x^{2}+y^{2})+266382\right)-720^{3}.\end{aligned}}$$

Его степень , восемь, является минимально возможной степенью для многочлена, который определяет некруговую кривую постоянной ширины.

Конструкции

Неправильный многоугольник Рело

Применение метода скрещенных линий к расположению четырех линий . Границы синего тела постоянной ширины представляют собой дуги окружностей из четырех вложенных пар окружностей (внутренние круги темно-красные и внешние круги светло-красные).

Тело постоянной ширины (желтое), образованное пересекающимися дисками (синие) с центром в полуэллипсе (черный). Красный круг показывает касательную окружность к опорной линии в точке минимальной кривизны полуэллипса. Эксцентриситет полуэллипса на рисунке максимально возможный для данной конструкции.

Каждый правильный многоугольник с нечетным числом сторон порождает кривую постоянной ширины, многоугольник Рело , образованный дугами окружностей с центрами в его вершинах, которые проходят через две вершины, наиболее удаленные от центра. Например, эта конструкция порождает треугольник Рело из равностороннего треугольника. Некоторые неправильные многоугольники также порождают многоугольники Рело. В близкородственной конструкции, названной Мартином Гарднером «методом скрещенных линий», расположение линий на плоскости (не две параллельные, а в остальном произвольные) сортируется в циклическом порядке по наклонам линий. Затем линии соединяются кривой, образованной последовательностью дуг окружностей; каждая дуга соединяет две последовательные линии в отсортированном порядке и центрируется в месте их пересечения. Радиус первой дуги должен быть выбран достаточно большим, чтобы все последующие дуги заканчивались на правильной стороне следующей точки пересечения; однако работают все достаточно большие радиусы. Для двух линий это образует круг; для трех линий на сторонах равностороннего треугольника минимально возможного радиуса он образует треугольник Рело, а для линий правильного звездчатого многоугольника может образовывать многоугольник Рело.

Леонард Эйлер построил кривые постоянной ширины из разверток кривых с нечетным числом точек возврата , имеющих только одну касательную в каждом направлении (то есть проективных ежей ). Интуитивный способ описания эвольвентной конструкции состоит в том, чтобы обернуть отрезок линии вокруг такой кривой, сохраняя его касательным к кривой, не скользя вдоль нее, пока он не вернется в исходную точку касания. Отрезок линии должен быть достаточно длинным, чтобы достигать точек излома кривой, чтобы он мог катиться мимо каждого излома к следующей части кривой, а его начальное положение должно быть тщательно выбрано так, чтобы в конце процесса прокатки он находится в том же положении, с которого начал. В этом случае кривая, очерченная концами отрезка, представляет собой эвольвенту, охватывающую данную кривую, не пересекая ее, с постоянной шириной, равной длине отрезка. Если начальная кривая гладкая (за исключением точек возврата), результирующая кривая постоянной ширины также будет гладкой. Примером стартовой кривой с правильными для данного построения свойствами является дельтовидная кривая , а охватывающие ее развертки дельтоиды образуют плавные кривые постоянной ширины, не содержащие никаких дуг окружностей.

Другая конструкция выбирает половину кривой постоянной ширины, отвечающую определенным требованиям, и образует из нее тело постоянной ширины, имеющее в качестве границы данную кривую. Построение начинается с выпуклой изогнутой дуги, концы которой представляют собой намеченную ширину. $w$ отдельно. Две конечные точки должны касаться параллельных опорных линий на расстоянии $w$ друг от друга. Кроме того, каждая опорная линия, касающаяся другой точки дуги, должна касаться в этой точке окружности радиуса $w$ содержащий всю дугу; это требование не позволяет кривизне дуги быть меньше кривизны круга. Завершенное тело постоянной ширины является тогда пересечением внутренностей бесконечного семейства кругов двух типов: касательных к опорным линиям, и большего количества кругов того же радиуса с центрами в каждой точке данной дуги. Эта конструкция универсальна: таким образом можно построить все кривые постоянной ширины. Виктор Пюизо , французский математик XIX века, обнаружил кривые постоянной ширины, содержащие эллиптические дуги. которое можно построить таким образом из полуэллипса . Для выполнения условия кривизны полуэллипс должен быть ограничен большой полуосью своего эллипса, а эллипс должен иметь эксцентриситет не более ${\tfrac {1}{2}}{\sqrt {3}}$. Эквивалентно, большая полуось должна быть не более чем в два раза больше малой полуоси.

