Изгиб

Парабола . , одна из простейших кривых, после (прямых) линий

В математике кривая линию (в старых текстах ее также называли изогнутой линией ) — это объект, похожий на , но не обязательно должен быть прямым .

Интуитивно кривую можно рассматривать как след, оставленный движущейся точкой . Это определение появилось более 2000 лет назад в » Евклида « Началах : «[кривая] линия ^[а] есть […] первый вид количества, который имеет только одно измерение, а именно длину, без какой-либо ширины и глубины, и представляет собой не что иное, как течение или бег точки, которая […] оставит после своего воображаемого движения некоторый след в длина, исключая любую ширину». ^[1]

Это определение кривой было формализовано в современной математике следующим образом: — это изображение интервала Кривая топологического пространства с помощью непрерывной функции . В некоторых контекстах функция, определяющая кривую, называется параметризацией , а кривая является параметрической кривой . В этой статье эти кривые иногда называются топологическими кривыми, чтобы отличить их от более ограниченных кривых, таких как дифференцируемые кривые . Это определение охватывает большинство кривых, изучаемых математикой; заметными исключениями являются кривые уровня (которые представляют собой объединения кривых и изолированных точек) и алгебраические кривые (см. ниже). Кривые уровня и алгебраические кривые иногда называют неявными кривыми , поскольку они обычно определяются неявными уравнениями .

Тем не менее класс топологических кривых очень широк и содержит некоторые кривые, которые выглядят не так, как можно было бы ожидать от кривой, или даже не могут быть нарисованы. Это случай кривых, заполняющих пространство, и фрактальных кривых . Для обеспечения большей регулярности функцию, определяющую кривую, часто считают дифференцируемой , и тогда кривую называют дифференцируемой кривой .

Плоская алгебраическая кривая — это нулей многочлена множество от двух неопределённых . В более общем смысле, алгебраическая кривая — это нулевое множество конечного набора многочленов, которое удовлетворяет дополнительному условию того, что оно является многообразием размерности алгебраическим один. Если коэффициенты многочленов принадлежат полю $k$ , говорят, что кривая определена над $k$ . В общем случае вещественной алгебраической кривой , где $k$ — поле действительных чисел , алгебраическая кривая представляет собой конечное объединение топологических кривых. Когда рассматриваются комплексные нули, получается комплексная алгебраическая кривая , которая с топологической точки зрения является не кривой, а поверхностью и часто называется римановой поверхностью . Алгебраические кривые, определенные в других полях, хотя и не являются кривыми в здравом смысле, широко изучались. В частности, алгебраические кривые над конечным полем широко используются в современной криптографии .

История [ править ]

Интерес к кривым возник задолго до того, как они стали предметом математических исследований. Это можно увидеть на многочисленных примерах их декоративного использования в искусстве и на предметах быта, относящихся к доисторическим временам. раз. ^[2] Кривые или, по крайней мере, их графические изображения легко создать, например, с помощью палки на песке на пляже.

Исторически термин « линия» использовался вместо более современного термина « кривая» . Следовательно, термины «прямая линия» и «правая линия» использовались, чтобы отличить то, что сегодня называют линиями, от изогнутых линий. Например, в Книге I « Начал» Евклида линия определяется как «длина без ширины» (Опр. 2), а прямая линия определяется как «линия, лежащая равномерно с точками на самой себе» (Опр. 4). . Идея Евклида о линии, возможно, проясняется утверждением: «Концы линии суть точки» (Определение 3). ^[3]Более поздние комментаторы далее классифицировали строки по различным схемам. Например: ^[4]

Составные линии (линии, образующие угол)
Некомпозитные линии
- Определенные (линии, которые не простираются бесконечно, например круг)
- Неопределенные (линии, простирающиеся бесконечно, например прямая линия и парабола)

Греческие геометры изучали множество других видов кривых. Одной из причин был их интерес к решению геометрических задач, которые невозможно было решить с помощью стандартного циркуля и линейки . Эти кривые включают в себя:

Конические сечения, подробно изученные Аполлонием Пергским.
Циссоида Диокла , изученная Диоклом и использованная как метод удвоения куба . ^[5]
Раковина Никомеда , изученная Никомедом как метод удвоения куба и разделения угла на три части . ^[6]
, Спираль Архимеда изученная Архимедом как метод разделения угла на три части и квадратуры круга . ^[7]
Спирические сечения , сечения торов , изученные Персеем как сечения конусов, были изучены Аполлонием.

