Спираль Дойла

В математике упаковки кругов спираль Дойла представляет собой узор из непересекающихся кругов на плоскости, в котором каждый круг окружен кольцом из шести касательных кругов . Эти узоры содержат спиральные рукава, образованные кругами, соединенными противоположными точками касания, с центрами на логарифмических спиралях трех разных форм.

Спирали Дойла названы в честь математика Питера Г. Дойла , который внес важный вклад в их математическое построение в конце 1980-х или начале 1990-х годов. ^[2] Однако их изучение филлотаксиса (математики роста растений) восходит к началу 1900-х годов. ^[1]^[3]^[4]

Определение

Спираль Дойла определяется как определенный тип упаковки кругов , состоящий из бесконечного числа кругов на плоскости, при этом никакие два круга не имеют перекрывающихся внутренних частей. В спирали Дойла каждый круг заключен в кольцо из шести других кругов. Шесть окружающих кругов касаются центрального круга и двух своих соседей по кольцу. ^[5]^[6]

Характеристики

Радиусы

Как заметил Дойл , ^[2] единственный способ упаковать круги с комбинаторной структурой спирали Дойла — это использовать круги, радиусы которых также хорошо структурированы. ^[5] Для любой такой упаковки должны существовать три положительных действительных числа. $a$ , $b$ , и $c={\tfrac {b}{a}}$ , так что каждый круг радиуса $r$ окружен кругами, радиусы которых (в циклическом порядке)

ra

,

rb

,

rc

,

r/a

,

r/b

, и

r/c

.

Только определенные тройки чисел $a$ , $b$ , и $c$ происходят из спиралей Дойла; другие соответствуют системам кругов, которые в конечном итоге перекрывают друг друга. ^[6]

Оружие

В спирали Дойла можно сгруппировать круги в соединяющие цепочки кругов через противоположные точки касания. Их назвали рукавами , следуя той же терминологии, которая используется для спиральных галактик . ^[8]^[9] Внутри каждого плеча круги имеют радиусы в дважды бесконечной геометрической последовательности. $\dots ,ra^{-2},ra^{-1},r,ra,ra^{2},\dots$ или последовательность того же типа с общим множителем $b$ или $c$ . В большинстве спиралей Дойла центры окружностей на одном плече лежат на логарифмической спирали , и все полученные таким образом логарифмические спирали встречаются в одной центральной точке. Некоторые спирали Дойла вместо этого имеют концентрические круглые ветви (как на показанном витраже) или прямые ветви. ^[6]

Подсчет оружия

Точную форму любой спирали Дойла можно параметризовать тремя натуральными числами , подсчитывая количество ветвей каждой из трех ее форм. Когда одна форма руки встречается бесконечно часто, ее счет определяется как 0, а не как $\infty$ . Наименьшее количество ветвей равно разнице числа двух других ветвей, поэтому любую спираль Дойла можно описать как спираль типа $(p,q)$ , где $p$ и $q$ это два крупнейших числа в отсортированном порядке $p\leq q$ . ^[10]

2 руки

6 рук

8 рук

Подсчет ветвей каждого типа по спирали типа (6,8)

Каждая пара $(p,q)$ с $1<q/2\leq p\leq q$ определяет спираль Дойла с числом третьего и наименьшего плеча, равным $q-p$ . Форма этой спирали определяется этими отсчетами однозначно, с точностью до подобия . ^[5] Для спирали типа $(p,q)$ , множители радиуса $a$ , $b$ , и $c$ — алгебраические числа , полиномы которых можно определить из $p$ и $q$ . ^[8]^[11] Эти множители радиуса можно точно аппроксимировать с помощью числового поиска, а результаты этого поиска можно использовать для определения числовых значений размеров и положений всех кругов. ^[5]^[8]

Симметрия

Спирали Дойла обладают симметриями, сочетающими масштабирование и вращение вокруг центральной точки (или перемещение и вращение, в случае регулярной гексагональной упаковки плоскости единичными окружностями), переводя любой круг упаковки в любой другой круг. ^[6] Применение преобразования Мёбиуса к спирали Дойла сохраняет форму и касательность ее окружностей. Следовательно, преобразование Мёбиуса может создать дополнительные шаблоны непересекающихся касательных окружностей, каждый из которых касается шести других. Эти узоры обычно имеют двойную спираль, в которой связанные последовательности кругов выходят по спирали из одной центральной точки (изображение центра спирали Дойла) в другую точку (изображение точки, находящейся в бесконечности ). Однако они не отвечают всем требованиям спиралей Дойла: некоторые круги в этом узоре не будут окружены шестью соседними кругами. ^[8]^[12]