Учитывая любые два тела постоянной ширины, их сумма Минковского образует другое тело постоянной ширины. Обобщение сумм Минковского на суммы опорных функций ежей дает кривую постоянной ширины из суммы проективного ежа и круга, если результатом является выпуклая кривая. Таким образом все кривые постоянной ширины можно разложить в сумму ежей.

Свойства

Треугольник Рело катится внутри квадрата, всегда касаясь всех четырех сторон.

Кривая постоянной ширины может вращаться между двумя параллельными линиями, разделенными ее шириной, все время касаясь тех линий, которые действуют как опорные линии для повернутой кривой. Точно так же кривая постоянной ширины может вращаться внутри ромба или квадрата, пары противоположных сторон которых разделены шириной и лежат на параллельных опорных линиях. Не каждая кривая постоянной ширины может вращаться внутри правильного шестиугольника одинаково , поскольку ее опорные линии могут образовывать разные неправильные шестиугольники для разных вращений, а не всегда образовывать правильный шестиугольник. Однако любую кривую постоянной ширины можно охватить хотя бы одним правильным шестиугольником, противоположные стороны которого лежат на параллельных опорных линиях.

Кривая имеет постоянную ширину тогда и только тогда, когда для каждой пары параллельных опорных линий она касается этих двух линий в точках, расстояние которых равно расстоянию между линиями. В частности, это означает, что он может касаться каждой опорной линии только в одной точке. Эквивалентно, каждая линия, пересекающая кривую перпендикулярно, пересекает ее ровно в двух точках на расстоянии, равном ширине. Следовательно, кривая постоянной ширины должна быть выпуклой, так как каждая невыпуклая простая замкнутая кривая имеет опорную линию, касающуюся ее в двух и более точках. Кривые постоянной ширины являются примерами самопараллельных или автопараллельных кривых, кривых, прослеживаемых обеими конечными точками отрезка, который движется таким образом, что обе конечные точки движутся перпендикулярно отрезку. Однако существуют и другие самопараллельные кривые, такие как бесконечная спираль, образованная разверткой круга, которые не имеют постоянной ширины.

Теорема Барбье утверждает, что периметр любой кривой постоянной ширины равен ширине, умноженной на $\pi$. В частном случае эта формула согласуется со стандартной формулой $\pi d$ для периметра круга по его диаметру. Согласно изопериметрическому неравенству и теореме Барбье, круг имеет максимальную площадь среди любой кривой заданной постоянной ширины. Теорема Бляшке-Лебега гласит, что треугольник Рело имеет наименьшую площадь среди любой выпуклой кривой заданной постоянной ширины. Каждое собственное надмножество тела постоянной ширины имеет строго больший диаметр, и каждое евклидово множество с этим свойством является телом постоянной ширины. В частности, одно тело постоянной ширины не может быть подмножеством другого тела той же постоянной ширины. Любую кривую постоянной ширины можно сколь угодно близко аппроксимировать кусочно-круговой кривой или аналитической кривой той же постоянной ширины.

Вершина гладкой кривой — это точка, где ее кривизна является локальным максимумом или минимумом; для дуги окружности все точки являются вершинами, но некруговые кривые могут иметь конечный дискретный набор вершин. Для кривой, которая не является гладкой, точки, в которых она не является гладкой, также можно рассматривать как вершины бесконечной кривизны. Для кривой постоянной ширины каждая вершина локально минимальной кривизны сопряжена с вершиной локально максимальной кривизны, противоположной ей на диаметре кривой, и таких вершин должно быть не менее шести. Это противоречит теореме о четырех вершинах , согласно которой каждая простая замкнутая гладкая кривая на плоскости имеет как минимум четыре вершины. Некоторые кривые, например эллипсы, имеют ровно четыре вершины, но это невозможно для кривой постоянной ширины. Поскольку локальные минимумы кривизны противоположны локальным максимумам кривизны, единственными кривыми постоянной ширины с центральной симметрией являются круги, кривизна которых одинакова во всех точках. Для каждой кривой постоянной ширины минимальная окружность кривой и наибольшая окружность, которую она содержит, концентричны, а среднее их диаметров является шириной кривой. Эти две окружности вместе касаются кривой как минимум в трех парах противоположных точек, но эти точки не обязательно являются вершинами.