Фундаментальным достижением в теории кривых стало введение аналитической геометрии Рене Декартом в семнадцатом веке . Это позволило описать кривую с помощью уравнения, а не сложной геометрической конструкции. Это не только позволило определить и изучить новые кривые, но и позволило провести формальное различие между алгебраическими кривыми , которые можно определить с помощью полиномиальных уравнений , и трансцендентными кривыми , которые не могут быть определены. Раньше кривые описывались как «геометрические» или «механические» в зависимости от того, как они были или предположительно могли быть созданы. ^[2]

Конические сечения были применены астрономии Кеплером в . Ньютон также работал над первым примером вариационного исчисления . Решения вариационных задач, таких как вопросы брахистохроны и таутохроны , по-новому представили свойства кривых (в данном случае циклоиды ) . Цепная линия получила свое название как решение проблемы висящей цепи, вопроса, который стал обычно доступен с помощью дифференциального исчисления .

В восемнадцатом веке зародилось развитие теории плоских алгебраических кривых вообще. Ньютон изучал кубические кривые в общем описании реальных точек в виде «овалов». Формулировка теоремы Безу показала ряд аспектов, которые не были напрямую доступны геометрии того времени, связанных с особыми точками и комплексными решениями.

С девятнадцатого века теория кривых рассматривается как частный случай размерности один теории многообразий и алгебраических многообразий . Тем не менее, многие вопросы остаются специфичными для кривых, такие как кривые, заполняющие пространство , теорема Жордана о кривой и шестнадцатая проблема Гильберта .

Топологическая кривая [ править ]

Топологическая кривая может быть задана непрерывной функцией $\gamma \colon I\rightarrow X$ из интервала $I$ действительных чисел в пространство $X.$ топологическое Собственно говоря, кривая — образ это $\gamma .$ Однако в некоторых контекстах $\gamma$ само по себе называется кривой, особенно когда изображение не похоже на то, что обычно называют кривой, и недостаточно характеризует $\gamma .$

Например, изображение кривой Пеано или, шире, кривой, заполняющей пространство, полностью заполняет квадрат и, следовательно, не дает никакой информации о том, как $\gamma$ определено.

Кривая $\gamma$ закрыто ^[б] или это цикл , если $I=[a,b]$ и $\gamma (a)=\gamma (b)$ . Таким образом, замкнутая кривая является образом непрерывного отображения окружности . Незамкнутую кривую можно также назвать разомкнутой кривой .

Если область определения топологической кривой представляет собой замкнутый и ограниченный интервал $I=[a,b]$ кривая называется путем , также известным как топологическая дуга (или просто дуга ).

Кривая называется простой , если она представляет собой изображение отрезка или окружности инъективной непрерывной функцией. Другими словами, если кривая определяется непрерывной функцией $\gamma$ с интервалом в качестве области кривая является простой тогда и только тогда, когда любые две разные точки интервала имеют разные изображения, за исключением, возможно, случаев, когда эти точки являются конечными точками интервала. Интуитивно простая кривая — это кривая, которая «не пересекает сама себя и не имеет пропущенных точек» (непрерывная несамопересекающаяся кривая). ^[8]

Плоская кривая – это кривая, у которой $X$ — это евклидова плоскость (это первые встречающиеся примеры) или, в некоторых случаях, проективная плоскость . Пространственная кривая – это кривая, для которой $X$ является как минимум трехмерным; косая кривая — это пространственная кривая, не лежащая ни в одной плоскости. Эти определения плоских, пространственных и косых кривых применимы также к действительным алгебраическим кривым , хотя приведенное выше определение кривой не применимо (действительная алгебраическая кривая может быть несвязной ).