Примеры и особые случаи

Самый общий случай спирали Дойла имеет три различных множителя радиуса, все отличные от 1, и три различных числа ветвей, все ненулевые. Примером может служить локсодромная последовательность касательных окружностей Коксетера , спираль Дойла типа (2,3) с числом ветвей 1, 2 и 3 и с множителями радиуса. $a=\varphi +{\sqrt {\varphi }}$ , $b=a^{3}$ , и $c=a^{2}$ , где $\varphi$ обозначает золотое сечение . Внутри единственного спирального рукава наименьшей кривизны круги локсодромной последовательности Коксетера образуют последовательность, радиусы которой представляют собой степени $a$ . Каждые четыре последовательных окружности в этой последовательности касаются друг друга. ^[12]

Когда ровно одно из трех плеч равно нулю, учитываемые плечи являются круглыми с множителем радиуса 1. Количество кругов в каждом из этих круговых плеч равно количеству плеч каждого из двух других типов. Все круговые рукава концентричны и сосредоточены там, где встречаются спиральные рукава. ^[5] На фотографии витража церковного окна два кольца из девяти кругов относятся к спирали Дойля такой формы, типа (9,9).

Прямые руки производятся для количества рук. $p=q/2$ . В этом случае два типа спиральных рукавов имеют одинаковый множитель радиуса и являются зеркальным отражением друг друга. Прямых рукавов в два раза больше, чем спиралей того и другого типа. Каждая прямая рука образована окружностями с центрами, лежащими на луче, проходящем через центральную точку. ^[5] Поскольку количество прямых рукавов должно быть четным, прямые рукава можно сгруппировать в противоположные пары, при этом два луча каждой пары встречаются, образуя линию. Примером может служить спираль Дойла типа (8,16) из иллюстрации Popular Science : восемь рукавов закручиваются по спирали так же, как заштрихованный рукав, еще восемь отраженных рукавов и шестнадцать лучей.

Последний частный случай — спираль Дойла типа (0,0), правильная гексагональная упаковка плоскости единичными окружностями. Все его множители радиуса едины, а ветви образуют параллельные семейства линий с тремя разными наклонами. ^[5]

Приложения

Спирали Дойла образуют дискретный аналог экспоненциальной функции как часть более общего использования упаковок кругов в качестве дискретных аналогов конформных отображений . Действительно, узоры, очень напоминающие спирали Дойла (но состоящие из касательных фигур, не являющихся кругами), могут быть получены путем применения экспоненциальной карты к масштабированной копии правильной упаковки шестиугольных кругов. ^[5] Три отношения радиусов между соседними кругами, фиксированными по всей спирали, можно рассматривать как аналог характеристики экспоненциальной карты как имеющей фиксированную производную Шварца . ^[6] Спирали Дойла использовались для изучения групп Клейна , дискретных групп симметрии гиперболического пространства , путем встраивания этих спиралей в бесконечную сферу гиперболического пространства и повышения симметрии каждой спирали до симметрии самого пространства. ^[8]

Спирали касательных окружностей, часто с числами Фибоначчи , использовались для моделирования филлотаксиса , спирального характера роста, характерного для определенных видов растений, начиная с работы Геррита ван Итерсона в 1907 году. ^[4] В этом контексте ветвь спирали Дойла называется парастихией , а количество ветвей спирали Дойла называется числами парастихи . Когда два числа парастихии $p$ и $q$ являются числами Фибоначчи и либо последовательными, либо разделенными только одним числом Фибоначчи, то третье число парастихи также будет числом Фибоначчи. ^[13] Имея в виду это приложение, Арнольд Эмч в 1910 году рассчитал положения окружностей в спиралях Дойля типа $(p,2p)$ , отметив в своей работе связь между этими спиралями, логарифмическими спиралями и показательной функцией. ^[1]^[3] Для моделирования роста растений таким способом использовать спиральные упаковки касательных кругов на поверхностях, отличных от плоскости, включая цилиндры и конусы также можно . ^[14]