Выпуклое тело имеет постоянную ширину тогда и только тогда, когда сумма Минковского тела и его поворот на 180 ° представляют собой круглый диск; если да, то ширина тела равна радиусу диска.

Приложения

Ролики постоянной ширины

Из-за способности кривых постоянной ширины катиться между параллельными линиями, любой цилиндр с кривой постоянной ширины в поперечном сечении может действовать как «валик» , поддерживая плоскость уровня и сохраняя ее плоскость при движении по любому уровню. поверхность. Однако центр ролика перемещается вверх и вниз при движении, поэтому эта конструкция не будет работать для колес такой формы, прикрепленных к фиксированным осям.

Некоторые формы монет представляют собой некруглые тела постоянной ширины. Например, британские монеты номиналом 20 и 50 пенсов представляют собой семиугольники Рело, а канадский канадец — 11-угольник Рело. Эти формы позволяют автоматическим монетоприемникам распознавать эти монеты по их ширине, независимо от ориентации монеты в автомате. С другой стороны, проверка ширины недостаточна для определения округлости объекта , поскольку такие тесты не могут отличить круги от других кривых постоянной ширины. Игнорирование этого факта, возможно, сыграло свою роль в катастрофе космического корабля «Челленджер» , поскольку округлость секций ракеты при этом запуске проверялась только путем измерения ширины, а некруглые формы могут вызвать необычно высокие напряжения, которые могли быть одним из Факторы, вызвавшие катастрофу.

Обобщения

Кривые постоянной ширины можно обобщить до некоторых невыпуклых кривых, кривых, которые имеют по две касательные линии в каждом направлении с одинаковым расстоянием между этими двумя линиями независимо от их направления. В предельном случае проективные ежи (кривые с одной касательной в каждом направлении) также называются «кривыми нулевой ширины».

Один из способов обобщить эти концепции на три измерения — использовать поверхности постоянной ширины . Трехмерный аналог треугольника Рело, тетраэдр Рело , не имеет постоянной ширины, но незначительные изменения в нем приводят к образованию тел Мейснера , которые имеют. Кривые постоянной ширины также могут быть обобщены на тела постоянной яркости , трехмерные формы, все двумерные проекции которых имеют одинаковую площадь; эти формы подчиняются обобщению теоремы Барбье. Другой класс трехмерных обобщений, пространственные кривые постоянной ширины, определяется тем, что каждая плоскость, пересекающая кривую, перпендикулярно пересекает ее ровно в одной другой точке, где она также перпендикулярна, и что все пары точек пересекаются. перпендикулярными плоскостями, находящимися на одинаковом расстоянии друг от друга.

Кривые и тела постоянной ширины изучались также в неевклидовой геометрии. и для неевклидовых нормированных векторных пространств .

См. также

• Средняя ширина — ширина кривой, усредненная по всем возможным направлениям.
• Кривая Зиндлера — кривая, в которой все хорды, делящие периметр пополам, имеют одинаковую длину.

Внешние ссылки

• Интерактивный апплет Майкла Борчердса, показывающий неправильную форму постоянной ширины (которую вы можете изменить), созданную с помощью GeoGebra .
• Вайсштейн, Эрик В. «Кривая постоянной ширины» . Математический мир .
• Молд, Стив. «Формы и тела постоянной ширины» . Числофил . Брэйди Харан . Архивировано из оригинала 19 марта 2016 г. Проверено 17 ноября 2013 г.
• Формы постоянной ширины при разрезании узла