Плоскую простую замкнутую кривую также называют жордановой кривой . Его также определяют как несамопересекающуюся непрерывную петлю на плоскости. ^[9]Теорема жордановой кривой утверждает, что дополнение множества в плоскости жордановой кривой состоит из двух связных компонентов (то есть кривая делит плоскость на две непересекающиеся области , которые обе связаны). Ограниченная область внутри жордановой кривой называется областью Жордана .

В определение кривой входят фигуры, которые в обиходе вряд ли можно назвать кривыми. Например, изображение кривой может охватывать квадрат на плоскости ( кривая, заполняющая пространство ), а простая кривая может иметь положительную площадь. ^[10] Фрактальные кривые могут обладать странными для здравого смысла свойствами. Например, фрактальная кривая может иметь размерность Хаусдорфа больше единицы (см. «снежинка Коха» ) и даже положительную площадь. Примером может служить кривая дракона , обладающая множеством других необычных свойств.

Дифференцируемая кривая [ править ]

Грубо говоря, дифференцируемая кривая — это кривая, которая определяется как локально образ инъективной дифференцируемой функции. $\gamma \colon I\rightarrow X$ из интервала $I$ действительных чисел в дифференцируемое многообразие $X$ , часто $\mathbb {R} ^{n}.$

Точнее, дифференцируемая кривая — это подмножество $C$ в $X$ , где каждая точка $C$ имеет окрестность $U$ такую, что $C\cap U$ диффеоморфно интервалу действительных чисел. ^{[ нужны разъяснения ]} Другими словами, дифференцируемая кривая — это дифференцируемое многообразие размерности один.

Дифференцируемая дуга

В евклидовой геометрии дуга связное (символ: ⌒ ) представляет собой подмножество дифференцируемой кривой .

Дуги прямых называются сегментами , лучами или линиями , в зависимости от того, как они ограничены.

Распространенным примером изогнутой формы является дуга окружности , называемая дугой окружности .

В сфере (или сфероиде ) дуга большого круга (или большого эллипса ) называется большой дугой .

Длина кривой [ править ]

Если $X=\mathbb {R} ^{n}$ это $n$ -мерное евклидово пространство, и если $\gamma :[a,b]\to \mathbb {R} ^{n}$ — инъективная и непрерывно дифференцируемая функция, то длина $\gamma$ определяется как количество

\operatorname {Length} (\gamma )~{\stackrel {\text{def}}{=}}~\int _{a}^{b}|\gamma \,'(t)|~\mathrm {d} {t}.

Длина кривой не зависит от параметризации $\gamma$ .

В частности, длина $s$ графика функции непрерывно дифференцируемой $y=f(x)$ определяется на замкнутом интервале $[a,b]$ является

s=\int _{a}^{b}{\sqrt {1+[f'(x)]^{2}}}~\mathrm {d} {x},

что можно интуитивно представить как использование теоремы Пифагора в бесконечно малом масштабе непрерывно по всей длине кривой. ^[11]

В более общем смысле, если $X$ является метрическим пространством с метрикой $d$ , то мы можем определить длину кривой $\gamma :[a,b]\to X$ к

\operatorname {Length} (\gamma )~{\stackrel {\text{def}}{=}}~\sup \!\left\{\sum _{i=1}^{n}d(\gamma (t_{i}),\gamma (t_{i-1}))~{\Bigg |}~n\in \mathbb {N} ~{\text{and}}~a=t_{0}<t_{1}<\ldots <t_{n}=b\right\},

где супремум берется за все $n\in \mathbb {N}$ и все разделы $t_{0}<t_{1}<\ldots <t_{n}$ из $[a,b]$ .