Спиральные упаковки кругов изучались также как декоративный мотив в архитектурном дизайне . ^[7]

Связанные шаблоны

Касательные круги могут образовывать спиральные узоры, локальная структура которых напоминает квадратную сетку, а не шестиугольную сетку, которую можно непрерывно преобразовать в упаковки Дойла. ^[13] Пространство локально-квадратных спиральных упаковок бесконечномерно, в отличие от спиралей Дойла, которые можно определить постоянным числом параметров. ^[15] Также возможно описать спиралевидные системы перекрывающихся кругов, покрывающих плоскость, а не непересекающиеся круги, заполняющие плоскость, при этом каждая точка плоскости покрывается не более чем двумя кругами, за исключением точек, где три круга встречаются в точках. $60^{\circ }$ углы, и каждый круг окружен шестью другими. Они имеют много общих свойств со спиралями Дойла. ^[16]

Спираль Дойла не следует путать с другим спиральным узором из кругов , изучаемым для определенных форм роста растений, таких как семенные головки подсолнечника . В этом шаблоне круги имеют единичный размер, а не растут логарифмически и не касаются друг друга. Вместо того, чтобы иметь центры на логарифмической спирали, они расположены на спирали Ферма , смещенной золотым углом. $2\pi /\varphi ^{2}\approx 137.5^{\circ }$ друг от друга относительно центра спирали, где $\varphi$ это золотое сечение . ^[17]^[18]

Ссылки

^ Jump up to: Перейти обратно: ^а ^б ^с Эмч, Арнольд (ноябрь 1911 г.), «Математика и инженерия в природе» , Popular Science Monthly , 79 : 450–458.
^ Jump up to: Перейти обратно: ^а ^б Описание Дойлом шести радиусов кольца дисков, окружающих центральный диск в этих спиралях, похоже, не было опубликовано; оно цитируется как «устное сообщение» Картер, Итиэль; Родин, Берт (1992), «Обратная задача для упаковки кругов и конформного отображения», Transactions of the American Mathematical Society , 334 (2): 861–875, doi : 10.2307/2154486 , JSTOR 2154486 , MR 1081937 , и описано без цитирование как наблюдение Дойла в Beardon, Dubejko & Stephenson (1994).
^ Jump up to: Перейти обратно: ^а ^б Эмч, Арнольд (1910), «О некоторых математических примерах в естественных науках». , Математическое образование (на французском языке), 12 : 114–123.
^ Jump up to: Перейти обратно: ^а ^б Джин, Роджер В. (май 1983 г.), «Вводный обзор: Математическое моделирование в филлотаксисе: современное состояние», Mathematical Biosciences , 64 (1): 1–27, doi : 10.1016/0025-5564(83)90025- 1
^ Jump up to: Перейти обратно: ^а ^б ^с ^д ^и ^ж ^г ^час Бердон, Алан Ф .; Дубейко, Томаш; Стивенсон, Кеннет (1994), «Спиральные упаковки шестиугольных кругов на плоскости», Geometriae Dedicata , 49 (1): 39–70, doi : 10.1007/BF01263534 , MR 1261573 , S2CID 122370986
^ Jump up to: Перейти обратно: ^а ^б ^с ^д ^и Бобенко Александр Иванович; Хоффманн, Тим (2001), «Конформно-симметричные упаковки кругов: обобщение спиралей Дойла» , Experimental Mathematics , 10 (1): 141–150, doi : 10.1080/10586458.2001.10504437 , MR 1822860 , S2CID 14578266
^ Jump up to: Перейти обратно: ^а ^б Фернандес-Кабо, MC (июнь 2017 г.), «Касательные окружности на плоскости с использованием переменного циркуля», Journal of Architectural Engineering , 23 (2): 04017001, doi : 10.1061/(asce)ae.1943-5568.0000233
^ Jump up to: Перейти обратно: ^а ^б ^с ^д ^и Райт, Дэвид Дж. (2006), «В поисках острия» (PDF) , Мински, Яир; Сакума, Макото ; Серия, Кэролайн (ред.), «Пространства клейнианских групп» , Серия лекций Лондонского математического общества, том. 329, Издательство Кембриджского университета, стр. 301–336, MR 2258756.
^ Сатклифф, Алан (2008), «Анимированные упаковки спиральных кругов Дойла» , в Сарханги, Реза; Секен, Карло Х. (ред.), Бриджес Леуварден: математика, музыка, искусство, архитектура, культура , Лондон: Tarquin Publications, стр. 131–138, ISBN 9780966520194
^ Бердон, Дубейко и Стивенсон (1994) , Таблица I, стр. 61
^ Стивенсон, Кеннет (2005), Введение в упаковку кругов: теория дискретных аналитических функций , Кембридж: Издательство Кембриджского университета, стр. 326 , ISBN 978-0-521-82356-2 , МР 2131318
^ Jump up to: Перейти обратно: ^а ^б Коксетер, HSM (1968), «Локсодромные последовательности касательных сфер» , Mathematical Equations , 1 (1–2): 104–121, doi : 10.1007/BF01817563 , MR 0235456 , S2CID 119897862
^ Jump up to: Перейти обратно: ^а ^б Ротен, Ф.; Кох, А.-Ж. (1989), «Филлотаксис или свойства спиральных решеток, II: Упаковка кругов вдоль логарифмических спиралей» , Journal de Physique , 50 (13): 1603–1621, doi : 10.1051/jphys:0198900500130160300
^ Эриксон, Р.О. (1983), «Геометрия филлотаксиса» , в Дейле, Дж. Э.; Милторп, Флорида (ред.), Рост и функционирование листьев: материалы симпозиума, состоявшегося перед тринадцатым Международным ботаническим конгрессом в Сиднейском университете 18–20 августа 1981 г. , Cambridge University Press , стр. 53–88.
^ Шрамм, Одед (1997), «Круговые узоры с комбинаторикой квадратной сетки», Duke Mathematical Journal , 86 (2): 347–389, doi : 10.1215/S0012-7094-97-08611-7 , MR 1430437
^ Бобенко Александр Иванович; Хоффманн, Тим (2003), «Модели шестиугольных кругов и интегрируемые системы: шаблоны с постоянными углами», Duke Mathematical Journal , 116 (3): 525–566, arXiv : math/0109018 , doi : 10.1215/S0012-7094-03- 11635-С , МР 1958097 , С2КИД 22759
^ Пиковер, Клиффорд А. (июль 1992 г.), «Об эстетике инверсии и соприкосновения», The Visual Computer , 8 (4): 233–240, doi : 10.1007/bf01900658 , S2CID 13610388
^ Фогель, Хельмут (июнь 1979 г.), «Лучший способ построить головку подсолнечника», Mathematical Biosciences , 44 (3–4): 179–189, doi : 10.1016/0025-5564(79)90080-4

