Кривая Зиндлера

Рисунок 1: Кривая Зиндлера. Любая из хорд одинаковой длины делит кривую и замкнутую область пополам.

Рисунок 2: Примеры кривых Зиндлера с a = 8 (синий), a = 16 (зеленый) и a = 24 (красный).

Кривая Циндлера — это простая замкнутая плоская кривая , определяющим свойством которой является:

(L) Все хорды , делящие кривую пополам , имеют одинаковую длину.

Самый простой пример — круги . Австрийский математик Конрад Зиндлер открыл дополнительные примеры и предложил метод их построения. Герман Ауэрбах был первым, кто использовал (в 1938 году) ныне устоявшееся название кривой Зиндлера .

Ауэрбах доказал, что фигура, ограниченная кривой Циндлера и имеющая половину плотности воды, будет плавать в воде в любом положении. Это дает отрицательный ответ на двумерную версию проблемы Станислава Улама о плавающих телах (задача 19 «Шотландской книги» ), которая спрашивает, является ли диск единственной фигурой с одинаковой плотностью, которая будет плавать в воде в любом положении (оригинал проблема заключается в том, является ли сфера единственным твердым телом, обладающим этим свойством в трех измерениях).

Кривые Зиндлера также связаны с задачей установить, можно ли определить направление движения велосипеда, зная только замкнутые заднюю и переднюю колеи.

Эквивалентные определения

Эквивалентное определение кривой Циндлера следующее:

(А) Все хорды , делящие область пополам, имеют одинаковую длину.

Эти хорды одинаковы, что сокращает длину кривой пополам.

Другое определение основано на каруселях Зиндлера из двух стульев. Рассмотрим две гладкие кривые в R² , заданные λ ₁ и λ ₂ . Предположим, что расстояние между точками λ ₁ (t) и λ ₂ (t) постоянно для каждого t ∈ R и что кривая, определяемая серединами между λ ₁ и λ _2, такова, что ее касательный вектор в точке t параллелен на отрезок от λ ₁ ( t ) до λ ₂ ( t ) для каждого t . Если кривые λ ₁ и λ ₂ параметризуют одну и ту же гладкую замкнутую кривую, то эта кривая является кривой Циндлера.

Примеры

Рассмотрим фиксированный действительный параметр $a$. Для $a>4$, любая из кривых

$z(u)=x(u)+iy(u)=e^{2iu}+2e^{-iu}+ae^{iu/2}\;,\ u\in [0,4\pi ]\;,$

представляет собой кривую Зиндлера. Для $a\geq 24$ кривая даже выпуклая . На диаграмме показаны кривые для $a=8$ (синий), $a=16$ (зеленый) и $a=24$ (красный). Для $a\geq 8$ кривые относятся к кривой постоянной ширины .

Рисунок 3: Пример кривой с a=4 НЕ является кривой Зиндлера, поскольку имеются искомые хорды, которые пересекают кривую в третьей точке.

Доказательство (L) : Производная параметрического уравнения равна

$z'(u)=i{\Big (}2e^{2iu}-2e^{-iu}+{\frac {a}{2}}e^{iu/2}{\Big )}\;$ и

$|z'(u)|^{2}=z'(u){\overline {z'(u)}}=\cdots =8+{\frac {a^{2}}{4}}-8\cos 3u\;.$

$|z'(u)|$ является $2\pi$- периодический .Следовательно, для любого $u_{0}$ имеет место следующее уравнение

$\int _{u_{0}}^{u_{0}+2\pi }|z'(u)|\,du=\int _{0}^{2\pi }|z'(u)|\,du\;,$

что составляет половину длины всей кривой.Искомые хорды, делящие кривую пополам, ограничены точками $\;z(u_{0})\;,\;z(u_{0}+2\pi )\;$ для любого $u_{0}\in [0,4\pi ]$. Длина такой хорды равна $|z(u_{0}+2\pi )-z(u_{0})|=\cdots =|2ae^{iu_{0}/2}|=2a\;,$ следовательно, не зависит от $u_{0}$. ∎

Для $a=4$ искомые хорды встречаются с кривой в дополнительной точке (см. рисунок 3). Следовательно, только для $a>4$ выборочные кривые представляют собой кривые Циндлера.

Обобщения

Свойство, определяющее кривые Зиндлера, также можно обобщить на хорды, которые пересекают периметр кривой с фиксированным соотношением α, отличным от 1/2. В этом случае вместо всех хорд кривой можно рассматривать систему хорд (непрерывный набор хорд). Эти кривые известны как кривые α-Циндлера. и являются кривыми Циндлера при α = 1/2. Это обобщение кривой Зиндлера обладает следующим свойством, связанным с плавающей задачей: пусть γ — замкнутая гладкая кривая с системой хорд, пересекающей периметр в фиксированном отношении α. Если все хорды этой системы хорд находятся внутри области, ограниченной γ, то γ является α-кривой Циндлера тогда и только тогда, когда область, ограниченная γ, является телом однородной плотности ρ, плавающим в любой ориентации.

См. также

• Кривая постоянной ширины
• Полигон Рело

Ссылки

• Герман Ауэрбах: К проблеме М. Улама о равновесии плавающих тел (PDF; 796 КБ) , Studia Mathematica 7 (1938), 121–142.
• К. Л. Мампель: О кривых Зиндлера , Журнал чистой и прикладной математики 234 (1969), 12–44.
• Конрад Зиндлер: О выпуклых структурах. Часть II , Ежемесячные выпуски по математике и физике 31 (1921), 25–56.
• Х. Мартини, С. Ву: О кривых Зиндлера в нормированных плоскостях , Canadian Mathematical Bulletin 55 (2012), 767–773.
• Дж. Брачо, Л. Монтехано, Д. Оливерос: Карусели, кривые Зиндлера и проблема плавающего тела , Periodica Mathematica Hungarica 49 (2004), 9–23.
• П. М. Грубер, Дж. М. Уиллс: выпуклость и ее приложения , Springer, 1983, ISBN   978-3-0348-5860-1 , с. 58.

Внешние ссылки

• http://www.thphys.uni-heidelberg.de/~wegner/Fl2mvs/Movies.html — страница Франца Вегнера, иллюстрирующая некоторые тела, плывущие в любом направлении.
• https://www.rose-hulman.edu/~finn/research/bicycle/tracks.html — страница Дэвида Л. Финна, иллюстрирующая некоторую пару кривых, по которым невозможно определить, какая из них задняя, ​​а какая передняя. велосипеда.