Спрямляемая кривая — это кривая конечной длины. Кривая $\gamma :[a,b]\to X$ называется естественным (или единичным, или параметризованным длиной дуги), если для любого $t_{1},t_{2}\in [a,b]$ такой, что $t_{1}\leq t_{2}$ , у нас есть

\operatorname {Length} \!\left(\gamma |_{[t_{1},t_{2}]}\right)=t_{2}-t_{1}.

Если $\gamma :[a,b]\to X$ является липшицево-непрерывной функцией, то она автоматически спрямляема. Более того, в этом случае можно определить скорость (или метрическую производную ) $\gamma$ в $t\in [a,b]$ как

{\operatorname {Speed} _{\gamma }}(t)~{\stackrel {\text{def}}{=}}~\limsup _{s\to t}{\frac {d(\gamma (s),\gamma (t))}{|s-t|}}

а потом покажи это

\operatorname {Length} (\gamma )=\int _{a}^{b}{\operatorname {Speed} _{\gamma }}(t)~\mathrm {d} {t}.

Дифференциальная геометрия [ править ]

Хотя первые примеры встречающихся кривых в основном представляют собой плоские кривые (то есть, говоря обычными словами, изогнутые линии в двумерном пространстве ), существуют очевидные примеры, такие как спираль , которые естественным образом существуют в трех измерениях. Потребности геометрии, а также, например, классической механики, заключаются в том, чтобы иметь понятие кривой в пространстве любого числа измерений. В общей теории относительности мировая линия представляет собой кривую в пространстве-времени .

Если $X$ является дифференцируемым многообразием , то мы можем определить понятие дифференцируемой кривой в $X$ . Этой общей идеи достаточно, чтобы охватить многие применения кривых в математике. С местной точки зрения можно принять $X$ быть евклидовым пространством. С другой стороны, полезно использовать более общий подход, поскольку (например) можно определить касательные векторы к $X$ посредством этого понятия кривой.

Если $X$ — гладкое многообразие , гладкая кривая в $X$ это гладкая карта

\gamma \colon I\rightarrow X

.

Это базовое понятие. Есть также все более и более ограниченные идеи. Если $X$ это $C^{k}$ многообразие (т. е. многообразие, карты которого $k$ раз непрерывно дифференцируемо ), то $C^{k}$ кривая в $X$ это такая кривая, которая только предполагается $C^{k}$ (т.е. $k$ раз непрерывно дифференцируемы). Если $X$ является аналитическим многообразием (т.е. бесконечно дифференцируемым и карты выражаются в виде степенных рядов ), и $\gamma$ является аналитическим отображением, то $\gamma$ называется аналитической кривой .

Дифференцируемая кривая называется регулярен , если его производная никогда не обращается в нуль. (На словах регулярная кривая никогда не замедляется до остановки и не возвращается назад.) Два $C^{k}$ дифференцируемые кривые

\gamma _{1}\colon I\rightarrow X

и

\gamma _{2}\colon J\rightarrow X

называются эквивалентными, если существует биективное $C^{k}$ карта

p\colon J\rightarrow I

такая, что обратное отображение

p^{-1}\colon I\rightarrow J

это также $C^{k}$ , и

\gamma _{2}(t)=\gamma _{1}(p(t))

для всех $t$ . Карта $\gamma _{2}$ называется репараметризацией $\gamma _{1}$ ; и это создает отношение эквивалентности на множестве всех $C^{k}$ дифференцируемые кривые в $X$ . А $C^{k}$ arc — это эквивалентности класс $C^{k}$ кривые по отношению репараметризации.