Дальнейшее чтение

Ямагиси, Ёсиказу; Сусида, Такамичи (апрель 2017 г.), «Спиральные дисковые упаковки», Physica D: Nonlinear Phenomena , 345 : 1–10, Bibcode : 2017PhyD..345....1Y , doi : 10.1016/j.physd.2016.12.003

Внешние ссылки

Исследователь спирали Дойла , Робин Хьюстон

[emch-1] Jump up to: Перейти обратно: ^а ^б ^с Эмч, Арнольд (ноябрь 1911 г.), «Математика и инженерия в природе» , Popular Science Monthly , 79 : 450–458.

[doyle-2] Jump up to: Перейти обратно: ^а ^б Описание Дойлом шести радиусов кольца дисков, окружающих центральный диск в этих спиралях, похоже, не было опубликовано; оно цитируется как «устное сообщение» Картер, Итиэль; Родин, Берт (1992), «Обратная задача для упаковки кругов и конформного отображения», Transactions of the American Mathematical Society , 334 (2): 861–875, doi : 10.2307/2154486 , JSTOR 2154486 , MR 1081937 , и описано без цитирование как наблюдение Дойла в Beardon, Dubejko & Stephenson (1994).

[lem-3] Jump up to: Перейти обратно: ^а ^б Эмч, Арнольд (1910), «О некоторых математических примерах в естественных науках». , Математическое образование (на французском языке), 12 : 114–123.