Алгебраическая кривая [ править ]

Алгебраические кривые — это кривые, рассматриваемые в алгебраической геометрии . Плоская алгебраическая кривая — это набор точек координат $x, y$ таких, что $f (x, y) = 0$ , где $f$ — многочлен от двух переменных, определенный над некоторым $F.$ полем Говорят, что кривая определена над $F$ . Алгебраическая геометрия обычно рассматривает не только точки с координатами из $F,$ и все точки с координатами в алгебраически замкнутом поле $К.$ но

Если C — кривая, определяемая многочленом f с коэффициентами из F что кривая определена над F. , говорят ,

В случае кривой, определенной над действительными числами , обычно рассматриваются точки с комплексными координатами. В этом случае точка с реальными координатами является реальной точкой , а совокупность всех реальных точек — реальной частью кривой. Поэтому только действительная часть алгебраической кривой может быть топологической кривой (это не всегда так, поскольку действительная часть алгебраической кривой может быть несвязной и содержать изолированные точки). Вся кривая, то есть совокупность ее комплексных точек, с топологической точки зрения является поверхностью. В частности, неособые комплексные проективные алгебраические кривые называются римановыми поверхностями .

Точки кривой $C$ с координатами в поле $G$ называются рациональными над $G$ и могут обозначаться $C (G)$ . Когда $G$ является полем рациональных чисел , говорят просто о рациональных точках . Например, Великую теорему Ферма можно переформулировать так: Для $n > 2$ каждая рациональная точка кривой Ферма степени $n$ имеет нулевую координату .

Алгебраические кривые также могут быть пространственными кривыми или кривыми в пространстве более высокого измерения, скажем, $n$ . Они определяются как алгебраические многообразия один размерности . Их можно получить как общие решения не менее $n -1$ полиномиальных уравнений от $n$ переменных. Если $n -1$ полиномов достаточно, чтобы определить кривую в пространстве размерности $n$ , кривая называется полным пересечением . Исключив переменные (с помощью любого инструмента теории исключения ), алгебраическую кривую можно спроецировать на плоскую алгебраическую кривую , что, однако, может привести к появлению новых особенностей, таких как точки возврата или двойные точки .

Плоская кривая также может быть дополнена до кривой на проективной плоскости : если кривая определяется многочленом $f$ полной степени $d$ , то $w д f (u / w, v / w)$ упрощается до однородного многочлена $g (u, v, w)$ степени $d$ . Значения $u, v, w$ такие, что $g (u, v, w) = 0,$ являются однородными координатами точек завершения кривой в проективной плоскости, а точки исходной кривой - такими, $w$ что не ноль. Примером может служить кривая Ферма $u н + v н = v н$ , который имеет аффинную форму $x н + и н = 1$ . Аналогичный процесс гомогенизации можно определить для кривых в пространствах более высокой размерности.

За исключением линий , простейшими примерами алгебраических кривых являются коники , которые представляют собой неособые кривые степени два и рода нуль. Эллиптические кривые , которые являются неособыми кривыми рода один, изучаются в теории чисел и имеют важные приложения в криптографии .

См. также [ править ]

Примечания [ править ]

^ В современном математическом использовании линия прямая. Раньше линии могли быть как изогнутыми, так и прямыми.
^ Этот термин может быть неоднозначным, поскольку незамкнутая кривая может быть замкнутым множеством , как и линия на плоскости.

Ссылки [ править ]

^ На (довольно старом) французском языке: «Линия — это первый вид количества, который имеет только одно измерение, а именно долготу, без какой-либо широты или глубины, и является ничем иным, как течением или потоком точки, которая […] будет оставить какой-то длинный след своего воображаемого движения, свободный от любой широты». Страницы 7 и 8 из пятнадцати книг геометрических элементов Евклида Мегариена, переведенных с греческого на французский и дополненных несколькими рисунками и демонстрациями, с исправлением ошибок, допущенных в других переводах , Пьер Мардель, Лион, MDCXLV (1645 г.) .
^ Перейти обратно: ^а ^б Локвуд П. ix
^ Хит стр. 153
^ Хит стр. 160
^ Локвуд с. 132
^ Локвуд с. 129
^ О'Коннор, Джон Дж.; Робертсон, Эдмунд Ф. , «Спираль Архимеда» , Архив истории математики MacTutor , Университет Сент-Эндрюс
^ «Определение дуги Джордана на Dictionary.com. Dictionary.com Unabridged. Random House, Inc» . Словарь.reference.com . Проверено 14 марта 2012 г.
^ Суловский, Марек (2012). Глубина, пересечения и конфликты в дискретной геометрии . Логотипы Верлаг Берлин ГмбХ. п. 7. ISBN 9783832531195 .
^ Осгуд, Уильям Ф. (январь 1903 г.). «Жордановая кривая положительной области» . Труды Американского математического общества . 4 (1). Американское математическое общество : 107–112. дои : 10.2307/1986455 . ISSN 0002-9947 . JSTOR 1986455 .
^ Дэвис, Эллери В.; Бренке, Уильям К. (1913). Исчисление . Компания Макмиллан. п. 108. ИСБН 9781145891982 .

А.С. Пархоменко (2001) [1994], «Линия (кривая)» , Энциклопедия Математики , EMS Press
Б.И. Голубов (2001) [1994], «Спрямляемая кривая» , Энциклопедия Математики , EMS Press
Евклид , комментарии и пер. от TL Heath Elements Vol. 1 (Кембридж, 1908 г.) Google Книги
Э. Х. Локвуд: Книга кривых (Кембридж, 1961)

Внешние ссылки [ править ]

Индекс знаменитых кривых , Школа математики и статистики, Университет Сент-Эндрюс, Шотландия
Математические кривые Коллекция из 874 двумерных математических кривых.
Галерея космических кривых, сделанных из кругов, включает анимацию Питера Мозеса.
Галерея бишопских кривых и других сферических кривых, включает анимацию Питера Мозеса.
Статья в математической энциклопедии о линиях .
Страница Атласа многообразий об 1-многообразиях .

[1] В современном математическом использовании линия прямая. Раньше линии могли быть как изогнутыми, так и прямыми.

[9] Этот термин может быть неоднозначным, поскольку незамкнутая кривая может быть замкнутым множеством , как и линия на плоскости.

[2] На (довольно старом) французском языке: «Линия — это первый вид количества, который имеет только одно измерение, а именно долготу, без какой-либо широты или глубины, и является ничем иным, как течением или потоком точки, которая […] будет оставить какой-то длинный след своего воображаемого движения, свободный от любой широты». Страницы 7 и 8 из пятнадцати книг геометрических элементов Евклида Мегариена, переведенных с греческого на французский и дополненных несколькими рисунками и демонстрациями, с исправлением ошибок, допущенных в других переводах , Пьер Мардель, Лион, MDCXLV (1645 г.) .

[Lockwood-3] Перейти обратно: ^а ^б Локвуд П. ix

[4] Хит стр. 153

[5] Хит стр. 160

[6] Локвуд с. 132

[7] Локвуд с. 129

[8] О'Коннор, Джон Дж.; Робертсон, Эдмунд Ф. , «Спираль Архимеда» , Архив истории математики MacTutor , Университет Сент-Эндрюс

[10] «Определение дуги Джордана на Dictionary.com. Dictionary.com Unabridged. Random House, Inc» . Словарь.reference.com . Проверено 14 марта 2012 г.

[11] Суловский, Марек (2012). Глубина, пересечения и конфликты в дискретной геометрии . Логотипы Верлаг Берлин ГмбХ. п. 7. ISBN 9783832531195 .

[12] Осгуд, Уильям Ф. (январь 1903 г.). «Жордановая кривая положительной области» . Труды Американского математического общества . 4 (1). Американское математическое общество : 107–112. дои : 10.2307/1986455 . ISSN 0002-9947 . JSTOR 1986455 .

[13] Дэвис, Эллери В.; Бренке, Уильям К. (1913). Исчисление . Компания Макмиллан. п. 108. ИСБН 9781145891982 .

[а]

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[б]

[8]

[9]

[10]

[11]