[phyll-4] Jump up to: Перейти обратно: ^а ^б Джин, Роджер В. (май 1983 г.), «Вводный обзор: Математическое моделирование в филлотаксисе: современное состояние», Mathematical Biosciences , 64 (1): 1–27, doi : 10.1016/0025-5564(83)90025- 1

[bds-5] Jump up to: Перейти обратно: ^а ^б ^с ^д ^и ^ж ^г ^час Бердон, Алан Ф .; Дубейко, Томаш; Стивенсон, Кеннет (1994), «Спиральные упаковки шестиугольных кругов на плоскости», Geometriae Dedicata , 49 (1): 39–70, doi : 10.1007/BF01263534 , MR 1261573 , S2CID 122370986

[consym-6] Jump up to: Перейти обратно: ^а ^б ^с ^д ^и Бобенко Александр Иванович; Хоффманн, Тим (2001), «Конформно-симметричные упаковки кругов: обобщение спиралей Дойла» , Experimental Mathematics , 10 (1): 141–150, doi : 10.1080/10586458.2001.10504437 , MR 1822860 , S2CID 14578266

[archeng-7] Jump up to: Перейти обратно: ^а ^б Фернандес-Кабо, MC (июнь 2017 г.), «Касательные окружности на плоскости с использованием переменного циркуля», Journal of Architectural Engineering , 23 (2): 04017001, doi : 10.1061/(asce)ae.1943-5568.0000233

[cusp-8] Jump up to: Перейти обратно: ^а ^б ^с ^д ^и Райт, Дэвид Дж. (2006), «В поисках острия» (PDF) , Мински, Яир; Сакума, Макото ; Серия, Кэролайн (ред.), «Пространства клейнианских групп» , Серия лекций Лондонского математического общества, том. 329, Издательство Кембриджского университета, стр. 301–336, MR 2258756.

[sutcliffe-9] Сатклифф, Алан (2008), «Анимированные упаковки спиральных кругов Дойла» , в Сарханги, Реза; Секен, Карло Х. (ред.), Бриджес Леуварден: математика, музыка, искусство, архитектура, культура , Лондон: Tarquin Publications, стр. 131–138, ISBN 9780966520194

[10] Бердон, Дубейко и Стивенсон (1994) , Таблица I, стр. 61

[intro-11] Стивенсон, Кеннет (2005), Введение в упаковку кругов: теория дискретных аналитических функций , Кембридж: Издательство Кембриджского университета, стр. 326 , ISBN 978-0-521-82356-2 , МР 2131318

[coxlox-12] Jump up to: Перейти обратно: ^а ^б Коксетер, HSM (1968), «Локсодромные последовательности касательных сфер» , Mathematical Equations , 1 (1–2): 104–121, doi : 10.1007/BF01817563 , MR 0235456 , S2CID 119897862

[jdp-13] Jump up to: Перейти обратно: ^а ^б Ротен, Ф.; Кох, А.-Ж. (1989), «Филлотаксис или свойства спиральных решеток, II: Упаковка кругов вдоль логарифмических спиралей» , Journal de Physique , 50 (13): 1603–1621, doi : 10.1051/jphys:0198900500130160300

[growth-14] Эриксон, Р.О. (1983), «Геометрия филлотаксиса» , в Дейле, Дж. Э.; Милторп, Флорида (ред.), Рост и функционирование листьев: материалы симпозиума, состоявшегося перед тринадцатым Международным ботаническим конгрессом в Сиднейском университете 18–20 августа 1981 г. , Cambridge University Press , стр. 53–88.

[square-15] Шрамм, Одед (1997), «Круговые узоры с комбинаторикой квадратной сетки», Duke Mathematical Journal , 86 (2): 347–389, doi : 10.1215/S0012-7094-97-08611-7 , MR 1430437

[cover-16] Бобенко Александр Иванович; Хоффманн, Тим (2003), «Модели шестиугольных кругов и интегрируемые системы: шаблоны с постоянными углами», Duke Mathematical Journal , 116 (3): 525–566, arXiv : math/0109018 , doi : 10.1215/S0012-7094-03- 11635-С , МР 1958097 , С2КИД 22759

[viscomp-17] Пиковер, Клиффорд А. (июль 1992 г.), «Об эстетике инверсии и соприкосновения», The Visual Computer , 8 (4): 233–240, doi : 10.1007/bf01900658 , S2CID 13610388

[sunflower-18] Фогель, Хельмут (июнь 1979 г.), «Лучший способ построить головку подсолнечника», Mathematical Biosciences , 44 (3–4): 179–189, doi : 10.1016/0025-5564(79)90080-4

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

[10]

[11]

[12]

[13]

[14]

[15]

[16]

[17]

[18]